高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_4 基本不等式及其应用教师用书 文 新人教版
2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用教师用书(PDF,含解析)
（
ｘ－２ｙ）
２
＋ （
１６ ｘ－２ｙ）
２
≥８，当
４ｙ
＝
ｘ，ｘ－
２ｙ
＝
±
２
时取等号．
１－２ （２０１８ 浙江诸暨高三上学期期末，１６） 已知 ａ，ｂ 都是
正数，且 ａ２ ｂ ＋ ａｂ２ ＋ ａｂ ＋ ａ ＋ ｂ ＝ ３， 则 ２ａｂ ＋ ａ ＋ ｂ 的 最 小 值 等
于 ．
１－２ 答案 ４ ２ －３ 解析 将 ａ２ ｂ ＋ａｂ２ ＋ａｂ ＋ａ ＋ｂ ＝ ３ 变形为（ ａｂ ＋ １） （ ａ ＋ ｂ ＋ １）
( ) [ ] ａ＋１１＋ｂ＋１１
－３ ＝
１＋２＋
２（ ｂ＋ １） ａ＋１
＋ａｂ＋＋１１
－３≥３＋２ ２ －３ ＝ ２ ２ ，
当且仅当２（ａｂ＋＋１１） ＝ ａｂ＋＋１１时取等号．故选 Ｂ．
答案 Ｂ
１－１ （２０１８ 浙江新高考调研卷三（ 杭州二中） ，１６） 已知 ｘ＞
３ｙ＞
０
或
ｘ＜
３ｙ＜
最小值，是 ２ Ｐ ．
（２） 已知 ｘ、ｙ∈Ｒ＋ ，如果 ｘ＋ｙ 是定值 Ｓ，那么当 ｘ ＝ ｙ 时，ｘｙ 有
最大值，是
１ ４
Ｓ２ ．
考点二 不等式的综合应用
高频考点
１．不等式证明的常用方法 （ １） 分析法与综合法 令字母 Ａ、Ａ１ 、Ａ２ 、…、Ａｎ 、Ｂ 分别表示一个不等式，其中 Ｂ 为
对应学生用书起始页码 Ｐ１３８
若有 Ａ⇔Ａ１ ⇔Ａ２ ⇔…⇔Ａｎ ⇔Ｂ，综合法是由 Ｂ 前进式地推导 出 Ａ，分析法则是由 Ａ 倒退式地分析得到 Ｂ．用分析法时，必须步
步充分．
（ ２） 反证法
从否定结论出发，经过逻辑推理，得出矛盾，证实结论的否
(课标专用)2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用教师用书文(PDF,含解析)
Ａ．－４
Ｂ．８
Ｃ．４
Ｄ．０
（２） （２０１８ 湖北荆州一模，１４） 已知实数 ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０， ２ 是 ８ａ
与 ２ｂ 的等比中项，则 １ ＋ ２ 的最小值是 ａｂ
．
１
解析 （１） 由 ｌｏｇ １ ｘ＞１，得 ０＜ｘ＜ ，从而得到－１＜２ｘ－１＜０，
２
２
[ ] 则
ｙ
＝
８ｘ ＋２ｘ１－ １
ｘ）
＝
ｘ２
＋３ｘ＋６ ｘ＋１
＝
（
ｘ＋１） ２ ＋ｘ＋１＋４ ｘ＋１
＝
ｘ＋
１ ＋ ｘ ＋４ １ ＋ １，
( 因为 ｘ＞０，所以 ｘ＋１＞０，则 ｘ＋１＋ｘ＋４１＋１≥２ ４ ＋１ ＝ ５ 当且仅
) 当
ｘ＋１
＝
４
ｘ＋
，即 １
ｘ
＝
１
时取“
＝
”
，故 ｆ（ ｘ） 的最小值是 ５．故答案
为 Ｄ．
１－３ 已知 ｘ＞２，ｙ＞３，（ ｘ－２） （ ｙ－３）＝ ４，则 ｘ＋ｙ 的最小值是
对于
Ｄ，当
０＜ｘ≤２
时，ｙ ＝ ｘ－
１ ｘ
单调递增，所以当
ｘ＝
２
－２ （２０１９ 安徽黄山第一次质量检测（ 一模） ，８） 已知ｆ（ ｘ）
＝
ｘ２
＋３ｘ＋ ｘ＋１
６（
ｘ＞０）
，则
ｆ（
ｘ）
的最小值是
（ ）
Ａ．２
Ｂ．３
Ｃ．４
Ｄ．５
１－２ 答案 Ｄ
解析
ｆ（
２．基本不等式的变形 （１） ａ２ ＋ｂ２ ≥２ａｂ（ ａ，ｂ∈Ｒ） ，当且仅当 ａ ＝ ｂ 时取等号．
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式及
3
2
4
3
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则 1 + 1 的最小值为
.
ab
(3)(2017北京通州期末)已知y=x+ 1 (x>1),那么y的最小值是
.
x 1
答案 (1)B (2)4 (3)3
解析 (1)∵0<x<1,
∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3
x
(1 2
x)
2
=
3 4
.
