河北省衡水中学2020高三下学期第七次调研考试 理科数学(PDF版)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r 36x y+=-，()34x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．4D 【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三下学期七调考试理科数学试题(3.22)及答案
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a 、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内
解开密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概 率，并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
③若
A1DM
的面积为
S
，则
S
2
3 3
,
2
3 ；
④若 S1 、 S2 分别是 A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影的面积，则存在点 M ，
使得 S1 S2 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12. 已知函数 f (x) xex ln x x 2, g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a, b ，则（
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到
最小，不需要说明理由.
高三数学理科试题 第5页(共 8 页)
高三数学理科试题 第6页(共 8 页)
2019—2020 学年度下学期高三年级
组编人：王战普 审核：孙卫权
21. （本题满分 12 分）已知函数 f x ln x ax b a, b 0 ，对任意 x 0 ，都有
2．B【解答】解：∵
＝
＝
，
∴复数
的共轭复数为
．∴复数
的共轭复数的虚部为 ．
3. . A 解：∵从散点图可分析得出：只有 D 点偏离直线远， 去掉 D 点，变量 x 与变量 y 的线性相关性变强，∴相关系数变大， 相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。
河北省衡水中学2020届高三下学期七调试题理(数学解析)
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1答案：C 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选C ．点评：本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为（ ） A. 110 B. 110-C.310D. 310-答案：A 【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 解：由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.点评：本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱答案：A 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.点评：该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8答案：C 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可.解：不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C点评：本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>答案：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 解：1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.点评：离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和答案：A【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52答案：C 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．解：由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 点评：本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题. 8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS=，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513答案：C 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.解：由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.131112sin3cos sin sin sin sin cos 222222636213cos sin ααααππππααβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.点评：本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 解：f （x ）=2sin （ωx﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ，∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ） A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D. 14,127⎛⎫⎪⎝⎭答案：C 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.解：设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 点评：本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③若1A DM 的面积为S ，则23,233S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④. 解：连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的判定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OA C D AC =,即1113OA C D OM AC ⋅===, 所以1A DM的最小面积为111122A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=所以若1A DM 的面积为S ,则S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 故选:C点评：本题考查面面垂直的判断,考查线面垂直的判断,考查空间中线面关系的判断,考查空间想象能力.12.已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 答案：A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.解：由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001xe x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.点评：本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题（共4题，每题5分）13.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为__________. 答案：240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.解：二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选C.点评：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞， 上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 答案：乙 【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.解：如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾， 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误， 此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为乙.点评：本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用. 15.已知ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，则3m n +的值为__________.答案：45【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．解：因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 点评：本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题． 16.