第5节 二维随机变量函数的分布
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两个随机变量的函数的分布
f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合 的卷积公 式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函
二维随机变量及其分布函数
P抽{X取抽两取0支一,Y都支是绿0}绿笔 笔,一3支 红2笔 3 8 3 , 0 0 2 2 28
P{X 0,Y 1} 3 2 3 8 3 , 01 1 2 14
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
4.二维随机变量的分类 二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数 二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数
二、二维离散型随机变量及其分布
1. 定义若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律
xi x y j y
其中和式是对一切满足 xi x, y j y 的i, j求和.
三、二维连续型随机变量及其分布
1. 定义对于二维随机变量( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部 体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
一、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,
P{X 0,Y 1} 3 2 3 8 3 , 01 1 2 14
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
4.二维随机变量的分类 二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数 二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数
二、二维离散型随机变量及其分布
1. 定义若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律
xi x y j y
其中和式是对一切满足 xi x, y j y 的i, j求和.
三、二维连续型随机变量及其分布
1. 定义对于二维随机变量( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部 体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
一、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,
二维随机变量的函数的分布
2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过 求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法 如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性 变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变 量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计 算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指 数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投 资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应 用。
二维随机变量的函数的分 布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两 个相关事件的联合概率分布。
例子
二维随机变量的函数的分布
即 pij pi p j .
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2
1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布， 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、 连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a） 上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独 立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其 它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2
1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布， 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、 连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a） 上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独 立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其 它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
概率论：二维随机变量的函数的分布
( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
证明过程见73页例3.21
三、连续型随机变量函数的分布
问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
连续型随机变量函数的分布主要形式
(1) Z X Y 的分布
□
卷积计算思路
f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx
在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;
参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;
对上述各分段中取定的z值,就x从- ∞积分至 +∞,实际只需在非零区域D上一段积分. 注意：上述也是一般参量积分的计算方法。
x2 2
e
( z x)2 2
dx
1 e z 2 t x
2
z 2 z ( x ) 2 4 2
e
dx
1 e 2
z 2 t 2 4
e
dt
1 e 2 z 1 2( 2 ) e ( z ). 2 2
第五章 二维随机变量及其概率分布
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例3.1 设( X ,Y )的联合密度函数为
f
(
x,
y)
cxy
0
0 x 1, 0 y 1 ,
others
(1)求常数C的值；（2）求P{X Y}；
（3）.求F (x, y)
解 (1)由
解 由于
43 2 P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0 X 0}
10 9 15
46 4 P{X 0,Y 1} P{X 0}P{Y 1 X 0}
10 9 15
64 4 P{X 1,Y 0} P{X 1}P{Y 0 X 1}
10 9 15
65 5 P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1 X 1}
例1.1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F (x, y) A[B arctan x)][C arctan y)] ( x, y )
1)求常数A，B，C;
解: 由分布函数的性质，有
lim F(x, y) lim A(B arctan x)(C arctan y)
x
x
y
y
A(B
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
3.说明
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例3.1 设( X ,Y )的联合密度函数为
f
(
x,
y)
cxy
0
0 x 1, 0 y 1 ,
others
(1)求常数C的值；（2）求P{X Y}；
（3）.求F (x, y)
解 (1)由
解 由于
43 2 P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0 X 0}
10 9 15
46 4 P{X 0,Y 1} P{X 0}P{Y 1 X 0}
10 9 15
64 4 P{X 1,Y 0} P{X 1}P{Y 0 X 1}
10 9 15
65 5 P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1 X 1}
例1.1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F (x, y) A[B arctan x)][C arctan y)] ( x, y )
1)求常数A，B，C;
解: 由分布函数的性质，有
lim F(x, y) lim A(B arctan x)(C arctan y)
x
x
y
y
A(B
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
3.说明
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记
二维随机变量及其分布
(2) 由于事件{X≥Y}={X=1,Y=1}∪{X=2,Y=1}∪{X=2,Y=2} 且三个事件互不相容,因此 P(X≥Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2) =0+(1/3)+(1/3)=2/3
有放回抽取方式
P(X=1,Y=1)=1/9 P(X=1,Y=2)=2/9
Y X
1
2
P(X=2,Y=1)=2/9
1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/9
2 2/9
4/9
§1.2 二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量及联合分布律
分布律与分布函数的关系
若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…
则(X,Y)的分布函数为
F(x,y) pij xi x,y j y
i4
j i 于是（X ,Y）的分布规律为
y x1
2
3
4
如求：Y=2概率
1
1/4 1/8 1/12 1/16 0 1 1 1
2
0
1/8 1/12 1/16
8 12 16
3
0
0
1/12 1/16 6 4 3 1348 48 48 48
4
0
0
0
1/16
例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠 笔的盒子里，随机抽取两支，若X,Y分别表示抽出 的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。
为:
P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2 , 介于它和 xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4, P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z= f(x,y)为顶
有放回抽取方式
P(X=1,Y=1)=1/9 P(X=1,Y=2)=2/9
Y X
1
2
P(X=2,Y=1)=2/9
1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/9
2 2/9
4/9
§1.2 二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量及联合分布律
分布律与分布函数的关系
若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…
则(X,Y)的分布函数为
F(x,y) pij xi x,y j y
i4
j i 于是（X ,Y）的分布规律为
y x1
2
3
4
如求：Y=2概率
1
1/4 1/8 1/12 1/16 0 1 1 1
2
0
1/8 1/12 1/16
8 12 16
3
0
0
1/12 1/16 6 4 3 1348 48 48 48
4
0
0
0
1/16
例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠 笔的盒子里，随机抽取两支，若X,Y分别表示抽出 的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。
为:
P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2 , 介于它和 xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4, P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z= f(x,y)为顶
二维随机变量函数的分布
试求 U X Y , V XY 的分布律.
