投资收益和风险的优化模型
投资组合优化的数学模型
投资组合优化的数学模型一、引言投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。
在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。
本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。
二、投资组合优化模型投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。
下面将分别进行介绍。
1.均值-方差模型均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。
其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。
具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。
均值-方差模型的数学表达式如下：$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。
该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。
但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实际应用中有着一定的局限性。
2.风险价值模型风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。
与传统的风险度量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。
VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。
投资的收益和风险的数学建模
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、 了解 对 象 信息、 作出简 化假设、 分析内在规律等工作的基础上， 用数学的符号和语言， 把它表述为数学式子， 也 就 是 数 学 模 型， 然 后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题 并 接受 实 际 的 检 验。 这 个 建 立 数 学 模 型 的 全 过 程就 称 为 数学建模。MATLAB 是一种准确、 可靠的科学计算 标 准 软 件， 它具 有 强 大 的 矩阵 运 算 功能 与 函 数 多 样 性 功能， 是数学建模中常用的工具。 一般说来， 在现代商业、 金融投资中， 投资者总是希望实现收益最大化， 关注于采用什么样的投资方式 可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的， 而且高收益总是伴随着高风险， 收益与风险之间存在着难 以调和的矛盾。怎样兼顾两者， 寻找切实可行的决策思想， 是投资的收益和风险决策的一个重要问题。 一、 问题的提出 1， 2， ……， n) 可以选择， 市场上有 n 种资产 s i ( i = 0 ， 现 用 数 额 为 M 的 相当大 的 资 金 进 行 一个 时 期的 投资。这 n 种资 产 在这 一 时 期 内 购 买 s i 的 平 均 收益 率 为 r i ， 风险损失率为 qi ， 投 资越 分 散， 总的 风 险 越 小， 总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。 购买 s i 时 要 付 交 易 费 ( 费 率 p i ) ， 当购买额不超过给定值 u i 时， 交 易 费 按 购 买 u i 计 算。 另 外， 假定同 期银行存款利率是 r0 ( r0 = 5 % ) ， 既无交易费又无风险。 已知 n = 4 时相关数据为
x = 0． 000 0 x= 0 x= 0 x = 0． 000 0
不同投资决策的最优化模型
不同投资决策的最优化模型随着经济发展，投资成为人们追求财富增值的重要途径之一。
不同的投资决策对应不同的风险和收益。
如何在风险和收益之间做出最优化的投资决策，成为投资者必须要面对的难题。
本文将介绍不同投资决策的最优化模型及其应用。
基本概念在讨论最优化模型之前，我们需要了解一些基本概念。
收益收益是指投资所获得的盈利。
在同等投入下，收益越高，投资者的利润就越大。
风险风险是指投资所面临的不确定性，包括市场波动、政策变化、经济形势等各种因素的影响。
风险越大，投资者面临的亏损就越多。
