长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九年级初赛试题及答案
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题(含答案)
第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题卷1．如图1的A 和B 是抗日战争时期敌人要塞阵地的两个“母子碉堡”，被称为“母碉堡”A 的半径是6米，“子碉堡”B 的半径是3米，两个碉堡中心的距离80AB =米．我侦察兵在安全地带P 的视线恰好与敌人的“母子碉堡”都相切，为了打击敌人，必须准确地计算出点P 到敌人两座碉堡中心的距离PA 和PB 的大小，请你利用圆的知识计算出____PA =，____PB =．2．小丽将一个边长为2a 的正方形纸片ABCD 折叠，顶点A 落到CD 边上的点M 的位置，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图2）．在折叠过程中，小丽发现当点M 在CD 边上的任意位置时，（点C D ，除外），CMG △的周长总是相等的，那么CMG △的周长为 ．3．国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观．某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金 元． 4．光明路新华书店为了提倡人们“多读书，读好书”，每年都要开展分年级免费赠书活动，今年获得免费赠书的前提是：顺利通过书店前的A B C ，，三个房间（在每个房间内都有一道题，若能在规定的时间内顺利答对这三道题，就可免费得到赠书），同学们你们想参图1 A B CDEF GM图2 O 的半径AB AC ，的长分别为方程2(22x -+题目并不难哟，把答案写在下面吧！ A 房间答题卡： ； B 房间答题卡： ； C 房间答题卡： ．5．某校数学课外活动探究小组，在教师的引导下，对“函数(00)ky x x k x=+>>，的性质”作了如下探究：因为222(kk k y x x x x =+=-++=+ 所以当0x >，0k >时，函数kyx x=+有最小值=x =借助上述性质：我们可以解决下面的问题：某工厂要建造一个长方体无盖污水处理池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为 元． 6．某公司员工分别住在A B C ，，三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图3所示．公司的接送车打算在A 区，B 区，C 区中只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应在 ．二、选择题（每小题6分，共36分）7．如图是一个圆形的街心花园，AB C ，，是圆周上的三个娱乐点，且A B C ，，三等分圆周，街心花园内除了沿圆周的一条主要道路外还有经过圆心的沿AOB ，BOC ，AOC 三条道路，一天早晨，有甲、乙两位晨练者同时从A 点出发，其中甲沿着圆走回原处A ，乙沿着AOB ，BOC ，COA 也走回原处，假设他们行走的速度相同，则下列结论正确的是（ ） Ａ．甲先回到A Ｂ．乙先回到A Ｃ．同时回到A Ｄ．无法确定8．小明很喜欢打篮球，他是班里篮球队的主力队员，恰好这个星期他所在的九年级十个班要进行篮球比赛，比赛是每五个队进行单循环比赛，得分规则如下表，小组赛后总积分最高A 区 区区图3ABCOm图4现在小明若想直接进入半决赛，问小明所在的队至少要积（ ） Ａ．9分 Ｂ．10分 Ｃ．11分 Ｄ．12分 9．如图5，A B C ，，是固定在桌子上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现想将这三个圆片移动到B 柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A B C ，，三个柱之一，且较大的圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事至少要移动圆片的次数是（ ） Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8 Ｄ．910．有红、黄、绿三块面积均为220cm 的正方形纸片，放在一个底面是正方形的盒子内，它们之间互相叠合（如图6），已知露在外面的部分中，红色纸片面积是220cm ，黄色纸片面积是214cm ，绿色纸片面积是210cm ，那么正方形盒子的底面积是（ ） Ａ．2256cm 5Ｂ．254cmＣ．248cmＤ．2246cm 511．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中一次，小明套10次得61分，则小鸡被套中（ ） Ａ．2次 Ｂ．3次 Ｃ．4次 Ｄ．5次 12．如图7，在边长是20m 的正方形池塘周围是草地，池塘边A B C D ，，，处各有一棵树，且4AB BC CD ===m ，现用长5m 的绳子将一头牛拴在一棵树上，为了使牛在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ） Ａ．A 处或C 处 Ｂ．B 处Ｃ．B 处或D 处分）13．（本题12分）阳光中学全体学生都办理了一种“学生团体住院医疗保险”，保险公司按下表中的级距分段计算付给被保险人的“住院医疗险金”．A B图5图6图7（注：在被保险期间，被保险人按上述标准累计自付金额超过6 000元的部分，保险公司按100％的标准给付）现在，该中学的学生李明因病住院，除去保险公司给付的“住院医疗保险金”外，李明的家人又支付了医疗费用3 000元．请问保险公司为李明支付了多少保险金？14．（本题12分）轻纺城服装批发市场经营季节性服装，当季节即将来临时，服装价格呈上升趋势．设某种服装开始时预定价为每件10元，从第一周上市开始每周（7天）涨价2元，从第5周开始保持20元的价格平稳销售；在季节即将过去时，从第11周开始，服装批发市场开始削价，平均每周削价2元，直到16周周末后，该服装已不再销售．（1）试建立价格y与周次x之间的函数关系；（2）若此服装每件进价Q与周次x之间的关系为：2≤≤，，试问该服装第几周每件销售利润=--+且是整数0.125(8)12(016)Q x x xM最大？15．（本题14分）如图8，某房地产开发公司购得一块三角形地块，在靠近B ∠的内部有一千年的古樟树要加以保护，市政府规定要过P 点划一三角形的保护区，你怎样划这条线才能使被划去的BDE △的面积最小？