二阶微分方程习题课
常微分方程二阶线性微分方程习题课
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
二阶常系数齐次线性微分方程
例 3 求微分方程y4y8y 0的通解 解 微分方程的特征方程为
r24r80 特征方程的根为r122i r222i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x)
通解形式 下页
练 习 巩 固
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
例2 求方程y2yy0的通解
解
y C1er1 x C2er2 x rx y C1 C2 x e
yex(C1cosxC2sinx)
微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex
1
2
1 x 1 (arctan x) , 2 1 x （15）
,
1 (arc cot x) . 2 （16） 1 x
1 a 0且a 1 xlna 1 , （14） (arccosx) 2 1 x
二阶线性微分方程解的结构定理
• 如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性 无关的解 那么yC1y1C2y2就是微分方程的 通解
思考
思考题：通解为 y C1e x C2e2 x 的二阶线性常系数微分方程是
r1 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e
(3) 当
p 4 q 0 时, 方程有一对共轭复根
2
这时原方程有两个复数解:
( i ) x
x
e (cos x i sin x ) y1 e ( i ) x x y2 e e (cos x i sin x )
数学课程微分方程求解练习题及答案
数学课程微分方程求解练习题及答案微分方程是数学中非常重要的一门课程，它在许多科学领域中有着广泛的应用。
为了更好地掌握微分方程的解题技巧，下面将给出一些微分方程求解的练习题及其答案。
练习一：一阶线性微分方程1. 求解微分方程：dy/dx + y = 2x解答：首先将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = 2x - y然后可以使用分离变量的方法进行求解，将变量分离得到：dy/(2x - y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(2x - y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：ln|2x - y| = x + C1 (其中C1是常数)将等式两边取e的指数，得到：2x - y = Ce^x其中C = e^C1是一个任意常数，所以方程的通解为：y = 2x - Ce^x （其中C为常数）2. 求解微分方程：dy/dx + 2y = e^x解答：将该微分方程转化为标准形式：dy/dx = e^x - 2y然后使用分离变量的方法进行求解，得到：dy/(e^x - 2y) = dx对等式两边同时积分，得到：∫(1/(e^x - 2y))dy = ∫dx通过对右边的积分，得到：(1/2)ln|e^x - 2y| = x + C2 （其中C2是常数）再次将等式两边取e的指数，得到：e^x - 2y = Ce^2x其中C = e^C2是一个任意常数，所以方程的通解为：y = (1/2)e^x - (C/2)e^2x （其中C为常数）练习二：二阶微分方程1. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + 4r + 4 = 0解特征方程，得到特征根为：r = -2由于特征根为重根，所以方程的通解形式为：y = (C1 + C2x)e^(-2x) （其中C1和C2为常数）2. 求解微分方程：d^2y/dx^2 + dy/dx - 2y = 0解答：首先将该微分方程的特征方程写出来：r^2 + r - 2 = 0解特征方程，得到特征根为：r1 = 1，r2 = -2所以方程的通解形式为：y = C1e^x + C2e^(-2x) （其中C1和C2为常数）这里给出了一些微分方程求解的练习题及其答案，通过练习这些题目，相信可以增强对微分方程的理解和掌握。
二阶阶微分方程的解法及应用
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
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例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
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(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
dp f ( x, p ) dx
机动
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结束
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
o x x
F x g (20 x) g 2( x 10) g
由牛顿第二定律, 得
d x 20 2 2( x 10) g dt dx 0 x t 0 12 , d t t 0
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2
结束
微分方程通解:
由初始条件得 故定解问题的解为
习题课_微分方程(解答)
有两个不相等实根 r1 , r2
有两个相等实根 r r1 r2
有一对共轭复根 r1 ,2 i
y C1e
rx
r1 x
C2 e
r2 x
y e (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
4
10. 二阶常系数线性非齐次方程 ay '' by ' cy f ( x)
0
x
解： f ( x)sinx x f (t )dt tf (t )dt ， f (0) 0 ，
0 0
x 0
x
x
f ( x)cosx f (t )dt ， f (0)1 ，f ( x ) sin x f ( x ) ，
y y sin x 得初值问题： 。 y(0) 0, y(0)1 1 求得通解为 y C1cos x C 2 sinx xcos x ， 2 1 代入初始条件 y(0)0, y(0)1 ，得 C1 0 ， C 2 ， 2 1 ∴ y f ( x ) (sin x x cos x ) 。 2
(1) α iβ
ex [ Pm ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]
(1) y ex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
(1) y xex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
2
9
三、计算题
1．求方程 yy ' (sin x y 2 )cot x 的解。
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 ( x 0) 2．求初值问题 的解。 y x1 0
二阶微分方程习题课 共16页
例1 设函数 y = y (x)满足微分方程 y3y2y2ex
且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y＝x2－x＋1在该点的切线重合，求 函数 y = y (x) .