风险收益比风险收益比是衡量投资风险和收益之间关系的重要指标。
风险收益比越高，代表投资者在相同投入下能获得更高的收益，但风险也随之增加。
均值-方差模型均值-方差模型是最早应用于投资决策的模型之一。
它通过计算投资组合的期望收益和方差，来确定最优的投资组合。
均值-方差模型的基本思路是，投资者希望在一定的投入下，获得最高的收益，并且避免风险。
因此，投资者需要在不同的投资品种之间做出选择，以获得最优的投资组合。
该模型通常假设所有的投资品种之间都是相互独立的，并且各自服从正态分布。
同时，该模型依据Markowitz提出的理论，将投资决策问题转化为一个求解二次规划问题的过程。
均值-方差模型的数学形式如下：minimize 1/2 x' * Σ * x - μ' * xsubject to x >= 0, sum(x) = 1其中，x表示投资组合向量，Σ表示协方差矩阵，μ表示期望收益向量。
通过求解上述优化问题，可以得到最优的投资组合，同时满足各种约束条件。
例如，假设我们有两种投资品种，它们的期望收益分别为μ1和μ2，协方差为σ12，σ21，那么该模型的答案可以表示为：x* = (μ1 - μ2) / σ12 /(σ12^2 + σ21^2)y* = (μ2 - μ1) / σ21 / (σ12^2 + σ21^2)其中x和y分别表示将资金投入不同投资品种的比例。
几类投资组合优化模型及其算法
几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化是金融领域研究的热点之一，它旨在通过合理的资产配置，最大化投资回报并控制风险。
在过去的几十年里，学者们提出了许多不同的模型和算法来解决这个问题。
本文将介绍几类常见的投资组合优化模型及其算法，并讨论它们在实际应用中的优缺点。
一、均值-方差模型及其算法均值-方差模型是最早也是最常见的投资组合优化模型之一。
它假设市场上所有证券的收益率服从正态分布，并通过计算每个证券预期收益率和方差来构建一个有效前沿。
然后，通过调整不同证券之间的权重来选择最佳投资组合。
常用于求解均值-方差模型问题的算法包括马尔科夫蒙特卡洛方法、梯度下降法和遗传算法等。
马尔科夫蒙特卡洛方法通过随机生成大量投资组合并计算它们对应收益和风险来找到有效前沿上最佳点。
梯度下降法则通过迭代调整权重，使得投资组合的风险最小化，同时收益最大化。
遗传算法则通过模拟生物进化的过程，不断迭代生成新的投资组合，直到找到最优解。
然而，均值-方差模型存在一些缺点。
首先，它假设收益率服从正态分布，在实际市场中往往不成立。
其次，它忽略了投资者的风险偏好和预期收益率的不确定性。
因此，在实际应用中需要对模型进行改进。
二、风险价值模型及其算法风险价值模型是一种基于风险度量和损失分布函数的投资组合优化模型。
它通过将损失分布函数与预期收益率进行权衡来选择最佳投资组合。
常用于求解风险价值模型问题的算法包括蒙特卡洛模拟、条件值-at- risk方法和极大似然估计等。
蒙特卡洛方法通过随机生成大量损失分布并计算对应的条件值-at- risk来找到最佳点。
条件值-at-risk方法则是直接计算给定置信水平下对应的损失阈值，并选择使得风险最小化的投资组合。
极大似然估计则是通过对损失分布的参数进行估计，找到最符合实际数据的投资组合。
风险价值模型相比均值-方差模型具有更好的鲁棒性，能够更好地应对极端事件。
然而，它也存在一些问题。
首先，它需要对损失分布进行假设，而实际中往往很难准确估计。
数学建模—投资的收益和风险问题
数学建模—投资的收益和风险问题投资一直是人们追逐财富增值的方式之一。
然而，投资市场的不确定性和风险给人们带来了很大的挑战。
数学建模作为一种解决问题的工具，可以帮助我们分析和评估投资的收益和风险。
本文将从数学建模的角度探讨投资的收益和风险问题。
一、投资收益的数学建模投资收益是投资者最关心的问题之一，通过数学建模我们可以对投资收益进行评估和预测。
常用的数学模型之一是股票价格的随机过程模型，其中最经典的是布朗运动模型。
布朗运动模型假设股票价格的波动符合随机游走过程，即无论是股票的上涨还是下跌都服从正态分布。
在这个模型中，我们可以通过计算出股票价格的期望回报和标准差，来评估投资的收益和风险。
除了布朗运动模型，我们还可以利用时间序列分析来预测股票价格的变动趋势。
时间序列分析是一种利用历史数据来分析未来走势的方法，通过建立股票价格与时间的数学模型，可以得到股票价格的预测值。
然而，需要注意的是，时间序列分析并不能完全预测未来的变动，因为股票价格受到很多因素的影响，例如市场供求关系、公司业绩等。
二、投资风险的数学建模除了投资收益，投资风险也是投资者非常关注的问题。
投资风险是指投资在市场变动中可能遭受的损失和波动程度，通过数学建模我们可以对投资风险进行量化评估。