当且仅当x=1-x,
(4)
b a
+
a b
≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
x
x
x
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 + 1 = a b + a b =2+ b + a ≥2+2 b a =4,
ab a b
ab
ab
即 1 + 1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)∵x>1,∴y=x-1+ 1 +1≥2 (x 1) 1 +1=3,当且仅当x=2时取等号,
30
元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的
江苏2018版高考数学复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书理苏教版
第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书 理 苏教版1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D ). (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D ).(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件.( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )1.(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________. 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 2.(教材改编)若0<x <1，则x －2x的取值范围是____________.答案 (0，324]解析 由0<x <1知3－2x >0， 故x－2x ＝12·2x －2x≤12·2x ＋－2x 2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立.∴0<x－2x≤324. 3.(教材改编)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，函数z ＝3x＋27y＋3的最小值是________. 答案 9解析 z ＝3x＋33y＋3≥23x ·33y ＋3＝23x ＋3y＋3＝232＋3＝9，当且仅当3x ＝33y，即x ＝1，y ＝13时，z 取最小值.4.(教材改编)已知x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝18时，(xy )max ＝116.5.(教材改编)①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2；②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确结论的序号是________.答案 ①③解析 ①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0， 即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x＝4，当且仅当x ＝±2时“＝”成立.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 (1)23(2)1 (3)23＋2解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋－3x 2]2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当(x －1)＝3x －，即x ＝3＋1时，等号成立.命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________.答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 引申探究1.条件不变，求(1＋1a )(1＋1b)的最小值.解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋ab)＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.2.已知a >0，b >0，1a ＋1b＝4，求a ＋b 的最小值.解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b＝1.∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号.3.将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b的最小值.解 ∵a ＋2b ＝3， ∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________.(2)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时，a 的值为________. 答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝y －15＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2， ∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a 4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立.又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值. 题型二 基本不等式的实际应用例3 (1)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z 4lg x ＋lg zlg y 的最小值为________.(2)(2016·江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，且点P 到平面ACD ，平面BCD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________.答案 (1)98(2)2＋ 3解析 (1)由题意得z 2＝xy ，lg x >0，lg y >0， ∴lg z 4lg x ＋lg z lg y＝12x ＋lg y4lg x＋12x ＋lg ylg y＝18＋lg y 8lg x ＋12＋lg x 2lg y ＝58＋lg y 8lg x ＋lg x 2lg y ≥58＋2116＝98， 当且仅当lg y 8lg x ＝lg x2lg y ，即lg y ＝2lg x ，即y ＝x 2时取等号.(2)过点A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，则O 为△BCD 的重心，所以OB ＝23×32×6＝2，所以AO ＝62－22＝2.又V P —BCD ＋V P —ACD ＝V A —BCD ，所以13S △BCD ·y ＋13S △ACD ·x ＝13S △BCD ·2，即x ＋y ＝2.所以3x ＋1y ＝12(3x ＋1y )(x ＋y )＝12(4＋x y ＋3yx)≥2＋3，当且仅当x ＝3－3，y ＝3－1时取等号.思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.(1)设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y≥m 恒成立，则实数m 的最大值为________.(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 答案 (1)94(2)8解析 (1)1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y 4)＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2×2)＝94，当且仅当y ＝2x ＝83时等号成立.(2)年平均利润为y x＝－x －25x＋18＝－(x ＋25x)＋18，∵x ＋25x≥2x ·25x ＝10，∴y x＝18－(x ＋25x)≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，取等号.题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 若不等式x ＋2xy ≤a (x ＋y )对任意的实数x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为________. 答案5＋12解析 由题意得a ≥x ＋2xyx ＋y ＝1＋2yx 1＋yx恒成立.令t ＝y x (t >0)，则a ≥1＋2t 1＋t 2，再令1＋2t ＝u (u >1)，则t ＝u －12，故a ≥u1＋⎝⎛⎭⎪⎫u －122＝4u ＋5u－2.因为u ＋5u ≥25(当且仅当u ＝5时等号成立)，故u ＋5u－2≥25－2，从而0<4u ＋5u－2≤425－2＝5＋12，故a ≥5＋12，即a min ＝5＋12. 命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (1)12 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x)＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(2016·江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 解 (1)设每件定价为t 元， 依题意得(8－t －251×0.2)t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元. (2)依题意知，x >25，且ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x ，等价于a ≥150x ＋16x ＋15(x >25).由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10， 当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.8.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________.(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________.错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26].答案 (1)4 2 (2)(－∞，1－26] 现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2－2x3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞). 答案 (1)3＋2 2 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.1.(教材改编)已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的序号是________. ①a 2＋b 2>2ab ； ②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b>2ab；④b a ＋a b≥2. 答案 ④解析 因为a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以①错误；对于④，因为ab >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2.对于②，③，当a <0，b <0时，明显错误. 2.(教材改编)用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 答案 16解析 设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x )cm ， 面积S ＝x (8－x ).由于x >0,8－x >0，可得S ≤(x ＋8－x2)2＝16，当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时，S max ＝16.所以矩形的最大面积是16 cm 2. 3.当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有最________值，为________. 答案 大 1 解析 f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1时取等号. 4.(2016·盐城模拟)函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为______.答案 2解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，y 取到最小值2.5.设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”). 答案 ≤解析 因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1， 又a >0，所以a >1， 因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log at ＋12≥log a t ＝12log a t . 