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 答案：()2,4由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，则22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B B B B B B ===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B +=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，则1cos 12B <<，换元可令cos t B =，则2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本题应填()2,4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.答案：（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．解：（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=， 由已知1(3,,0)2G，所以(3,2,BE =-，10,,2BG ⎛= ⎝， 设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32012m BE x y m BG y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，z =m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14.点评：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.答案：（1）22142x y +=；（2）存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【分析】（1）由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;（2）由（1）可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出．解：（1）易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b 2=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（2）由已知得22b c =,222a c =设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c +=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-= 圆的半径r 3c ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,3c =即2202010k k +-=，解得12k =- 故存在满足条件的直线．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.答案：（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.点评：本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数()()ln ,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.答案：(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在10,2a ⎛ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【分析】（1）根据()40f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意.解：（1）由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，得4b a = 则()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x-+-'=--=> 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下 当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增 （2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点； 当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x << ()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=()4ln 2x a f x ax x=-+ 23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增 由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x 点评：本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.答案：（1）（2）(0,.【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>4<，即可求得a 的取值范围.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,. 点评：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=答案：证明过程详见解析【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立123222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果解：证明：(1)要证()()24a b ab c abc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc ++≥成立．(2)因,,a b c均为正实数，123222a a+++≤=，当且仅当12a+=时，取等号，123222b b+++≤=当且仅当12b+=时123222c c+++≤=当且仅当12c+=时，取等号，62a b c d+++≤=1a b c===时，取等号．点评：本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。
河北省衡水中学2020届高三年级下学期一调考试数学理科(解析版)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期一调考试数学理科一、选择题1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．B．C．D．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）A．2B．4C．8D．167．给出下列五个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．48．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：310．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（0，]D．[）12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25）27人13人40人20人[25，35）23人17人35人25人[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）解：集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}＝[2，+∞），集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝（1，+∞），图形阴影部分为∁U A∩B＝（1，2），故选：B．2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴的虚部为﹣，由﹣＝﹣，得a＝2．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故选：A．3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c解：由题意0＜a＜1，故a＜a a，故a a＞，即b＞c，而c＝＞a＝π﹣2，故选：B．4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．解：f（x）＝（﹣1）cos x＝cos x，f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cos x＞0，∴f（x）＝cos x＜0，故选：B．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．B．C．D．解：在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为：P＝＝．故选：D．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）A．2B．4C．8D．16解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴，；∴＝＝＝8．故选：C．7．给出下列五个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：①若p∨q为真命题的条件是p、q至少有一个是真命题，而p∧q为真命题的条件为p、q两个都是真命题，所以当p、q一个真一个假时，p∧q为假命题，所以①不正确；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0＞0，有＜1”；因此②不正确；③“平面向量与的夹角为钝角”⇒“”；反之不成立，平面向量与的夹角可能为平角．