高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用学案 苏教版必修4

1.3.4 三角函数的应用1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．(重点)2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)[小组合作型]已知电流I ＝A sin(ωt ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜2在一个周期内的图象如图1­3­15.图1­3­15(1)根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 【导学号：06460036】【精彩点拨】 可先由图象确定电流I 的解析式，再由函数的性质确定ω的值． 【自主解答】 (1)由图知，A ＝300.T2＝1180－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1900＝1150， ∴T ＝175，∴ω＝2πT＝150π.I ＝300sin(150πt ＋φ)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫－1900，0为第一个关键点， ∴150π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1900＋φ＝0，∴φ＝π6， ∴所求解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6，t ∈[0，＋∞)． (2)由题意T ≤1150，即2πω≤1150，∴ω≥300π≈942，∴所求ω的最小正整数值是943.1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．[再练一题]1．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B ，C 间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次达到C 点．求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)振子在5 s 内通过的路程及这时位移的大小．【解】 (1)设振幅为A ，则2A ＝20(cm)，A ＝10(cm)．设周期为T ，则T2＝0.5(s)，T ＝1(s)，f ＝1(Hz)．(2)振子在1T 内通过的距离为4A ， 故在t ＝5 s 内通过的路程为5T ，即s ＝5×4A ＝20A ＝20×10 cm＝200 cm ＝2 m.5 s 末物体处在B 点，所以它相对平衡位置的位移为10 cm.12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？图1­3­16【精彩点拨】 审清题意→建立函数模型→ 解答函数模型→得出结论.【自主解答】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝8或4.所以t ＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．解三角函数应用问题的基本步骤[再练一题]2．如图1­3­17，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .图1­3­17(1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解】 (1)由图可知：这段时间的最大温差是20 ℃；(2)从图可以看出：从6～14是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴T2＝14－6＝8，∴T ＝16.∵T ＝2πω，∴ω＝π8.又∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20.将点(6,10)代入得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，∴3π4＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋3π4，k ∈Z ，取φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20(6≤x ≤14)．[探究共研型]探究1 【提示】 先画样本数据散点图，通过分析其变化趋势确定合适的函数模型． 探究2 当散点图具有什么特征时，可以用正(余)弦函数模型来解决实际问题． 【提示】 当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正(余)弦函数模型来解决实际问题．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：(2)观察图，从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．图1­3­18【精彩点拨】 画散点图―→选择函数模型―→解决实际问题 【自主解答】 (1)描出所给点如图所示：(2)由(1)知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A ＞0，ω＞0，|φ|＜π. 由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12， 所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，则sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤πt 6≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下：搜集实际问题的数据，作出“散点图”；观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型； 通过图象或解析式研究函数的性质； 用得到的性质解决提出的实际问题.[再练一题]3．某港口的水深y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：y ＝A sin ωt ＋b 的图象．图1­3­19(1)试根据以上数据，求出y ＝A sin ωt ＋b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略进出港所用的时间)【解】 (1)由拟合曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此，2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10； 当t ＝3时，取最大值13.∴b ＝10，A ＝13－10＝3.∴所求函数表达式为y ＝3sin π6x ＋10.(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故船舶在航行时水深y 应大于等于7＋4.5＝11.5(m)．由拟合曲线可知，一天24 h ，水深y 变化两个周期． 令y ＝3sin π6x ＋10≥11.5,可得sin π6x ≥12.∴2k π＋π6≤π6x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，∴12k ＋1≤x ≤12k ＋5(k ∈Z )． 取k ＝0，则1≤x ≤5； 取k ＝1，则13≤x ≤17；取k ＝2时，则25≤x ≤29(不合题意)．从而可知，该船在1点到5点或者13点到17点两个时间段可安全进港；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长为16个小时．[构建·体系]1．电流I 随时间t 变化的关系式是I ＝A sin ωt ，t ∈[0，＋∞)，若ω＝10π rad/s ，A ＝5，则电流I 变化的周期是________，当t ＝160s 时，电流I ＝________.【解析】 由已知得I ＝5sin 10πt ， ∴T ＝2π10π＝15.当t ＝160 s 时，I ＝50sin 10π·160＝5sin π6＝52.【答案】 15 522．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋bA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________. 【导学号：06460037】【解析】 由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝9＋52＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈Z )．【答案】 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈Z )3．某地一天内的温度变化曲线满足y ＝3sin(0.2x ＋25)＋15，则在一天内，该地的最大温差是________．【解析】 因为函数y ＝3sin(0.2x ＋25)＋15的振幅为A ＝3，可以判断该地的最大温差是2A ＝6.【答案】 64．一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示：【解析】 由样本数据可知，T ＝0.8，且该物体的位移y 和时间t 之间的位置关系近似的用y ＝－A cos ωt 来表示．又A ＝0.4，ω＝2πT ＝2π0.8＝52π.∴y ＝－0.4cos 5π2t .【答案】 y ＝－0.4cos 5π2t5．弹簧上挂的小球作上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置的位移h (cm)由下列函数关系式决定：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4. (1)以t 为横坐标，h 为纵坐标作出图象(0≤t ≤π)； (2)求小球开始振动时的位置； (3)经过多长时间，小球往返一次？ (4)每秒内小球往返几次？【解】 (1)所求函数图象如图所示：(2)当t ＝0时h ＝322(cm)；(3)T ＝π≈3.14(s)，即每经过3.14 s 小球往返振动一次； (4)由(3)可知，每秒内小球往返1π次．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十三) 三角函数的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T ＝2π100π s ＝150s. 【答案】150s 2．如图1­3­20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________． ①该简谐运动的振动周期为0.7 s ； ②该简谐运动的振幅为5 cm ；③该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大； ④该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零．图1­3­20【解析】 由图象知，振幅为5 cm ，T2＝(0.7－0.3)s ＝0.4 s ，故T ＝0.8 s ，故①错误；该质点在0.1 s 和0.5 s 离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3 s 和0.7 s 时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．【答案】 ①③④3．如图1­3­21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．图1­3­21【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点． 【答案】 丁4．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟. 【导学号：06460038】【解析】 依题意，即40sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 45．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1­3­22所示，此图可以视为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，此函数解析式是________．图1­3­22【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3. ∴A ＝3.由图象知，T 2＝5π6－π3＝π2， ∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．由图象知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是第三个关键点， ∴π3×2＋φ＝π，∴φ＝π3， ∴所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【答案】 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π36．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．【解析】 由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴φ＝π3，又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π6，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]． 【答案】 [0,1]，[7,12]7．如图1­3­23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．图1­3­23【解析】 将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为：y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x .【答案】 y ＝－6sin π6x8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1­3­24所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．图1­3­24①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6；③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3.【解析】 由题意可得，sin φ＝12，∴函数的初相是φ＝π6，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，ω＜0，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选③.【答案】 ③ 二、解答题9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为：343－263＝83小时．[能力提升]1．一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1­3­25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (米)与时间t (分钟)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．图1­3­25【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.在Rt △O 1PQ 中，cos θ＝8－y t8，y (t )＝－8cos θ＋8.而2π12＝θt， 所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π6t ＋10.【答案】 h (t )＝－8cos π6t ＋102．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是．①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；③y －46－A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x . 【解】 (1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， ∴A ＝25.8.(5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8＞1≠cos π6，∴①错误；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8＜0≠cos π6，∴②错误；同理④错误，③正确．。