福建省莆田一中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题【含答案】
2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_13
2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模的定义直接求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4【答案】D【解析】【分析】根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.3. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.【详解】由可知,则故选：A【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.依题意，所以原平面图形的面积.故选：B【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.【详解】取中点连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,故选：D【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.【详解】由题意得：，，又，，，，，，由正弦定理得，，即，，为锐角，，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.二、多项选择题：本大题共4个小题.9. 下列命题中，正确的是（）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选：BCD【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在点，使得平面成立C. 存在点，使得平面成立D. 四棱锥体积最大值为【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故B错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故D正确．对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故C正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题：本大题共4小题.13. 复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.【详解】依题意，原式故答案为：【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．【答案】.【解析】试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.考点：球的体积.15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.【详解】依题意，解得或，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）由向量共线得，则，即可得；（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；（2）计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，令，则，如图：所以有.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，，，，，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；（2）先算出，，再由夹角公式列方程，解方程即得结果.【详解】（1）因为，所以，即，得；（2），，，所以，整理得，得或【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0125；（2）3户.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）月平均用电量在，的用户有（户，月用电量在，的用户有（户，月平均用电量在，的用户有（户，抽取比例为：，月平均用电量在，的用户中应该抽取：（户．【点睛】本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱的中点.，.（1）求证：；（2）若是的中点，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.（2）通过构造面面平行的方法来证得平面.【详解】（1）因为，，所以三角形是等边三角形，由于是的中点，所以.因为平面平面且两个平面的交线为，所以平面，又平面，所以.（2）取中点，连结，.因为是的中点，是的中点，所以在中，，由于平面，平面，所以平面.又在三棱柱中，所以，即，且.所以四边形平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.因为，所以平面平面，又平面.所以平面.【点睛】本小题主要考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21. 在平面四边形中，已知，.（1）若，求；（2）求.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】(1)在中，利用余弦定理求出，进而在中求出；(2)在和中分别使用余弦定理表示，联立方程组可得出的值．【详解】(1)在中，，，，，得，所以，，；(2)在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，得，所以为定值1.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题．22. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中，，均为正方形，且，.其中，为加强支撑管.（1）若时，求到地面距离；（2）若记，求支撑管最长为多少？【答案】（1）米；（2）3米.【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算可得到的距离，即可求解；（2）在中，分别应用余弦定理和正弦定理，以及辅助角公式和正弦函数的值域，即可求得其最大值，得到答案.【详解】（1）当时，，点离的距离，所以点离地面的距离为米；（2）在中，由于，利用余弦定理得，所以，设，在中，利用余弦定理得，所以，①在中，由正弦定理得，所以，②②代入①式得，其中，所以当时，最大，最大值为，所以加强钢管最长为3米.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模的定义直接求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4【答案】D【解析】【分析】根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.3. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.【详解】由可知,则故选：A【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.依题意，所以原平面图形的面积.故选：B【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.【详解】取中点连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,故选：D【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.【详解】由题意得：，，又，，，，，，由正弦定理得，，即，，为锐角，，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.二、多项选择题：本大题共4个小题.9. 下列命题中，正确的是（）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选：BCD【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在点，使得平面成立C. 存在点，使得平面成立D. 四棱锥体积最大值为【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故B错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故D正确．对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故C正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题：本大题共4小题.13. 复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.【详解】依题意，原式故答案为：【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．【答案】.【解析】试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.考点：球的体积.15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.【详解】依题意，解得或，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）由向量共线得，则，即可得；（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；（2）计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，令，则，如图：所以有.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，，，，，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；（2）先算出，，再由夹角公式列方程，解方程即得结果.【详解】（1）因为，所以，即，得；（2），，，所以，整理得，得或【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0125；（2）3户.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）月平均用电量在，的用户有（户，。