∴“平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件是“”；因此不正确．④因为在锐角三角形中，∴π＞A+B＞，有＞A＞﹣B＞0，所以有sin A＞sin（﹣B）＝cos B，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故sin A+sin B＞cos A+cos B，所以④正确；⑤若等差数列{a n}为常数列，则m+n＝p+q不一定成立，∴命题不正确．综上可得：只有④正确．故选：A．8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜f′（x），∴g′（x）＝＝＞0，∴g（x）＝在区间（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＝＜＝g（2），∴＜①；再令h（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f′（x）＜2f（x）恒成立，∴h′（x）＝＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＝＞＝h（2），∴＞②，综上①②可得：＜＜．故选：D．9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：3解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，∴＝2，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|＝＝|PM|，因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．故选：C．10．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．解：由已知得，∴a1+a2+…+a n＝n（2n+1）＝S n当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4n﹣1，验证知当n＝1时也成立，∴a n＝4n﹣1，∴，∴∴＝+（）+…+（）＝1﹣＝．故选：C．11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（0，]D．[）解：y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0可化为：，设g（y）＝（﹣1≤y≤5），则g′（y）＝，即函数g（y）在（﹣1，0），（2，5）为减函数，在（0，2）为增函数，又g（﹣1）＝e2，g（2）＝，g（5）＝，设f（x）＝a+（x∈[1，e]），f′（x）＝，即函数f（x）在[1，e]为增函数，所以a≤f（x）≤a，对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0成立，即对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得成立，即a+∈[，）对于任意的实数x∈[1，e]恒成立，即，即，故选：B．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．解：∵到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为：P＝＝＝1﹣＝；故答案为：14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝2n2+n．解：f（x）＝sin2x+2cos2x＝3sin（2x+φ），当2x+φ＝2kπ+，k∈Z，f（x）取得最大值3，∴a1＝3．a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，∴na n+1＝（n+1）a n+2n2+2n，﹣＝2，∴a n＝n[3+2（n﹣1）]＝2n2+n，故答案为：2n2+n．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为解：sin C＝2sin A cos B，∴c＝2a cos B．因此c＝2a•，∵b2，2，c2成等差数列∴b2+c2＝4，即有a2＝b2＝4﹣c2，因此S＝＝＝，当c2＝即c＝时，S取得最大值×＝，即△ABC面积S的最大值为，故答案为：．16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．解：设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0），∵曲线C1与C3有一个共同的焦点，∴y2＝4cx，∵，∴＝，则M为F1N的中点，∵O为F1F的中点，M为F1N的中点，∴OM为△NF1F的中位线，∴OM∥PF，∵|OM|＝a，∴|NF|＝2a又NF⊥NF1，|F1F|＝2c，∴|NF1|＝2b，设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c＝2a，∴x＝2a﹣c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理y2+4a2＝4b2，即4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2），得e2﹣e﹣1＝0，∴e＝．故答案为：．三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．解：（1）根据题意，b＝2，c＝4，2c cos C＝b，则cos C＝＝；又由cos C＝＝＝，解可得a＝4，即BC＝4，则CD＝2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos C＝6，则AD＝；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则＝＝，变形可得：CE＝BC＝，cos C＝，则sin C＝＝，S△ADE＝S△ACD﹣S△ACE＝×2×2×﹣×2××＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．解：（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝CD，AE∥CD且AE＝CD，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形.3分所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AFα平面PEC，所以，AF∥平面PEC.5分（Ⅱ）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7分设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），＝（0，2，﹣a），＝（），设平面FBC的法向量为＝（x，y，z），则由，令x＝1，则y＝，z＝，所以取＝（1，，），平面DFC的法向量＝（1，0，0），l因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为，所以由题意：|cos＜＞|＝＝＝，解得a＝.10分由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝a＝，从而∠PBD＝60°，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60°.12分19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．解：（1）由题意可知A（﹣2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），∵过A的直线l交抛物线于两点，∴直线l的斜率存在且不为0，设l：x＝my﹣2，联立方程，消去x得，y2﹣2pmy+4p＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝4p，∵点C是AB的中点，∴y1＝2y2，∴，，∴4p＝，∴，∴2pm2＝9，∴x2＝my2﹣2＝﹣2＝1，∴点C的横坐标为定值1；（2）直线m的倾斜角和直线l的倾斜角互补，所以直线m的斜率和直线l的斜率互为相反数，又点C（1，），所以设直线m的方程为：x＝﹣m（y﹣）+1，即x＝﹣my+4，设M（x1，y2），N（x2，y2），联立方程，消去x得，（m2+2）y2﹣8my+12＝0，∴△＝（8m）2﹣48（m2+2）＝16m2﹣96＞0，解得m2＞6，∴，，∴|MN|＝＝＝4，∵点C是AB的中点，∴S△BMN＝S△AMN，设点A（﹣2，0）到直线MN的距离为d，则d ＝＝，∴S△BMN＝S△AMN ＝＝4×＝12，令t＝m2﹣6，∴S△BMN＝12＝12≤12＝，当且仅当t ＝，即t＝8，m2＝14时，等号成立，∴2p×14＝9，∴p ＝．20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25）27人13人40人20人[25，35）23人17人35人25人[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）①由分层抽样性质得：从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁“的人数为：100×＝20人，”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为：＝9人．②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到35岁12575200达到35岁5545100合计180120300m＝35时，K2的观测值：k1＝＝＝．m＝25时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到25岁6733100达到25岁11387200合计180120300 m＝25时，K2的观测值：k2＝＝，k2＞k1，欲使犯错误的概率尽量小，需取m＝25．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．