典型的轴对称图形练习题(带答案)73578
轴对称练习题(含答案)
轴对称练习题（含答案）一．选择题1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE的度数为（）A．B．C．D．3．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．13 B．16 C．8 D．104．点A（4，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（ 4，2 ）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣2，4）5．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．100°B．80°C．50°或80°D．20°或80°6．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°7．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直线将△ABC分成两个三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，这样的直线有（）条．A．5 B．7 C．9 D．108．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD、CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是（）A．AD＝ABB．S△CEB ＝S△ACEC．AC、BC的垂直平分线都经过ED．图中只有一个等腰三角形9．如图，a∥b，△ABC的顶点A在直线a上，AC＝BC，∠1＝50°，∠2＝20°，则∠C的度数为（）A．70°B．30°C．40°D．55°10．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．则小意同学判断的依据是（）A．等角对等边B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”11．如图，在△ABC中，∠CDE＝64°，∠A＝28°，DE垂直平分BC；则∠ABD＝（）A．100°B．128°C．108°D．98°12．如图，AB∥CD，点E在AD上，且CD＝DE，∠C＝75°，则∠A的大小为（）A．35°B．30°C．28°D．26°二．填空题13．在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则b a的值是．14．已知一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，则这个等腰三角形的顶角等于度．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC 的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF＝．16．如图，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，连接CD，AC＝DC，∠B＝25°，则∠ACD的度数是．三．解答题17．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．18．如图，AD⊥BC于D，且DC＝AB+BD，若∠C＝26°，求∠BAC的度数．19．已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）请以y轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标；（2）△ABC的面积是；（3）点P（a+1，b﹣1）与点C关于x轴对称，则a＝，b＝．20．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…． （1）若∠A 4＝9°，则∠BAA 4的度数为 ； （2）若∠BAA 4＝α，则∠B n ﹣1A n A n ﹣1的度数为 ； （3）过A 做AC ∥A 3B 2，若∠BAC ＝100°，求∠B 3A 4A 3的度数．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．2．解：∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠BEA，∴α＝180°﹣2∠BAE，①∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∴β＝180°﹣2∠CAD，②①+②得：α+β＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）∴α+β＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）] ＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]＝360°﹣2（∠BAC+∠DAE），∵∠BAC＝180°﹣（α+β），∴α+β＝360°﹣2[180°﹣（α+β）+∠DAE]∴α+β＝2∠DAE，∴∠DAE＝（α+β），故选：A．3．解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC＝5，周长为21，∴AC＝AB＝8，又∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴△BEC的周长＝BE+CE+CB＝AE+CE+BC＝AC+CB＝13，∴△BEC的周长为13．故选：A．4．解：点A（4，﹣2）关于x轴的对称点为（4，2）．故选：A．5．解：（1）若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）等腰三角形的顶角为80°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．故选：D．6．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．7．解：如图：∴最多画9条，故选：C．8．解：∵∠ACB＝90°，AD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴AC＝，AD＝AC，∴AD＝AB；故A正确；∵CE是△ABC的中线，∴S△BCE ＝S△ACE，故B正确，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴AC、BC的垂直平分线都经过E，故C正确；∴△ACE和△BCE是等腰三角形，故D错误；故选：D．9．解：延长AB交直线b于E，∵a∥b，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠ABC＝∠2+∠3＝20°+50°＝70°，∵CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝70°，∴∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．10．解：由作图可知，CE＝CD，∵OE＝OD，∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一），∴∠AOB＝90°．故选：D．11．解：∵DE垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠BDE＝∠CDE＝64°，∴∠ADB＝180°﹣64°﹣64°＝52°，∵∠A＝28°，∴∠ABD＝180°﹣28°﹣52°＝100°．