2019-2020年高一下学期期末考试 数学试卷 含答案
绝密★启用前2019-2020年高一下学期期末考试数学试卷含答案A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3. 若a=（2，3），b=（-4，7），则a在b方向上的投影为（）A. B. C. D.4. 若，则的取值范围是______．5. 在空间四边形ABCD中，设，，M点是BD的中点，则下列对应关系正确的是（）A．B．C．D．6. 设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于()A. B. C．－D．－7. 已知，则（）A．B．C．D．8. 函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为（）A．B．C．D．9. 已知函数的图象关于直线对称,且,则的最小值是( )A.2 B.4 C.6 D.810. 使得函数既是奇函数又是偶函数的实数的值是（）A． B． C． D．不存在的11. 已知下列四个命题:①把y=2cos(3x+)的图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍,再把图象向右平移单位,所得图象解析式为y=2sin(2x)②若m∥,n∥,⊥,则m⊥n③在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上且满足等于.④函数=xsinx在区间上单调递增,在区间函数f上单调递减.其中是真命题的是( )A.①②④B.①③④C.③④D.①③12. 函数y=2sin(ωx+φ)，|φ|<的图象如图所示，则( )A．ω=,φ= B．ω=,φ= -C．ω=2,φ= D．ω=2,φ= -第II卷（非选择题）请修改第II卷的文字说明二、填空题13. 当k=___________时，向量a=e1-4e2，b=2e1+k e2共线（其中向量e 1，e 2不共线）.14. 已知向量m 与n 满足,且,则向量m 与n 的夹角为 .15. 已知直线与圆交于A 、B 两点, 且,其中为原点,则实数=16. 设是两个不共线的向量，且向量与向量是共线向量，则实数_______________．三、解答题17. 向量，．设函数．求函数的最小正周期及时的最大值．18. 若角的终边经过点，则的值为______________．19. 已知函数, 其中,(cos sin ,2sin ),0,()n x x x f x ωωωω=->其中若相邻两对称轴间的距离不小于(1)求的取值范围;(2)在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC的对边分别是角中 的面积.20. 已知：，． （1）证明； （2）求向量的夹角．21. 已知2()2sin cos 62x f x x πα⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭， 且. （1）求；（2）当时，求函数的值域.22. 已知.（Ⅰ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求的值参考答案一、单项选择1.【答案】D【解析】∵由平移到，即右移了个单位，上移了个单位∴故选D；2.【答案】B3.【答案】C【解析】a在b方向上的射影为.4.【答案】5.【答案】C【解析】在△ABD中M是BD边的中点，∴1()22b a MD MA AD a b b-=+=-++=，可得正确选项为C.6.【答案】B【解析】因为α∈(0，)，sinα＝，所以cosα＝＝. 所以cos(α＋)＝(cosαcos－sinαsin)＝(cosα－sinα)＝cosα－sinα＝－＝7.【答案】C8.【答案】B。
2019-2020学年福建省莆田一中高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年福建省莆田一中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1与圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16的位置关系是()A. 外离B. 外切C. 内切D. 相交2.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A. 若a⊥b，a⊥α，则b//αB. 若a//α，α⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，α⊥β，则a//αD. 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β3.已知两条直线l1：x+y−1=0，l2：3x+ay+2=0且l1⊥l2，则a=()A. −13B. 13C. −3D. 34.如果函数y=f(x)的图象与函数y′=3−2x的图象关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为()A. y=2x−3B. y=2x+3C. y=−2x+3D. y=−2x−35.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=7，S4=20，则a10=()A. 25B. 32C. 35D. 406.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是()A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能7.如图：正三棱锥A−BCD中，∠BAD=40°，侧棱AB=2，BD平行于过点C的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为() A. a+b2≥√ab(a>b>0) B. a2+b2≥2ab(a>b>0)C. 2aba+b ≤√ab(a>b>0) D. a+b2≤√a2+b22(a>b>0)9.已知A(−3,0)，B(0,4)，M是圆C：x2+y2−4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为()A. 4B. 5C. 10D. 1510.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为()km．A. 8√53B. 4√153C. 2√153D. 2√511.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A. 平面PAB⊥平面PBCB. 异面直线AD与PB所成的角为60°C. 二面角P−BC−A的大小为60°D. 在棱AD上存在点M使得AD⊥平面PMB12.如图，M、N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC与BD所成的角为定值；②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°；④三棱锥M−ACN体积的最大值为√2．48以上所有正确结论的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是______．)的直线l与圆交于A、B两点，圆14.已知圆的方程为x2+(y−1)2=4，若过点P(1,12心为C，则圆∠ACB最小时，直线l的方程为______．15.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A−BCD的外接球，BC=3,AB=2√3，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是．16.圆C：x2+y2=16，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，在x轴正半轴上存在定点N，使得x轴平分∠ANB，求出点N的坐标______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l在y轴上的截距为−2，且垂直于直线x−2y−1=0．(1)求直线l的方程；(2)设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．18.已知在数列{a n}中，S n为其前n项和，且S n=n2(n∈N+)，数列{b n}为等比数列，公比q>1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差数列．(1)求{a n}与{b n}的通项公式；(2)令c n=a n，求{c n}的前项和T n．b n19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√3bsinA−acosB−2a=0．(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)若b=√7，△ABC的面积为√3，求a+c的值．220.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=√3，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(Ⅰ)当点E为BC的中点时，证明EF//平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PAD的体积；(Ⅲ)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作EF//BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB=60°．(1)求证：平面CBEF⊥平面PBE；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P−EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P−EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．22.