小学奥数排列组合复习
五年级奥数培优必考知识点——组合
五年级奥数培优必考知识点组 合一、排列知识复习1．排列指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
注意：排列是有顺序性的。
2．排列数从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数，叫做排列数，记为A m 。
二、组合大家一起来思考：如果从5个小朋友中选出3个小朋友组成一组去观看《喜洋洋与灰太狼之虎虎生威》，那么有多少种不同的选法呢？A 5÷A 3=10(种)1．排列是专门解决“排队”问题的，组合是专门解决“分组”的，即排列有顺序性，而组合没有顺序性。
2．组合指从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素组成一组，不计较组内各元素的顺序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
3．组合数从n 个不同元素中任意取出m 个(m ≤n )元素的所有组合的个数，叫做组合数，记为C m 。
Cm =[n ⨯(n -1)⨯(n -2)⨯(n -3)⨯⨯(n -m +1)]÷[m ⨯(m -1)⨯(m -2)⨯(m -3)⨯⨯ 3⨯2⨯1]4．组合的特殊公式⑴思考：从5个小朋友里一个人也不选有多少种方法数？要是从5个人里选5个人呢？C 5 ＝C 5 ＝1，即C n ＝C n ＝1⑵计算: C 3 和C 3 ；C 5 和C 5①C 3＝(3⨯2)÷(2⨯1) ＝3C 3 ＝3÷1＝3 n n n0 5 0 2 1 2 3 2 13 3 n②C 5＝(5⨯4)÷(2⨯1) ＝10C 5＝(5⨯4⨯3)÷(3⨯2⨯1) ＝10巩固练习：例：计算C 100 －2C 100【例 1】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排共有多少种站法？【例 2】10支球队进行足球比赛，实行单循环制(每两队之间比一场)，那么一共要举行多少场比赛？若进行双循环制(有主客场之分)。
小学奥数经典专题点拨：排列与组合
小学奥数经典专题点拨：排列与组合第一篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。
因为百位上已取走一个数字，所以十位上只剩下9个数字了，故十位上有9种取法。
同理，百位上和个位上各取走一个数字，所以还剩下8个数字，供个位上取。
所以，组成没有重复数字的三位数共有9×9×8=648（个）。
例2 甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有______种。
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因每个人都不排在原来的位置上，所以，当乙排在第一位时，其他几人的排法共有3种；同理，当丙、丁排在第一位时，其他几人的排法也各有3种。
因此，一共有9种排法。
例3 有一种用六位数表示日期的方法，如890817表示1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。
如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有______天。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：第一、二位数字显然只能取9和1，于是第三位只能取0。
第五位数字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，当取3时，第六位上只能取0和1，显然不行。
因此，第五位上只能取2。
于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上数字不能取同。
所以，一共有6×5=30（种）。
【环形排列】例1 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。
现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）讲析：如图5.87，四把椅子排成一个圆圈。
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法小学奥数精讲：排列组合问题常见解题方法方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有在一起的A、B两人也要排序，有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种排法；又3本数学书有种排种。
种排法。
又因为捆绑种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决关于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
第一将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中央”和“两端”共有四个空位置，也等于：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有共有排队方法：。
种插法。
由乘法原理，例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有8个空位，有种方法；用末了一个节目去插9个空位，有=504种。
小学奥数专题--排列组合
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合✧基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P mn表示.P mn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C mn表示.C mn = P mn/m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C mn = C n-mn来简化计算。
小学奥数排列组合复习PPT文档25页
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气பைடு நூலகம்培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
小学奥数排列组合复习共25页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
小学奥数专题__排列组合
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P m n表示.P m n =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m n表示.C m n = P m n /m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C m n = C n-m n来简化计算。
小学奥数专题--排列组合
✧排列问题题型分类:1、信号问题2、数字问题3、坐法问题4、照相问题5、排队问题✧组合问题题型分类:1、几何计数问题2、加乘算式问题3、比赛问题4、选法问题✧常用解题方法与技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类与准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加,分步组合,有序排列,无序组合✧基础知识(数学概率方面得基本原理)一.加法原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1中不同得方法,在第二类办法中有M2中不同得方法,……,在第N类办法中有M n种不同得方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同得方法。
二.乘法原理:如果完成某项任务,可分为k个步骤,完成第一步有n1种不同得方法,完成第二步有n2种不同得方法,……完成第ｋ步有ｎｋ种不同得方法,那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同得方法。
三.两个原理得区别⏹做一件事,完成它若有n类办法,就是分类问题,每一类中得方法都就是独立得,故用加法原理。
每一类中得每一种方法都可以独立完成此任务;两类不同办法中得具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务得任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事,需要分n个步骤,步与步之间就是连续得,只有将分成得若干个互相联系得步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.任何一步得一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取得方法不同,则对应得完成此事得方法也不同⏹这样完成一件事得分“类”与“步”就是有本质区别得,因此也将两个原理区分开来.四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定得顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素得一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素得所有排列得个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素得排列数,用符号 P mn表示、P mn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1)、2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素得一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素得所有组合得个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素得组合数、用符号C mn表示、C mn = P mn/m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时(常常就是m>0、5n时),可用C mn = C n-mn来简化计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