例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们分别
服从参数为 1 和 2 的泊松分布.
二、二维连续型随机变量函数分布
随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 f (x, y)
从公式
FZ (z) P{Z z} P{g(X ,Y ) z} P{(X ,Y ) Dz}
f (x, y)dxdy
( x, y)Dz
确定分布函数 FZ (z) 。
注：Dz 是由不等式 g(x, y) z 规定的 xOy 平面上的一个区域，且不必是连通的。
(1) Z X Y 的分布
y
x y z
x z y
y
x y z
yzx
x y z
x y z
x
x
(a)
(b)
图4-1 x y z 的区域
fX (x) fY ( y)
1
x2
e 2,
2
1
y2
e 2,
2
x y
(2) M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX (x), FY ( y)，则 M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布函数分别为什么？
的分布律为：
P{Z zk}
pij
( xi , y j )Ak
其中 Ak {( xi , y j ) | g(xi , y j ) zk}, k 1,2,3,
例1 已知随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律如下：
Y X
1
2
-1
0
1
0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19
二维随机变量函数的分布函数推导
二维随机变量函数的分布函数推导
要推导二维随机变量函数的分布函数，首先需要明确二维随机变量函数的定义。
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数为F(X,Y)。
现在定义一个新的二维随机变量函数Z = g(X,Y)，其中g是一个实值函数。
要推导Z的分布函数，可以分为以下步骤：
1. 确定Z的取值范围：根据函数g的定义，确定Z的取值范围。
例如，如果g(X,Y) = X + Y，则Z的取值范围为实数。
2. 计算Z的分布函数：对于任意给定的实数z，计算Z ≤ z的概率，即P(Z ≤ z)。
可以利用联合分布函数F(X,Y)来计算这个概率。
- 首先，找到所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对。
这相当于找到所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对在联合分布函数F(X,Y)中的概率。
- 然后，对这些概率进行求和，即求P(g(X,Y) ≤ z) = ∑∑[F(x,y)]，其中∑∑表示对所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对求和。
3. 得到Z的分布函数：根据步骤2中计算出的P(Z ≤ z)，可以得到Z的分布函数Fz(z) = P(Z ≤ z)。
推导二维随机变量函数的分布函数需要根据具体的函数g的定义进行计算，上述步骤可以用来指导推导的过程。
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(x y ) k ( x y ) e . k! 服从泊松分布的独立随机变量的和也服从泊松分布,
并且具有分布参数 z x y .
概率论与数理统计（湘潭大学）
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§2.12 二维随机变量函数的分布
连续随机变量和的分布
设二维连续随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y ), 为了确定随机变量 X 与 Y 的和Z X Y 的分布，
x y z
0
f ( x, y)dxdy
1
x y z
f X ( x) fY ( y)dxdy
1
z 1
dx 1dy
0
z 1
dx
zx
0
1dy
z 2z 1 2
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2
所以，随机变量Z的分布函数为
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§2.12 二维随机变量函数的分布
（4）当 z 2a 时， f Z ( z ) 0 . 综上所述， 随机变量 Z 的概率密度为
fZ ( z)
2a z , 2a z 0 ; 2 4a 2a z , 0 z 2a ; 2 4a 0, z 2a .
变量 Z 的分布 由概率加法定理， pZ ( zk ) P( Z zk )
●
xi y j zk
P( X xi , Y y j )
P( X xi , Y zk xi ) (k 1,2, ).
P( xi , zk xi ) .
i
i
这里求和的范围是一切 使 xi y j zk 的 i 与 j 的值.