6.设f (x )＝x 2＋x ＋1，g (x )＝x 2＋1，则f xg x的取值范围是________. 答案 [12，32]解析 f x g x ＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，当x ＝0时，f xg x＝1；当x >0时，f xg x ＝1＋1x ＋1x ≤1＋12＝32； 当x <0时，x ＋1x＝－[(－x )＋(－1x)]≤－2， 则f xg x ＝1＋1x ＋1x ≥1－12＝12. ∴f xg x ∈[12，32]. *7.(2016·吉林九校第二次联考)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________. 答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1a －＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6.8.(2016·南京一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________. 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号). 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号). 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9.已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为________. 答案 4解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立.10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a ；2016年计划在2015年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b2的大小关系是________. 答案 q ≤a ＋b2解析 设2014年的年产量为1， 则2016年的年产量为(1＋a )(1＋b )， ∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )， ∴1＋q ＝＋a＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴q ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”.11.(2016·泰州模拟)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________. 答案 3解析 因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b ＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a－1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立. 12.(2016·南通模拟)设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________.答案 6＋4 2解析 方法一 因为x 24－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2－2xyx 24－y 2＝3－2yx 14－y x2，令k ＝y x ∈(－12，12)，则3x 2－2xy ＝3－2k14－k 2＝－2k1－4k2，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2－2xy ＝4t－t 2＋6t －8＝4－t ＋8t＋6≥46－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立. 方法二 令t ＝3x 2－2xy ，则y ＝3x 2－t 2x ，代入方程x 24－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2≥4，则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－6t 2－32t 2≥0，6t －416>0，得t 2－12t ＋4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u＝2＋322满足题意.方法三 因为x 24－y 2＝1＝(x 2＋y )(x2－y )，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝12t －1t，则3x 2－2xy ＝6＋2t 2＋4t2≥6＋42，当且仅当t 2＝2时等号成立.13.(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________. 答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.14.已知函数f (x )＝x 2＋3x －a(x ≠a ，a 为非零常数).(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值.解 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a<x ，整理为(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，(x ＋3a)(x －a )<0，∴解集为{x |－3a<x <a }；当a <0时，(x ＋3a)(x －a )>0，解集为{x |x >－3a或x <a }.(2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0).∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t，即t ＝a 2＋3时，等号成立， 即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有：2a 2＋3＋2a ＝6， 解得a ＝1.。
2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.4绝对值不等式教师用书(PDF,含解析)
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对应学生用书起始页码 Ｐ１４１
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结 合的思想；
方法二：利用“ 零点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数 与方程的思想． ２．绝对值三角不等式 （１）定理 １：如果 ａ，ｂ 是实数，则 ｜ ａ＋ｂ ｜ ≤ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ，当且仅当 ａｂ≥０ 时，等号成立． （２） 定理 ２：如果 ａ，ｂ，ｃ 是实数，那么 ｜ ａ－ｃ ｜ ≤ ｜ ａ－ｂ ｜ ＋ ｜ ｂ－ｃ ｜ ，当 且仅当（ ａ－ｂ） （ ｂ－ｃ） ≥０ 时，等号成立． （３）推论 １： ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ≤ ｜ ａ＋ｂ ｜ ． （４）推论 ２： ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ≤ ｜ ａ－ｂ ｜ ．
对应学生用书起始页码 Ｐ１４２
一、含绝对值的不等式的解法
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当－１＜ｘ＜１
时，不等式化为
３ｘ－２＞０，解得
２ ３
＜ｘ＜１；
当 ｘ≥１ 时，不等式化为－ｘ＋２＞０，解得 １≤ｘ＜２．
{ } 所以 ｆ（ｘ） ＞１ 的解集为 ｘ
２ ３
＜ｘ＜２
高考数学大一轮复习 第七章 不等式教师用书 理
第七章⎪⎪⎪ 不 等 式第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点(一) 不等式的性质1．比较两个实数大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a ，b ∈，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈，a －b <0⇔a <ba ，b ∈(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b a ∈R ，b ，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b，a b <1⇔a <b a ∈R ，b2．不等式的基本性质本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质；一元二次不等式.3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0).[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)B (2)<[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质[例2] (1)如果a <b A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b(2)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d(3)(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)法一(性质判断)：对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －aab>0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<bc2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．(3)x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412>6，x 1x 2＝10>9，但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件．[答案] (1)D (2)C (3)A [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2.[考点二]若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.4.[考点二]设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．突破点(二) 一元二次不等式1．三个“二次”之间的关系2.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[例1] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1. [方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，|x |<1的解集为( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－1<x <0} C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.3.[考点二·考法一若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4.[考点二·考法二若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5.[考点二·考法三要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故C 项不成立． 2．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选 B 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.a c >bc⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab <0⇒1a >1b D.⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a >1b 解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝aa ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝aa (a －1)，当a >1时，a (a－1)>0，所以aa (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以aa (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－4,3] D ．[－4,3)解析：选B 不等式x2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －a ＋的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<bc2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c>b ·2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c>0知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2] 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积． 