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4，直线l1过定点A(1,0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1的圆心C1(−2,2)，半径r1=1 ，圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16的圆心C2(2,5)，半径r2=4，|C1C2|=√(2+2)2+(5−2)2=5=r1+r2 ，∴圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1与圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16外切．故选：B．求出两圆的圆心坐标和两圆的半径，由圆心距等半径之和得到两圆外切．本题考查两圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．2.【答案】D【解析】根据线面平行的判定方法，可以判断A，C的对错，根据线面垂直的判定方法，可以判断B，D的真假，对四个答案逐一进行分析后，易得到答案．本题考查的知识点是平面与直线之间的关系，熟练掌握空间线与面平行与垂直之间的关系及其转化是解答本题的关键．解：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b//α，又b⊥β，∴α⊥β．故选D．3.【答案】C【解析】解：∵直线l1：x+y−1=0，l2：3x+ay+2=0且l1⊥l2，则它们的斜率之积等于−1，=−1．∴−1×−3a解得a=−3，根据两直线垂直的性质可得，两直线垂直斜率之积等于−1，由此求得a 的值． 本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于−1，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设(x,y)为函数f(x)上的点，∵(x,y)关于原点对称的点为(−x,−y)在函数y′=3−2x 上∴以−y ，−x 代替函数y′=3−2x 中的y′，x ，得y =f(x)的表达式为y =−2x −3故选：D ．先假设函数f(x)上的点(x,y)，∵(x,y)关于原点对称的点为(−x,−y)在函数y′=3−2x 上代入即可得到答案．本题主要考查根据函数对称性求函数解析式的问题．根据求谁设谁的原则，先假设函数f(x)上的点，根据对称性找关系式即可得到答案．5.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=7，S 4=20，∴{a 3=a 1+2d =7S 4=4a 1+6d =20， 联立解得a 1=−1，d =4，∴a 10=a 1+9d =−1+36=35，故选：C ．由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由通项公式可得．本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6.【答案】C【解析】解：∵直线ax +by +2c =0与圆x 2+y 2=4相离，∴圆心到直线的距离√a 2+b 2>2，即c 2>a 2+b 2，故△ABC 是钝角三角形，由题意可得，圆心到直线的距离2c√a2+b2>2，即c2>a2+b2，故△ABC是钝角三角形．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：把正三棱锥A−BCD的侧面展开，两点间的连接线CC′即是截面周长的最小值．正三棱锥A−BCD中，∠BAD=40°，所以AC⊥AC′，AB=2，∴CC′=√22+22−2×2×2×(−12)=2√3，∴截面周长最小值是CC′=2√3．故选：B．首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线CC′即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可．本题重点考查了空间中的距离最值问题，属于中档题．注意等价转化思想的灵活运用．8.【答案】D【解析】解：由图形可知：OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF=√(a+b2)2+(a−b2)2=√12(a2+b2)，∵CF≥OC，∴√12(a2+b2)≥12(a+b)，(a,b>0)．故选：D．由图形可知OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OC即可得出．本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：由x2−4x+y2=0，得(x−2)2+y2=4，∴圆的圆心(2,0)，半径为2，过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于M，此时△ABM的面积最小．直线AB的方程为4x−3y+12=0，|AB|=5，=4，∴圆心到直线AB的距离为|8+12|5×5×(4−2)=5，∴△MAB的面积的最小值为12故选：B．化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心作AB所在直线的垂线交圆于M，则答案可求．本题考查了圆的方程的综合运用，考查了点到直线的距离公式，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思想，是中档题．在△ACD中由正弦定理可求AD的值，在△BCD中由正弦定理可求BD的值，再在△ABD 中由余弦定理可求AB的值．【解答】解：由已知，△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，可得∠CAD=30°，由正弦定理，得，所以；△BCD中，∠CDB=75°，∠BCD=45°，可得∠CBD=60°，由正弦定理，得，所以；△ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=48+323−2×4√3×4√63×√22=803，解得：AB=4√153，则两目标A，B间的距离为4√153km．故选：B．11.【答案】D【解析】解：对于BD.取AD的中点M，连接PM，BM，BD．∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD．∵△ABD为等边三角形，AM=MD，∴BM⊥AD．又PM∩BM=M，∴AD⊥平面PMB，∴AD⊥PB．因此D正确，B不正确．对于C.又BC//AD，∴BC⊥BM，又平面PAD⊥平面ABCD，PM⊥交线AD，∴PM⊥平面ABCD，∴BC⊥PB，∴∠PBM是二面角P−BC−A的平面角，大小为45°，因此C不正确．对于A.由C可知：平面PMB⊥平面PBC.可得：平面PAB与平面PBC不可能垂直，否则出现平面PMB//平面PBA矛盾．故选：D．利用空间位置关系的判定与性质定理、等边三角形的性质、空间角的定义与求法即可判断出正误．本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、等边三角形的性质、空间角的定义与求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于①：取AC的中点O，连接OB，OD，由正方形的性质，可知AC⊥OB，AC⊥OD，因为OB ∩OD =O ， 所以AC ⊥平面OBD ， 因为BD ⊂平面OBD ， 所以AC ⊥BD ，故①正确； 对于②：若AD ⊥BC ， 因为AB ⊥BC ，AD ∩AB =A ， 所以BC ⊥平面ABD ， 因为BD ⊂平面ABD ， 所以BC ⊥BD ，而BD ⊥AC ，AC ∩BC =C ， 所以BD ⊥平面ABC ，此时△ADC 的面积大于△ABC 的面积，与事实矛盾，故②错误； 对于③：因为正方形ABCD 的边长为1， 所以OB =OD =√22，因为M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点， 所以MN//BD ，若直线MN 与平面ABC 所成的角为45°，则BD 与平面ABC 所成的角为45°，即∠OBD =45°， 在△OBD 中，由余弦定理可得：cos∠OBD =OB 2+BD 2−OD 22⋅OB⋅OD，即√22=22⋅√22⋅BD ，解得BD =1，当BD =1时，△BCD 是等边三角形，符合题意，即③正确；对于④：由等体积法可知，三棱锥M −ACN 体积等于三棱锥N −ACM 体积， 当面ADC ⊥面ABC 时，点N 到平面ACM 的距离最大， ℎmax =OD 2=√24， 所以S △ACM =12⋅AC ⋅OB 2=14，所以V N−ACM =13⋅ℎmax ⋅S △ACM =13⋅√24⋅14=√248，故④正确．故选：C ．①：利用线面垂直的判定定理和性质定理，证明AC ⊥BD ，即可判断①是否正确； ②反证法，假设AD ⊥BC ，可推出BC ⊥平面ABD ，进而得出BD ⊥平面ABC ，与实际矛盾；即可判断②是否正确；③反证法，假设直线MN与平面ABC所成的角为45°，结合余弦定理，求出BD=1，复合题意；即可判断是否正确；④等体积及转化，即可判断④是否正确；本题考查了空间中线线，线面的夹角问题，属于中档题．13.【答案】A>B【解析】解：∵购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，∴每支玫瑰的价格为A2元，每支康乃馨的价格为B3元，∴{2×A2+B3>84×A2+5×B3<22，即{A+B3>82A+5B3<22，∴16−2B3<2A<22−5B3，∴B<6，A>6，∴A>B．故答案为：A>B．由题可知玫瑰和康乃馨的单价，再列出关于A和B的不等式组，解之即可．本题考查不等式的实际应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】4x−2y−3=0【解析】解：圆C：x2+(y−1)2=4的圆心为C(0,1)，当∠ACB最小时，CP和AB垂直，∴AB直线的斜率等于−11−120−1=2，用点斜式写出直线l的方程为y−12=2(x−1)，即4x−2y−3=0，故答案为：4x−2y−3=0．利用当∠ACB最小时，CP和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程．本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线垂直，斜率之积等于−1.判断当∠ACB最小时，CP和AB垂直是解题的关键．15.【答案】[2π,4π]【解析】【分析】本题考查了正三棱锥与外接球，过球内一点作球的截面面积的取值范围问题，涉及余弦定理，属较难题．