湖南省邵阳市邵东一中2018_2019学年高一数学下学期期中试题
2023-2024学年湖南省邵阳市邵东市高一下册期中考试数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省邵阳市邵东市高一下册期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}16,{Z 36}M xx N x x =≤≤=∈<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}3,4B ．{}4C ．{}4,5,6D ．{}4,5【正确答案】D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为{}{}4,5,16N M xx ==≤≤∣，所以{}4,5M N ⋂=.故选：D2．()32i i z +⋅=，则z 的虚部为（）A ．2i5B ．2i5-C ．25D ．25-【正确答案】C【分析】使用复数的除法运算解决。
【详解】()()()3i 2i i i 12i 2i 2i 2i 2i 55z ---====--+++-，所以12i 55z =-+，虚部为25，故选：C.3．如图所示，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，(,0)AC nAN m n => ，则14m n+的最小值为（）A ．2B ．3C ．92D ．5【正确答案】C【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到122m n+=，再利用基本不等式求出最小值.【详解】若,,C D E 三点共线，FC FD FE λμ=+，则1λμ+=，理由如下：因为,,C D E 三点共线，则有CD xDE =，即()FD FC x FE FD -=- ，即()1FC x FD xFE =+-，故1,x x λμ=+=-，故1λμ+=，其中1()2AO AB AC =+ 22m n AM AN =+ ，M 、O 、N 三点共线，∴122m n+=，∴14145259()()2222222m n n m m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当22n mm n=，即423n m ==时，等号成立．故选：C ．4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若ABC 的面积是)2224b c a +-，则A =（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6【正确答案】A【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.【详解】由余弦定理可得：()2222cos ,0,πb c a bc A A +-=∈由条件及正弦定理可得：)2221sin cos 242b c a S bc A bc A +-===，所以tan A =π3A =．故选：A5．若0a >，0b >，且()()111a b --=，28a b +的最小值为（）A ．12B ．14C ．16D ．18【正确答案】D【分析】由()()111a b --=，可得111a b+=，后由基本不等式可得答案.【详解】()()111a b --=，11111ab a b a b--+=⇒=，于是()11822828101018baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b=，即33,2a b ==时取等号.故选：D6．已知1tan 2a =，则()()sin πcos ππ3πcos sin 22a a a a ++-=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【正确答案】D【分析】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.【详解】1tan ,cos 02αα=∴≠ ，则()()11sin πcos πsin cos tan 1231π3πsin cos 1tan 1cos sin 222αααααααααα+++---+====--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.7．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB =）A ．18πB ．16πC ．14πD ．12π【正确答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O ，进而可求球的半径和表面积.【详解】如图，在正方体1111F EFG E G H H -中，取正方体、正方形1111E F G H 的中心O 、1O ，连接1111,,,E G OO OA O A ，∵,A B 分别为1111,E H H G 的中点，则112E G AB ==∴正方体的边长为3EF =，故1132OO O A ==，可得2OA ==，根据对称性可知：点O 到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O ，半径2R OA ==，故该半正多面体外接球的表面积为224π4π18π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭.故选：A.8．已知函数()()22log 2,2021,0x x f x x x x ⎧+-<≤=⎨-+>⎩，若函数2()[(())](1)(())g x f f x a f f x a =-++(R)a ∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[0,1)C ．1(0,)4D ．(0,2)【正确答案】A【分析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法()t f x =，作出()f x 的图象，利用数形结合判断根的个数即可.【详解】由[]2()(())(1)(())0g x f f x a f f x a =-++=，得()()()()10f f x f f x a ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，解得()()1f f x =或()()f f x a =，作出()f x 的图象如图，则若()1f x =，则0x =或2x =，设()t f x =，由()()1f f x =得()1f t =，此时0=t 或2t =，当0=t 时，()0f x t ==，有两根，当2t =时，()2f x t ==，有一个根，则必须有()()f f x a =，1a ≠有5个根，设()t f x =，由()()f f x a =得()f t a =，若0a =，由()0f t a ==，得1t =-或1t =，()1f x =-有一个根，()1f x =有两个根，此时有3个根，不满足题意；若1a >，由()f t a =，得2t >，()f x t =有一个根，不满足条件.若a<0，由()f t a =，得21t -<<-，()f x t =有一个根，不满足条件；若01a <<，由()f t a =，得110t -<<或201t <<或312t <<，当110t -<<，()1f x t =有一个根，当201t <<时，()2f x t =有3个根，当312t <<时，()3f x t =有一个根，此时共有5个根，满足题意.所以实数a 的取值范围为()0,1.故选：A.方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题．二、多选题9．下列正确的是（）A ．sin158cos 48cos 22sin 481︒︒+︒︒=B ．sin 20cos110cos160sin 701︒︒+︒︒=C ．1tan151tan15+︒=-︒D ．sin14cos 74cos14sin 74-=o o o o 【正确答案】CD【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.【详解】对于A ，因为sin158cos 48cos 22sin 48sin 22cos 48cos 22sin 48+=+所以()sin158cos 48cos 22sin 48sin 2248sin 701+=+=≠，故A 错误；对于B ，()()sin 20cos110cos160sin 70sin 20cos 70cos 20sin 70+=-+-，()sin 20cos110cos160sin 70sin 20701+=-+=- ，故B 错误；对于C ，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--，故C 正确；对于D ，()sin14cos 74cos14sin 74sin 1474sin 602-=-=-=-o o o o o o o 故D 正确.