解：∵f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）＝f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，又g′（x）＝e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）＝e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）＝e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）＝e x ﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min＝g[ln（2a）]＝2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）＝e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min＝g（1）＝e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）＝0，⇒e﹣a﹣b﹣1＝0⇒b＝e﹣a﹣1，又f（0）＝0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）＝2a﹣2aln（2a）﹣b＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）＝（1＜x＜e）则＝，∴．由＞0⇒x ＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，＝＝＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．另解：由g（0）＞0，g（1）＞0 解出e﹣2＜a＜1，再证明此时f（x）min＜0 由于f（x）最小时，f'（x）＝g（x）＝e x﹣2ax﹣b＝0，故有e x＝2ax+b且f（1）＝0知e﹣1＝a+b，则f（x）min＝2ax+b﹣ax2﹣（e﹣1﹣a）x﹣1＝﹣ax2+（3a+1﹣e）x+e﹣a﹣2，开口向下，最大值（5a2﹣（2e+2）a+e2﹣2e），分母为正，只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e2﹣2e（a＝1时取最大）＝e2﹣4e+3＜0，故f（x）min＜0，故e﹣2＜a＜1．（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题可知，C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0，设曲线C2上任意一点（x，y）关于直线y＝x对称点为（x0，y0），∴，又∵，即x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1＝2cosα，，解得．∴＝＝．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）＝1，S△AOB取得最大值为：．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|，即；解法一：作函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|的图象，它与直线y＝3的交点为A（﹣1，3），B （1，3），如图所示；所以，f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；解法二：原不等式f（x）＞3等价于或或，解得：x＜﹣1或无解或x＞1，所以，f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）由0＜a＜2，得﹣＜，a+2＞0，且a﹣2＜0；所以f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|＝，所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，f（x）取得最小值，且；因为对∀x∈R，恒成立，所以；又因为a＞0，所以a2+2a﹣3≥0，解得a≥1（a≤﹣3不合题意），所以a的最小值为1．。
河北省衡水中学2020高三下学期第七次调研考试理综试题及答案
二、选择题(本题共 8 小题，每小题 6 分，14-18 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选错
的得 0 分；19-21 至少有两项项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分)
14． 人们设想未来深空探测器是以光压为动力的。让光垂直薄膜光帆照射并被全部反射，从而产生光压。 设探测器在轨道上运行时，每秒每平方米获得的光能 E=1.5×104J，薄膜光帆的面积 S=6.0×102m2,探测器的
A.“地虽瘠薄，常加粪灰，皆可化为良田”，如通过施用农家肥改良农田，能体现图 1 中 d 成分在物质循环 中的作用 B.“维莠骄骄”描述了农田中狗尾草生长的现象，杂草与农作物之间的关系为图 2 中的① C.“数罟不入洿池，鱼鳌不可胜食也“描述了不用密网捕捞，有利于种群年龄组成形成图 3 中的Ⅱ类型 D.“去其螟螣，及其蟊贼，无害我田穉”描述了农业生产中防治虫害，可利用图 2 中的②、④来防治害虫
虑两球碰撞时间及两球间的万有引力,则( ) A.第一次碰撞结束瞬间 B 球的速度大小为 2QEL
m
B.第一次碰撞到第二次碰撞 B 小球向右运动了 2L 2QEL
C.第二次碰撞结束瞬间 B 球的速度大小为
m
D.相邻两次碰撞时间间隔总为 2 2mL QE
第Ⅱ 卷（非选择题 共 174 分） 三、非选择题（包括必考题和选考题两部分．第 22 题～第 32 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 33 题～第 38 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（11 题，共 129 分）
论是________________。
(3)依据本实验原理作出的 v2 h 图像如图丙所示，则当地的重力加速度 g ______ m / s2 。 2
河北省衡水中学2020届高三数学下学期一调考试试题 理(含解析)
河北省衡水中学2020届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得. 【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2020B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果.【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，锥体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学理科试题(解析word版)
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知全集U =R ，集合{}2|2A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为A. []12，B. ()12，C. (12]，D. [12)，【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,则.所以B 选项是正确的．考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2. 复数3a iz a i+=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】先化简复数z ，再求得其共轭复数，令其虚部为12-，解得2a =，代入求解即可. 【详解】由题意得()()()()()331313331010a i i a i a ia z a a i i i ++++-=+=+=+--+， ∴()31311010a ia z +-=-，又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +=，解得2a =. ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题. 3. 若2,,aa a ab ac a π-===，则,,a b c 的大小关系为A. c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】B 【解析】【详解】分析：首先确定a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()2210,1a ππ-==∈，即1a <函数()xf x a =单调递减，则1a a a >，即a a a >，由于a a a >，结合函数的单调性可得：aa a a a <，即bc >，由于01a <<，故1a a <，结合函数的单调性可得：1aa a a >，即c a >，综上可得：,,a b c 的大小关系为b c a >> . 本题选择B 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4. 函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D.【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.5. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A. 15B. 815C.35D.320【答案】D 【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物， 基本事件总数：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种 糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种 糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为54336020= 故选：D【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.6. