人教版 高中数学 2.2.1条件概率学案 选修2-3

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高中数学 2.2.1条件概率学案 新人教A 版选

修

2-3

基础梳理 1．条件概率.

条件 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0

含义 在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率

记作 P (B |A )

读作 A 发生的条件下B 发生的概率

计算 公式

①缩小样本空间法：P

(B |A )＝n （AB ）

n （A ）

②公式法：P (B |A )＝P （AB ）

P （A ）

P (B |A )与P (AB )的区别：P (B |A )的值是AB 发生相对于事件A 发生的概率的大小；而P (AB )是AB 发生相对于原来的总空间而言．

2．条件概率的性质． (1)有界性：0≤P (B |A )≤1；

(2)可加性：如果B 和C 是互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．

自测自评

1．下列说法中正确的是(B ) A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝

P （B ）

P （A ）

是可能的

C ．0＜P (B |A )＜1

D ．P (A |A )＝0

2．已知P (AB )＝310，P (A )＝3

5，则P (B |A )等于(B )

A.950

B.12

C.910

D.1

4

3．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝(A )

A.13

B.15

C.16

D.112

解析：出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种， 所以P (B |A )＝1030＝1

3

.故选

A.

不注意区分条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )致误

【典例】 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．

解析：记“第一次取到白球” 为事件A ，“第二次取到黄球” 为事件B ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球” 为事件C .

在事件A 已经发生的条件下，袋中只有9个球，其中3个白球，故此时取到黄球的概率为P (C )＝P (B |A )＝69＝23或者P (C )＝P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4

1525

＝2

3

.

【易错剖析】应注意P (AB )是事件A 和B 同时发生的概率，而P (B |A )是在事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．若混淆这两个概念，就会出现如下错解：

记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事件C ，

∴P (C )＝P (AB )＝

4×610×9＝4

15

.

基础巩固

1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝2

5，则P (AB )＝(C )

A. 56

B.910

C.215

D.1

15

解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝2

15

.故选C.

2．把一枚硬币抛掷两次，事件B 为“第一次出现正面”，事件A 为“第二次出现反面”，则P (A |B )等于(B )

A.14

B.12

C.13

D.34

解析：把抛掷硬币两次的结果图示为：“＋＋”、“＋－”、“－＋”、“－－”． 易知P (B )＝12，P (AB )＝14，∴P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝1

412

＝1

2

.

3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(D )

A ．0.02

B ．0.08

C ．0.18

D ．0.72

解析：记P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，则P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72. 4．6位同学参加百米径赛，赛场共6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．

解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A 5

5种排法，乙排在第二跑道共有A 4

4种排法． 故所求概率为P ＝A 4

4A 55＝15.

答案：1

5

能力提升

5.将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于(C )

A.91216

B.518

C.6091

D.12

解析：事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.∴P (A |B )＝

n （AB ）n （B ）＝60

91

.

6．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(C )

A.35

B.110

C.59

D.25

解析：把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A 2

6＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59

. 7．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为

3

10

，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12

，则事件A 发生的概率为________．

解析：∵P (AB )＝310，P (B |A )＝1

2

，

P (B |A )＝P （AB ）

P （A ）

，

∴P (A )＝P （AB ）P （B |A ）＝3

1012＝3

5

.

答案：3

5

8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是1

2，现有一个此

种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．

解析：记满6 000小时未坏为事件A ，满10 000小时未坏为事件B ，则P (A )＝3

4.

∵B

A ，∴P (A

B )＝P (B )＝12

.

∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1

234＝2

3

.

答案：2

3

9．已知箱子中装有10件产品，其中6件正品，现从中不放回地任取两次，每次取一件，求两次都取到正品的概率．

解析：设A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到正品}，AB ＝{两次都取到正品}． 由题意知， P (A )＝610，P (B |A )＝5

9.

故P (AB )＝P (A )P (B |A )＝610×59＝1

3

.

10．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．

(1)求选到的是第一组的学生的概率；

(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 解析：设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝1

4

.

(2)法1 要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝4

15

.

法2 P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝1

10

，

P（AB）P（B）＝

4

15

.

∴P(A|B)＝