为什么？四、开放题（本大题满分40分）16．（本题20分）在生活中不难发现这样的例子：三个量a b ，和c 之间存在着数量关系a bc =．例如：长方形面积＝长×宽，匀速运动的路程＝速度×时间． （1）如果三个量ab ，和c 之间有着数量关系a bc =，那么： ①当0a =时，必须且只须 ；②当b （或c ）为非零定值时，a 与c （或b ）之间成 函数关系；③当(0)a a ≠为定值时，b 与c 之间成 函数关系．（2）请你编一道有实际意义的应用性问题，解题所列的方程符合数量关系：a bx x c=-，（其中x 为未知数，a b c ，，为已知数，不必解方程）．C图817．（本题20分）金字塔是古代世界著名的奇迹之一，矗立在尼罗河西岸的70多座金字塔，每年都吸引着来自世界各地的游客，流连在金字塔下，抬眼望去，几十层楼高的塔像柄巨剑直刺云天，显得气势非凡．此刻，游人心里很自然地会想：金字塔究竟有多高呢？假设你是一位游人，如何测量金字塔的高度呢？写出你的测量方案，并说明理由（注意：至少提供两种测量方案，并且，你的方案一定要切实可行）．参考答案一、填空题（每小题6分，共36分）1．160米，80米 2．4a 3．3 520元 4．A ：105︒或15︒；B：C ：15︒或75︒ 5．297 600 6．A 区二、选择题（每小题6分，共36分） 7～12．ＣＢＢＡＤ Ｂ三、解答题（13题12分，14题12分，15题14分，满分38分） 13．解：当住院医疗费为7 000元时，被保险人应支付：1000(155)3000(160)3000(170)2550⨯-+⨯-+⨯-= ％ ％ ％ （元）． 由于李明家支付费用30002550>元元 ，所以李明住院的医疗费用在7 000元至10 000元之间（即第4级别）． ················ 5分 所以超过7 000元部分的医疗费为：(30002550)(180)2250-÷-= ％ 元． 所以保险公司为李明给付的保险费应为：7000225030006250+-= 元． ··· 11分答：保险公司要再为李明给付保险金6 250元（付给医院）． ···························· 12分 14．解：（1）根据价格的“上升”、“平稳”、“削价”，建立分段函数．102(05)120(510)3402(1016)5x x x y x x x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩且是整数且是整数且是整数分分分≤≤，…………≤≤，………≤≤，………（2）每件利润＝每件售价－每件进价，即M y Q =-，所以当05x ≤≤时，221020.125(8)120.1256M x x x ⎡⎤=+---+=+⎣⎦． 所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 7分 当510x ≤≤时，20.125216M x x =-+．所以当5x =时，M 取最大值9.125元．······················································ 9分 当1016x ≤≤时，20.125436M x x =-+．所以当10x =时，M 取最大值8.5元． ······················································· 11分以上x 的取值均为整数，因此，该服装第5周每件销售利润M 最大． ················ 12分15．过P 作直线DE AB ∥，交BC 于D ，交AC 于E ，在BC 上取点F ，使DF BD =，延长FP 交AB 于点G ，则BFG △的面积最小． ·········································· 6分 证明：若过P 任作一直线，交BC 于M ，交AB 于N ， 过G 作GK BC ∥，交MN 于K ． ····························································· 8分 由DP AB ∥，BD DF =知：DP 是BFG △的中位线，得PG PF =． 进而可得MPF KPG △△≌． ··································································· 12分 NPG MPF S S >△△，所以BMN BFG S S >△△． ····················································· 14分四、开放题（每小题20分，共40分） 16．（1）①b 或c 中有一个为零；②正比例；③反比例．（每空2分，共6分） （2）答案不惟一． 评分标准：（满分共计14分） ①编写题目符合实际（5分）；②解题所列方程符合所要求的数量关系（7分）； ③题目新颖、有创新意义（2分）． 17．方案一：应用相似三角形知识如图1所示：在距离金字塔一定距离的D F ，两点，分别竖立两个竿CD 和EF （长度都为h ），当人分别站在M N ，两点时能保证A C A E ，，，分别在一条直线上测出M N F N M D ，，的距离，则塔高即可得到（其中人的高度忽略不计）． 理由如下： ····························································································· 6分从图中易知：MCD MAB △△Rt ∽Rt ，NEF NAB △△Rt ∽Rt ． ················· 7分 可得AB MBCD MD =，即AB MD MB CD =．① ··············································· 8分 AB NBEF FN=，即AB FN NB EF =．② ······················································· 9分 ②－①得()()AB FN MD NB MB CD -=-． 又知MN NB MB =-，可得MN CDAB FN MD=-．因为CD 已知，MN FN MD ，，均可测出，所以AB 的高度可以计算得出． ························································· 10分C方案二：应用解直角三角形知识如图2所示，在平面内取C D ，两点，使B C D ，，三点在同一条直线上，用测角器在C D ，两点分别测得塔顶A 的仰角为αβ，，再测量出CD 间的距离，则塔高可求得（测角器的高度忽略不计）． ························································································ 6分 理由如下：在ACB △Rt 和ADB △Rt 中，cot CB AB α=，cot DB AB β=． ·························································· 7分 因为CB DB CD -=，所以cot cot AB AB CD αβ-=． ····························································· 8分 所以cot cot CDAB αβ=-．因为CD ，αβ，都可以测出，所以塔高AB 可求得． ···································· 10分 （方案设计合理，正确可酌情给分）ABC D E图1ACD 图2αβ。