1
主要内容
乘法原理
加法原理 排列 组合 例题讲解 习题
2010 06 18
全力以赴
赢在精锐
2
基本计数原理 1. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …； n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事，
解： 由组合数公式，共有 3 C 42 = 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有 3 p 42 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
17
例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共 有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种 站法？
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组 合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有 当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。 从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 C nm 。
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
20
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
21
习题答案
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
22
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
23
赢在精锐
11
组合数公式: 从n个不同元素取 m个 （1 m n)的不同组合总数为：
C
m n
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m n
n! (n m)! m!
m!
m n
P C m!
m n
全力以赴
赢在精锐
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 p n 分两步求得：
第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有C n 种方法； m p m 种排法. 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 故由乘法原理得到： m m m pn = C n · pm 因此
n n
全力以赴
赢在精锐
第1次选取
第2次选取
第3次选取
C
例如：n=4, m =3
B
D
A
C
B
D B
D C B
P 4 3 2 24
3 4
C
……
D 全力以赴 赢在精锐
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个 （m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
全力以赴 赢在精锐
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
轮船有三班
乙地
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
全力以赴 赢在精锐
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
m
m
可以
这就是组合数公式.
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
13
5、例题讲解
例1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其 他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成 一排）
分析：由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由 这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化 成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
8
排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同排列总数为：
p n(n 1)( n 2) (n m 1)
m n
n! (n m)!
m = n时称全排列
P pn n(n 1)( n 2) 2 1 n!
全力以赴 赢在精锐
第一个步骤有n1种方法，
例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有 3 2 种打扮
全力以赴 赢在精锐
基本计数原理
2. 加法原理
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 …； 有n1 + n2 + … + nm 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与 3 三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有 C 42 种不同的选法. 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且 3 与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 p 42种不同的站法.
全力以赴
赢在精锐
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列 中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个 排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样， 则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数， m pn 。 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作
解： 由组合数公式，共有 3 C 42 = 42×41×40÷3÷2=11480 种不同的选法； 由排列数公式，共有 3 p 42 ＝42×41×40＝68880 种不同的站法.
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
18
6、习题
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
19
全力以赴
GEC Program
解： 由组合数公式知，共需进行 2 C 12 =12×11÷2=66 场比赛。
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
16
例4、某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营， 问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有 多少种站法？
分析：要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学 有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，应用组合数公式，共有C343 种不同的选法. 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学 有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，应用排列数公式，共有 P342种不同的站法.
解：由排列数公式，共可能有： 3 p 4 =4×3×2=24 种不同的拍照情况．
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
14
例2、5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有 多少种不同的站法？
分析：由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问 题，是一个全排列问题，且n=4．
解：由全排列公式，共有
p 4 =4×3×2×1=24
4
种不同的站法．
全力以赴
GEC Program
赢在精锐
15
例题3、某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要 进行多少场比赛？
分析：因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比 赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队 中取2个队的组合问题。