画出图形，利用正三棱锥性质及勾股定理建立方程求得外接球半径，进而求得E到球心O的距离，根据过球O内一点E的截面中，与OE垂直的截面面积最小，过球心的截面面积最大即可得解．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则BC=CD=BD=3，AB=AD=AC=2√3，则O1D=3sin60°×23=√3，AO1=√AD2−DO12=3，在Rt△OO1D中，R2=3+(3−R)2，解得R=2，∵BD=3BE，∴DE=2，在△DEO1中，O1E=√3+4−2×√3×2×cos30°=1，∴OE=√O1E2+OO12=√2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π,4π]．16.【答案】(8,0)【解析】解：当直线AB ⊥轴时，x 轴平分∠NAB ，此时N 为x 轴正半轴上任一点， 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −2)，(k ≠0)，N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x 2+y 2=16y =k(x −2)，得(1+k 2)x 2−4k 2x +4k 2−16=0，则x 1+x 2=4k 21+k2，x 1x 2=4k 2−161+k 2，由题意得，k AN +k BN =0， 即k(x 1−2)x 1−t+k(x 2−2)x 2−t=0，整理得2x 1x 2−(t +2)(x 1+x 2)+4t =0， 即2(4k 2−16)1+k 2−4k 2(t+2)1+k 2+4t =0，解得t =8，即N(8,0)． 故答案为：(8,0)．由题意得，k AN +k BN =0，然后结合直线斜率公式，联立直线与圆方程，结合方程的根与系数关系代入即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，体现了分类讨论思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)设直线l 的方程为y =kx −2．直线x −2y −1=0的斜率为12，所以k =−2． 直线l 的方程为y =−2x −2．(2)设圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0． 由于△OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12|AB|； 由A(−1,0)，B(0,−2)得C(−12,−1)，|AB|=√5；故{ −D2=−12−E2=−112√D 2+E 2−4F =12√5，解得D =1，E =2，F =0． 圆C 的一般方程为：x 2+y 2+x +2y =0．【解析】(1)设直线l 的方程为y =kx −2，利用两直线垂直斜率相乘为−1来求出另一条直线的斜率即可；(2)由于△OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12|AB|．本题主要考察了直线方程与斜率的关系，以及圆的一般方程等基础知识，属基础题．18.【答案】解：(1)∵a1=S1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n=1时上式成立，因此a n=2n−1，∴b1=a1=1，∵2b2，b4，3b3成等差数列，∴2b4=2b2+3b3，即2q3=2q+3q2，即2q2=2+3q，∵q>1，∴q=2．∴b n=2n−1．(2)由(1)得c n=a nb n =2n−12n−1，∴{c n}的前项和T n=1+32+522+⋯…+2n−12n−1，①∴12T n=12+322+523+⋯…+2n−32n−1+2n−12n，②①−②得：12T n=1+2(12+122+⋯…+12n−1)−2n−12n=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n−12n，∴T n=6−2n+32n−1．【解析】(1)a1=S1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1，即可得出a n.b1=a1=1，由2b2，b4，3b3成等差数列，可得2b4=2b2+3b3，即2q3=2q+3q2，q>1，解得q，即可得出b n．(2)由(1)得c n=a nb n =2n−12n−1，利用错位相减法即可得出T n．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得√3sinBsinA−sinAcosB−2sinA=0，因为sinA≠0，所以√3sinB−cosB−2=0，即sin(B−π6)=1，又B∈(0,π)，∴B−π6∈(−π6,5π6)，∴B−π6=π2，∴B=2π3．(Ⅱ)∵B=2π3．∴由已知S△ABC=12acsinB=12ac⋅√32=√32，∴ac=2，∵b=√7，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即7=(a+c)2−2ac−2ac⋅(−12)，∴7=(a+c)2−ac，又a>0，c>0，∴a+c=3．【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，两角差的正弦函数公式可得sin(B−π6)=1，结合B的范围可得B−π6∈(−π6,5π6)，即可解得B的值．(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可得ac=2，由已知利用平方和公式，余弦定理即可解得a+c的值．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式，平方和公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．20.【答案】(本小题共12分)(Ⅰ)证明：连结AC，EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴△PBC中，EF//PC，…(2分)又EF不包含于平面PAC，PC⊂平面PAC，…(3分)∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC.…(4分)(Ⅱ)解：∵PA⊥平面ABCD，且AC，AB，BC⊂面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴Rt△PAD中，PA=√3，AD=1，∴S△PAD=12×AD×PA=√32，…(6分)又四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，又AD和PA是面PAD上两相交直线，∴AB⊥平面PAD，又AD//BC，∴AB就是三棱锥E−PAD的高．…(7分)∴V E−PAD=13×S△PAD×AB=13×√32×√3=12.…(8分)(Ⅲ)证明：∵PA⊥AB，PA=AB=√3，点F是PB的中点，∴等腰△PAB中，AF⊥PB，…(9分)又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两相交直线，∴BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BC，…(10分)又PB和BC是平面PBC上两相交直线∴AF⊥面PBC，…(11分)又PE⊂平面PBC，∴AF⊥PE，∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．…(12分)【解析】(Ⅰ)连结AC，EF，则EF//PC，由此能证明EF//平面PAC．(Ⅱ)由已知PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，S△PAD=12×AD×PA=√32，AB就是三棱锥E−PAD的高．由此能求出三棱锥E−PAD的体积．(Ⅲ)由已知得等腰△PAB中，AF⊥PB，BC⊥平面PAB，从而AF⊥面PBC，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．本题考查EF//平面PAC的证明，考查三棱锥E−PAD的体积的求法，考查无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：(1)证明：∵EF//BC且BC⊥AB，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE=E，∴EF⊥平面PBE，又EF⊂平面CBEF，平面CBEF⊥平面PBE．(2)设BE=x>0，PE=y>0，则x+y=4．∴S△PEB=12BE⋅PE⋅sin∠PEB=√34xy≤√34(x+y2)2=√3．当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2．由(1)知EF⊥平面PBE，平面EFCB⊥平面PBE．在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P−EFCB的高．又PO =PE ⋅sin60°=2×√32=√3,S EFCB =12×(2+4)×2=6．∴V P−BCFE =13×6×√3=2√3，∵OE =PE ⋅cos60°=2×12=1，∴BO =1，在Rt △OBC 中，OC =√BO 2+BC 2=√1+42=√17． ∵PO ⊥平面EFCB ，∴∠PCO 就是PC 与平面EFCB 所成角． ∴tan∠PCO =PO OC=√3√17=√5117， 故直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值为√5117．【解析】(1)通过EF ⊥平面PBE 来证明平面CBEF ⊥平面PBE ；(2)BE =x ，PE =y ，则S △PEB =√34xy ，借助基本不等式可以求出S △PEB 的最大值，进而确定E 点的位置，作PO ⊥BE 于O ，则PO 为四棱锥P −EFCB 的高，所以∠PCO 就是PC 与平面EFCB 所成角，从而求出四棱锥P −EFCB 的体积和直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查基本不等式在求最值中的应用，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．22.【答案】解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线x =1，符合题意．②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y =k(x −1)，即kx −y −k =0． 