故选：CD.10．已知正数x ，y 满足2x y +=，则下列说法错误的是（）A1B ．22xy +的最大值为2C2D ．211x y+的最大值为1【正确答案】BC【分析】根据基本不等式逐一分析判断即可得解.【详解】因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1≤，当且仅当x y =时，取得等号，1，故A 正确；当13,22x y ==时，221952442x y +=+=>，故B 错误；因为22224x y =++=+≤+=，2≤，当且仅当x y =时，取得等号，有最大值为2，故C 错误；因为2221112xy x y xy x y x y+⎛⎫==≤= ⎪+⎝⎭+，当且仅当x y =时，取得等号，所以211x y +有最大值为1，故D 正确；故选：BC ．11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是8πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置有关D ．1AE EC +的最小值为【正确答案】ABD【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A ；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=,则AC =底面ABC 和111A B C 是等腰三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×24=+，故A 正确；设底面外接圆半径为r ，即2sin120r =，即1r =，所以直棱柱的外接球半径R ，直三棱柱的外接球表面积为248S R ππ==，故B 正确；由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱1BB 上的一个动点，∴三棱锥1E AAO -的高为定值12，114AA O S =2∴1E AA O V -=1312C 错误；把侧面11AAC C 和侧面11CC B B 展开在一个平面上，当E 为1BB 的中点时，1AE EC +取最小值，()min1AE EC ==+，故D 正确．故选：ABD ．12．已知定义在R 上的函数()f x 不恒等于零，()0f π=，且对任意的,x y ∈R ，有(2)(2)()()f x f y f x y f x y +=+-，则（）A ．(0)2f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于点(π,0)中心对称D ．2π是()f x 的一个周期【正确答案】ABC【分析】分别给,x y 取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质.【详解】对于A ，令y x =得(2)(2)(2)(0)f x f x f x f +=，又函数()f x 不恒等于零，所以(0)2f =，选项A 正确；对于B ，令y x =-得(2)(2)(0)(2)2(2)f x f x f f x f x +-==，所以(2)(2)f x f x -=，故函数()f x 是偶函数，选项B 正确；对于C,D ，令π2t x +=，π2t y -=得(π)(π)()(π)0f t f t f t f ++-==，即(π)(π)f t f t +=--，()()()4π2πf t f t f t +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，且周期为4π，选项D 错误；又()f x 是偶函数，即(π)(π)f t f t -=-，所以(π)(π)(π)(π)0f t f t f t f t ++-=++-=，即(π)(π)f t f t +=--，所以()f x 的图象关于点(π,0)对称，选项C 正确.故选：ABC.三、填空题13．已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是__．【正确答案】8【分析】z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.【详解】解：因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故814．在ABC 中，cm a x =，2cm b =，45B =︒，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则x 的取值范围是__．【正确答案】(2,【分析】利用正弦定理可得x A =，再确定sin A 的范围即可作答.【详解】在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得：sin 45sin 2x A = ，因ABC 有两解，即给定x 值，由sin A 求出的角A 有两个，它们互补，当a b ≤时，045A B <≤= ，角A 唯一确定，ABC 只有一解，则a b >，即有45135B A =<< ，而当90A = 时，ABC 是直角三角形，只有一解，ABC 有两解，则必有sin 12A <<，即2A <<2x <<所以x 的取值范围是(2,.故(2,15．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP xOA yOB =+ ，若3AP PB =，||4OA = ，||2OB =uu u r ，且OA 与OB的夹角为60︒，则OP AB ⋅ 的值为_______.【正确答案】-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用,OB OA 表示OP 与AB，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为3AP PB =，所以33()44AP AB OB OA ==- ，所以13()()()()44OP AB OA AP OB OA OA OB OB OA ⋅=+⋅-=+⋅-2213113116442cos 603442442OA OB OA OB =-+-⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯︒=- ，即3OP AB ⋅=-，故-3四、双空题16．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0ω>R ϕ∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）若()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为______.（2）若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为______.【正确答案】π833ω<≤【分析】（1）由题可得()f x 对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断ω的大概取值范围，再结合条件可得函数的对称轴即可得到ω的值从而得出最小正周期；（2）根据函数的对称中心及ω的大概取值范围，结合三角函数的图象可得2π13π2π523632T T +<≤+，从而解出.【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，代入可得12ππ3k ωϕ+=，1k Z ∈，①∵()f x 在区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且()f x 对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，又∵5π2ππ636-=，2πππ7π36212-=<，∴()f x 在区间π5π,26⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴5πππ2623T ≥-=，23T π≥，即2π2π3ω≥，∴03ω<≤.（1）∵()56πf x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()f x 关于5π12x =对称，代入可得2π5ππ122k ωϕ+=+，2k Z ∈，②①－②可得πππ42k ω=-+，Z k ∈，即24k ω=-+，Z k ∈，又03ω<≤，∴2ω=，2ππT ω==；（2）∵()f x 对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，∴20π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，∵()f x 相邻两个零点之间的距离为2T ，五个零点之间即2T ，六个零点之间即52T ，∴只需2π13π2π523632T T +<≤+即可，所以81033ω<≤，又∵03ω<≤，∴833ω<≤.故π；833ω<≤.五、解答题17．