初中数学因式分解第一课时

2
a b a ba b
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为： 两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)： (a+3)(a–3) ① a2 – 9 = ___________________ (7+n)(7–n) ② 49 – n2 = __________________ 5(s+2t)(s–2t) ③ 5s2 – 20t2 = ________________ (10x+3y)(10x–3y) ④ 100x2 – 9y2 =_______________
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，
3、把它与公因式相乘。
如何准确地找到多项 式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
十字相乘法
因式分解 常用方法分组分解法拆项Fra bibliotek项法配方法
待定系数法
求根法
„„
一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m)
2）4(x+y)+4(x–3y)
二、公式法
ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项 式中每一个项都含有的因式，叫做 公因式 。
在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。
5 2
2 5
2 +6 5 15==11 17
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
试计算：9992 – 1 2 = (999+1)(999–1) = 1000×998 = 998000
2 2）y2 – 25 52 2（ 因式分解:（1）x2 – 4 ; = (x+2)(x–2) = (y+5)(y–5)
这些计算过程中都逆用了平方差公式
a 即：
2
b a ba b
牛刀小试(对下列各式因式分解)： (a+3)2 ① a2+6a+9 = _________________ (n–5)2 ② n2–10n+25 = _______________ 4(t–1)2 ③ 4t2–8t+4 = _________________ (2x–3y)2 ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________
3 2
课堂巩固：提取公因式法 例1：将下列各式分解因式
（1）3x+x3 =x· 3+x· x2=x（3+x2）; （2）7x2－21x =7x· x－ 7x· 3=7x（x－3）;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b· ab－12b2c· ab+ab· c
=ab（8a2b－12b2c+c）
④ x2 – x6 = x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x·(1+x2)·x·(1–x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1–x)
在我们现学过的因式分解方法中， 先考虑提取公因式，再考虑用公式法。
⑤ 6x3 – 54xy2 = 6x (x2–9y2) = 6x (x+3y)(x–3y)
2 2 2
计 算 ：
2 x 44 x __________ x 8 x 16 2 2 7 b __________ b 14b 49 2 m 99 m __________ __ m 18m 81
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
十字相乘法①随堂练习：
1）a2–6a+5 2）a2–5a+6
3）x2–(2m+1)x+m2+m–2
三、十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
① 16x2 + 24x + 9 = (4x+3)2
② – 4x2 + 4xy – y2
= – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2
例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简单的说，
就是把常数项拆成两个数的乘积，
而这两个数的和刚好等于一次项系数
例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)
2 ⑥ (xX +p)2 – (x– q ) Y
= [ (xX +p)+(xY –q) ]·[ (xX +p)–(x– Yq) ]
= (2x+p–q)(p+q)
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
a b a 2ab b a b2 a2 2ab b2 2 a b a2 2ab b2








二、公式法 只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。 公式法随堂练习：
1）(a2–10a+25)(a2–25)
2）x3+3x2+3x+1
三、十字相乘法①
前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成 两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外 两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式 分解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
3
1
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
4 +3=7
3 x2 + 11 x + 10
1
3
∴3x2+11x+10 =(x+2)(3x+5)
2
上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 因式分解，也叫做把这个多项 式 分解因式。
x 1
2
因式分解 整式乘法
x 1x 1
因式分解与整式乘法是逆变形
依照定义，判断下列变形是不是 因式分解 （把多项式化成几个整式的积）
①x 2x 2 x 4
（x+1）（x-1）
3（a+b+c） 2（a+2b+3c）
反方向的运算都是把多项式化 为几个整式的积的形式
→
试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积)
回忆前面整式的乘法
xx 1 x x __________
2
x 1x 1 x 1 __________
2
x 1 x 1x 1
只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公 式，可以逆用进行因式分解。
常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式） 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导
这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆
x 2 y 2 z 2 xy xz yz 1 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz 2 1 2 2 2 2 2 2 x 2 xy y x 2 xz z y 2 yz z 2 1 2 2 2 x y x z y z 2