故选：A．12．解：∵CD＝DE，∴∠DEC＝∠C＝75°，∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝30°；故选：B．二．填空题（共4小题）13．解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a＝3，b＝1，∴b a＝1，故答案为：1．14．解：如图（1）顶角是钝角时，∵等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，∴∠OCB＝37°，∵OC⊥OB，∴∠ABC＝90°﹣37°＝53°，∴∠BAC＝180°﹣53°﹣53°＝74°，即△ABC为锐角三角形，顶角是钝角这种情况不成立；（2）顶角是锐角时，∠B＝90°﹣37°＝53°，∠A＝180°﹣2×53°＝74°．因此，顶角为74°．故答案为：74．15．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝30°，连接AN，AM，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM＝AM，CN＝AN，∴∠MAB＝∠B＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵MN＝2，∴AN＝2＝CN，在Rt△NFC中，∠C＝30°，∠NFC＝90°，CN＝2，∴NF＝CN＝1，故答案为：1．16．解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，∴CD＝BD，∵∠B＝25°，∴∠DCB＝∠B＝25°．∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝25°+25°＝50°．∵AC＝DC，∴∠CAD＝∠ADC＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案为：80°．三．解答题（共4小题）17．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，∴4x+3x+3x＝180°，解得，x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°．18．解：截取DE＝BD，连接AE，如右图所示，∵DC＝AB+BD，BD＝DE，∴AB＝CE，∵AD⊥BE，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（SAS），∴AB＝AE，∠B＝∠AED，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠C＝26°，∠AED＝∠EAC+∠C，∴∠AED＝52°，∴∠B＝52°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣52°﹣26°＝102°，即∠BAC的度数是102°．19．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A 1（﹣1，﹣4）、B1（﹣5，﹣4）、C1（﹣4，﹣1）；（2）△ABC的面积是×4×3＝6，故答案为：6；（3）∵点P（a+1，b﹣1）与点C（4，﹣1）关于x轴对称，∴a+1＝4、b﹣1＝1，解得：a＝3、b＝2，故答案为：3、2．20．解：（1）∵AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4…．，∴∠B 2A 3A 2＝2∠A 4＝18°， ∴∠B 1A 2A 1＝2∠B 2A 3A 2＝36°， ∴∠BAA 4＝∠BA 1A ＝2∠B 1A 2A 1＝72°；（2）∵AB ＝A 1B ，∴∠BAA 4＝BA 1A ＝α， ∵A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…． ∴∠B 1A 2A 1＝∠BA 1A ＝α； 同理可得，∠B 2A 3A 2＝α，∠B 3A 4A 3＝α， 以此类推，∠B n ﹣1A n A n ﹣1＝，故答案为：72°，； （3）设∠B 3A 4A 3＝x °， ∵A 3B 3＝A 3A 4，∴∠A 3B 3A 4＝∠A 4，∴∠B 2A 3A 2＝2x °，同理，∠BAA 4＝8x °， ∵AC ∥A 3B 2，∴∠A 4AC ＝∠A 4，∴8x +2x ＝100，∴x ＝10，∴∠B 3A 4A 3的度数为10°．。
轴对称练习题(含答案)
轴对称练习题13．1.1轴对称1．下列图形中，是轴对称图形的是()2．下列轴对称图形中，对称轴条数是四条的图形是()3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有()①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC＝∠B′A′C′；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上．A．4个B．3个C．2个D．1个第3题图第4题图4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B的度数为() A．25° B．45° C．30° D．20°5．如图，△ABC关于直线MN对称的三角形的顶点分别为A′，B′，C′，其中∠A＝90°，A＝8cm，A′B′＝6cm.（1）求AB，A′C′的长；（2）求△A′B′C′的面积．13．1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P，P A＝5，则线段PB的长度为() A．3 B．4 C．5 D．6第1题图第2题图2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB3．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段________的垂直平分线上．第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，交边AB于点E，且∠CBD ＝∠ABD，则∠A＝________°.5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD.若AC＝4cm，△ADC的周长为11cm，求BC的长．第2课时 线段垂直平分线的有关作图1．如图，已知线段AB ，分别以点A ，点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P ，M ，连接P A ，PB ，MA ，MB ，则下列结论一定正确的是( ) A ．P A ＝MA B ．MA ＝PE C ．PE ＝BE D ．P A ＝PB2．已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们全部的对称轴．3．已知下列两个图形关于直线l 成轴对称．(1)画出它们的对称轴直线l ； (2)填空：两个图形成轴对称，确定它们的对称轴有两种常用方法，经过两对对称点所连线段的________画直线；或者画出一对对称点所连线段的____________．4．如图，在某条河l 的同侧有两个村庄A 、B ，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形1．已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的轴对称图形，将作图步骤补充完整(如图所示)．