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC ⋅的值是（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 相连，O 和AB 的中点E 相连，从而得到,ODAC OE AB ，根据数量积的计算公式及条件可得出259·,?22AO AC AO AB ==，而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，即可得出AO BC ⋅的值．【详解】如图，取AC 中点D,AB 中点E,并连接OD,OE, 则,ODAC OE AB ；∴ 2212519·,?2222AO AC AC AO AB AB ==== ∴ ()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= 故选C.【点睛】解题的关键是要熟练的运用数量积的公式cos a b a b θ⋅=以及三角形法则．7. 给出下列五个命题：①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01x e ＜”； ③“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“•0a b <”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+；⑤{}n a 为等差数列，若()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，则m n p q +=+其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据或命题与且命题的性质判断①；根据全称命题否定的定义判断②；根据“ •0a b <，夹角有可能为π判断③；由2A B π+>，利用正弦函数的单调性判断④；根据特例法判断⑤.【详解】对于①，若p q ∨为真命题，则p 与 q 中至少有一个为真命题， p q ∧ 不一定为真命题，故错误.对于②，命题“:0p x ∀＞，有1x e ≥”,则p ⌝为00x ∃>，有01x e ＜ ,故错误. 对于③， 若 •0a b < 平面向量a ，b 的夹角为可能为π，故错误. 对于④，在锐角三角形ABC 中，必有02A B π<+<,即,22A B B A ππ>->-，所以sin cos sin cos A B B A ，>>，所以sin sin cos cos A B A B +>+，故正确；对于⑤，在等差数列{}n a 中，若,n a t t =为常数，则1234a a a a +=+满足，()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，但是1234+=+不成立，即m n p q +=+ 不成立，故错误，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逻辑联接词的应用、全称命题的否定、向量的数量积、正弦函数的单调性以及等差数列的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 8. 已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()()'2f x f x f x <<，则()()1:2f f 的取值范围为 A. (),2e e B. 11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ()3,e eD. 211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【详解】令()()()()2,xxf x f xg xh x ee==，则()()()2'2'0xf x f x h x e-=<，()()()''0xf x f xg x e-=>，()()()()12,12g g h h ∴，()()()()()()22421212111,,2f f f f f e e e e e f e∴∴<<，选D ． 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.9. 已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A. 2B. 1:2C. D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0）， ∴直线FA 为：x +2y-2=0， 当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN ∴==， :FM MN=1:10. 定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A.111 B.112C.1011D.1112【答案】C 【解析】【分析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和. 【详解】由已知得12121nn a a n a =++++， ∴()1221n n a a a n n S +++=+=，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==， 11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴故选：C【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 11. 对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0yy xeax x ---=成立，则实数a 的取值范围是 A. 24251(,]e e e- B. 4253[,)e eC. 425(0,]eD. 24253[,)e e e- 【答案】B 【解析】【分析】原方程化为21ln yx y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.【详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,xf x f x x -=≥递增， 故()1,f x a a e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====， 要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.【点睛】本题考查了函数单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.12. 如图，在正方体1111ABCDA B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan2，故②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误． 故选D ．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点12,O O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点12,O O 的距离都大于1的概率为___． 【答案】13【解析】【详解】到点12,O O 距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为431=1-23=1V P V ππ=-球柱14. 在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____． 【答案】a n ＝2n 2+n 【解析】【分析】()sin 23sin(2)f x x x x ϕ=+=+，可得13a =．由已知条件推出121n na a n n+-=+，然后求解数列的通项公式．【详解】解：()sin 23sin(2)f x x x x ϕ=+=+， 当222x k πϕπ+=+，k Z ∈，()f x 取得最大值3，13a ∴=．21(2)2n n n a a a n n +=---，21(1)22n n na n a n n +∴=+++，121n na a n n+-=+， n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以131a =为首项，2为公差的等差数列，()321na n n∴=+- 2[32(1)]2n a n n n n ∴=+-=+， 故答案为：22n n +．【点睛】本题考查了数列递推关系、三角函数求值、法则求积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边．若sin 2sin cos C A B =，且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC 面积S 的最大值为____【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理可得a b =，再由等差数列中项性质可得2224a b c ==-，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】sin 2sin cos C A B =，∴2cos c a B =，因此2222,2a c b c a a b ac+-=⨯=∵2b ，2，2c 成等差数列，∴224b c +=，因此S ===，当285c =，即c =时，S 取得最大值12=，即ABC 面积S . 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．16. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中1,C 3C 有一个共同的焦点，若10MF MN +=，则曲线1C 的离心率为________．【答案】51+ 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为2F ，根据曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，得到抛物线方程， 再根据O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，利用中位线定理，可得，2//OM NF ，22NF a =，21NF NF ⊥， 12NF b =.