常用的风险评估方法之一是价值-at-风险（Value at Risk，VaR）模型。
VaR模型以一定的概率来评估投资可能遭受的最大损失。
该模型通过构建投资组合的收益分布函数，计算出投资组合在给定概率下可能遭受的最大损失。
VaR模型可以帮助投资者合理地控制风险，制定适当的投资策略。
除了VaR模型，我们还可以利用随机模拟方法来评估投资风险。
随机模拟方法通过生成一系列符合规定分布的随机数，来模拟投资组合的收益分布。
通过模拟大量的随机数，我们可以得到投资组合可能的收益和风险情况，进而评估投资的风险。
三、数学建模在投资决策中的应用数学建模在投资决策中有着广泛的应用。
投资组合的风险与收益模型分析
投资组合的风险与收益模型分析投资组合是投资者通过配置多种不同的资产形成的投资组合，以达到在投资风险不变的情况下获得更高的收益目的。
投资组合的优劣是由其风险与收益平衡程度决定的。
因此，通过风险与收益模型的分析，可以帮助投资者更加准确地评估投资组合的风险和收益，制定合理的投资决策。
一、投资组合的风险模型投资组合的风险是指其预期收益的波动性或不确定性。
由于不同资产的价格变化具有一定的随机性，因此，投资组合的风险很难通过某一单一指标来衡量。
常用的风险模型包括方差模型、协方差模型和随机模拟模型等。
1. 方差模型方差模型是最简单直观的风险模型，它用投资组合中各资产的预期收益率和其权重，计算出投资组合的预期收益率和方差，以此来评估投资组合的风险程度。
根据方差模型，投资者可以通过分散投资资产、选择高信用等级的债券、降低投资组合中某些资产的权重等方式来降低投资组合的风险。
2. 协方差模型协方差模型考虑了投资组合中各资产之间的关联性，它通过计算资产间的协方差，来衡量投资组合的风险。
与方差模型相比，协方差模型更能反映投资组合的多样性，因此更加准确。
投资者可以通过降低资产间的关联性、增加投资组合中不同种类的资产等方式来降低投资组合的风险。
3. 随机模拟模型随机模拟模型通过采用蒙特卡罗方法等随机模拟技术，模拟多种不同市场情况下的投资组合收益率变化，并对其分析、评估。
相对于前面两种模型，随机模拟模型更能反映现实的市场波动性，因此更加真实可靠。
投资者可以通过不断模拟和调整投资组合来降低投资组合的风险。
二、投资组合的收益模型投资组合的收益是指投资者在特定投资期间内所获得的资本收益。
由于不同资产的收益率的高低程度和变化节奏各异，因此，投资组合的收益率往往也是多种不同资产收益率的组合。
常用的收益模型包括期望收益率模型、收益率分布模型和时间序列模型等。
1. 期望收益率模型期望收益率模型通过计算投资组合中各项资产预期收益率的加权平均值，来确定投资组合的期望收益率。
几类投资组合优化模型及其算法
几类投资组合优化模型及其算法几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化模型是金融领域中常用的一种数学模型，它通过对资产进行适当的配置，以期获得最大的收益或最小的风险。
在实际应用中，根据不同的投资目标和约束条件，可以使用不同类型的投资组合优化模型及相应的算法。
一、均值-方差模型及算法均值-方差模型是最经典的投资组合优化模型之一，它基于资产的期望收益和风险(方差或标准差)之间的权衡。
常用的算法有：马科维茨(Markowitz)模型和现代投资组合理论。
马科维茨模型利用资产的历史数据估计收益率和协方差矩阵，通过最小化风险（方差）的方式来寻找最优化的投资组合。
算法流程为：（1）计算资产的期望收益和协方差矩阵；（2）设定目标函数和约束条件，如最大化收益、最小化风险、达到特定风险水平等；（3）通过数学规划方法，如二次规划或线性规划求解最优的权重分配。
现代投资组合理论进一步发展了马科维茨模型，引入了资本市场线和风险资本边界等概念。
它将投资组合的有效边界与资本市场线相结合，可以通过调整风险与收益的平衡点，实现不同风险偏好下的最优组合。
算法流程与马科维茨模型类似，但增加了一些额外的计算步骤。
二、风险平价模型及算法风险平价模型是近年来研究的热点之一，它基于资产之间的风险关系，通过将各资产的风险贡献平均化，来实现风险平衡。
常用的算法有：风险平价模型及最小方差模型。
风险平价模型的核心思想是将整个投资组合中，每个资产的风险贡献度（总风险对该资产的贡献程度）设置为相等，从而实现整体投资组合风险的均衡。
算法流程为：（1）计算各资产的风险贡献度；（2）设定目标函数和约束条件，如最小化风险、满足收益要求等；（3）通过优化算法，如线性规划、非线性规划等，求解最优的权重分配。
最小方差模型在风险平价模型的基础上，进一步最小化整个投资组合的方差。
算法流程与风险平价模型类似，但在目标函数的设定上多了一项方差的计算。