函数()ππsin 0,0,32f x A x A ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫-=+>>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()223g x f x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π7π,212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，求a 的取值范围．【正确答案】(1)()π2sin 33f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(2)2⎡⎤--⎣⎦【分析】（1）令()()πsin 3h x f x A x ωϕ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，结合图象可求得()h x 的解析式，则由()π3f x h x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得()f x ；（2）由（1）可得()g x ，令π23t x =-，将问题转化为()4sin m t t =-在4π5π,36t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦上与y a =恰有3个交点，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）令()()πsin 3h x f x A x ωϕ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：2A =，最小正周期5ππ2π41893T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，2π3T ω∴==，5π5π2sin 2186h ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，解得：()π2π3k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，π3ϕ∴=-，()π2sin 33h x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()πππππ2sin 32sin π32sin333333f x h x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）由（1）得：()π4sin 23g x x a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当π7π,212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π4π5π2336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23t x =-，则()4sin m t t =-在4π5π,36t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上与y a =恰有3个交点，作出()m t 与y a =的图象如下图所示，由图象可知：当2a -≤≤-时，()4sin m t t =-与y a =恰有3个交点，即若()g x 在π7π,212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则a 的取值范围为2⎡⎤--⎣⎦.18．已知a ，b ，c是同一平面内的三个不同向量，其中()1,2a =r .(1)若c =r ，且a c ∥ ，求c；(2)若2b = ，且()0ka b kb k ->=+ ，求a b ⋅ 的最小值，并求出此时a 与b夹角的余弦值.【正确答案】(1)()2,4c =r或()2,4c =--r(2)()mina b⋅= ，此时cos θ=【分析】（1）先设(),2c a λλλ== ,根据坐标求模公式，即可求解.(2)根据题意，条件可化简为2636ka b k ⋅=+，再根据基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为()1,2a =r ，且a c ∥，所以设(),2c a λλλ== ，所以c = ，解得2λ=±，所以()2,4c =r或()2,4c =--r .（2）由2+=- ka b a kb ，得()()222ka ba kb +=- ，所以()222222222k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+ ，因为5a =r ，2b = ，可得2636ka b k ⋅=+，因为0k >，所以112222k k a b k k⋅=+≥⋅= ，当且仅当12k k =，2k =时取等号.所以()min 2a b ⋅=.设a 与b 夹角为θ，则此时10cos 10θ=.19．已知圆锥的底面半径6R =，高8h =(1)求圆锥的表面积和体积(2)如图若圆柱O O '内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值【正确答案】(1)96π,96π;(2)24π.【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h 表示,然后结合二次函数求最值.【详解】（1）∵圆锥的底面半径R =6，高H =8，∴圆锥的母线长2210L H R =+，则表面积26036π96πS RL R πππ=+=+=，体积21963V R H ==ππ.（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中8,6,(08)SO OA OB OK h h ====<<，设圆柱底面半径为r ，则868r h-=，即3(8)4r h =-.设圆柱的侧面积为23322(8)(8)42r h h h h h S =⋅=⋅-'⋅=-+πππ.当4h =时，S '有最大值为24π.20．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2112sin 22C a b c ⎛⎫--= ⎝⎭.(1)求B ∠；(2)若6b =，求ABC 周长的取值范围.【正确答案】(1)π3B =(2)(]12,18【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得1cos 2B =，可求B ∠；（2）结合正弦定理表示出a 和c ，进而将周长表示为关于角A 的正弦函数，利用正弦函数性质以及A 的范围即可求得答案．【详解】（1）2112sin 22C a b c ⎛⎫--= ⎝⎭，由倍角公式得1cos 2a b C c -=，由余弦定理，222122a b c a b c ab +--⋅=，化简得222a c b ac +-=，则2221cos 22a cb B ac +-==，由()0,πB ∈，得π3B =.（2）由正弦定理得︰643πsin sin sin sin 3a cb A C B ====∴43sin a A =，43sinc C =，2ππ3A CB +=-=，2π43(sin sin )43sin sin 3a c AC A A ⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦31πsin12cos12sin226A A A A A⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，由2π3A<<，ππ5π666A<+<，∴π612sin126A⎛⎫<+≤⎪⎝⎭，即612a c<+≤（当且仅当π3A=时，等号成立），从而周长的取值范围是(]12,1821．某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本()C x万元，且()210200,050,100008019450,50.x x xC xx xx⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出全年的利润()W x（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？【正确答案】(1)()210600280,050,100009170,50.x x xW xx xx⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥⎪⎝⎭⎩(2)当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.