FZ ( z ) 2 z 2
0, z , 2
2
z 0; 0 z 1; 1 z 2; z 2.
2 z 1, 1,
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22
求导可得随机变量Z的概率密度为
0 z 1; z, f Z ( z ) 2 z , 1 z 2; 0, 其它.
f Z ( z ) f X ( z y) fY ( y) d y .
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§2.12 二维随机变量函数的分布
[例3] 设随机变量 X 与Y 独立， 并且都在区间 [ a , a ] 上服从均匀分布， 求它们的和 Z X Y 的分布.
§2.12 二维随机变量函数的分布
所以得到
1 z a 2a z f Z ( z ) 2 dt . 2 4a a 4a （3） 当 0 z 2a 时，
a z a a , a z a 3a , 把积分区间分成子区间[ z a , a ] 及[a , z a] , 被积函 1 数在第一子区间上等于 ; 在第二子区间上等于零； 2a 所以得到 1 a 2a z f Z ( z ) 2 dt . 2 4a z a 4a
第三章 多维随机变量及其分布
§3.5 二维随机变量函数的分布
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1
§2.12 二维随机变量函数的分布
设函数 g ( x, y) 在二维随机变量 ( X ,Y )的一切可能值
的集合上有定义，Z是随机变量 , 当X 取值 x,Y 取值 y 时,
Z 取值 g ( x, y ). 称 Z 是二维随机变量 ( X ,Y )的函数.
Z
0
1 36
1
2
3
12 36
4
pZ ( z k )
6 36
13 36
4 36
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8
例 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求 Z=X+Y 的分布. 我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变量 所作的直观解释: 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试 验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的 概率都为p. 同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.
解: 易知 X 及 Y 的概率密度分别是
1 , f X ( x ) 2a 0,
于是
x a; x a.
1 , fY ( y ) 2 a 0,
y a; y a.
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
1 a fY ( z x)dx. 2a a
j
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5
§2.12 二维随机变量函数的分布
[例1]
设随机变量 X 与Y 独立， 并且都服从二项分布： x 1 x 1 2 x p X ( x) C2 ( ) ( ) , x 0,1, 2; 2 2 y 2 x 1 2 y pY ( y ) C2 ( ) ( ) , y 0,1, 2. 3 3 求它们的和 Z X Y 的分布. 解: X ,Y 的分布列为 :
所以 随机变量Z的取值区间为[0,2].
当 z 0 时，有 FZ ( z) 0
当 z 2 时，有 FZ ( z) 1
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当 0 z 1时，有
FZ ( z ) P( Z z ) P( X Y z )
Z X Y.
●
变量 Z 的取值
Z 的任一可能值 zk 是 X 的可能值 xi 与Y 的可能值
y j 的和：
zk xi y j ,
（注意:对于不同的 xi 及 y j ,它们的和 xi y j 可能相等.)
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§2.12 二维随机变量函数的分布
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故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数，每次试验中A出现 的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参 数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p).
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§2.12 二维随机变量函数的分布
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§2.12 二维随机变量函数的分布
令 z x t , 得到
1 z a f Z ( z ) fY (t )dt. 2a z a
现在分四种情况来讨论： （1） 当 z 2a 时， f Z ( z ) 0 .
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23
2.最大值与最小值的分布
设随机变量 X ,Y 独立, 分布函数分别为 FX ( x), FY ( y),
X
p X ( xi )
0 1 4
1 2 4
2 1 4
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Y
pY ( y j )
0 1 9
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1 4 9
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2 4 9
6
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§2.12 二维随机变量函数的分布
显然， 随机变量 Z X Y 具有可能值 0 ,1 ,2 ,3 ,4 . 下面计算概率：
1 1 1 pZ (0) p X (0) pY (0) , 4 9 36
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§2.12 二维随机变量函数的分布
pZ (3) p X (1) pY (2) p X (2) pY (1) 2 4 1 4 12 , 4 9 4 9 36 1 4 4 pZ (4) p X (2) pY (2) . 4 9 36 Z X Y 的概率分布如下： 所以，
考虑随机变量 Z 的分布函数：
FZ ( z ) P( Z z ) P( X Y z )
f ( x, y )dxdy, x y z
zx
y
x y z
O
化为二次积分得：
FZ ( z ) dx
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f ( x, y)dy
x
x y z
z
f ( x, y )dxdy
zx
x y z
f X ( x) fY ( y)dxdy
[
0
0
z dy]dx 2
2
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当1 z 2 时，有 FZ ( z ) P(Z z ) P( X Y z )
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11
§2.(i ) pY (k i )
k
i 0
i 0 k
ixkyi
i!(k i)!
e