(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点________；(2)分别延长DM，EP，FN至________，使________＝________，________＝________，________＝________；(3)顺次连接________，________，________，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI. 2．如图，请画出已知图形关于直线MN对称的部分．3．如图，以AB为对称轴，画出已知△CDE的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴对称的点的坐标是()A．(2，3) B．(2，－3)C．(－2，－3) D．(3，－2)2．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)关于y轴的对称点的坐标为()A．(4，－3) B．(3，－4)C．(3，4) D．(－3，－4)3．平面内点A(－2，2)和点B(－2，－2)的对称轴是()A．x轴B．y轴C．直线y＝4 D．直线x＝－24．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，若△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对称点A′的坐标是()A．(－3，2) B．(3，2)C．(－3，－2) D．(3，－2)第4题图第5题图5．如图，点A关于x轴的对称点的坐标是________．6．已知点M(a，1)和点N(－2，b)关于y轴对称，则a＝________，b＝________．7．如图，在平面直角坐标系中有三点A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)△A1B1C1的面积是________．轴对称13．1.1轴对称1．A 2.A 3.B 4.B5．解：(1)∵AB与A′B′是对应线段，∴AB＝A′B′＝6cm.又∵AC与A′C′是对应线段，∴A′C′＝AC＝8cm.(2)∵∠A′与∠A是对应角，∴∠A′＝∠A＝90°，∴S△A′B′C′＝A′B′·A′C′÷2＝24(cm2)．13．1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定1．C 2.C 3.AC 4.305．解：∵AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，∴AD＝BD.∵△ADC的周长为11cm，∴AC＋CD＋AD＝AC＋CD＋BD＝AC＋BC＝11cm.∵AC＝4cm，∴BC＝7cm.第2课时线段垂直平分线的有关作图1．D2．解：如图所示．3．解：(1)图略．(2)中点垂直平分线4．解：连接AB，作线段AB的垂直平分线MN交直线l于点P，则点P即为所求位置．图略．13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形1．(1)M，P，N(2)G，H，I GM DM HP EP IN FN(3)GH HI IG2．解：如图所示．3．解：如图所示．第2课时用坐标表示轴对称1．C 2.C 3.A 4.B 5.(－5，－3) 6.217．解：(1)如图．(2)A1(1，5)，B1(1，0)，C1(4，3)．(3)7.5。
典型的轴对称图形练习题(带答案)
典型的轴对称图形练习题一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形.4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小的底角是（ ）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5C ．PQ ＜5D ．PQ≤510．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cm 二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．AO PAECB D13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC的周长是____________．16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．OB22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BC=4，求△BCD的周长．23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．参考答案第一章轴对称图形1．A 2．B 3．C 4．C5．A6．D7．C8．C9．B10．C 11．212．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.。
典型的轴对称图形练习题带答案
典型的轴对称图形练习题带答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形.4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ ）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90°6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，PAECBD则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5 C ．PQ ＜5 D ．PQ≤510．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ）A ．3cm 或5cmB ．3cm 或7cmC ．3cmD ．5cm 二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D到AB 的距离是__________．14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________．15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC 的周长是____________．16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为AO60°，则它的两底长分别为____________．17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB离相等．20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF的长．22．如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ，① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长； ② 若BC=4，求△BCD 的周长．23．等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC BP=CQ ，问 △APQ参 考 答 案第一章 轴对称图形1．A 2．B 3．C 4．C 5．A6．D7．C8．C9．B10．C 11．2 12．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.。
轴对称测试题及答案初二
轴对称测试题及答案初二一、选择题1. 下列图形中，不是轴对称图形的是：A. 等边三角形B. 正方形C. 圆D. 五边形2. 如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线被称为：A. 对称轴B. 对称线C. 中心线D. 平行线3. 对于轴对称图形，下列说法正确的是：A. 只有一个对称轴B. 可以有多个对称轴C. 没有对称轴D. 以上都不对二、填空题1. 轴对称图形的对称轴是图形上所有点到对称中心的_________。