【详解】（1）当050x<<时，()()228001020028010600280W x x x x x x=-+-=-+-，当50x≥时，()100001000080080194502809170W x x x xx x⎛⎫⎛⎫=-+--=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()210600280,050,100009170,50.x x xW xx xx⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥⎪⎝⎭⎩（2）若050x<<，则()()210308720W x x=--+，当30x =时，()max 8720W x =；若50x ≥，则()10000917091708970W x x x ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即100x =时，等号成立，此时()max 8970W x =．因为89708720>，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．22．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意给定的非零实数1x ，存在唯一的非零实数()212x x x ≠，()()12f x f x =成立，则称函数()f x 是“v 型函数”．已知函数()22()22f x x a a x =-+++，2()||g x a x a a =++，a ∈R ．(1)若()f x 在区间[]0,2上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)设函数()()(),0,,0,f x x h x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩是“v 型函数”，若方程()()30h x tx t =+>存在两个不相等的实数()1212,x x x x <，求()121211x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围．【正确答案】(1)(][)21⋃-∞-+∞，，(2)()4,+∞【分析】（1）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解；（2）当0x <时，设函数()f x 的值域为A ，当0x >时，设函数()g x 的值域为B ，由“v 型函数”，分析可得A B =，再分0a =，0a <和0a >三种情况讨论，求出a ，再根据方程()()30h x tx t =+>存在两个不相等的实数()1212,x x x x <，求得t 的范围，再将所求用t 表示，从而可得出答案.【详解】（1）解：因为()f x 在区间[]0,2上具有单调性，所以2202a a ++≤或2222a a ++≥，解得2a ≤-或1a ≥，即实数a 的取值范围是(][)21⋃-∞-+∞，，；（2）解：因为函数()f x 的对称轴2202++=>a a x ，所以函数()f x 在(),0∞-上递减，当0x <时，设函数()f x 的值域为A ，则()2,A =+∞，当0x >时，设函数()g x 的值域为B ，因为函数()h x 是“v 型函数”，由“v 型函数”的定义知：①若10x <，则存在唯一20x >，使12()()h x h x =，所以()g x 在(0,)+∞上单调且A B ⊆，②若1>0x ，则存在唯一20x <，使12()()h x h x =，所以()g x 在(0,)+∞上单调且B A ⊆，所以函数()h x 在y 轴两侧的图象必须“等高”且单调，即A B =且()g x 在(0,)+∞上单调，当0a =时，()0g x =，不合题意；当0a <时，()g x 在(0,)a -上单调递增，在(,)a -+∞上单调递减，(2,B a ⎤=-∞⎦，不合题意；当0a >时，()g x 在(0,)+∞上单调递增，()2,2B a =+∞，所以222a =，则1(1a a ==-舍去），综上1a =，则()242,011,0x x x h x x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，由方程()()30h x tx t =+>，当0x ≤时，方程为()2410x t x -+-=，因为()2440t ∆=++>，所以方程()2410x t x -+-=有两个实数根，设为,m n ，则()400,10m n t t mn +=+>>=-<，所以方程()2410x t x -+-=有两个异号实数根，故当0x ≤时，方程()2410x t x -+-=有且仅有一个实数根，当0x >时，方程为()110t x -+=，又因方程()()30h x tx t =+>存在两个不相等的实数()1212,x x x x <，所以120x x <<，即当0x >时，方程()110t x -+=一定有一个实数根，即2101x t=>-，所以01t <<，由2111423x x tx -+=+，得1114t x x =--，则1114x t x -=+，由()2110t x -+=，得211x t=-，则()121212121111x x x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭()1411t t t=++---1231t t=++-，因为函数12,1y t y t==-在()0,1上都是增函数，所以函数1231y t t=++-在()0,1上是增函数，当0x =时，12341t t++=-，当1t →时，1231t t ++→+∞-，所以()()1212114,x x x x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪⎝⎭.本题考查了根据函数的单调性求参数的范围及函数新定义的问题，考查了根据方程的根求参数的范围问题，解决第二问的关键在于把所求用t 表示，属于难题.。
2019年邵阳市高一数学下期中模拟试卷(含答案)
2019年邵阳市高一数学下期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．224．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=5．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<6．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤B ．a c b ≤≤C ． c a b ≤≤D ．c b a ≤≤7．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ） A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③8．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．69．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32π C ．4πD ．34π 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.15．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________. 16．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.17．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.18．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 19．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ． 20．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.（1）求证：PD MCE ∥平面；（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.23．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.24．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积.26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．C解析：C 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ， 易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 3．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=2333⨯=，∴116 13OO=-=，∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=34，∴1326236S ABCV-=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．4．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