设(),N x y ，根据抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2a ，然后在1ANF ∆中，利用勾股定理求解. 【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ， 因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点， 所以24y cx =，因为O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点， 所以OM 为12NF F ∆的中位线， 所以2//OM NF ， 因OM a =，所以22NF a =又21NF NF ⊥，22,FF c = 所以12NF b =.设(),N x y ，则由抛物线定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2NA a =，在1ANF ∆中，由勾股定理即得22244y a b +=， 即()()2224244c a c a c a-+=-，即210e e --=， 解得51e +=. 故答案为：51+ 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．（1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积． 【答案】（1）6AD =215【解析】【详解】试题分析：（I ）在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ； （II ）根据角平分线性质得到2ABE ACE S AB S AC ∆∆==，又ABE ACE S BE S EC ∆∆=，所以2BE EC =，所以1433CE BC ==，42233DE =-=，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果. 试题解析：（1）因为4c =，2b =，所以1cos 24b Cc ==．由余弦定理得22224161 cos244a b c aCab a+-+-===，所以4a=，即4BC=，在ACD∆中，2CD=，2AC=，所以2222cos6AD AC CD AC CD ACD=+-⋅⋅∠=，所以6AD=．（2）因为AE是BAC∠的平分线，所以1sin221sin2ABEACEAB AE BAES ABS ACAC AE CAE∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠，又ABEACES BES EC∆∆=，所以2BEEC=，所以1433CE BC==，42233DE=-=，又因为1cos4C=，所以215sin1cosC C=-=，所以115sin2ADES DE AC C∆=⨯⨯⨯=．18. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，60,90DAB ADP∠=︒∠=︒，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B--的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒【解析】【分析】（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m ，和平面DFC 的法向量n ，利用向量的夹角公式，求得3a=，进而得到PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =23z =所以取231,3,m ⎛= ⎝⎭，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =，由题意：22cos ,41213m n a ==++，所以3a =. 由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan 3PDPBD a BD∠===，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19. 如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值；（2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px=-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，0∆>且121224y y pm y y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN的距离d =12MN y =-，12132AMNS MN d y y ∆=⋅⋅=-=26t m =-，AMN S ∆==≤=当且仅当8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值. （2）∵直线l 的斜率()02126tt k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较2K的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1) ①9人②见解析；(2) 25m=【解析】【分析】（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60 100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数45 20100⋅；②确定随机变量X的取值，计算X各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.【详解】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===. 故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯.25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.【点睛】本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21. 已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【答案】（Ⅰ）当12a ≤时， ()(0)1g x g b ≥=-；当 122e a <≤时， ()22ln(2)g x a a a b ≥--； 当2ea >时， ()2g x e a b ≥--.（Ⅱ） a 的范围为()2,1e -. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当12a ≤及2ea ≥时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.所以122ea <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20gb g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：（Ⅰ）()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20xg x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20x g x e a -'=>得2,ln(2)x e a x a >>. 若12a >，则ln(2)0a >；若2e a >，则ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-. 当122e a <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--. 当2e a >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x .所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2e a ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<. 此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a .若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <.又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=，故()f x 在1(,x 2)x 内有零点.综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.（二）选考题，满分共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= 34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.23. 已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a ≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)(1,)-∞-+∞；（2）1．【解析】 【分析】(1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；(2)当02a <<时，化简分段函数得()()()()12,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩ 所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立，所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．所以a 的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
）
x
A． a b
B． a b
C． a b D． a, b 的大小关系不确定
二、填空题（共 4 题，每题 5 分）
13.