由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2， 即 √k 2+1=2解之得k =34．所求直线方程是x =1，3x −4y −3=0．(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx −y −k =0 由{x +2y +2=0kx −y −k =0得N(2k−22k+1,−3k 2k+1)； 又直线CM 与l 1垂直，{y =kx −k y −4=−1k (x −3)得M(k 2+4k+31+k 2,4k 2+2k1+k 2)．∴AM ⋅AN =2 |2k+1|1+k 2√1+k 2⋅3√1+k 2|2k+1|=6为定值．【解析】(1)由直线l 1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；(2)分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求AM⋅AN．本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若圆()()221:221C x y ++-=，()()222:2516C x y -+-=，则1C 和2C 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D【解析】求出两圆的圆心距12C C ，比较12C C 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】可知，圆1C 的圆心为()12,2C -，半径为11r =，圆2C 的圆心()22,5C ，半径为24r =，12125C C r r ===+，因此，圆1C 与圆2C 外切. 故选：D. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．设,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,a b a α⊥⊥，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则a β⊥ C ．若,aβαβ，则//a αD ．若,,ab a b αβ，则αβ⊥【答案】D【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解. 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，故A 错误； 在B 中，若//a α，βα⊥，则a 也可能在β内，故B 错误； 在C 中，若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，故C 错误；在D 中，若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则βα⊥成立，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属基础题．3．已知两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥，则a =（ ） A ．3- B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】先建立方程3110a ⨯+⨯=，再求解a 即可. 【详解】解：因为两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥， 所以3110a ⨯+⨯=，解得3a =-， 故选：A. 【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题.4．若函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ） A ．23y x =-- B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =-【答案】A【解析】先假设函数()f x 上的点(,)x y ，由(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上代入，即可求解.【详解】设(,)x y 为函数()f x 上的点，则(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上，可得32()y x -=-⨯-，整理得23y x =--， 即函数()y f x =的表达式为23y x =--. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数()f x 上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】利用已知条件求得1,a d ，由此求得10a . 【详解】依题意3141727204620a a d S a d =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，解得11,4a d =-=，所以101935a a d =+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.6．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线20ax by c ++=与圆224x y +=相离，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能 【答案】C【解析】圆心到直线的距离2222c d a b=>+,所以222c a b >+，在ABC ∆中，222cos 02a b c C ab+-=<，所以C ∠为钝角．ABC ∆为钝角三角形．选C7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内，则CC '即为截面α周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 【详解】如图所示：沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内， 则CC '即为截面α周长的最小值， 且340120CAC '∠=⨯︒=︒， 在ACC '△中，由余弦定理得：()()222cos120CC AC AC AC AC '''=+-⋅︒，2222222cos12023CC '=+-⨯⨯︒=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥的侧面展开图求解最值问题以及余弦定理.属于较易题. 8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0)2a bab a b +>> B ．222(0)a b ab a b +>>C ．2(0)ab ab a b a b>>+D ．220)22a b a b a b ++>> 【答案】D【解析】由图形可知11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在直角OCF △中，由勾股定理可求CF ，结合CF OF ≥即可得出．【详解】由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-， 在直角OCF △中，由勾股定理可得：CF = CF OF ≥，∴1()2a b +，(,0)a b >． 故选：D 【点睛】本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题. 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x =0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．15【答案】B 【解析】【详解】由2240x x y -+=，得22(2)4x y -+=， ∴圆的圆心(2,0)，半径为2，直线AB 的方程为4x-3y+12=0，|AB|=5， ∴圆心到直线AB 的距离为81245+=，点M 到直线AB 距离的最小值为2， ∴△MAB 的面积的最小值为12×5×2=5， 故选：B ．10．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B ．153C ．153D ．5【答案】B【解析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值． 【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒， 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离4153AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB【答案】D【解析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可． 【详解】解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形，AD BM ∴⊥， PMBM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBMAD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角， 设1AB =，则3BM =3PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PMPBM BM∠==， 即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误， 对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥M ACN -2． 以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】证得AC BD ⊥，由此判断①正确；证得90ADB ∠≠︒，由此判断②错误；当平面ACD 与平面ABC 垂直时，求得直线MN 与平面ABC 所成的角、三棱锥M ACN -体积的最大值，由此判断③④的正确性.