2. 如果一个图形沿着对称轴对折，两侧的图形完全重合，那么这个图形是_________图形。
三、判断题1. 所有的等腰三角形都是轴对称图形。
（）2. 轴对称图形的对称轴可以是曲线。
（）四、简答题1. 请简述什么是轴对称图形，并给出一个生活中的例子。
2. 轴对称图形有哪些性质？五、解答题1. 如图所示，△ABC是轴对称图形，对称轴为直线l，求证：AB=AC。
答案：一、选择题1. D2. B3. B二、填空题1. 垂直平分线2. 轴对称三、判断题1. 正确2. 错误四、简答题1. 轴对称图形是指一个图形关于某条直线对称，这条直线被称为对称轴。
例如，蝴蝶的翅膀就是轴对称图形。
2. 轴对称图形的性质包括：对称轴两侧的图形完全重合，对称轴是图形上所有点到对称中心的垂直平分线。
五、解答题1. 证明：由于△ABC是轴对称图形，对称轴为直线l，根据轴对称图形的性质，我们知道对称轴l是线段AB和AC的垂直平分线。
因此，AB和AC到对称轴l的距离相等，即AB=AC。
结束语：通过本测试题的练习，希望同学们能够更好地理解轴对称图形的概念和性质，提高解题能力。
轴对称是几何学中的一个重要概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在自然界和艺术设计中随处可见。
希望大家能够在生活中发现更多的轴对称之美。
轴对称图形的练习题
轴对称图形的练习题轴对称图形的练习题轴对称图形是数学中一个有趣且常见的概念。
它们在几何形状的研究中起着重要的作用。
通过练习轴对称图形的题目，我们可以更好地理解轴对称性质以及如何判断一个图形是否具有轴对称性。
本文将给出一些有趣的练习题，帮助读者巩固对轴对称图形的理解。
练习题1：判断轴对称图形首先，让我们来判断一些常见的图形是否具有轴对称性。
请仔细观察下面的图形，并在心中判断它们是否具有轴对称性。
然后，将你的答案写下来。
1. 一个圆2. 一个正方形3. 一个长方形4. 一个等边三角形5. 一个五角星答案：1. 一个圆：具有轴对称性。
无论从哪个方向旋转180度，都可以得到与原图形完全相同的图形。
2. 一个正方形：具有轴对称性。
以正方形的中心为轴，将正方形旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
3. 一个长方形：不具有轴对称性。
无论从哪个方向旋转180度，都无法得到与原图形完全相同的图形。
4. 一个等边三角形：具有轴对称性。
以三角形的中线为轴，将三角形旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
5. 一个五角星：不具有轴对称性。
无论从哪个方向旋转180度，都无法得到与原图形完全相同的图形。
练习题2：找出轴对称图形的轴线现在，让我们来找出一些具有轴对称性的图形的轴线。
请仔细观察下面的图形，并在心中想象它们的轴线。
然后，将你的答案写下来。
1. 一个心形2. 一个蝴蝶形状3. 一个字母“X”4. 一个字母“H”5. 一个字母“O”答案：1. 一个心形：具有轴对称性。
心形的轴线位于心形的中心，将心形沿轴线旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
2. 一个蝴蝶形状：具有轴对称性。
蝴蝶形状的轴线位于蝴蝶的中心，将蝴蝶形状沿轴线旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
3. 一个字母“X”：具有轴对称性。
字母“X”的轴线位于字母“X”的中心，将字母“X”沿轴线旋转180度，可以得到与原图形完全相同的图形。
轴对称图形典型例题
轴对称图形典型例题例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点．求证：∠BDP ＝∠CDP ．证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，∴ ∠PAB ＝∠PAC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵ ∠APB ＋∠PAB ＝90°，∠APC ＋∠PAC ＝90°，∴ ∠APB ＝∠APC ，在△PDB 和△PDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，，∴ △PDB ≌△PDC （SAS ），∴ ∠BDP ＝∠CDP ．（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．（1）证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ，在Rt △EAD 和Rt △FCD 中，⎩⎨⎧==.DF DE DC AD ，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），∴ ∠C ＝∠EAD ，∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°，∴ ∠A ＋∠C ＝180°．证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．（2）证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．（3）注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），同理可证：CF ＝NF ，在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边），∴ BE ＋CF >EF ．证法二：延长ED 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ，在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ，，（从另一个角度作辅助线）∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），∴ CM ＝BE （全等三角形对应边相等），又∵ ∠BDE =∠A DE ，∠ADF ＝∠CDF ，而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°，∴ ∠ADE +∠ADF ＝90°，即∠EDF ＝90°，∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°，在△EDF 和△MDF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ，，∴ △EDF ≌△MDF （SAS ），∴ EF ＝MF （全等三角形对应边相等），在△CMF 中，CF ＋CM >EF ，∴ BE ＋CF >EF ．注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．例4 已知，如下图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠BAC 的度数．解：∵ AP ＝PQ ＝AQ （已知），∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）∴∠PBA＝∠PAB（等边对等角），∴∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），∴∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程．