湖南省邵阳市邵东一中2018-2019学年高一数学下学期期中试题
湖南省邵东一中2019年上学期高一年级期中考试试题数学分值：120分 时量：120分钟一．选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分。
下列各题四个选项中只有一个．．．．是最符合题意的。
）1．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13，则高三级部的全体老师的个数为( )A ．10B ．30C ．60D ．90D [因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13，所以高三年级中每个老师被抽到的可能性都为13，由30÷13＝90(人)，可得全体老师人数．]2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C3．若直线与直线互相垂直,则等于( )A ．1B ．-1C ．±1 D．-2 【答案】C 解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直．②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；③，当时，此两条直线的斜率分别为，．两条直线相互垂直，，化为，综上可知：．故选：．4．设，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，所以5．P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（）A．1 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为在圆外，且圆心与的距离等于，又P为圆上任一点，所以P与点的距离的最小值等于圆心与的距离减去半径，因此最小值为. 故选B6．函数的零点所在的大致区间是( )A．（1,2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）【答案】C【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f(2)="ln2-1" =ln2-1＜0，f(e)=lne-2 e =1-2 e ＞0，∴f（2）•f（e）＜0，∴函数f（x）="Inx-2"x 的零点所在的大致区间是（2，e）．故选C7．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③④C ．②④D ．①②③【答案】A 【详解】①中，因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以；故①正确；②中，因为直线平面，，所以或，又直线平面，所以与可能平行、重合或异面，故②错；③因为直线平面，，所以平面，又直线平面，所以，故③正确；④中，因为直线平面，，所以或，又直线平面，所以与平行或相交，所以④错； 故选A8．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.12 B.13 C.14D.15B [所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.]9．在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D由频率分布直方图知，成绩在内的频率为：，所以，成绩在内的人数为：（人），所以该班成绩良好的人数为11人．故选D.10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【答案】D先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，所以基本事件总数为；因为，就称甲乙“心有灵犀”，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”包含的基本事件有：，共16个基本事件，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为.11．若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，作出圆与直线的图象，数形结合可得圆心到的距离小于1时符合题意，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】将圆：化为标准方程为，,半径为，过作直线的垂线，垂足为交圆于，当即为1时，圆上有三个点到直线的距离为2，当即时，圆上有四个点到直线的距离为2，圆心到的距离小于1，即，解得，即的取值范围是,故选C.12．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A对任意的，存在，使得，等价于时的最小值大于时的最小值，设，在上递增，.当时，，.当时，，，综上可得，，故选A.二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元.73.5 [由题表知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，故当x ＝10时，y ^＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．]14．如图，该程序运行后输出的结果为___________．【答案】4515．当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是___________． 答案为：10101000（2）． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_______.【答案】【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，则平面ABC，延长交球于点D，则平面ABC.∵，∴，∴高，∵是边长为1的正三角形，∴，∴.三．解答题17．(本小题满分8分)已知点，，动点P满足．若点P为曲线C，求此曲线的方程；已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或．设，点，，动点P满足．，整理得：，曲线C方程为．设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距也为a，当时，直线l过，设直线方程为．把代入曲线C的方程，得：，，直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当时，直线方程为，把代入曲线C的方程，得：，直线l与曲线C只有一个公共点，，解得，直线l的方程为或．18．(本小题满分8分)如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．（Ⅰ）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；（Ⅱ）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．【答案】（1） x=7；（2）试题解析：（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为．乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”．设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．则从5人中选出3人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况，．8分其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种．由古典概型概率计算公式可得P（A）=．19．(本小题满分8分)如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.(1) 求证:.(2) 求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.(1) 因为,,所以且,所以平面.又平面,所以.(2) 因为,平面平面,平面平面, 平面,所以平面.又, 是的中点,所以,到平面的距离为,又.所以 .20．(本小题满分10分)已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （）A. B. C. D.2. sin 20 °cos 40 ° ＋cos 20 °s in 40 ° 的值等于（）A．