【详解】 设ACBD O =，①，折叠前，根据正方形的性质可知,AC OD AC OB ⊥⊥，折叠过程中,AC OD AC OB ⊥⊥成立，而OD OB O ⋂=，所以AC ⊥平面BOD ，所以AC BD ⊥，所以异面直线AC 与BD 所成角为定值90︒，所以①正确.②，折叠前，AD CD ⊥，折叠过程中AD CD ⊥成立，假设AD BC ⊥，而CD BC C ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ，所以AD BD ⊥.折叠过程中，在三角形ABD 中，1AB AD ==，所以90ADB ∠≠︒，这与AD BD ⊥矛盾，故假设不成立，所以②错误. ③，在折叠过程中，当平面ACD ⊥平面ABC 时，由于平面ACD平面ABC AC =，AC OD ⊥，根据面面垂直的性质定理可知OD ⊥平面ABC ，所以DBO ∠是直线BD与平面ABC 所成的角，且OD OB ⊥.在Rt BOD 中122OB OD BD ===，所以三角形BOD 是等腰直角三角形，所以45DBO ∠=︒.由于,M N 分别是,BC CD 的中点，所以MN 是三角形BCD 的中位线，所以//MN BD ，所以直线MN 与平面ABC 所成的角和直线BD 与平面ABC 所成的角相等.所以③正确.④，在折叠过程中，三棱锥M ACN -中，三角形ACN 的面积为定值，即1124ACNSCN AD =⨯⨯=.所以当M 到平面ACD 的距离最大时，三棱锥M ACN -的体积取得最大值.当平面ACD ⊥平面ABC 时，M 到平面ACD 的距离最大.此时，过M 作ME AC ⊥交AC 于E ，根据面面垂直的性质定理可知ME ⊥平面ACD .由于45ACB ∠=︒，所以CEM 是等腰直角三角形，所以21222224ME MC =⨯=⨯=. 所以三棱锥M ACN -的体积的最大值为11122334448ACNS ME ⨯⨯=⨯⨯=.所以④正确.综上所述，正确的结论有3个. 故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直的性质定理，几何体体积的求法，属于中档题.二、填空题13．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 【答案】A >B【解析】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质，联立即可得解. 【详解】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元， 则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质可得：6B <， 而83BA >-，可得6A >, 故A B >， 故答案为：A B >. 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.14．已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为______________. 【答案】4230--=x y【解析】根据圆的方程得到圆心()0,1C ，半径为2r ，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，以及题中条件，得到点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，进而可求出所求直线的斜率，从而可得直线方程.【详解】由圆的方程()2214x y +-=可得圆心为()0,1C ，半径为2r，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，CD AB ⊥，且2ACB ACD ∠=∠， 为使ACB ∠最小，只需ACD ∠最小， 又sin 2AD AD ACD CA ∠==，222AD CD r +=，所以当AD 最小时，ACD ∠最小，此时CD 最大；因为,C P 为两定点，且sin CD CP CPD =∠，所以当点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，因为1AB CP k k ⋅=-，即112101AB k -⋅=--，所以2AB k =，因此直线l 的方程为：()1212y x -=-，即4230--=x y .故答案为：4230--=x y . 【点睛】本题主要考查求圆的弦所在直线方程，解题的关键在于将问题转化为弦长最短，属于常考题型.15．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，23AB =E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】[2,4]ππ【解析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解． 【详解】如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则0123sin 6033O D =⨯=AO 1221 3.AD DO =-=在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2在△DEO 1中，O 1E 034232cos300.=+-⨯⨯⨯= ∴22112OE O E OO =+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， ()22222.-=，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为[2π，4π] 【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．16．圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ，求出点N 的坐标__________. 【答案】(8，0)【解析】先考虑直线AB 斜率不存在情况，然后考虑直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系，由x 轴平分∠ANB ，可得AN BN k k =-，结合斜率公式代入可求. 【详解】当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-， 假设(,0)(0)N t t >符合题意，又设()()1122,,,A x y B x y ， 由将直线代入圆得()2222144160k x k x k +-+-=，所以 212241k x x k +=+，21221164k x x k -⋅=+若x 轴平分∠ANB ，则AN BN k k =-12120y y x t x t ∴+=-- ，则()()1212220k x k x x t x t--+=--，整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，()2222244(2)416110k kt t k k +-+=++-，解得8t = 所以点N 的坐标为（8，0）. 【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，属于中档题.三、解答题17．已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=． （1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的一般方程．【答案】（1）22y x =--；（2）2220x y x y +++=【解析】（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；（2）设出圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．求出,A B 两点坐标，AB 中点是圆心，AB 是圆的直径由此可求得,,D E F ． 【详解】解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-． ∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-． 则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=． 由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ； 由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，AB =；故12212DE⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=． 【点睛】本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．18．已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n N *=∈，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列． （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求{}n c 的前项和n T ． 【答案】（1）()*21n a n n =-∈N，()1*2n nbn -=∈N ；（2）12362n n n T -+=-. 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系可求n a ，利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴()*212,n a n n n =-≥∈N ，当1n =时，满足上式，()*21n a n n =-∈N234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q，∴()1*2n n b n -=∈N（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++，① ∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++，② ①-②得1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-， ∴12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于基础题.19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a c +的值． 