例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB（等边对等角），∵EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，（用什么定理判定三角形全等的？）∴D为BC的中点，∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，∴∠F＝∠A．例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．求证：EF⊥BC．证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，∴ ∠BAD ＝∠CAD（等腰三角形三线合一），又∵ ∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∠AEF ＝∠AFE ，∴ ∠CAD ＝∠E ，∴ AD ∥EF ，∵ AD ⊥BC ，∴ EF ⊥BC ．证法二：过A 作AG ⊥EF 于G ，∵ ∠AEF ＝∠AFE ，AG ＝AG ，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，∴ △AGE ≌△AGF （ASA ），∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，又∠EAF ＝∠B ＋∠C ，（请对比多种证法的优劣）∴ ∠EAG ＋∠GAF ＝∠B ＋∠C ，∴ ∠EAG ＝∠C ，∴ AG ∥BC ，∵ AG ⊥EF ，∴ EF ⊥BC ．证法三：过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ，∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∴ ∠H ＝∠B ＝∠C ＝∠AEH ，∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∠H ＋∠AFE ＋∠FEH ＝180°，∴ ∠H ＋∠AEH ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴ ∠AEF ＋∠AEH ＝90°，即∠FEH ＝90°，∴ EF ⊥EH ，又EH ∥BC ，∴ EF ⊥BC ．证法四：延长EF 交BC 于K ，∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∴ ∠B ＝21（180°－∠BAC ），∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∴ ∠AFE ＝21（180°－∠EAF ），∴ ∠BFK ＝21（180°－∠EAF ），∴ ∠B ＋∠BFK ＝21（180°－∠BAC ）＋21（180°－∠EAF ）∵ ＝21[360°－（∠EAF ＋∠BAC ）]，∴ ∠EAF ＋∠BAC ＝180°，∴ ∠B ＋∠BFK ＝90°，即∠FKB ＝90°，∴ EF ⊥BC ．注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立EF 与BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法．例7 如下图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，P 是AD 上一点．求证：∠ABP ＝∠ACP ．证明：连结BC ，∵ AB ＝AC （已知），∴ ∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， ∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线，∴ PB ＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴ ∠PBC ＝∠PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质）∴ ∠ABC －∠PBC ＝∠ACB －∠PCB （等式性质），即∠ABP ＝∠ACP ．注 本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁．例8 如下图，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ，若△ABC 的周长为28，BC ＝8，求△BCE 的周长．解：∵ 等腰△ABC 的周长＝28，BC ＝8，∴ 2AC ＋BC ＝28，∴ AC ＝10， （理由是什么？）∵ DE 垂直平分AB ，∴ AE ＝BE ，∴ △BCE 的周长＝BE ＋EC ＋BC＝AE ＋EC ＋BC＝AC ＋BC ＝10＋8＝18．注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系．例9 已知，如下图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC于F ，交AB 于E ，求证：FC BF 21=．证法一：连结AF ，则AF ＝BF ，∴ ∠B ＝∠FAB （等边对等角），∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C （等边对等角），∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝302180=∠-BAC （三角形内角和定理），∴ ∠FAB ＝30°，∴ ∠FAC ＝∠BAC －∠FAB ＝120°－30°＝90°，又∵ ∠C ＝30°，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）∴ FC AF 21=（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴FC BF 21=．证法二：连结AF，过A作AG∥EF交FC于G，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，又∵∠B＝30°，∴∠AFG＝60°，∠BAG＝90°，∴∠A G B＝60°，△AFG为等边三角形，又∵∠C＝30°，∴∠G AC＝30°，∴AG＝GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）∴BF＝FG＝GC＝FC21．例10 已知，如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB＝75°，∠DMC＝45°，AM＝MD．求证：AB＝BC．思路分析从结论分析，要证AB＝BC，可连结AC，使BC与AB能落在一个三角形内，再看∠BAC与∠BCA能否相等？证明：连结AC，交DM于H，∵∠AMB＝75°，∠DMC＝45°（已知），∴∠AMD＝60°（平角定义）又∵AM＝MD，∴△AMD为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AM＝AD（等边三角形三边相等），∵CD⊥BC，∴∠DCM＝90°，∵∠DMC＝45°，∴∠MDC＝45°（三角形内角和定理），∴CD＝CM（等角对等边），∴AC是DM的垂直平分线（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），∴∠MHC＝90°，∴∠HCM＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，∴AB＝BC（等角对等边）．