数值分析-华东交通大学研究生院
研究生数学数值分析2-3
1
(1) x + y = y + x; ( 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ); ( 3) 在 X 中存在零元素 0 ∀ x ∈ X，都有 x + 0 = x； ，
(4) ∀ x ∈ X，都有 x 的负元素 − x ∈ X，使 x + ( − x ) = 0 ； (5) 1 x = x; (6) λ ( µ x ) = (λµ ) x; ( 7 ) ( λ + µ ) x = λ x + µ x; (8) λ ( x + y ) = λ x + λ y ,
λ x =| λ | x ;
( 3 ) 三角不等式
x+ y ≤ x + y .
则称 X 为赋范线性空间 , x 称为 X 中向量 x 的范数 .
11
利用三角不等式易推出 x − y ≤ x− y
x = ( x1, x2 ,L, xn )T ,
( 2 .3 .8 )
, 例2.3.3 在线性空间Rn 中 对任意的 可以证明
7
例 2 .3 .2 在 C [ a , b ] 上 , 对任意 f ( x ), g ( x ) ∈ C [ a , b ], 定义 ( f ( x ), g ( x ) ) =
∫
b
a
ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx ,
( 2 .3 .3 )
其中 ρ ( x ) 称为权函数 , 它满足 : (1) ρ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ [ a , b ]; ( 2)
西南交通大学研究生数值分析总复习
记x*表示x的近似值，若x* 0.a1a2 an 10m , (ai 是0,1,,9中的一个数字，a1 0)，
*
1 mn 如果 x x 10 , 则称x *近似x时具有n位有效数字。 2
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3. 记近似值x*=0.a1a2…an×10m，若要保留五位有效数 字（这是 以后常会用到的），即要求误差限ε<0.5×10m-n, 则n=5；
1 这即要求出满足： 10( n 1) 0.01%的n 2a1
例3（续）
1 由a1 5 10( n 1) 0.01% 0.0001 25 10( n 1) 0.001 n 1 lg 0.001 3 n 4 1 因此，只要对 0.052631578 的近似值取四位 19 1 有效数字为 0.05263 ，则其相对误差限就不 超过0.01% 19
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§2 绝对误差、相对误差和有效数字
2.1 绝对误差与相对误差 设 x *为准确值的近似值，记
e xx
*
e x x* er x x
分别称e为近似值x *的绝对误差或误差， er为x*的相对误差。
一般情况下，准确值是不知道的，从而也不能算出绝 对误差e的准确值，但往往可以根据测量工具或计算的情 况估计出e 的取值范围，即估计出绝对误差的一个上界ε :
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迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是： 设方程f (x) = 0在区间[a, b]内有一根x*，将方程化为等价 方程x = (x)，并在[a, b]内任取一点x0作为初始近似值， 然后按迭代公式计第二章 非线性方程求解算： x ( x ), (k 0,1,2,) (2 - 3)
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数值分析第五章电子教案(欧阳洁)
第五章函数插值§1 插值问题与插值多项式§2 Lagrange插值法§3 Newton插值法§4 等距节点插值§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值欧阳洁1问题提出仅有采样值，但需要知道非采样点处的函数值。
解决上述问题的一种思路：对用数据表给出的未知函数，建立一个便于计算的近似函数作为表达式。
函数插值法是建立近似函数表达式的一种基本方法。
欧阳洁2§1 插值问题与插值多项式一插值问题二插值多项式欧阳洁3欧阳洁4一插值问题ni x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ已知定义于区间[a,b ]上的实值函数f (x )在n+1 个互异节点处的函数值。
若函数集合Φ中的函数ϕ(x )满足{}n i i x f 0)(={}],[0b a x n i i ⊂={}n i i x 0=则称ϕ(x )为f (x )在函数集合Φ中关于节点的一个插值函数，称f (x )为被插值函数,[a,b ]为插值区间。
{}ni i x 0=称为插值节点。
n i x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ称为插值条件。
如何求插值函数ϕ(x )称为插值问题。
欧阳洁71 代数插值多项式的存在唯一性分析：对于多项式插值问题，插值条件等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()(111210************n n n n n n n n x f x f x f x f a a a a x x x x x x x x x M M L L L L L L L L 当节点互异, 系数矩阵非奇异, 故满足插值条件的不超过n 次的插值多项式是存在惟一的。
