二项分布 通俗解释
二项分布 公式
二项分布公式
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目录
1.二项分布的定义与公式
2.二项分布的性质与特点
3.二项分布的实际应用
正文
二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
伯努利试验是一个只有两种结果的试验，如抛硬币、检测产品合格率等。
二项分布的公式为：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，P(X=k) 表示 n 次试验中成功 k 次的概率，C(n, k) 是组合数，表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合方式，p 表示每次试验成功的概率，n 表示试验次数，k 表示成功的次数。
二项分布具有以下性质与特点：
1.二项分布的分布律具有对称性，即 P(X=k) = P(X=n-k)。
2.二项分布是离散型概率分布，其概率质量函数值在 0 和 1 之间。
3.随着试验次数 n 的增加，二项分布逐渐趋近于正态分布。
二项分布在实际应用中具有广泛的应用，如：
1.产品质量检测：通过对产品进行抽样检测，计算合格率，从而判断产品质量是否达标。
2.投票选举：通过模拟投票过程，预测候选人的得票数。
3.生物学中的遗传学：研究基因的传递与表现。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义在概率论中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。
它们在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，理解和掌握这两种分布对于解决各种概率相关的问题至关重要。
一、二项分布（一）定义二项分布是指进行\（n\）次独立的伯努利试验，每次试验中成功的概率为\（p\），失败的概率为\（1 p\）。
设随机变量\（X\）表示在\（n\）次试验中成功的次数，则\（X\）服从参数为\（n\）和\（p\）的二项分布，记为\（X ～ B(n, p)＼）。
（二）概率质量函数二项分布的概率质量函数为：＼（P(X ＝ k) ＝ C_{n}＾k p^k （1 p)＾｛n k}＼），其中\（C_{n}＾k\）表示从\（n\）个元素中选取\（k\）个元素的组合数。
（三）期望和方差二项分布的期望为\（E(X) ＝ np\），方差为\（Var(X) ＝ np(1 p)＼）。
（四）应用场景二项分布在很多实际问题中都有应用。
例如，抛硬币多次，计算正面朝上的次数；产品抽检中，确定不合格产品的数量等。
二、超几何分布（一）定义超几何分布描述的是从有限\（N\）个物件（其中包含\（M\）个成功物件）中，不放回地抽取\（n\）个物件，成功物件的数量为随机变量\（X\），则\（X\）服从超几何分布。
（二）概率质量函数超几何分布的概率质量函数为：＼（P(X ＝ k) ＝＼frac{C_{M}＾k C_{N M}＾｛n k}｝｛C_{N}＾n}＼）。
（三）期望和方差超几何分布的期望为\（E(X) ＝ n\frac{M}｛N}＼），方差为\（Var(X) ＝ n\frac{M}｛N}（1 ＼frac{M}｛N}）＼frac{N n}｛N 1}＼）。
（四）应用场景超几何分布常用于抽样调查，比如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，计算其中合格品的数量；从一个班级中抽取若干学生，统计其中男生的人数等。
三、二项分布与超几何分布的比较（一）相同点1、都是离散型概率分布，用于描述随机变量取不同值的概率。
二项分布概念及图表和查表方法
二项分布概念及图表二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式二项分布公式P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np；方差：Dξ=npq；其中q=1-p证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
二项分布概念及图表和查表方法
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。
概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布 通俗解释
二项分布通俗解释一个事件必然出现，就说它100%要出现。
100%=1，所以100%出现的含义就是出现的概率P=1。
即必然事件的出现概率为1。
如果掷一枚硬币，正面向上的结局的概率为0.5 。
反面向上的结局的概率也是0.5 。
那么出现正面向上事件或者反面向上事件的概率就是0.5+0.5=1 ，即二者必居其一。
如果掷两次硬币，根据独立事件的概率乘法定理那么两次都是正面（反面）向上的概率是0.5×0.5=0.25。
另外第一个是正第二个是反的出现概率也是 0.5×0.5=0.25。
同理第一个反第二个正的出现概率也是0.5×0.5=0.25。
于是一正一反的概率是前面两个情况的和，即 0.25+0.25=2×0.25=0.5 。
它们的合计值仍然是1。