【典型热点考题】例1 如图7—15，等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D，请回答下列问题：(1)AD是哪个角的平分线；(2)AD是哪条线段的垂直平分线；(3)有哪几条相等的边；(4)有哪几对相等的角．点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征．所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题．解：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴．(1)AD是顶角∠BAC的平分线．(2)AD是线段BC的垂直平分线．(3)AB＝AC，BD＝DC．(4)∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ADC．例2 如图7—16，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，证明：∵ PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，∴ ∠PA B＝∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)．∵ ∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，∴ ∠APB＝∠APC．在△PDB和△PDC中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=PD PD APC APB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)∴ ∠BDP＝∠CDP．例3 如图7—17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴(有几条，画几条)．点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来． 解：(1)是，它有3条对称轴．(2)是，它有2条对称轴．(3)是，它有2条对称轴．(4)是，它只有一条对称轴．(5)它不是轴对称图形，故没有对称轴．(6)它是轴对称图形，有一条对称轴．图均略．例4 如图7—18，△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出∠B 的度数．点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏．在计算∠B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和．解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是：△ABC，△ABD，△CAD．设∠B＝x ，则∠C＝x ＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC＝2x ．∴ ∠B＋∠C＋∠BAC＝∠B＋∠C＋∠BAD＋∠DAC＝x ＋x ＋x ＋2x ＝5x ＝180° ∴ ︒=︒==∠365180x B ．例5 如图7—19，在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B ．要从河边同一点修两条水渠到A 、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短?点悟：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN ，在直线MN 的同一侧有A 、B 两点．在直线MN 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图7—19所示．作B 点关于直线MN 的对称点B′，连结AB′，与MN 相交于P ，则P 点即为所求．事实上，如果不是P 点而是P '点时，则连结B P 、P A ''和B P ''．由轴对称性知道，B P PB B P B P '=''=',，所以P '到A 、B 的距离之和，B P P A B P P A ''+'='+'，而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+在'P B A '∆中，三角形两边之和大于第三边，B A B P P A '>''+'所以P 点即为所求的点．例6 如图7—20，已知，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题． 证法一：在DA 上截取DN ＝DB ．连结NE 、NF ．则DN ＝DC ．在△BDE 和△NDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE．∴ BE＝NE ．同理可得，CF ＝NF ．在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF(三角形两边之和大于第三边)．∴ BE＋CF ＞EF ．证法二：如图7—21，延长DE 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ．在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DM DE CDM BDE CD BD∴ △BDE ≌△CDM(SAS)．∴ CM＝BE(全等三角形对应边相等)又∵ ∠BDE＝∠ADE，∠ADF＝∠CDF，而∠BDE＋∠ADE＋∠ADF＋∠CDF＝180°∴ ∠ADE＋∠ADF＝90°，即∠EDF＝90°．∴ ∠FDM＝∠EDF＝90°．在△EDF 和△MDF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)∴ EF＝MF(全等三角形对应边相等)．在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF ，∴ BE＋CF ＞EF ．点拨：本题综合考查角平分线，中线的意义，三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用．【易错例题分析】例 已知如图7—22，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°．证法一：如图7—22，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F．∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF在Rt△EAD和Rt△FCD中，∵ AD＝DC，DE＝DF，∴ Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)∴ ∠C＝∠EAD，∵ ∠EAD＋∠BAD＝180°，∴ ∠A＋∠C＝180°．证法二：如图7—23，在BC上截BE＝AB，连结DE，证明△ABD≌△EBD可得．证法三：延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二，如图7—24．警示：本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区．本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握．。
八年级第十三章轴对称典型例题
八年级第十三章轴对称典型例题一、关于轴对称图形概念的例题。
例题1：下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。
B. 三角形。
C. 梯形。
D. 正方形。
解析：1. 首先分析平行四边形，沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形。