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.A ．4B ．1C ．5D ．无穷大[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.[答案] B [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.[答案] D[易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m＝1或m ＝－3(舍去)．3.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题1．线性规划中的基本概念在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即[例1] (2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.[答案] B [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.[答案] C[方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( )A.12B.32 C ．1D.14解析：选C 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝y x ＋1＝y －0x －－表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－－＝1.3.[考点一](2017·银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3，故选A.4.[考点三]x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.5.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤[典例] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[答案] D[易错提醒]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.2．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x－若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分所示，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.3．(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A 1，12，z max ＝1＋12＝32.答案：324．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 0005．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3. 答案：36．(2012·新课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC ，显然，当直线y ＝12x －z2过点A (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点B (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．答案：[－3,3][课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0验证可知，满足条件的只有(0，－2)．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC＝12×83×1＝43. 3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．2解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1B.92C ．5D ．9 解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝92，故选B.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，y ≥－1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．11B ．－11C ．13D ．－13解析：选A 将z ＝3x ＋y 化为y ＝－3x ＋z ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋z 经过点D 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－1，得D (4，－1)，此时z max ＝4×3－1＝11，故选A.。
新高考数学一轮复习教师用书：第7章 4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a,b 的算术平均数,ab 称为正数a,b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab(a,b ∈R),当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a,b ∈R),当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a,b ∈R),当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0,y ≥0,则(1)如果积xy 是定值p,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s24．(简记：和定积最大)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab>0.( )(3)“x>0且y>0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a>0,则a 3＋1a 2的最小值是2 a.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× [教材衍化]1．(必修5P99例1(2)改编)设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为________． 解析：因为x>0,y>0,所以x ＋y2≥xy,即xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81,当且仅当x ＝y ＝9时,(xy)max ＝81. 答案：812．(必修5P100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设矩形的一边为x m, 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m,所以y ＝x(10－x)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25,当且仅当x ＝10－x,即x ＝5时,y max ＝25. 答案：25 [易错纠偏](1)忽视基本不等式成立的条件； (2)基本不等式不会变形使用． 1．“x>0”是“x＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当x>0时,x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x,1x 同号,所以若x ＋1x ≥2,则x>0,1x >0,所以“x>0”是“x＋1x ≥2成立”的充要条件,故选C.2．设x>0,则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________． 解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0,当且仅当x ＋12＝1x ＋12,即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0. 答案：0利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容,题型主要为选择题、填空题．主要命题角度有： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值． 角度一 求不含等式条件的函数最值(1)函数f(x)＝xx 2＋3x ＋1(x>0)的最大值为________．(2)已知x<54,则f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)因为x>0,则f(x)＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15,当且仅当x ＝1x 时等号成立． (2)因为x<54,所以5－4x>0,则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ,即x ＝1时,等号成立．故f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)15(2)1角度二 求含有等式条件的函数最值(1)已知x>0,y>0,lg 2x ＋lg 8y＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3(2)(2020·杭州中学高三月考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上,其中m,n 均大于0,则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 (1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2, 所以x ＋3y ＝1,所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y)＝2＋3y x ＋x3y≥4,当且仅当3y x ＝x3y ,即x ＝12,y ＝16时,取等号．(2)因为x ＝－2时,y ＝log a 1－1＝－1,所以函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过定点(－2,－1),即A(－2,－1), 因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上, 所以－2m －n ＋1＝0,即2m ＋n ＝1,因为m ＞0,n ＞0,1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n)＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2n m ·4mn＝8, 当且仅当m ＝14,n ＝12时取等号,故选C.【答案】 (1)C (2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值,积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解．1．设a,b>0,a ＋b ＝5,则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3,则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18,当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号,此时a ＝72,b ＝32.所以 t max ＝18＝3 2. 答案：3 22．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y≥0x≥0，y ≥0,若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞1,b ＞2)的最大值为5,则1a －1＋4b －2的最小值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0x －y≥0x≥0，y ≥0,作出可行域如图,联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x －y －2＝0,解得A(1,1)．由z ＝ax ＋by(a ＞1,b ＞2),得y ＝－a b x ＋z b ,由图可知,z max ＝a ＋b ＝5.可得a －1＋b －2＝2. 所以1a －1＋4b －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋4b －2(a －1＋b －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋b －2a －1＋4（a －1）b －2≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b －2a －1×4（a －1）b －2＝92. 当且仅当b ＝2a 时等号成立,并且a ＋b ＝5,a>1,b>2即a ＝53,b ＝103时上式等号成立．所以1a －1＋4b －2的最小值为92.