三、条件-Value at Risk模型及算法条件-Value at Risk模型是一种集成了条件-Value at Risk方法的投资组合优化模型，它引入了一定的风险约束条件，如最大损失限制，来保护投资者不承受过大的风险。
投资组合优化模型及其应用
投资组合优化模型及其应用在当今的金融世界中，投资组合的构建和优化是投资者实现资产增值和风险控制的重要手段。
投资组合优化模型作为一种科学的工具，能够帮助投资者在众多的投资选择中找到最优的组合方案，以达到预期的投资目标。
投资组合优化模型的基本原理是基于资产的预期收益和风险，通过数学方法和统计分析，确定不同资产在投资组合中的比例，从而实现投资组合的最优配置。
简单来说，就是在一定的风险水平下，追求最大的收益；或者在一定的收益目标下，尽量降低风险。
常见的投资组合优化模型包括均值方差模型、资本资产定价模型（CAPM）和 Black Litterman 模型等。
均值方差模型是由马科维茨提出的，它假设投资者是风险厌恶的，通过计算资产的均值（预期收益）和方差（风险）来确定最优投资组合。
在这个模型中，投资者需要根据自己的风险偏好，在收益和风险之间进行权衡。
资本资产定价模型则是在均值方差模型的基础上发展而来的，它强调了系统风险对资产定价的影响。
该模型认为，资产的预期收益取决于其对市场组合风险的贡献程度，即贝塔值。
通过计算资产的贝塔值，投资者可以评估资产的风险和预期收益，从而做出投资决策。
Black Litterman 模型则是将投资者的主观观点与市场均衡相结合，对资产的预期收益进行调整。
这种模型在处理不确定性和投资者主观判断方面具有一定的优势，能够更好地反映投资者的个性化需求。
投资组合优化模型在实际应用中具有广泛的用途。
首先，对于个人投资者来说，它可以帮助他们合理配置资产，降低风险，提高投资收益。
例如，一个年轻的投资者可能具有较高的风险承受能力，可以将更多的资金投资于股票等风险资产；而一个即将退休的投资者则可能更倾向于保守的投资策略，增加债券和现金的比例。
其次，对于机构投资者，如基金公司、保险公司等，投资组合优化模型是其进行资产配置和风险管理的重要工具。
基金经理可以根据模型的结果，调整投资组合中不同资产的比例，以实现基金的业绩目标和风险控制。
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投资收益和风险的优化模型摘要如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。
实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。
“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。
但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。
怎样分配资金才能做到统筹兼顾？在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。
由于M 是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。
为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c ，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型（模型二）。
当给定参数c 时，这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。
所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。
如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率c v ≤时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。
这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA 、AB 段。
不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。
但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。
针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为M ⋅%61.0, 总收益可以达到M ⋅%59.20；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为M ⋅%2.10, 总收益可以达到M ⋅%70.34。