{}n i i x 0=二插值多项式定理满足插值条件的不超过n 次的插值多项式存在惟一。
华东交通大学2020年统招硕士招生专业目录
全日制学术型一级学科招生专业
研究方向
考试科目
复试科目
同等学力加试
080200 机械工程
（拟招生人数：30人）
王老师
先进制造技术
光机电一体化技术与装备
机电系统检测与控制技术
现代机械设计方法及理论
车辆运维技术
101思想政治理论
201英语一
水处理工程
给排水管道工程
（任选一）
水力学
建筑给水排水工程
081404 供热、供燃气、通风及空调工程
（拟招生人数：16 人）
罗老师
高效换热器的理论研究及应用
空调系统与设备节能
制冷与热泵新技术
建筑节能
流体力学及两相流理论与应用研究
101思想政治理论
201英语一
301数学一
803流体力学
传热学
暖通空调
（任选一）
《新型建筑材料教程》 严捍东主编 中国建材工业出版社
《基础工程学》 王成华主编 天津大学出版社 2002年《土力学》 郑明新主编 河海大学出版社
《隧道工程》 朱永全、宋玉香主编 中国铁道出版社出版
《地基处理》 龚晓南、叶书麟主编 中国建筑工业出版社
《土力学》 郑明新主编 河海大学出版社 2010年
《工程地质学》 李伍平 郑明新 赵小平主编 中南大学出版社
804测量学
（任选一）
路基路面工程
铁路轨道
地理信息系统
（任选一）
铁道选线设计
遥感原理与应用
测绘科学技术基础
（任选二）
085229 环境工程硕士
（拟招生人数：10人）
鲁老师
环境工程技术及管理
数值分析(华东交通大学)智慧树知到答案章节测试2023年
第一章测试1.解对数据的微小变化高度敏感是病态的 ( )A:错B:对答案:B2.为使π*的相对误差限小于0.001%, 至少应取的有效数字为（）。
A:5B:4C:7D:6答案:D3.按四舍五入原则得到的近似数4.25，则这个近似数的相对误差是（）。
A:0.012%B:0.5%C:0.12%D:0.05%答案:C4.测得某场地长l的值为l* =100m,宽d值为d*的=80m,已知，则面积s=ld的绝对误差限位（）。
A:0.325%B:28(m2)C:26(m2)D:27(m2)答案:C5. 3.1421是π的近似值，3.1421的有效数字是（）。
A:3B:2C:4D:5答案:A第二章测试1.下列说法正确的是( ）A:不动点迭代总是线性收敛的B:斯特芬森迭代可以看成不动点迭代C:牛顿法有可能不收敛D:非线性方程的解通常不唯一答案:BCD2.不动点迭代局部收敛的条件是（）。
A:B:C:D:答案:CD3.对f(x)=0的m重根的迭代格式的收敛阶是 ( ）A:1.840B:2C:1D:3答案:B4.的等价方程形成的不动点迭代的收敛阶是（）A:1.618B:2C:1.840D:1答案:D5.方程的牛顿迭代格式为（）A:B:C:D:答案:D第三章测试1.解线性方程组通常有直接法和迭代法。
A:对B:错答案:A2.若方程组的系数矩阵严格主对角占优，下列哪个说法正确 ( )A:谱半径大于1.B:雅可比迭代法一定收敛；C:高斯消元法不需要换行可以顺利进行；D:高斯-赛德尔方法一定收敛；答案:ABCD3.用松弛法解系数矩阵是对称正定矩阵的线性方程组时，松弛因子是下列哪个值时该方法一定是收敛的( )A:1.5B:2.0C:0.5D:1.0答案:ACD4.下面那个初等方阵是初等方阵E((k),j)的逆矩阵是( )A: E(i,j)；B:E(i(-k),j)；C:E(i(1/k)).D:E(i(k))；答案:B5.用列主元高斯消去法解方程组第一步所选的主元是( )A:1B:2C:5D:3答案:B第四章测试1.A:B:C:D:答案:C2.A:x-1,xB:1-x,-xC:1-x,xD:x-1,-x答案:A3.A:1B:2C:3D:0答案:D4.A:B:C:D:答案:B5.A:1,2B:0,1C:3,0D:2,0答案:C第五章测试1.常用的正交多项式族有( )A:勒让德多项式；B:切比雪夫多项式；C:埃尔米特多项式.D:拉盖尔多项式；答案:ABCD2.最小二乘法可以解超定方程A:错B:对答案:B3.选用不同的权函数和求解区间，通过施密特正交化过程，由完全多项式基函数得到的正交多项式是不同的A:对B:错答案:A4.正交多项式作最小二乘法时，得到的法方程的矩阵是( )A:对称矩阵；B:正定矩阵；C:可逆矩阵.D:对角矩阵；答案:ABCD5.正交多项式和非正交多项式的格拉姆矩阵的性质完全相同A:对B:错答案:B第六章测试1.A:0.43093403B:0.43096407C:0.43096441D:0.4267767答案:A2.龙贝格求积算法公式是A:B:C:D:答案:C3.A:b-aB:0.5(b-a)C:3(b-a)D:2(b-a)答案:A4.A:2n+1B:n+2C:n答案:C5.A:74B:75C:72D:76答案:B第七章测试1.欧拉法的绝对稳定区间为A:B:C:D:答案:B2.下面哪句话是正确的A:梯形公式的优点是稳定性好，计算简单。
上海交大数值分析课件数值分析2-6(三次样条插值)
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
2°已知两端的二阶导数值，即：
S ( x ) f , S ( x ) f 0 0 n n
3°当 f(x) 是以 xn-x0 为周期的周期函数时，则要 求S(x)也是周期函数，即
2
3
... ... ... ... ...