列成表就是：注意到代数学中 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, 而在a=0.5，b=0.5时，有 1^2=(0.5+0.5)^2=0.25+2×0.5×0.5+0.25=1。
这说明掷两次硬币的各个结局的出现概率可以通过对二项式的平方展开而得到。
顺此，对于掷n次硬币的各种结局的出现概率也可以通过对二项式的n次方的展开而得到。
例如n=3时,有（注意0.5×0.5×0.5=0.125）1^3=(0.5+0.5)^3=0.125+3×0.125+3×0.125+0.125 =0.125+0.375+0.375+0.125 = 1。
二项式展开的牛顿公式表示为：(a+b)^n=a^n + … + [n!/m!(n-m)!][a^(n-m)b^m]+ … + b^n (其中m=1,2,……n-1)。
即这种类型的问题（如掷多次硬币）的概率分布恰好可以用二项式展开的牛顿公式表示。
而这也就是为什么把这种概率分布类型称为二项分布的原因。
如果a，b并不等于0.5，那么只要把A事件出现的概率以p代入，把B事件的出现概率以(1-p)代入，以上公式仍然正确，（a+b仍然=1）。
正态分布二项分布泊松分布
正态分布二项分布泊松分布
正态分布、二项分布和泊松分布，都是概率统计学中常见的概率分布。
正态分布也称高斯分布，是一种钟形对称的连续概率分布。
在自然界或社会科学中，很多变量都服从正态分布，比如人的身高、成绩等。
该分布由均值和标准差两个参数决定。
二项分布是一种离散概率分布，表示在n 次独立重复试验中，成功次数为k 的概率分布。
该分布由试验次数n 和成功概率p 两个参数决定。
在实际应用中，二项分布常用于描述样本比例、样本大小等情况。
泊松分布是一种离散概率分布，表示在一段时间或空间内，事件的发生次数的概率分布。
该分布由一个参数λ决定，表示单位时间或空间内事件的平均发生率。
泊松分布常用于计算人口、交通流量等的数量分布。
总之，正态分布、二项分布和泊松分布各有其特点和应用范围，具体使用需要视具体情况而定。
二项分布概率最大项的结论
二项分布概率最大项的结论哎呀，今天咱们聊聊二项分布概率最大项的结论，这个结论可是在概率论里头非常重要的一个知识点哦。
你说呢？概率论嘛，就是研究那些有点儿神秘的数字之间的关系，你说是不是挺有意思的呢？咱们来简单地了解一下什么是二项分布。
二项分布呢，就是从n个不同的物品里面任选k个物品的组合数，其中每个物品被选中的概率都是1/n。
这个概念听起来有点儿复杂，但是咱们可以用一个例子来简单地说明一下。
比如说，咱们有一个袋子，里面装了10个苹果。
现在咱们要从这个袋子里随机拿出3个苹果，这就是一个典型的二项分布问题。
咱们可以把这10个苹果看作是n个不同的物品，而拿出3个苹果看作是从n个物品里面任选k个物品的组合数。
那么，每个苹果被选中的概率就是1/10,对吧？那么问题来了，咱们怎么才能找到这个二项分布中概率最大的那个组合数呢？这个问题可不简单，因为它涉及到了数学里面的一些高深知识。
但是，别担心，咱们还是可以用一些简单的方法来解决这个问题的。
咱们可以观察到，当k越来越大的时候，二项分布的概率会变得越来越小。
这是因为，当我们从n个物品里面任选k个物品的时候，总会有一些物品没有被选中。
而这些没有被选中的物品，它们的概率之和就是剩下的物品被选中的概率。
所以，当k越来越大的时候，剩下的物品被选中的概率就会变得越来越小。
那么问题来了，既然k越来越大的时候，二项分布的概率会变得越来越小，那么我们应该让k取多少呢？这个问题其实也很简单，因为k应该是n-1。
为什么呢？因为当我们从n个物品里面任选n-1个物品的时候，剩下的一个物品肯定会被选中。
而这个被选中的概率就是1。
所以，k应该是n-1的时候，二项分布的概率才会达到最大值。
当然啦，这个结论并不是绝对的。
有时候，即使k不是n-1,二项分布的概率也会达到最大值。
但是呢，这种情况非常罕见。
所以呢，咱们在实际应用中，还是应该遵循这个结论，尽量让k取n-1。
二项分布概率最大项的结论告诉我们，在进行二项分布计算的时候，我们应该尽量让k取n-1,这样才能使得二项分布的概率达到最大值。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
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二项分布通俗解释
一个事件必然出现，就说它100%要出现。
100%=1，所以100%出现的含义就是出现的概率P=1。
即必然事件的出现概率为1。
如果掷一枚硬币，正面向上的结局的概率为0.5 。
反面向上的结局的概率也是0.5 。
那么出现正面向上事件或者反面向上事件的概率就是0.5+0.5=1 ，即二者必居其一。
如果掷两次硬币，根据独立事件的概率乘法定理那么两次都是正面（反面）向上的概率是0.5×0.5=0.25。
另外第一个是正第二个是反的出现概率也是 0.5×0.5=0.25。
同理第一个反第二个正的出现概率也是0.5×0.5=0.25。
于是一正一反的概率是前面两个情况的和，即 0.25+0.25=2×0.25=0.5 。
它们的合计值仍然是1。
列成表就是：
两个正面的概率一正一反的概
率
两个反面的概
率
0.252×0.25=0.50.25
注意到代数学中 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, 而在a=0.5，b=0.5时，有 1^2=(0.5+0.5)^2=0.25+2×0.5×0.5+0.25=1。
这说明掷两次硬币的各个结局的出现概率可以通过对二项式的平方展开而得到。