已知二项式
2x
1 x
n
的展开式中第
2
项与第
3
项的二项式系数之比是
2︰5，则
x3
的系
数为
14. 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数
且满足 SAOB
3 4
，则 sin
2
3
cos
2
sin
2
1 2
的值
A． 5 13
B． 12 C． 12 D． 5
13
13
13
高三数学理科试题 第1页(共 8 页)
高三数学理科试题 第2页(共 8 页) 1
9. 已知函数 f (x) sinx 3 cosx( 0) ，若集合{x (0 ， ) | f (x) 1} 含有 4 个元素，
7．如图 1，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，M，N，Q 分别 是线段 AD1，B1C，C1D1 上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为
A．2
B．1
C． 3 2
D． 5 2
8．如图直角坐标系中，角
0
2
、角
2
0
的终边分别交单位圆于 A、B 两点，若 B 点的纵坐标为 5 ， 13
Hale Waihona Puke ③若A1DM的面积为
S
，则
S
2
3 3
,
2
3 ；
④若 S1 、 S2 分别是 A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影的面积，则存在点 M ，
使得 S1 S2 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12. 已知函数 f (x) xex ln x x 2, g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a, b ，则（
＝|OB|＝|OC|，设 AO m AB n AC ，则 m+3n 的值为
16．已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，若 A 2B ，则 c 2b 的取值 ba
范围为__________． 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
C． (14 ,0) 27
D． (14 ,1) 27
11．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 是对角线 AC1 上的点（点 M 与 A 、C1
不重合），则下列结论正确的个数为（ ）
①存在点 M ，使得平面 A1DM 平面 BC1D ；
②存在点 M ，使得 DM / / 平面 B1CD1 ；
B．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2
C．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＜Dξ2
D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2
6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是 A．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和 B．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和 C．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和 D．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和
的一条性质：
甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；
丙：函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称；丁：f（0）不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是
15. 已知△ABC 的一内角 A , AB 10, AC 6 ，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA| 3
渐近线的交点分别为 P，Q，若△POQ 为直角三角形，则|PQ|＝
A．2
B．4
C．6
D．8
5．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小
球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时，
记取出的红球数为 ξ2，则（ ）
A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2
17. （本题满分 12 分）数列{an}中， a1 2, anan1 2pn1 （p 为常数）．
（Ⅰ）若
a1,
1 2
a2
,
a4
成等差数列，求
p
的值；
（Ⅱ）是否存在 p，使得{an}为等比数列？并说明理由．
高三数学理科试题 第3页(共 8 页)
高三数学理科试题 第4页(共 8 页) 2
18．（本题满分 12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，二面角 A CD F 为 60 ， DE / /CF ， CD DE ， AD 2 ， DE DC 3 ， CF 6 ． （1）求证： BF / / 平面 ADE ； （2） G 为线段 CF 上的点，当 CG 1 时，求二面角 B EG D的余弦值．
CF 4
20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行， 每人必须在 1 分钟内完成，否则派下一个人.3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入 下一关，否则淘汰出局.根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率 分布直方图.
则实数 的取值范围是
A． [3 , 5) 22
B． (3 , 5] 22
C．[7 , 25) 26
D． (7 , 25] 26
10．已知抛物线 y2 4x 上有三点 A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为 3，6，2 ，则 ABC
的重心坐标为
A． (14 ,1) 9
B． (14 ,0) 9
A． 1 10
B． 1 10
C． 3 10
D． 3 10
3．有一散点图如图所示，在 5 个（x，y）数据中
去掉 D（3，10）后，下列说法正确的是
A．残差平方和变小 B．相关系数 r 变小 C．相关指数 R2 变小 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱
4. 已知双曲线 C : x2 y2 1 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条 12 4
理数试题
一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的
序号填涂在答题卡上）
1．已知集合 A＝{x∈R|x+1＞0}，B＝{x∈Z|x≤1}，则 A∩B＝
A．{x|0≤x≤1}
B．{x|﹣1＜x≤1} C．{0，1}
D．{1}
2．复数 1 i 的共轭复数的虚部为 1 2i 2