... 0 0
1
2 ... 0 0 g g g
n 2 n 1 2 3 1
n 2
n 2
0
n 1
2
m m m m n m n
1 2 3
2 1
~ H ( x ) H ( x ) 3 2 3 2
求解过程具体如下：
1.条件 设在[a,b]上给出插值条件：
xj
f(xj)
f (xj )m j
x0
f0
m
0
x1
f1
m
1
x2
f2
m
2
…
…
xn
fn
m
n
求三次样条插值函数 S(x)
设法求出
2.求解 mj 的思路
由内部节点上的二阶导数连续求出 考虑S(x)在[xj , xj+1]上的表达式
1.三次样条的定义
若函数 S(x)∈C2[a,b], 且在每个小区间 [xj,xj+1]上是三次多项式，其中
a =x0＜x1 ＜… ＜xn=b
是 给 定 节 点 ， 则 称 S(x) 是 节 点 x0 ， x1， … ，xn上的三次样条函数。 即： a.S(x)∈C2[a,b] b.S(x)在[xj,xj+1]上是三次多项式
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
研究生创新计划项目科研工作量分配表-华东交通大学研究生院
研究生创新计划项目科研工作量分配表
根据《华东交通大学科研工作业绩量化及教师套档办法(修改)》（华交科[2010]146号）等有关文件规定，通过立项的省级研究生教改项目、优质课程、教学成果奖等（统称为研究生创新计划项目）可以计算科研工作量。
其计算方法如下：
1、省级研究生教改项目过程工作量：
总工作量＝100＋立项经费（万元）×200（学时）
2、省级研究生教改项目结题（鉴定）工作量：150学时
3、通过立项的省级研究生优质课程按获得省部级三等奖计算，计200学时科研工作量。
4、省级研究生教学成果奖：
一等奖计600学时科研工作量；
二等奖计200学时科研工作量。
以上科研工作量由项目负责人进行分配，由研究生处负责审核。
填表日期：年月日。
数值分析第一章
12
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四、数值算法 数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程. 数值算法有四个特点:
1.目的明确
2.定义精确 3.可执行 4.步骤有限
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算法必须有明确的目的,其条件和结论 均应有清楚的规定
课程代码：03735、03744 适用对象：信息与计算科学本科 前期课程：高等数学(数学分析)、高等代数、计算机应用 基础、C语言或Pascal语言 使用教材： David Kincaid & Ward Cheney.