答案：92利用转化思想求参数已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为________． 【解析】 (x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x,y,a>0),当且仅当y ＝ax 时取等号,所以(x ＋y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2,于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a≥4. 【答案】 4(1)涉及恒成立问题的数学问题,一般将其转化为最值问题处理,即a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)max ；a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)min .(2)涉及多个变元问题时,用常量与变元的转化思想处理．如本例先把参数a 看作常量,求得含参数a 的最值,再将其转化为变量处理．1．(2020·浙江省名校联考)已知函数f(x)＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞,0]∪[4,＋∞),则a 的值是( )A.12B.32 C ．1D ．2解析：选C.由题意可得a ＞0,①当x ＞0时,f(x)＝x ＋ax＋2≥2a ＋2,当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时,f(x)＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2,当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1,故选C.2．(2020·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝2x 2－ax －1(a<2)在区间(1,＋∞)上的最小值为6,则实数a 的值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选 B.f(x)＝2x 2－a x －1＝2（x －1）2＋4（x －1）＋2－a x －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22（x －1）·2－a x －1＋4＝24－2a ＋4,当且仅当2(x －1)＝2－ax －1⇒x ＝1＋2－a2时,等号成立,所以24－2a ＋4＝6⇒a ＝32,故选B.利用不等式解决实际问题如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B 点在AM 上,D 点在AN 上,且对角线MN 过点C,已知AB ＝3米,AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 【解】 (1)设DN 的长为x(x>0)米,则|AN|＝(x ＋2)米． 因为|DN||AN|＝|DC||AM|,所以|AM|＝3（x ＋2）x ,所以S 矩形AMPN ＝|AN|·|AM|＝3（x ＋2）2x .由S 矩形AMPN >32得3（x ＋2）2x>32.又x>0得3x 2－20x ＋12>0,解得0<x<23或x>6,即DN 长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6,＋∞)． (2)矩形花坛的面积为y ＝3（x ＋2）2x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12(x>0)≥23x ·12x＋12＝24.当且仅当3x ＝12x即x ＝2时,矩形花坛的面积最小为24平方米．(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项①根据实际问题抽象出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值． ②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． ③解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围．④在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解．(2)此类问题还常与一元二次函数、一元二次不等式结合命题,求解关键是构建函数与不等关系,在实际条件下解决．某公司生产的商品A,当每件售价为5元时,年销售10万件．(1)据市场调查,若价格每提高1元,销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入,该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元,公司拟投入12(x 2＋x)万元作为技改费用,投入x4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时,才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的销售价格提高a 元, 则(10－a)(5＋a)≥50,解得0≤a≤5. 所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知,技术革新后的销售收入为mx 万元,若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和,只需满足mx ＝12(x 2＋x)＋x4＋50(x>5)即可,此时m ＝12x ＋34＋50x≥2x 2·50x ＋34＝434, 当且仅当12x ＝50x,即x ＝10时,取“＝”．故销售量至少应达到434万件,才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．核心素养系列13 数学运算——利用均值定理连续放缩求最值已知a>b>0,那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a>b>0,所以a －b>0,所以b(a －b)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24,所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2 a 2·4a 2＝4,当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2,即a ＝2且b ＝22时取等号,所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：4设a>b>0,则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a>b>0,所以a －b>0,所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab)＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab,即a ＝2,b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立,特别是当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法．[基础题组练]1．当x ＞0时,函数f(x)＝2xx 2＋1有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2D ．最大值2解析：选B.f(x)＝2x ＋1x≤22 x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x ,x ＞0即x ＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.2．设非零实数a,b,则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a,b ∈R 时,都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b)2≥0,即a 2＋b 2≥2ab,而a b ＋b a ≥2⇔ab>0,所以“a2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．3．(2020·嘉兴期中)若正实数x,y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0,则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B.因为正实数x,y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0,所以x ＋2y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0,设x ＋2y ＝t ＞0, 所以t ＋14t 2－8≥0,所以t 2＋4t －32≥0, 即(t ＋8)(t －4)≥0, 所以t≥4,故x ＋2y 的最小值为4.4．若log 4(3a ＋4b)＝log 2ab,则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D.由题意得⎩⎨⎧ab ＞0，3a ＋4b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0.又log 4(3a ＋4b)＝log 2ab, 所以log 4(3a ＋4b)＝log 4(ab), 即3a ＋4b ＝ab,故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4ba＝7＋4 3. 当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．不等式x 2＋x<a b ＋b a 对任意a,b ∈(0,＋∞)恒成立,则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞,－4)∪(2,＋∞)解析：选C.根据题意,由于不等式x 2＋x<a b ＋b a 对任意a,b ∈(0,＋∞)恒成立,则x 2＋x<⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min ,因为a b ＋ba≥2 a b ·b a＝2,当且仅当a ＝b 时等号成立,所以x 2＋x<2,求解此一元二次不等式可知－2<x<1,所以x 的取值范围是(－2,1)．6．(2020·绍兴市高三教学质量评价)若正数a,b 满足：1a ＋2b ＝1,则2a －1＋1b －2的最小值为( )A ．2 B.322C.52D ．1＋324解析：选A.由a,b 为正数,且1a ＋2b ＝1,得b ＝2a a －1>0,所以a －1>0,所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12aa －1－2＝2a －1＋a －12≥2 2a －1·a －12＝2,当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b＝1同时成立,即a ＝b ＝3时等号成立,所以2a －1＋1b －2的最小值为2,故选A. 7．已知a,b ∈(0,＋∞),若ab ＝1,则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1,则ab 的最大值为________．解析：由基本不等式得a ＋b≥2ab ＝2,当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14,当且仅当a＝b ＝12时取到等号．答案：2 148．(2020·嘉兴期中)已知0＜x ＜54,则x(5－4x)的最大值是________．解析：因为0＜x ＜54,所以0＜5－4x ＜5,所以x(5－4x)＝14·4x(5－4x)≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋5－4x 22＝2516,当且仅当x ＝58时取等号,故最大值为2516. 答案：25169．(2020·温州市瑞安市高考模拟)若x ＞0,y ＞0,则x x ＋2y ＋yx的最小值为________． 解析：设y x ＝t ＞0,则x x ＋2y ＋y x ＝11＋2t ＋t ＝11＋2t ＋12(2t ＋1)－12≥211＋2t ×1＋2t 2－12＝2－12,当且仅当t ＝2－12＝yx时取等号． 答案：2－1210．(2020·宁波十校联考)已知a,b 均为正数,且a ＋b ＝1,c ＞1,则(a 2＋12ab －1)·c＋2c －1的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝1,所以a 2＋12ab －1＝a 2＋（a ＋b ）22ab －1＝a b ＋b2a≥2 a b ·b2a＝2, 当且仅当a b ＝b2a即a ＝2－1,b ＝2－2时取等号,所以(a 2＋12ab －1)·c＋2c －1≥2c ＋2c －1＝2(c －1＋1c －1＋1)≥32,当且仅当c ＝2时取等号．答案：3 211．已知x>0,y>0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,又x>0,y>0,则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy. 得xy≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y ＝1,则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立, 所以x ＋y 的最小值为18.12.行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离．