【答案】(1) 23B π=;(2) 3a c +=.【解析】试题分析：（1）sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23B π=；（2）根据面积公式和余弦定理，得()27a c ac =+-，所以3a c +=. 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，因为sin 0A ≠ cos 20B B --=，即sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，62B ππ∴-=，所以23B π=. （Ⅱ）由已知1133sin ,22222ABC S ac B ac ac ∆==⋅=∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭， 即()27a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA =AB =3，AD =1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时，证明EF //平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）通过证明//EF PC 来证得//EF 平面PAC ；（2）通过证明,AF PB AF BC ⊥⊥来证得AF ⊥平面PBC ，由此证得PE AF ⊥，从而证得结论成立. 【详解】（1）连结AC ，EF ， ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC 中，//EF PC 又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴当点E 是BC 的中点时，EF //平面P AC .（2）∵PA AB ⊥，P A =AB 3F 是PB 的中点 ∴等腰PAB △中，⊥AF PB ，又P A ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，AB BC ⊥且P A 和AB 是平面P AB 上两相交直线. ∴BC ⊥平面P AB . 又AF ⊂平面PAB . ∴AF BC ⊥.又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴AF PBC ⊥面. 又PE ⊂平面PBC ， ∴PE AF ⊥，∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.21．如图，在Rt ABC 中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF 沿EF 折起到PEF 的位置（点A 与P 重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：平面CBEF ⊥平面PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）E 为AB 的中点，2351. 【解析】（1）在三角形ABC 中，由//EF BC 且BC AB ⊥，得EF AB ⊥，进而证明EF ⊥平面PBE ，从而证得；（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=，则3PEB S xy =△，由基本不等式确定当PEB △为等边三角形时，侧面的面积最大，作PO BE ⊥于O ，根据已知条件确定PO ⊥平面EFCB 时，从而得到PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角，通过计算可得四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值. 【详解】（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥，∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BE PE E ⋂=，∴EF ⊥平面PBE ，又EF ⊂平面CBEF ，平面CBEF ⊥平面PBE ，（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy +=⋅⋅∠=≤=△ 当且仅当2x y ==时，PEB S △的面积最大，此时，2BE PE ==，此时E 为AB 的中点，由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= ∵01cos60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC 中，2221417OC BO BC =++=PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC 与平面EFCB所成角的正切值为17. 【点睛】本题考查空间中的垂直关系，直线与平面所成角的计算，棱锥的体积计算，基本不等式的应用，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力.22．已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A . （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1x =，3430x y --=;（2）AM AN ⋅是定值，且为6． 【解析】【详解】（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径22=，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． （2）直线与圆相交，斜率必定存在， 且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k k N k k --++． 又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx ky x k=--=--得22224342(,)11k k k kM k k+++++AM AN ⋅=6==为定值． 故AM AN ⋅是定值，且为6．。
福建省莆田市忠门第一中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试卷含解析
福建省莆田市忠门第一中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域是A. B.C. D.参考答案：A2. 已知数列为等差数列，且，则等于( )．A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B3. 已知函数f(x) 定义域为[-1,4]，则的定义域为（）A . [4,19]B . [,4]C .D . [,5]参考答案：D4. 设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B的元素个数是（）A.5B.4C.3D.2参考答案：C略5. 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A. B. C.D.参考答案：B6. 三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．7. 若偶函数在上是增函数，则（）A． B．C． D．参考答案：D8. 函数的图像( )A.关于点对称，B.关于直线对称，C.关于点对称，D.关于直线对称参考答案：A由，所以函数的图像关于点对称。
9. （5分）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是( ) .（A）（B）（C）（D）参考答案：B10. 函数其中，的图象的一部分如图所示，则（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解．【详解】如图根据函数图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16，又∵ω＞0，∴ω，当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z，∴＝2kπ，k∈Z，∵0＜＜π，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，的对边分别为，且，则的取值范围是________．参考答案：略12. 下列说法中：①在中，若，则；②已知数列为等差数列，若，则有；③已知数列、为等比数列，则数列、也为等比数列；④若，则函数的最大值为；其中正确的是________________（填正确说法的序号）参考答案：略13. 已知全集，，，则等于____________．参考答案：∵，，∴，∴．14. 已知函数的图象必过定点，则点的坐标为▲ .参考答案：略15. （4分）若定义在R上的单调减函数f（x）满足：f（a﹣2sinx）≤f（cos2x）对一切实数x∈恒成立，则实数a的取值范围是参考答案：解答：由题意可得，当x∈时，a﹣2sinx≥cos2x 恒成立，即a≥﹣sin2x+2sinx+1=﹣（sinx﹣1）2+2．由于sinx∈，故当sinx=1时，﹣（sinx﹣1）2+2 取得最大值为2；当sinx=-1时，﹣（sinx﹣1）2+2 取得最小值为-2，故答案为：16. 设，则满足条件的所有实数a的取值范围为；参考答案：17. 在区间（0、1）内任取一个数，能使方程有两个相异的实根的概率为________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【精选3份合集】福建省莆田市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}2．过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．230x y -+= C ．30x y ++=D ．10x y -+=3．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．22C ．62- D ．62+ 4．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为 A ．2B ．-2C ．2±D ．35．