在模型评价中，我们通过分析在考虑i u 后,模型以及解的改变程度,验证了i u 对模型的改变很小,可以忽略不计,从而证明了我们给出的模型的正确性、实用性。
关键词 投资风险 收益 投资方案 多目标规划 线性规划 非劣解一 问题的提出某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
现在市场上有n 种资产（如股票、债券、…）i S （n i Λ,2,1=）供投资者选择，公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期购买i S 的平均收益率为i r ，并预测出购买i S 的风险损失率为i q 。
购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是0r ,且既无交易费又无风险。
（0r =5%）我们在此建立数学模型，为企业作出一种投资方案，使企业得到的收益近可能的大,与此同时要求企业承受风险尽可能的小。
两组数据如下：表1：数据表1i S i r (%) i q (%) i p (%) i u (元)1S 2S 3S 4S28 21 23 25 2.5 1.5 5.5 2.6 1 2 4.5 6.5 103 198 52 40表2：数据表2i S i r (%) i q (%)i p (%) i u (元)1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S8S 9S 10S11S 12S 13S 14S 15S9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 1542 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 46 5.3 232.13.2 6 1.5 7.6 3.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.74.5 7.6181 407 428 549 270 397 178 220 475 248 195 320 267 328 131二 基本假设1. 假设总资产M 为一笔相当大的资金。
2. 总资产M 全部用于投资项目或存入银行，没有闲置资产。
3. 若资产存进银行，交易费和风险损失率为零。
4. 若资产存进银行，平均收益率用同期银行利率0r 来计算。
5. 总风险V 可以用所投资项目i S 中最大的一个风险损失值i i q m ⋅来度量，即}max {i i q x V ⋅=。
6. 当第i 个项目i S 投资额不超过i u 时，交易费按购买i u 计算，且不买无须付费；投资额不超过i u 时，按费率i p 计算。
7. 我们认为n 种资产的平均收益率i r ，风险损失率i q ，交易费率i p 在一定时期都保持不变。
8. 银行的利率0r 也在一定时期保持不变。
三 符号说明M 公司要投资的总资金 n 总共的项目数0S0=i 时表示将资金存入银行i S 第i 个项目（n i ...2,1=）i m投入i S 的资金数目（n i ...2,1,0=）i x 投入i S 的资金数目占总资金M 的百分比（n i ...2,1,0=） 0r同期银行存款利率，0r ＝5％i r 购买i S 的平均收益率（n i ...2,1=）0q00=q ,表示将资金存入银行的风险损失率为零 i q 购买i S 的风险损失率（n i ...2,1=）0p00=p ,表示将资金存入银行要交的费率为零 i p 购买i S 要交的费率（n i ...2,1=）i u 当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（n i ...2,1=） i U 购买i S 要交的总手续费（n i ...2,1,0=） c公司能承受的最大的总风险损失率 G 总收益g 总平均收益率，即G /MV 总风险，即各投资项目中最大的风险值 v 总风险损失率，即V /Mi t项目i S 要盈利的最小投入资本四 问题分析公司在一定时期的投资决策，主要由三个因素制约：第一，投资项目的盈利空间；第二，投资项目的风险大小；第三，投资项目的费用。
显然，投资的目的是为了尽可能多的盈利，这样就希望将钱投入收益率较大的项目，然而，高收益往往伴随着高风险，如果为了多盈利而投资收益大的项目，往往带来了较大的风险，这就需要综合评价各个项目的收益与风险，从中恰当的进行取舍找到最优结合点。
