2011年中考数学试卷分类汇编： 动态问题

2011年中考数学试卷归纳：动态问题一、选择题1. （2011山东威海，12，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）【答案】B2.（2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN 的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B 三、解答题1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线3+=kx y （k ＜0）分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为t 秒．（1）当1-=k 时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出t ＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求t 的值．（2）当43-=k 时，设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D （如图2）， ① 求CD 的长；C DG② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？【答案】（1）①C （1，2），Q （2，0）．②由题意得：P (t ，0)，C (t ，－ｔ＋3)，Q (3－t ，0)， 分两种情形讨论：情形一：当△AQC ∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB ＝90°，∴CQ ⊥OA ， ∵CP ⊥OA ，∴点P 与点Q 重合，OQ =OP ，即3－t =t ，∴t=1.5．情形二：当△ACQ ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB ＝90°，∵O Ａ=O Ｂ＝3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴△ACQ 是等腰直角三角形，∵CQ ⊥OA ，∴AQ=2CP ，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒．(2) ①由题意得：C (t ，－34t ＋3)，∴以C 为顶点的抛物线解析式是23()34y x t t =--+，由233()3344x t t x --+=-+，解得x 1=t ，x 2=t 34-；过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则∠DEC=∠AOB ＝90°，DE ∥OA ，∴∠EDC=∠OAB ，∴△DEC ∽△AOB ，∴DE CDAO BA=， ∵AO =4，AB =5，DE =t －（ｔ－34）=34．∴CD =35154416DE BA AO ⨯⨯==．②∵CD =1516，CD 边上的高=341255⨯=．∴S △COD =11512921658⨯⨯=．∴S △COD 为定值；（第24题图2）（第24题图1）要使OC 边上的高h 的值最大，只要OC 最短． 因为当OC ⊥AB 时OC 最短，此时OC 的长为125，∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠COP ＝90°－∠BOC ＝∠OBA ，又∵CP ⊥OA ，∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ，∴OP OC BO BA =，OP =123365525OC BO BA ⨯⨯==，即t =3625，∴当t 为3625秒时，h 的值最大． 2. （2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）. （1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点G 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平等四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入2517144y x x =-++，得1y =把x=3代入2517144y x x =-++，得52y =， ∴A 、B 两点的坐标分别（0，1）、（3，52） 设直线AB 的解析式为y kx b =+，代入A 、B 的坐标，得1532b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，112y x =+ （2）把x=t 分别代入到112y x =+和2517144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517144t t -++ ∴MN=2517144t t -++-（112t +）=251544t t -+ 即251544s t t =-+∵点P 在线段OC 上移动， ∴0≤t ≤3.(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN∴当BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形由25155442t t -+=，得121,2t t == 即当12t =或时，四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时，PC=2，PM=32，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=52, 此时BC=CM=MN=BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当2t =时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；t 时，平行四边形BCMN为菱形．所以，当13. （2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB<AC，M是BC 边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动。

同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP。

设运动时间为t秒（t>0）（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60º，AB=43厘米。

①求动点Q的运动速度；②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

【答案】解：（1）△PBM与△QNM相似；∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90º∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90º－∠C∴△PBM∽△QNM（2）①∵∠ABC=60º，∠BAC =90º,AB=43,BP=3t∴AB=BM=CM=43,MN=4∵△PBM∽△QNM∴MN BM NQ BP = 即：3434==NQ BP ∵P 点的运动速度是每秒3厘米， ∴ Q 点运动速度是每秒1厘米。