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)
(2)
一、 f(x)exP m (x)型
0 不是根
二阶微分方程 习题课
二阶常系数线性微分方程的一般形式为
ay’’+by’+cy=f(x)
a,b,c都是实系数，a≠0,f(x)是x的函数
当f(x)≡0
为二阶常系数线性齐次微分方程
当f(x)≡0
为二阶常系数线性非齐次微分方程
ypyq y0 r2prq0
特征根的情况
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f (x)＝2ex 是 Pm(x)eλx型(其中Pm(x)＝2，λ＝1)。
原方程对应的齐次方程为 y3y2y0，其通解为 YC 1exC2e2x
由于λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0的单根，因此设原方程的一个 特解为 y* = axex ，代入方程中，求得 a＝－2，故原方程的通解为
f(x)P m (x)exsi n x型及其 型组
y x k [ Q 1 ( x ) j2 ( Q x ) e x ( ]c x j s o x i ) s
二阶常系数非齐次线性微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
0 1
i不是根 i是单根,
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
总结如下:
19
待定系数法
非齐次方程 y py qy f ( x)
(1)
特征方程 r 2 pr q 0
(2)
即
一.
f ( x) Pm ( x) e x y py qy Pm ( x) e x
Pm ( x) Qm ( x)
比较系数得 :
2a 1 2a b 0
a
1 2
,
b 1 .
通解
y*
1 2
x2
x
e2x
.
y
Y
y *
C1e 2 x
C2e3x
1 2
x2
x e 2x
.
26
例4 求特解 y 5 y 6 y e2x . 解 特征方程 r 2 5r 6 0 . r1 2 , r2 3 .
y1
1 D2 1
xe 2ix2.
e 2ix
(D
1 2i)2
x 1
e 2ix
D2
1 4iD
3
x
(公式 3.)
e 2ix
1 3
4 9
iD x
e 2ix
1 3
x
4 9
i
1 3x 4icos 2x i sin 2x
9
1 9
(3x
cos
2
x
4
sin
2
x)
i(4
cos
2
x
3
x
sin
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
第十二章 微分方程习题课 (一)(二)
(3) y′ =
3x + y − 6x + 3 2x y − 2 y
2 2
d y 3( x − 1)2 + y2 = 化方程为 dx 2y( x − 1)
dy dy dt dy = = 令t=x–1,则 dx d t dx d t dy 3t 2 + y2 (齐次方程 齐次方程) 齐次方程 = dt 2t y 令y=ut
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q ∵ = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
5
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
22
为通解的微分方程 .