______________________________________ B．C． D．3. 已知角的终边过点，，则的值是（）A．1或－1___________________________________ B．或C．1或___________________________________ D．－1或4. 下列命题正确的是（）A．若，则 =0B．若 = ，则 =C．若 // ， // ，则 //D．若与是单位向量，则 =15. 函数 f(x)=sin2x cos2x是（）A．周期为π的偶函数____________________________ B．周期为π的奇函数C ．周期为的奇函数.________________________ D．周期为的偶函数6. 将函数的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A． B．C．___________________________________ D．7. 若| ，且（）⊥ ，则与的夹角是（）A． B． C．D．8. 已知 , 且点在的延长线上, ,则点的坐标为（）A． B ． C ．___________________________________ D．9. 已知 , , 则的值为（）A ．______________ ______________B ．___________________________________________________ C ．______________________________ D ．10. 化简 + ，得到（）A．2sin5 B．－2cos5 C．－2sin5 D．2cos511. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A. B.C. D.12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B． C．－D．二、填空题13. 已知向量 a＝(3，2) ， b＝(0，－1) ，那么向量 3b－a 的坐标是．14. 设－， , 则．15. 已知向量设 X 是直线 OP 上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________16. 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：_________________________________ ．三、解答题17. 已知，，，，求的值.18. 已知 , ,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( ,).（I）若| |=| |，求角α的值；（II）若，求的值.20. 已知， , 且 f(x)= . （1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.21. 已知关于x的方程的两根为和，∈（0，π）. 求：（I）m的值；（II）的值；（III）方程的两根及此时的值.22. 设，其中．（1）用a表示f(x)的最大值M(a)；（2）当M(a)=2时，求a的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n 的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(word版)
2019年下学期高一期中考试试卷数学一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合,3,,4,则( )A. B. C. D. 3,4,5,2.函数的定义域为( )A. B. C. D.3.三个数的大小关系是( )A. B.C. D.4.函数恒过定点( )A. B. C. D.5.下列函数为偶函数,且在递增的是( )A. B.C. D.6.设,,下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是( )A. B.C. D.7.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.8.有一组实验数据如表所示：t12345s 37下列所给函数模型较适合的是( )A. B.C. D.9.若,,则等于( )A. B. 3 C. D.10.已知, 则的解集为( )A. B. C. D.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.化简：______．12.若函数的定义域为, 则值域为______．13.当1,时, 幂函数的图象不可能经过第______象限．14.已知是一次函数,且满足, 则函数的解析式．15.关于函数有以下四个结论：定义域为；递增区间为；最小值为；图象恒在x轴的上方．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.计算：；．17.已知集合,．Ⅰ分别求,；Ⅱ已知, 若, 求实数a的取值范围．18.已知函数．求证：函数在上是减函数；记, 试判断的奇偶性, 并说明理由．19.二次函数的最小值为1,且．求的解析式；若在区间上单调递减, 求a的取值范围．20.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出；若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y表示出租所有自行车的日净收入即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得．求函数的解析式及定义域；试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【答案】1. B2. D3. A4. B5. D6. D7. B8. C9. A10. C11. 412.13. 二、四14.15.16. 解：．．17. 解：Ⅰ集合,,,分；分Ⅱ由,,且,,分；解得,实数a的取值范围是分18. 解：证明：根据题意,,设,则；又由,则,,,则,则函数在上是减函数；,有,解可得或,即函数的定义域为, 在其定义域上为偶函数；证明如下：,即,则函数为奇函数．19. 解：由可得：的图象关于直线对称,又由二次函数的最小值为1,可设,故,解得：,,由知,函数的单调递减区间为,若在区间上单调递减,则．20. 解：当时,,令,解得．,,,且．当时,综上可知当,且时,是增函数,当时,元．当,时,,当时,元．综上所述,当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多,为270元．【解析】1. 解：1,2,3,4,5,,4,,2,3,,3,,则．故选：B．先把集合U利用列举法表示出来,确定出全集U,根据全集U和集合B,求出集合B的补集,最后求出集合B补集与集合A的交集即可．此题考查了交集、补集及并集的混合运算,利用列举法表示出集合U,确定出全集U是本题的突破点,学生在求补集时注意全集的范围．2. 解：要使原式有意义,需,解得：,且,所以原函数的定义域为．故选：D．给出的函数有分式,有根式,又有对数式,函数的定义域要保证三部分都有意义,本题考查了函数的定义域及其求法,解答的关键是保证构成函数式的各部分都有意义,是基础题．3. 解：,；．故选：A．容易得出,从而得出这三个数的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性．4. 解：由题意,令可得,带入可得,可得恒过定点．故选：B．根据对数的性质,令可得,带入可得,可得恒过定点．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,难度不大,属于基础题．5. 解：A．是非奇非偶函数,该选项错误；B.；是奇函数,该选项错误；C.是奇函数,该选项错误；D.是偶函数,且在上递增；该选项正确．故选：D．容易判断为非奇非偶函数,和都是奇函数,从而可判断选项A,B,C都错误,从而选D．考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断,以及一次函数的单调性．6. 解：A中y的取值存在,值域不是的子集,不合题意,B中y的范围是,不是的子集,不符合题意C中时,y 的取值有2个,不合题意D中,,,1个x只对应1个符合题意,故选：D．仔细观察函数图像, x的取值范围必须是,y的取值范围必须是的子集,且1个x的取值只能对应1个y 的取值．本题考查函数的概念,解题时要认真审题,仔细求解．7. 解：由于,根据二分法,得函数在区间内存在零点．故选：B．先求出,再由二分法进行判断．本题考查函数的零点问题,解题时要注意二分法的合理运用．8. 解：通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A、D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变,故选：C．通过分析所给数据可知s随t的增大而增大且其增长速度越来越快,利用排除法逐个比较即得结论．