顺此，对于掷n次硬币的各种结局的出现概率也可以通过对二项式的n次方的展开而得到。
例如n=3时,有（注意0.5×0.5×0.5=0.125）1^3=(0.5+0.5)^3=0.125+3×0.125+3×0.125+0.125 =
0.125+0.375+0.375+0.125 = 1。
3个正面的概率2正1反的概
率
1正2反的概
率
3个反面的概
率
0.1250.3750.3750.125
二项式展开的牛顿公式表示为：
(a+b)^n=a^n + … + [n!/m!(n-m)!][a^(n-m)b^m]+ … + b^n (其中m=1,2,……n-1)。
即这种类型的问题（如掷多次硬币）的概率分布恰好可以用二项式展开的牛顿公式表示。
而这也就是为什么把这种概率分布类型称为二项分布的原因。
如果a，b并不等于0.5，那么只要把A事件出现的概率以p代入，把B事件的出现概率以(1-p)代入，以上公式仍然正确，（a+b仍然=1）。
所以对于仅有A，B两个结局的随机事件，如果A事件出现概率为p，B事件的出现概率为1-p，那么在n次随机实验中A事件出现n-m次、B事件出现m次的情况（对应一种复合事件）的出现概率P应当是(这里的P是大写的)：P=[n!/m!(n-m)!][p^(n-m) (1-p)^m] (其中m=0,1,……,n)
注意到上面公式的对称性，它也可以写为 P=[n!/m!(n-m)!][p^m (1-p)^(n-m)]。
它就是所谓二项分布概型的随机事件的出现概率公式，也是牛顿二项式展开在变量为对应概率值的情况下的通项。
二项分布 - 正文
概率论中最常用的一种离散型概率分布。
若随机变量X 取整数值k 的概率为
式中n 是给定的正整数；是从n 个对象中任意选取k 个的组合数,则称X 的分布为二项分布，记作B （n ,p ）。
它的命名来源于b (k ；n ,p)恰好是【(1-p)+p 】n 的二项式展开的第k +1项。
从不合格品率为p 的产品中独立地抽出n 个（每次抽一个，抽出后又放回）,其中恰有k 个不合格品的概率就是b (k ;n ,p)；统计学由此建立检验产品质量的方案。
类似的例子在生产实践和科学试验中是常见的。
将这类问题模型化,假设每一次试验只有两个可能结果：A 以及它的对立事件A c ,出现A 的概率为P (A )=p ，出现A c 的概率则为 1-p 。
这种只有两个可能结果的随机试验称为伯努利试验,将这种试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验,其中A 出现的次数X 是一个服从二项分布B (n ,p)的随机变量。
若随机变量服从二项分布B (n ,p)，则它的数学期望为n p,方差为n p(1-p)，特征函数为(1-p+pe it )n ,母函数为(1-p+p s )n 。
当k 由0依次增大到n 时,b (k ;n ,p)先增大后减小,当k =【(n +1)p 】（记号【α】表示不超过实数α的最大整数）时，b (k ;n ,p)取最大值；若(n +1)p 是整数,则k 在(n +1)p-1及(n +1)p 处都使b (k ;n ,p)取最大值(见图
)。
如果X i服从B(n i,p),i=1,2,…n,而且X1,X2,…,X n独立,则服从。
如果X n服从B(n,p),则对任何实数α<b，当n→∞时，
有
式中
这说明,若p固定,当n充分大时，B(n,p)近似于正态分布。
这个渐近公式最早由A.棣莫弗就p =1/2的情形加以证明,而后由P.-S.拉普拉斯加以推广,常称为棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理。
S.-D.泊松又
证明了：若则
这说明,当p很小而n较大时,B(n,p)可以用泊松分布近似。
正是这两个定理揭示了概率论中最重要的正态分布和泊松分布的意义，对概率论的发展有着深远的影响。
此外,多重伯努利试验中在出现第r个A以前A不出现的试验次数的
概率分布就是负二项分布，又称帕斯卡分布。
特别当r=1时,就是几何分布。
如果每次试验的可能结果多于两个，则二项分布就推广为多项分布。
二项分布 - 应用条件
1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。
2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。
二项分布公式
3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。
如要求疾病无传染性、无家族性等。
二项分布 - 分布区别
两点分布又称伯努利分布
两点分布的分布列就是
x 0 1
P 1-p p
不论题目有什么区别,只有两种可能，要么是这种结果要么是那种结果,通俗点，要么成功要么失败
而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的,
列一个二项分布的分布列就是
X 0 1 2 ………n
P C(0)(n)·(1-p)^n C(1)(n)·p·(1-p)^(n-1) ……
C(n)(n)·p^n·(1-p)^0
也就是说当n=1时，这个特殊二项分布就会变成两点分布,
即两点分布是一种特殊的二项分布
像其他地方说的二项分布是两点分布的多重实验也不无道理，因为两者都是独立的重复实验,只不过次数不同罢了
E(n) = np
var(n) = np(1-p) (n是实验次数，p是每次实验的概率）。