提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
(7) y′′ + 2 y′ + 5y = sin2x
特征根: 特征根 齐次方程通解 通解: 齐次方程通解 Y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 令非齐次方程特解为 特解 代入方程可得 A题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) ， ，
(题3只考虑方法及步骤 题 只考虑方法及步骤 只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 为通解的微分方程. 为通解的微分方程 ( x + C )2 + y2 = 1 消去 C 得 提示: 提示 2( x + C )+ 2 y y′ = 0 P327 题3 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解: 提示: 提示 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 提示 这是一阶线性方程 , 其中
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
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将
y aex , y aex , y aex
代入原方程，比较等式两边同类项系数，得 a
(a
1 1) 2
，故特解
y 1 ex (a 1)2
当a＝－1时，特征方程为λ2－2λ＋1＝0，λ ＝1是二重特征
根，所以特解
y x2aex ax2ex
即
y ax2ex 将 y, y, y 代入原方程，比较同类项系数，得 a 1 ，故特解为
例4 求方程 y 2ay a2 y ex 的一个特解。
分析 这个二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项
f (x) ex
这里f(x)=pm(x)eλx,其中pm(x)=1, λ=1
当a≠－1时，特征方程为λ2＋2aλ＋a2＝0，λ＝1不是特征方程的
根，所以特解
y x0aex a ex
k
0, 1,
j不是特征方程的根 j是特征方程的单根
由分解定理
Re y xkex[Q1( x)cosx Q2( x)sinx]
Im y xkex[Q1( x)sinx Q2( x)cosx]
分别是以
f ( x) Pm ( x)ex cosx
(2)
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设
y
x
k
e
Q x m
(
x
)
,
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
为
并求出
y (b0 x2 b1x b2 ) Cx2e2x
y 2b0 x b1 2Cxe2x 2Cx2e2x
y 2b0 2Ce2x 8Cxe2x 4Cx2e2x
代入原方程中，比较等式两端同类项系数，则有
2b0 4b1
4b80b0
二阶微分方程 习题课
二阶常系数线性微分方程的一般形式为
ay’’+by’+cy=f(x)
a,b,c都是实系数，a≠0,f(x)是x的函数
当f(x)≡0
为二阶常系数线性齐次微分方程
当f(x)≡0
为二阶常系数线性非齐次微分方程
y py qy 0 r 2 pr q 0
)
2x2
4x
3
例3 求常系数齐次线性方程
y y 2y 0; y(0) 0, y(0) 3
的通解和给定条件下的特解。
解 特征方程为
解得
2 2 0
1 2, 2 1
所以方程的通解为
y C1e2x C2e x
由 y(0) 0, y(0) 3, 得C1＝－1，C2＝1，故所求特解为 y e x e2x
其次确定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知
曲线 y＝x2－x＋1有公共的切线，因此所求函数应满足初始条件：y(0)
＝1及 y(0) 1，即有
y(0)
y(0)
C1 C1
C2 0 1 2C2 2e0
1
从上述方程组中，解得C1＝2，C2＝1.故所求函数为 y(x) (1 2x)ex
Байду номын сангаас
A x 2ex 2
是特征方程的重根
二、f ( x) Pm ( x)ex cosx型 f ( x) Pm ( x)ex sinx型及其组合型
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx)
xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x y ex (C1 cosx C2 sin x)
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)
2 y 1 x2ex
2
8
4b1
4b2 0
0 常数项 对应xx项2项
2c 1
e 2 x项
由上述方程组解得
b0
2, b1
4, b2
3, C
1 2
于是求得一个特解为 y 2x2 4x 3 1 x2e2x 2
故原微分方程的通解为
yY y
e2
x
(C1
C2
x
1 2
x2
例2 解微分方程
y 4 y 4 y 8x2 e2x.
解 所给方程的对应的齐次方程为
y 4 y 4 y 0
它的特征方程
r 2 4r 4 0
有一个二重实根 r＝2.于是对应的齐次方程的通解为 Y e2x (C1 C2 x)
由于 f (x)= f1(x)＋ f2(x) ，而 f1(x) ＝8x2属于Pm(x) eλx型(其中Pm(x)＝ 8x2 ，λ＝0)； f2(x)＝ e2x也属于Pm(x) eλx型(其中Pm(x)＝1 ，λ＝2)。 且0及±2i均不是特征方程的根；2是特征方程的二重根，故设特解
原方程对应的齐次方程为 y 3y 2 y 0 ，其通解为 Y C1ex C2e2x
由于λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0的单根，因此设原方程的一个 特解为 y* = axex ，代入方程中，求得 a＝－2，故原方程的通解为
y(x) C1ex C2e2x 2xex
f ( x) Pm ( x)ex sinx
为自由项的非齐次线 性微分方程的特解
例1 设函数 y = y (x)满足微分方程 y 3y 2 y 2ex
且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y＝x2－x＋1在该点的切线重合，求 函数 y = y (x) .
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f (x)＝2ex 是 Pm(x)eλx型(其中Pm(x)＝2，λ＝1)。