数值分析(第三版).北京：机械工业出版社，2005 课程网站：/skyclass/
基本内容
1. 数学预备知识 2. 计算机算术运算 3. 非线性方程组的解 4. 解线性方程组 5. 数值线性代数精选 6. 函数逼近 7. 数值微分和数值积分 8. 常微分方程数值解 9. 偏微分方程数值解 10. 线性规划及其相关论题 11. 最优化
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对算法的每一步都必须有精确的定义
算法中的每一步操作都是可执行的
算法必须在有限步内能够完成解题过程
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例1. 给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法
解:
1. 取N 0, S 0
2
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长晋高速公路顺层滑坡形成机理数值分析
岩互 层 ， 并夹有 煤系地 层 ， 公路 建设 中因路基开 挖使 原来 处于不 稳定状 态或极 限平衡 状 态的边坡 发 生 了 顺层 滑移 ． 文在 调研顺 层滑坡 特征 基础上 ， 本 依据 滑 坡形成 条件 、 发 因素 ， 典 型滑 坡 开 展 数值 分 析 ， 诱 对 结合 滑坡 动态监 测资料探 讨顺 层滑坡 形成 机理 ． 顺 层滑 坡 … 一般 指 主 滑 带 与 岩 层 产 状 基 本 一 致 ， 动后滑 体 的结构 基 本保 持 较 为完 整状 态 的 滑 滑 坡 ． 常 主要 发生在 以下 两种地 层 中 ： 通 （ ）砂 泥岩 软 硬 互 层地 层 ： 动面 多 沿 渗 水 的 １ 滑 砂岩底 部或不 透水 的 泥 页 岩顶 部 滑 动 ， 常形 成 多层 性 滑坡 ； 巨厚 层的 软硬 岩 相 间结 构 在 滑 动过 程 中 因 巨厚硬 岩层易 于开 裂 而形 成 多级 滑坡 ． 例如 长 晋高 速 公路 Ｋ ８ ０ ２ ＋７０～Ｋ ９＋１０段 为硬 质 砂 岩 与 软质 ２ ０ 薄 层泥 页岩互层 ， 动 面 多沿 不 透 水 软质 泥 页 岩顶 滑
Ｏｃ ． ２ ７ ｔ，∞
长晋 高 速公 路顺 层 滑坡 形成 机 理 数值 分 析
郑 明新 马 国正 王 恭 先 张 华 赵 小平 张 卢 明 钟 亮根 ， ， ， ， ， ，
（． １ 华东 交 通 大 学 土 木 建 筑 学 院 ， 西 南 昌 ３０１ ；． 铁 西 北科 学研 究 院 ， 肃 兰 州 ７００ 江 ３０ ３２ 中 甘 ３０ ）
高， 加上 构造 运动 、 化 等作 用 使 之亲 水性 强 、 水 风 抗 性 弱 、 风化 弱的 特点 ． 抗 （ ） 体结 构 特征 ： 岩 层倾 向与 线 路左 侧 边 ４坡 ① 坡坡 向 一 致 （ 坡 向 ） ② 基 岩 产 状 为 ２ ０ ～３０ 顺 ； ７ ￣ １￣
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华东交通大学博士研究生初试科目考试大纲
科目代码：2006
科目名称：数值分析
一、考试要求
掌握数值分析领域的基本概念, 理论及其在工程中的应用。
考试要求掌握线性方程组的数值解法，非线性方程数值解法，插值法，函数的最佳平方逼近和数值积分等基本内容。
二、考试内容
（一）误差的来源与分类，误差估计以及数值稳定性概念。
（二）函数的插值方法：拉格朗日插值，均差与牛顿插值，差分与等距节点插值，埃尔米特插值，分段插值和三次样条插值。
（三）函数逼近与快速傅里叶变换：函数逼近的基本概念，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近与快速傅里叶变换。
（四）数值积分和数值微分：数值积分的基本思想，插值型的求积公式，牛顿-柯特斯公式，复合求积公式，龙贝格求积公式，高斯求积公式，数值微分的中点方法，插值型的求导公式和数值微分的外推算法。
（五）解线性方程组的直接方法：矩阵的特征值与谱半径，高斯消去法，矩阵三角分解法，向量和矩阵的范数。
（六）解线性方程组的迭代法：迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法和共轭梯度法。
（七）非线性方程与方程组的数值解法：二分法，不动点迭代法及其收敛性，牛顿法，弦截法与抛物线法，多变量方程的不动点迭代法和非线性方程组的牛顿迭代法。
（八）矩阵特征值计算：特征值性质与估计，幂法及反幂法，QR方法。
（九）常微分方程初值问题数值解法：欧拉法与后退欧拉法，梯形方法，龙格-库塔方法和线性多步法。
三、题型结构
满分100分。
其中，简答（10分），分析计算题（70分），证明题（20分）。
四、参考书目
1. 李庆扬王能超易大义，数值分析(第5版)，清华大学出版社2008。
2. 封建湖车刚明聂玉峰，数值分析原理，科学出版社2001。
3. 颜庆津，数值分析(第三版)，北京航空航天大学，2006年。
1。