② ∵ AC=12,CN=8∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=43－3t∴ S=)334()4(21t t -⨯+⨯=)16(232--t （3） BP 2+ CQ 2 =PQ 2证明如下： ∵BP=3t, ∴BP 2=3t 2∵CQ=8-t ∴CQ 2=(8-t)2=64-16t+t 2 ∵PQ 2=(4+t)2+3(4-t)2=4t 2-16t+64 ∴BP 2+ CQ 2 =PQ 24. （2011山东德州23,12分）在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ． （1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．【答案】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切， ∴ PA ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠PAO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°，∴ ∠PAO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKPA 是矩形． 又∵OA =OK ，∴四边形OKPA 是正方形．……………………2分（2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x32． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形，AP y =K O图1y∴BC =PA =PB =PC ． ∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =PA =x ，PG =x32． sin ∠PBG =PB PG，即2x x=． 解之得：x =±2（负值舍去）．∴ PGPA =B C=2．……………………4分 易知四边形OGPA 是矩形，PA =OG =2，BG =CG =1， ∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3．∴ A （0B （1，0）C （3，0）．……………………6分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩解之得：ab= c∴二次函数关系式为：2y x x =+9分 ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：02u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之得：uv=-∴直线BP的解析式为：y =-．过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM的解析式为：y解方程组：2y y x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM的解析式为：y t =+．∴0=t ．∴t =-∴直线CM的解析式为：y =-．解方程组：2y y x x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得：1130x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（03，0），（47，12分解法二：∵12PAB PBC PABC S S S ∆∆==，∴A （0C （3，0）显然满足条件．延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =PA ．又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABC S S S ∆∆== ．∴点M又点M 的横坐标为AM =PA +PM =2+2=4．∴点M （4点（7，综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（03，0），（47，12分解法三：延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =PA ．又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABC S S S ∆∆== ．∴点M即233x x -+=． 解得：10x =（舍），24x =．∴点M 的坐标为（4点（7，综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（03，0），（47，12分5. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）把点A (－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝12x 2＋bx －2， 整理后解得32b =-， 所以抛物线的解析式为 213222y x x =--． 顶点D 325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）∵AB =5，AC 2=OA 2＋OC 2=5，BC 2=OC 2＋OB 2=20，∴AC 2＋BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′ (0，2)，OC ′=2．连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM OC EM ED '=．∴232528m m =-．∴m =2441． 6. （2011山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.【答案】（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. ……………………………3分x(第23题)(2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分 证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴AB 设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠.又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆. ∴CE BCOB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .可求出AC 的解析式为132y x =-+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）. ∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+. ∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+, ∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274. 此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………………………………10分7. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．图① 备用图【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =．∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即223y x x =+-．（2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ，x(第23题)∴点C 的坐标是(5,0)C ．将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =．∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2(,23)t t t +-． ∵点K 为线段AB 上一动点，∴31t -≤≤． ∴222341(5)(23)38()24HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++． ∵3312-≤-≤， ∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值414． （3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点 (5,0)C ，∴点F 的坐标为(3,0)F ．∵直线l 过点F 且与y 轴平行，∴直线l 的函数表达式为3x =．∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上 ，∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2(,23)N n n n +-．∵点(3,0)A -，点 (5,0)C ，∴8AC =．分情况讨论：① 若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，且MN ＝AC ＝8．当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-．∴38n -=，解得5n =-．∴N 点的坐标为(5,12)N -．当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-．∴38n -=，解得11n =．∴N 点的坐标为(11,40)N ．②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ．将1x =-代入223y x x =+-，得4y =-．过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ．在△BPN 和△BFM 中，∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△BPN ≌△BFM ．∴NB ＝MB ．∴四边形点ANCM 为平行四边形．∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．8. （2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为y =－43x +163，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P 自A 点出发，在AB 上匀速运行.动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为s （不能构成△OPQ 的动点除外）.（1）求出点B 、C 的坐标；（2）求s 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时s 有最大值？并求出最大值.【答案】解：（1）把y ＝4代入y ＝－43x ＋163，得x ＝1. ∴C 点的坐标为（1，4）.（备用图2）（备用图1）当y＝0时，－43x＋163＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.∴BC 5.∴sin∠ABC＝CMBC＝45.①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，则QN＝BQ·sin∠ABC＝45 t.∴S＝12OP·QN＝12（4－t）³45t＝－25t2＋85t（0＜t＜4）.②当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N.同理可得QN＝45t.∴S＝12OP·QN＝12³（t－4）³45t. ＝25t2－85t（4＜t≤5）.③当5＜t≤6时，（如备用图2），连接QO，QP.S＝12³OP³OD＝12（t－4）³4＝2t－8（5＜t≤6）.（3）①在0＜t＜4时，当t＝8522()5⨯-＝2时，S最大＝28()524()5-⨯-＝85.②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝25t2－85t，当t＝－85225-⨯＝2时，S最小＝25³22－85³2＝－85.∴抛物线S＝25t2－85t的顶点为（2，－85）.∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.∴当t＝5时，S最大＝25³52－85³5＝2.③在5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.∴当t＝6时，S最大＝2³6－8＝4.∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）9. （2011四川南充市，22，8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12，求点P,Q 的坐标；（3）在（2）条件下，若点M 是x 轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM 的面积最大时，请求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标。