以上投资问题的目标是使风险尽可能的小而收益尽可能的大，即达到最优化，同时目标的实现又受具体项目风险,费用和获利的制约，所以这是一个关于优化的规划问题， 属于一个多目标决策。
目标函数有两个：一、总收益G 尽可能的大；二、总风险损失V 尽可能的小。
如果直接给出一个评价函数，对目标进行求解，则由于多目标决策求解的复杂性和不定性，求解的过程将显得非常繁琐而且得到的结果并不具有普适性（因为对于不同的人或情况，对风险和收益的侧重不同）。
所以我们可以通过对其中的一个目标进行限制，作为另一个目标的约束条件，再对其进行求解。
这样就将多目标决策转化为基本的单目标决策。
由于总风险的大小是取各项风险的最大值，而不是简单的线性关系，所以为了简化运算，具体的，我们对总风险损失率v 进行限制（即得到公司能承受的最大总风险损失率c ），作为总平均收益率g 求解最优的约束条件，再对其进行求解。
这样我们对于每一个公司能承受的最大总风险损失率c ，总有一个总平均收益率g 的最优值与之相对应。
这样便得出了总收益最优max G 和公司能承受的最大风险C 之间的函数关系。
根据关系函数，能得到一个非劣解的可行域。
然后可根据各种实际情况选择一个适当的评价函数，在可行域中便可找到最优的投资方案。
这样可使模型具有普适性，而且模型求解的过程也变得简单而清晰。
五 模型的建立与求解(1) 模型的建立模型一 多目标规划模型购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过i u 给定值时，交易费按购买iu 计算，且不买无须付费。
所以购买i S 要交的总手续费i U 为：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅<<⋅==i i ii i i i i i i i u m m p u m m u m m U 0 00)(，由于要使风险尽可能的小，且收益尽可能的大，所以得到以下多目标规划模型：)(max min 41i i i m q V ==∑=-=4)( max i i i i U m r Gs.t. 0≥i m ，∑==4i iM m但是由于i U 是一个分段函数，所以不易求解。
考虑到M 是一个相当大的值，若对项目i S 进行投资，则投资到i S 的资金i m 也会很大（i i u m >）。
基于以上分析，我们对模型作如下的简化：1)先暂时把)(i i m U 当作线性函数：i i i i m p m U ⋅=)( 2)将M 作归一化处理：令M m x i i =, M V v =, MG g = 得到的多目标规划模型如下：)(max min 41i i i x q v ⋅==∑=⋅-=4])[( max i i i i x p r gs.t. 0≥i x ，∑==41i ix为了求解此多目标规划模型，我们将其转化为模型二：带参量c 的线性规划模型。
模型二 带参量c 的线性规划模型由于0S 的平均收益率0r 小于其他项目i S 的平均收益率i r ，只要将投入0S 的比率0x 减小，将其他项目i S 的投入比率i x 加大（i x ＝0的不变），收益便一定会增大。
但此时风险也相应的增大了。
所以当要想获得更大的收益，必须要承担更大的风险。
我们假定公司能承受的最大总体风险损失率为c ，即：c x q v i i i ≤==)(max 41可以写成：c x q ≤⋅11，c x q ≤⋅22，c x q ≤⋅33，c x q ≤⋅44。
在此约束条件下，上面的多目标规划模型可以转化成带参量c 的线性规划模型，如下：∑=⋅-=40])[( max i i i i x p r gs.t. c x q ≤⋅11， c x q ≤⋅22，c x q ≤⋅33， c x q ≤⋅44，0≥i x ，∑==41i ix若给定c 的值，这个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。
所以若c 作为变量，max g 便是一个关于c 的函数)(max c g ，c >0。
由以上分析可知，如果我们求得了函数)(max c g ，就能够知道：当公司能承担的最大总风险损失率c v =时，公司能得到的最大投资收益值，及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。
从而，多目标规划模型的非劣解解空间也就求解出来了。
下面我们就来求函数)(max c g 。
(2) 模型的求解第一组数据的求解：为了搞清楚风险与收益之间关系函数)(max cg，我们用计算机来计算对于一组给定的总风险损失率上限c，代入到上面的线性规划（模型二）中去，进而得到一组总平均收益率g的最大值，然后比较这些值，从中选择一个较符合实际的解作为最优解。