在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v2400(n 为常数,且n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少？ 解：(1)由试验数据知,s 1＝25n ＋4,s 2＝710n ＋494,所以⎩⎪⎨⎪⎧6＜25n ＋4＜8，14＜710n ＋494＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.又n∈N ,所以n ＝6.(2)由(1)知,s ＝3v 50＋v2400,v ≥0.依题意,s ＝3v 50＋v2400≤12.6,即v 2＋24v －5 040≤0,解得－84≤v≤60. 因为v ≥0,所以0≤v≤60.故行驶的最大速度为60 km/h.[综合题组练]1.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线与AB,AC 两边分别交于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,则x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.13 C.3＋223D.34解析：选C.由已知可得AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →＝13x AM →＋13y AN →,又M 、G 、N 三点共线,故13x ＋13y ＝1,所以1x ＋1y ＝3,则x ＋2y ＝(x ＋2y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等号)．故选C.2．已知x>0,y>0,2x ＋y ＝1,若4x 2＋y 2＋xy －m<0恒成立,则m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1716，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫1716，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫1716，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1716 解析：选B.4x 2＋y 2＋xy －m<0恒成立,即m>4x 2＋y 2＋xy 恒成立．因为x>0,y>0,2x ＋y ＝1,所以1＝2x ＋y≥22xy,所以0<xy ≤24(当且仅当2x ＝y ＝12时,等号成立)．因为4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y)2－4xy ＋xy ＝1－4xy ＋xy ＝－4⎝⎛⎭⎪⎫xy －182＋1716,所以4x 2＋y 2＋xy 的最大值为1716,故m>1716,选B.3．(2020·杭州学军中学考试)已知a ＜b,若二次不等式ax 2＋bx ＋c≥0对任意实数x 恒成立,则M ＝a ＋2b ＋4cb －a的最小值为________．解析：由条件知a ＞0,b －a ＞0.由题意得Δ＝b 2－4ac≤0,解得c≥b 24a ,所以M ＝a ＋2b ＋4cb －a≥a ＋2b ＋4·b24a b －a ＝a 2＋2ab ＋b 2a （b －a ）＝[2a ＋（b －a ）]2a （b －a ）＝（b －a ）2＋4a （b －a ）＋4a 2a （b －a ）＝b －a a ＋4ab －a＋4≥2b －a a ·4ab －a＋4＝4＋4＝8,当且仅当b ＝3a 时等号成立,所以M 的最小值为8. 答案：84．(2020·浙江省名校联考)已知a ＞0,b ＞－1,且a ＋b ＝1,则a 2＋2a ＋b2b ＋1的最小值为____________．解析：a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋（b ＋1）2－2（b ＋1）＋1b ＋1＝a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1,又a ＋b ＝1,a ＞0,b ＋1＞0,所以a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1＝2a ＋1b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＋12＝32＋b ＋1a ＋a 2（b ＋1）≥32＋2 b ＋1a ·a 2（b ＋1）＝3＋222,当且仅当b ＋1a ＝a 2（b ＋1）即a ＝4－22,b ＝22－3时取等号,所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为3＋222. 答案：3＋2225．已知x>0,y>0,且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式,得2x ＋5y≥210xy. 因为2x ＋5y ＝20,所以210xy ≤20,xy ≤10, 当且仅当2x ＝5y 时,等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg (xy)≤lg 10＝1. 所以当x ＝5,y ＝2时,u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x>0,y>0,所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时,等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6.(2020·义乌模拟)如图,某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树,已知角A 为120°,AB,AC 的长度均大于200米,现在边界AP,AQ 处建围墙,在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP,AQ 总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米,AQ 段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设AP ＝x 米,AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200,△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy.所以S≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝2 500 3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000,即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ 最短,所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xycos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y)2＋y 2＋(200－1.5y)y ＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝ ⎛⎭⎪⎫y －80072＋120 0007⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y<4003,当y ＝8007时,PQ 有最小值200217,此时x ＝2007.。
高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书 文 新人教版1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．(教材改编)已知x >0，a >0，当y ＝x ＋a x取最小值时，x 的值为( ) A ．1 B ．a C.a D ．2a 答案 C解析 y ＝x ＋a x≥2a ， 当且仅当x ＝a x即x ＝a 时，y ＝x ＋ax有最小值2a .3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D成立．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______． 答案 2 2解析 因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取等号，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋－x2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 (1)23(2)1 (3)23＋2解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋－3x 2]2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当(x －1)＝3x －，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 引申探究1．条件不变，求(1＋1a )(1＋1b)的最小值．解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋ab)＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．2．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝4，求a ＋b 的最小值．解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b＝1.∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．3．将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b的最小值．解 ∵a ＋2b ＝3， ∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my(m >0)的最小值为3，则m ＝________. 答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝y －15＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由2x －3＝(12)y得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m ) (当且仅当y x ＝mx y，即y ＝mx 时取等号)， ∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.题型二 基本不等式的实际应用例3 某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2016年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意知， 当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2016年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元． 答案 (1)80 (2)8解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．(2)年平均利润为y x＝－x －25x＋18＝－(x ＋25x)＋18，∵x ＋25x≥2x ·25x ＝10，∴y x＝18－(x ＋25x)≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，取等号．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 答案 (1)A (2)92解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12(n ＋16n＋1)≥12(2n ·16n ＋1)＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x)＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号； ②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.(2)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m＝4mn时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意． 故1m ＋4n 的最小值等于32.8．利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________．错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26]．答案 (1)4 2 (2)(－∞，1－26] 现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2－2x3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋2 2 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba≥2C ．