2. 三角形有多种类型，一般三角形不是轴对称图形，但等腰三角形和等边三角形是轴对称图形，这里说三角形太笼统，不能确定是轴对称图形。
3. 梯形中，一般梯形不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，这里说梯形不准确。
4. 正方形沿两条对角线所在直线以及两组对边中点连线对折，直线两侧的部分都能完全重合，所以正方形是轴对称图形。
答案为D。
例题2：正六边形的对称轴有（）条。
A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.解析：1. 正六边形可以分别沿三组对边中点连线以及三条对角线所在直线对折后完全重合。
2. 所以正六边形的对称轴有6条。
答案为B。
二、线段垂直平分线性质的例题。
例题3：如图，在△ABC中，AB = AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为14，BC = 6，则AB的长为（）A. 4.B. 6.C. 8.D. 10.解析：1. 因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE = BE。
2. 已知△BCE的周长为14，即BE + EC+BC = 14。
3. 又因为AE = BE，所以AC+BC=14。
4. 已知BC = 6，所以AC = 14 - 6=8。
5. 因为AB = AC，所以AB = 8。
答案为C。
例题4：已知点P在直线l外，点A、B在直线l上，且PA = PB，则直线l与线段AB的关系是（）A. l垂直但不平分AB。
B. l平分但不垂直AB。
C. l垂直且平分AB。
D. l与AB相交但不一定垂直平分。
解析：1. 因为点P在直线l外，PA = PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。
2. 又因为两点确定一条直线，所以直线l是线段AB的垂直平分线。
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一、选择题
1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置）；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误；
（3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确．
2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B
①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换.
等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ）∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60°
A ．45°
B ．55°
C ．60°
D ．75°
5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2
，则 这个梯形较小
的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的
高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°．
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．90°
6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ）
P
A
E
C
B
D
A ．PA+P
B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB
D ．不能确定
7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，（ C ） A ．点O 是BC 的中点
B ．点O 是B 1
C 1的中点
C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称
D ．以上都不对
8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4，则PD=（C ）过点P 作PM ⊥OB
于M ，∵PC ∥OA ，∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM= 1 2
PC=2，∵PD=PM ，∴PD=2．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5 C ．PQ ＜5 D ．PQ≤5
10．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ）
A ．3cm 或5cm
B ．3cm 或7cm
C ．3cm
D ．5cm
二．填空题
11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．
13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是
A
O
__________．
14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且
AB ∥DE ，则△DEC 的周长是____________．
16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为
60°，则它的两底长分别为____________． 17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．
18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠
EAF=___________． 三．解答题
19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．
20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形
说明：CD=AB+BD ．
O
B
21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．
22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，
①若△BCD的周长为8，求BC的长；
②若BC=4，求△BCD的周长．
23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ 是什么形状的三角形试说明你的结论．
B C
D
E
A
A
C
B
P
Q
参考答案
第一章轴对称图形
1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C
11．2 12．30°、75°、120°13．4 14．5 15．15 16．4、6 17．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；
20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；
21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；
23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.。