已知函数()sin()(,0)f x x x R ωϕω=+∈>相邻两个零点之间的距离为2π，将()y =f x 的图象向右平移8π个单位长度，所得的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值可能是（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．4π-6．在等差数列中，若，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为( )A ．19533分B ．110522分 C ．211513分 D ．512506分 8．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = A ．23-B ．13-C ．13D ．239．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度10．已知角α的终边经过点()8,6P -，则sin cos αα-的值是（ ） A ．15B ．15-C ．75D ．75-11．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm ），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（ ）A ．这批棉花的纤维长度不是特别均匀B ．有一部分棉花的纤维长度比较短C ．有超过一半的棉花纤维长度能达到300mm 以上D ．这批棉花有可能混进了一些次品12．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度二、填空题：本题共4小题13．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 14．经过点()0,5，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________. 15．当2a =，5b =时，执行完如图所示的一段程序后，x =______.16．已知数列{}n a 为等差数列，754a a -=，1121a =，若9k S =，则k =________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷(附答案)
2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷(附答案)一、单选题（共10题；共20分）1.设集合，B={x|x＜1}，则A∪B=（）A. B. （﹣1，1）∪（1，2） C. （﹣∞，2） D.2.已知函数，当且时，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，1）时，f（x）=，则f（x）在区间（1，）内是（）A. 增函数且f（x）＞0B. 增函数且f（x）＜0C. 减函数且f（x）＞0D. 减函数且f（x）＜04.在△ABC中，已知++ab=，则∠C=（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5.在等比数列{a n}中，a1＝2，前n项和为S n，若数列{a n＋1}也是等比数列，则S n等于（）．A. 2n＋1－2B. 3nC. 2nD. 3n－16.已知向量=（1，k），=（2，2），且+ 与共线，那么• 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.已知a，b是正实数，且a+b=2，则+ 的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.函数的图象大致是（）A. B. C. D.9.已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A. B. C. D.10.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，），则的最小值为（）A. 9B. 8C. 18D. 16二、双空题（共4题；共4分）11.设向量，若向量与向量垂直，则λ=________．12.若等腰的周长为3，则的腰上的中线的长的最小值为________．13.已知数列的前项和为，且, （），若,则数列的前项和________.14.若cos（）cos（）= （0＜θ＜），则sin2θ=________．三、填空题（共3题；共3分）15.已知函数y=（ax2+2x+1）的值域为x+2y+4=4xy，则实数a的取值范围是________16.函数f（x）=cos2x+sin2x的最小值是________．17.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+||﹣|的值是________四、解答题（共5题；共50分）18.设命题；命题：关于的不等式的解集是空集，若“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围.19.已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；（2）若，求函数的单调减区间．20.已知△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AD为角平分线．（1）求AD的长度；（2）过点D作直线交AB，AC于不同两点E、F，且满足=x ，=y ，求证：+ =3．21.已知函数f（x）=log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．22.已知数列{a n}满足：a1= ，a n+1﹣a n=p•3n﹣1﹣nq，n∈N*，p，q∈R．（1）若q=0，且数列{a n}为等比数列，求p的值；（2）若p=1，且a4为数列{a n}的最小项，求q的取值范围．答案一、单选题1.C2. C3. D4. C5. C6.D7. A8. D9. D 10. C二、双空题11.﹣12. 13.或14.三、填空题15.[0，1] 16.17.四、解答题18.解：由得即，..由关于的不等式的解集是空集，得，或. 或.为真，为假，有且只有一个为真，若为真，为假，则且，；若为假，为真，则或，同时或，或.的取值范围是.19. （1）解：＝＝＝当，即时，函数有最小值为0。
高一数学2019—2020学年度第二学期期末考试试题及答案
2019—2020学年度第二学期期末考试高一数学试题注意事项：1．用黑色签字笔在答题卡上作答，在本试卷上答题无效2．考试时间为120分钟，全卷满分150分。
一、单项选择题(每小题只有一个正确答案，请将正确答案填写到答题卡中，共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合=⋂===)(}4,3,2{},3,2,1{},5,4,3,2,1{B A C B A U U ，则（ ）A. }3,2{B. }5,4,1{C. }5,4{D. }5,1{2．α∈(,)22ππ-，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( ) A ．－45 B ．45C ．35D ．－35 3．计算=-3lg 30lg （ ）A.4B.2C.1D. 124．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 5．已知函数4log )x (3+=x f ，则=)3(f （ ）A.8B. 6C. 7D. 56．在用二分法求方程0123=--x x 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间)2,1(，则下一步可以判断该根所在的区间为（ ）A.(1,1.4)B. (1.4,2)C. (1,1.5)D. (1.5,2)7．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝( )A ．－1B ．－3C ．1D ．38．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－39．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i 为（ ）．A. 3B. 4C. 5 D ． 610．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．311．如图所示是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝45，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－34π C ．A ＝1，T ＝23π，φ＝－34π D ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－π6 12．函数)(x f 是定义在)0](,[>-a a a 上的奇函数，1)()(+=x f x F ，则)(x F 的最大值和最小值之和为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 不能确定二、填空题（把正确的结果填到答题卡中.共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数7)(2+-=mx x x f 在),2(+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是14．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________． 15．集合}0|{},42|{<-=<<-=m x x B x x A ，若A B A =⋂，实数m 的范围16．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将你的答案写在答题卡中，在试卷内答题无效.共6小题，共70分）三、解答题17．(10分) 求函数)(xx x x f --++=21log 1)(2的定义域.18．(12分)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，a ∈(0，π)． (1)求3sin()cos()22sin()cos(3)a a a a ππππ--+-++的值； (2)求3cos(2)4a π-的值．19．(12分)已知二次函数)(x f 的图像过点（0，3），它的图像的对称轴为x=2，且)(x f 在R 上的最大值是5，求：（1） )(x f 的解析式；（2） )(x f 在[21，3]上的值域。