|a b ＋b a|≥2 D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以|a b ＋b a |＝|a b |＋|b a|≥2.2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， 即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件，故选B. 3.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B 解析－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6即a ＝－32时，等号成立．4．(2016·青岛模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3 答案 C解析 因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．5．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x＋2y≥22x ＋y，且2x ＋2y＝1，∴2x ＋y≤14，∴x ＋y ≤－2.故选D. 6．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．2 2 C. 2 D ．2 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2. *7.设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5 答案 B 解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa－b ＝(a －5c )2＋ab ＋1ab＋a (a －b )＋1aa－b≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立， 即取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 8．(2016·唐山一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 ∵x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切， ∴d ＝|b ＋1＋a |2＝2，∴a ＋b ＋1＝2，即a ＋b ＝1， ∴a 2b ＋1＝－b 2b ＋1＝b ＋2－b ＋＋4b ＋1＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥24－4＝0. 又∵a ，b 为正实数， ∴a 2b ＋1的取值范围是(0，＋∞)．10．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．*11.(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)， 由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上． 则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m＋m ＋n n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．14．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋13x 18≥2610，当且仅当2 340x ＝13x18，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．。
高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本不等式及其应用教案(含解析)-高三全册数学教案
§7.3 基本不等式及其应用最新考纲 1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C. 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( )A ．1B.32C ．2D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ， ∵a m a 2n ＝a 24， ∴a 1·qm －1·(a 1·qn －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m·q 2n＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立． 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1(1)(2019·四平质检)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( ) A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．故选B.题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(2018·重庆诊断)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·PA →＝8，则a ＋b 的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．4 2D ．6答案 B解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·PA →＝|PA →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝322时取等号，故选B.命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·中山模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C的最小值为( )A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．3 2答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋bab的最小值为9，故选B.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．(2018·潍坊模拟)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53 B ．3 C ．5 D ．9答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.5．已知函数f (x )＝e x在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a＋2－b的最小值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D. 2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a＋2－b≥22a ·2－b ＝22a －b＝22－1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号，故选D. 6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立． 8．(2019·吉林梅河口二中模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________． 答案 4解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3. ∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4， 当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立． ∴4a 3＋9a 7的最小值为4. 9．(2018·肇庆模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案 3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. ∵△ABC 的面积为334， ∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，∴a ≥ 3.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b 的最小值为________． 答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ， 两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab ＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b ≥22， 即1a ＋1b的最小值为2 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y (x >3，y >3)． (2)方法一 S ＝1808－3x －83×1800x＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x ≤1808－23x ×4800x＝1808－240＝1568， 当且仅当3x ＝4800x， 即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1800x＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．方法二 设S ＝f (x )＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x (x >3)， 则f ′(x )＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．(2018·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．4 3B ．2 3C ．3 3D. 3答案 A解析 ∵2a －c b ＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C＝sin(B ＋C )＝sin A .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3. 故△ABC 面积的最大值为4 3.故选A.14．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →，∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1，∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →，则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2， ∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则f (n )＝S n －1·(S n －1＋2)＋256a n的最小值为_______． 答案 30解析 当q ＝1时，a p ＋1＝a p ·a 1＝2a p ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n ，S n ＝2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2， ∴S n －1＝2n －2，S n －1·(S n －1＋2)＝(2n －2)·2n，∴f (n )＝(2n －2)2n ＋2562n ＝2n －2＋2562n≥2256－2＝30，当且仅当2n ＝16，即n ＝4时，等号成立，f (n )min ＝30.16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46， 求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46， 底面三角形外接圆的半径为r ，则a sin60°＝2r ，∴r ＝33a . 所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2b 24·a 23＝29612＝42， 当且仅当a ＝32b 时，等号成立． 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为 4π×42＝162π.。
2020届高考数学一轮复习第七章不等式7.2基本不等式与不等式的综合应用教师用书(PDF,含解析)
１.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题 (１)恒成立问题:若 ｆ(ｘ)在区间 Ｄ 上存在最小值ꎬ则不等式
ｆ( ｘ) >Ａ 在区间 Ｄ 上恒成立⇔ｆ( ｘ) ｍｉｎ >Ａ( ｘ∈Ｄ) ꎻ 若 ｆ(ｘ) 在区间 Ｄ 上存在最大值ꎬ则不等式 ｆ( ｘ) <Ｂ 在区间 Ｄ
上恒成立⇔ｆ( ｘ) ｍａｘ <Ｂ( ｘ∈Ｄ) . (２)能成立问题:若 ｆ(ｘ)在区间 Ｄ 上存在最大值ꎬ则在区间
( ) ∴
２ａ＋ｂ ａｂ
－３
������ｃ＋ｃ－２１
≥２ ２ ������ｃ＋ｃ－２１
[ ] ＝ ２ ２(ｃ－１) ＋ｃ－１１＋２
≥ ２ éëêê２
２(
ｃ－１)
１ ������ｃ－ １
＋
２ ùûúú
＝ ４＋２ ２ ꎬ
ìïａ＋ｂ ＝ １ꎬ
ïï２ａ ＝ ｂ ꎬ 当且仅当í ｂ ａ
即 ａ＝
ï îï２(
ｃ－１)
＝
１ ｃ－１ꎬ
２ －１ꎬｂ ＝ ２－
２ꎬｃ ＝ １＋
２ ２时
等号成立ꎬ
( ) ∴
２ａ＋ｂ－３ ａｂ
������ｃ＋ｃ－２１的最小值为 ４＋２ ２ .