本题考查函数模型的选择与应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于基础题．9. 解：,,000, 000,则．故选：A．把指数式转化为对数式,再利用对数的运算法则即可得出．熟练掌握指数式与对数式互相转化及对数的运算法则是解题的关键．10. 解：设,则不等式等价为,作出的图象,如右图,由图象知时,,即时,．若,由得,解得,若,由,得,解得,综上,即不等式的解集为,故选：C．由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可求出的解集．本题主要考查分段函数的应用,是中档题,利用换元法是解决本题的关键．11. 解：,．故答案为：4．直接开方后去绝对值得答案．本题考查有理指数幂的运算性质,是基础题．12. 解：因为的对称轴为,所以时,取得最小值：；时,取得最大值：0,故答案为：开口向上的抛物线中,离对称轴最远的自变量函数值最大；离对称轴最近的自变量函数值最小．本题考查了函数的值域属基础题．13. 解：的图象不可能经过第二、四象限的图象不可能经过第二、三、四象限的图象不可能经过第二、四象限的图象不可能经过第二、四象限综上所述,当1,时,幂函数的图象不可能经过第二、四象限故答案为二、四当1,时进行逐一取值判定幂函数的图象不可能经过的象限,然后求出它们都不进过的象限即可．本题主要考查了幂函数的图象,以及分类讨论的数学思想,属于基础题．14. 【分析】由题意设,利用满足,利用恒等式的性质即可得出．本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质,属于基础题．【解答】解：由题意设,．满足,,化为,,解得．．故答案为：．15. 解：对于函数,令,解得,所以函数的定义域为R,错误；,对称轴是,增区间为,正确；复合对数函数是关于t的增函数,t取最小值时最小,由函数在处取得最小值为2,求得,所以函数的最小值为1,错误；由结论知函数的最小值为1,函数的图象在x轴的上方,正确．综上,正确的结论是．故答案为：．由函数求得定义域为R,判断错误；求得增区间为,判断正确；求得最小值为1,判断错误；判断函数的图象在x轴的上方,正确．本题主要考查对数函数的定义与性质的应用问题,也考查了复合函数的单调区间,最值求法,是基础题．16. 利用指数的性质、运算法则直接求解．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值,考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．17. Ⅰ根据交集与并集的定义写出,；Ⅱ由得出不等式组,从而求出实数a的取值范围．本题考查了集合的定义与应用问题,是基础题．18. 根据题意,将函数的解析式变形为,设,由作差法分析可得结论；根据题意,先求出函数的定义域,进而分析可得,即,结合奇偶性的定义分析可得结论．本题考查函数奇偶性与单调性的证明,关键是掌握函数奇偶性与单调性的证明方法,属于基础题．19. 由已知可得二次函数图象的顶点坐标,设出顶点式,结合,求出二次项系数可得答案；由知,函数的单调递减区间为,即区间为区间的子区间,进而得到答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键．20. 函数出租自行车的总收入管理费；当时,全部租出；当时,每提高1元,租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；由函数解析式是分段函数,在每一段内求出函数最大值,比较得出函数的最大值．本题用分段函数模型考查了一次函数,二次函数的性质与应用,是基础题．。
精选-湖南省邵阳市邵东一中2018_2019学年高一化学下学期期中试题
湖南省邵阳市邵东一中学年高一化学下学期期中试题考试范围：至必修二第二章第二节时量：分钟满分：分可能用到的相对原子质量：一．选择题（每小题只有一个正确答案，×分）.化学科学需要借助化学专用语言描述，下列有关化学用语正确的是 ( ) . 次氯酸的结构式： . 含有个中子的氧原子的符号：. 的结构示意图 . 的电子式：．下列说法正确的是( )．在标准状况下，水的体积是．所占的体积一定是．在标准状况下，个任何分子所占的体积约为．在标准状况下，总质量为的和的混合气体，其体积约为．能正确表示下列化学反应的离子方程式的是 ( )．氢氧化钡溶液与硫酸的反应：－＋＋．澄清的石灰水与稀盐酸反应：()＋＋＋＋．铜片插入硝酸银溶液中：＋＋＋＋．碳酸钙溶于稀盐酸中：＋＋＋＋＋↑.已知常温下，在溶液中发生如下发生：()＋＋－＋＋＋＋()＋＋＋＋－()－＋＋－由此推断下列说法错误的是( )．反应＋＋＋＋－可以进行．元素在反应()中被还原，在反应()中被氧化．还原性由强到弱的顺序是－、－、＋、＋．氧化性由强到弱的顺序是、、、＋．下列各组性质比较中，正确的是()沸点：离子还原性：酸性：金属性：气态氢化物稳定性：半径：．. . . .．氯化碘的化学式为，性质和溴非常相似。
下列关于的有关说法中不正确的是 ( ) . 与之间形成的化学键为共价键. 分子为共价化合物分子. 该物质在反应中通常体现氧化性. 在反应中作氧化剂．若把长式周期表原先的主、副族及族号取消，由左到右改为列，碱金属为第列，稀有气体为第列。
按这个规定，下列说法正确的是 ( ) ．只有第列元素的原子最外层有个电子．同周期Ⅱ和Ⅲ两族元素的原子序数之差为．氧元素位于第列．镁和铝两元素所在列数差．元素、、原子序数之和为，、在同一周期，＋与－具有相同的核外电子层结构。
下列推测不正确的是( )．同周期元素中的金属性最强．原子半径>，离子半径＋>－．同族元素中的氢化物稳定性最高．同周期元素中的最高价含氧酸的酸性最强．下列说法中，正确的是 ( ) ．在离子化合物中不可能含有共价键．在共价化合物中也可能含有离子键．凡含有离子键的化合物一定是离子化合物．由不同种非金属元素组成的化合物中只含有极性键．甲、乙两种非金属元素：①甲单质比乙单质容易与化合；②甲单质能与乙的简单阴离子反应生成乙的单质；③甲的最高价氧化物对应的水化物酸性比乙的强；④与某金属反应时，甲原子得电子数目比乙的多；⑤甲单质的熔、沸点比乙的低。
湖南省邵东县第十中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题
湖南省邵东县第十中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )A B ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ．C.D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.。
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湖南省邵东一中2019年上学期高一年级期中考试试题数学分值：120分 时量：120分钟一．选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分。
下列各题四个选项中只有一个．．．．是最符合题意的。
）1．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13，则高三级部的全体老师的个数为( )A ．10B ．30C ．60D ．90D [因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13，所以高三年级中每个老师被抽到的可能性都为13，由30÷13＝90(人)，可得全体老师人数．]2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C3．若直线与直线互相垂直,则等于( )A ．1B ．-1C ．±1 D．-2 【答案】C 解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直．②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；③，当时，此两条直线的斜率分别为，．两条直线相互垂直，，化为，综上可知：．故选：．4．设，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，所以5．P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（）A．1 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为在圆外，且圆心与的距离等于，又P为圆上任一点，所以P与点的距离的最小值等于圆心与的距离减去半径，因此最小值为. 故选B6．函数的零点所在的大致区间是( )A．（1,2） B．（e，3） C．（2，e） D．（e，+∞）【答案】C【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f(2)="ln2-1" =ln2-1＜0，f(e)=lne-2 e =1-2 e ＞0，∴f（2）•f（e）＜0，∴函数f（x）="Inx-2"x 的零点所在的大致区间是（2，e）．故选C7．