答案 ４＋２ ２
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>Ａ 的解集为 Ｄꎻ 不等式 ｆ(ｘ) <Ｂ 恰在区间 Ｄ 上成立⇔ｆ(ｘ) <Ｂ 的解集为 Ｄ. ２.解不等式的实际应用题的一般步骤
对应学生用书起始页码 Ｐ１１７
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2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书 文 新人教版1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．(教材改编)已知x >0，a >0，当y ＝x ＋a x取最小值时，x 的值为( ) A ．1 B ．a C.a D ．2a 答案 C解析 y ＝x ＋a x≥2a ， 当且仅当x ＝a x即x ＝a 时，y ＝x ＋ax有最小值2a .3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D成立．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______． 答案 2 2解析 因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取等号，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋ 10－x2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 (1)23(2)1 (3)23＋2解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋ 4－3x 2]2＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)y ＝x 2＋2x －1＝ x 2－2x ＋1 ＋ 2x －2 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当(x －1)＝3x －1 ，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 引申探究1．条件不变，求(1＋1a )(1＋1b)的最小值．解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋ab)＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．2．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝4，求a ＋b 的最小值．解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b＝1.∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号．3．将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b的最小值．解 ∵a ＋2b ＝3， ∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my(m >0)的最小值为3，则m ＝________. 答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13 y －15 ＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由2x －3＝(12)y得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m ) (当且仅当y x ＝mx y，即y ＝mx 时取等号)， ∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.题型二 基本不等式的实际应用例3 某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2016年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意知， 当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2016年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元． 答案 (1)80 (2)8解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．(2)年平均利润为y x＝－x －25x＋18＝－(x ＋25x)＋18，∵x ＋25x≥2x ·25x ＝10，∴y x＝18－(x ＋25x)≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，取等号．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (1)(2016·菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 答案 (1)A (2)92解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc＋5.因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4.当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n 1＋n2，∴S n ＋8a n＝n 1＋n2＋8n＝12(n ＋16n＋1)≥12(2n ·16n ＋1)＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x)＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256 答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号； ②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.(2)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m＝4mn时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意． 故1m ＋4n 的最小值等于32.8．利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________．错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26]．答案 (1)4 2 (2)(－∞，1－26] 现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y)＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2－2x ·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋2 2 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba≥2C ．|a b ＋b a|≥2 D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和ba 同号，所以|ab ＋b a |＝|a b |＋|b a|≥2.2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， 即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件，故选B. 3. 3－a a ＋6 (－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B 解析3－a a ＋6 ≤ 3－a ＋ a ＋6 2＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6即a ＝－32时，等号成立．4．(2016·青岛模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3 答案 C解析 因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．5．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x＋2y≥22x ＋y，且2x ＋2y＝1，∴2x ＋y≤14，∴x ＋y ≤－2.故选D. 6．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B ．2 2 C. 2 D ．2 答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2. *7.设a >b >c >0，则2a 2＋1ab＋1a a －b－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5 答案 B 解析 2a 2＋1ab ＋1a a －b－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1a a －b＝(a －5c )2＋ab ＋1ab＋a (a －b )＋1a a －b≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立， 即取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 8．(2016·唐山一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9．(2016·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 ∵x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切， ∴d ＝|b ＋1＋a |2＝2，∴a ＋b ＋1＝2，即a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＝ 1－b 2b ＋1＝ b ＋1 2－4 b ＋1 ＋4b ＋1 ＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥24－4＝0. 又∵a ，b 为正实数， ∴a 2b ＋1的取值范围是(0，＋∞)．10．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 由题意知3a·3b＝3，即3a ＋b＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．*11.(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)， 由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上． 则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2 2m ＋n n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．14．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋13x 18≥2610，当且仅当2 340x ＝13x18，即x ＝1810时，等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．。