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③④C ．②④D ．①②③【答案】A 【详解】①中，因为直线平面，，所以直线平面，又直线平面，所以；故①正确；②中，因为直线平面，，所以或，又直线平面，所以与可能平行、重合或异面，故②错；③因为直线平面，，所以平面，又直线平面，所以，故③正确；④中，因为直线平面，，所以或，又直线平面，所以与平行或相交，所以④错； 故选A8．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.12 B.13 C.14D.15B [所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.]9．在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D由频率分布直方图知，成绩在内的频率为：，所以，成绩在内的人数为：（人），所以该班成绩良好的人数为11人．故选D.10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【答案】D先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，所以基本事件总数为；因为，就称甲乙“心有灵犀”，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”包含的基本事件有：，共16个基本事件，所以任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为.11．若圆：上有四个不同的点到直线：的距离为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，作出圆与直线的图象，数形结合可得圆心到的距离小于1时符合题意，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】将圆：化为标准方程为，,半径为，过作直线的垂线，垂足为交圆于，当即为1时，圆上有三个点到直线的距离为2，当即时，圆上有四个点到直线的距离为2，圆心到的距离小于1，即，解得，即的取值范围是,故选C.12．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A对任意的，存在，使得，等价于时的最小值大于时的最小值，设，在上递增，.当时，，.当时，，，综上可得，，故选A.二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：广告费用x (万元) 3 4 5 6 销售额y (万元)25304045根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元.73.5 [由题表知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，故当x ＝10时，y ^＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．]14．如图，该程序运行后输出的结果为___________．【答案】4515．当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0．则将十进制下的数168转成二进制的数是___________． 答案为：10101000（2）． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_______.【答案】【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为，过ABC三点的小圆的圆心为，则平面ABC，延长交球于点D，则平面ABC.∵，∴，∴高，∵是边长为1的正三角形，∴，∴.三．解答题17．(本小题满分8分)已知点，，动点P满足．若点P为曲线C，求此曲线的方程；已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或．设，点，，动点P满足．，整理得：，曲线C方程为．设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距也为a，当时，直线l过，设直线方程为．把代入曲线C的方程，得：，，直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当时，直线方程为，把代入曲线C的方程，得：，直线l与曲线C只有一个公共点，，解得，直线l的方程为或．18．(本小题满分8分)如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．（Ⅰ）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；（Ⅱ）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．【答案】（1） x=7；（2）试题解析：（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为．乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7；（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”．设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．则从5人中选出3人的所有方法种数为：（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况，．8分其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种．由古典概型概率计算公式可得P（A）=．19．(本小题满分8分)如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.(1) 求证:.(2) 求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.(1) 因为,,所以且,所以平面.又平面,所以.(2) 因为,平面平面,平面平面, 平面,所以平面.又, 是的中点,所以,到平面的距离为,又.所以 .20．(本小题满分10分)已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。
（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】（1），．设圆的方程是令，得；令，得]，即：的面积为定值．（2）垂直平分线段．，直线的方程是，解得：当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线相交于两点．当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去．圆的方程为21．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝22，∠PAB＝60°.(1)求证：AD ⊥平面PAB ；(2)求二面角P －BD －A 的正切值．[解析] (1)证明：在△PAD 中，∵PA ＝2，AD ＝2，PD ＝22，∴PA 2＋AD 2＝PD 2，∴AD ⊥PA ．在矩形ABCD 中，AD ⊥AB ．∵PA ∩AB ＝A ，∴AD ⊥平面PAB ．(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作HE ⊥BD 于点E ，连结PE .∵AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥PH .又∵AD ∩AB ＝A ，∴PH ⊥平面ABCD ．又∵PH ⊂平面PHE ，∴平面PHE ⊥平面ABCD ．又∵平面PHE ∩平面ABCD ＝HE ，BD ⊥HE ，∴BD ⊥平面PHE .而PE ⊂平面PHE ，∴BD ⊥PE ，故∠PEH 是二面角P －BD －A 的平面角．由题设可得，PH ＝PA ·sin60°＝3， AH ＝PA ·cos60°＝1，BH ＝AB －AH ＝2，BD ＝AB 2＋AD 2＝13，HE ＝AD BD ·BH ＝413. ∴在Rt △PHE 中，tan ∠PEH ＝PH HE ＝394. ∴二面角P －BD －A 的正切值为394. 22.(本小题满分12分)已知函数2()2x x a f x b+=+. (1)当4,2a b ==-时，求满足()2xf x =的x 的值； (2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数()g x 满足()[()2]22x x f x g x -⋅+=-，若对任意x R ∈且x ≠0,不等式()()10g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值。