长沙市课外读书活动2016年“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九年级复赛试题 参考答案
九年级数学复赛试题·第1版（共6 版）九年级数学复赛试题·第2版（共6 版）2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题 答 案一、选择题（每小题7分）1.选D ，理由：由2()()()y x a x b x a b x ab =−−=−++，知二次函数的自变量x 的二次项系系数为1，所以函数能取得最小值，当2ba x +=时， min y =222(4)(4b a b a ab −−=+−2.选B ，理由：由MA =MB =MC ，知∠ABC =90°，已知其周长为30，则AC +BC =17，且AC 2+BC 2=132，从而2222()()AC BC AC BC AC BC ⋅=+−+ =172-132=120，故S △ABC =3021=⋅BC AC 。
3.选C 理由：由)()())(13()(2c b b a c a c b b a −+−=−=−++−知,)(3)(2b a c b b a −=−+−即),(3))(12(c b b a −−=−−故123−−=−−c b b a ＜0 4. 选A ，理由：法一:可以证明BEC AEH Δ≅Δ法二: 如图，作出△ABC 的外接圆，延长CH 交AB 于点D ，交外接圆于点H ′，则由∠=BA H '∠'H CA =∠HBA 知'H D =DH ，亦知△A 'H B 与△AHB 关于AB 对称，从而这两个三角形的外接圆关于AB 对称，即这两个圆为等圆， 而∠ABH = 45°=∠BAC ，故AH =BC 。
5.选B ，理由：因为9n 能被9整除，所以它的数码和a 被9整除，则n 能被9整除，所以两位数n 只可能是18、27、36、45、54、63、72、81、90、99，用3去乘，把数字之和发生改变的63排除掉；同样，用7去乘可排除27、54，用9去乘可排除72、81，所以满足条件的两位数是18、36、45、90、99共5个。
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛--九-年-级-初-赛-试-题及标准答案
CABD M 第15题2０14年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题(时量：９0分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,共40分）题号 12345６789１０答案１.设Ｐ=121220132012++,Ｑ＝121220142013++，则P 与Ｑ的大小关系是Ａ.P ＞Ｑ B ．P=Q C ．P<Q D ．不能确定２.边长为整数,周长等于2１的等腰三角形共有A.４个 B ．5个 C ．６个 D.7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数,当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时,k 的值可以取Ａ.8个 ﻩﻩB ．7个 ﻩﻩC.６个 Ｄ.5个 4.若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(b a +,ac ）在A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ.第四象限5.如图，矩形ＡBCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A.1５2B.143C.132 D ．1086.如图,⊙O 中，弦A Ｄ∥BC ,DA =DC ，∠AOC =16０°，则∠ＢCO 等于ﻫA. 20° B. ３0° C. 40° D ． 50°7.已知锐角△A ＢC 中，∠A ＝6０°，BD 和CE 都是△A ＢC 的高。
如果△A ＢC 的面积为12,那么四边形ＢCDE 的面积为 A.6 ﻩＢ．８ C.9 ﻩD ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台(n 为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是A.１１ B ．13 ﻩ C.１7 ﻩ Ｄ.19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、Ｂ，如果S △AOB ≤1，那么,k 的取值范围是 A.k ≤1 B. 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D. k ≤-1或k ≥1１0.如图,在梯形ＡBCD 中,A Ｂ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点,6AB BC CD ++=,5BE =,则梯形ＡBC Ｄ的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132Ｄ． 4二、填空题(本大题共８小题，每小题4分,共３２分）１1．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222,则=-b a ． １2.若532=-+c b a , 8765=+-c b a ,则=-+c b a 529 .１3.若m ,n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根,则=-+n m m 22．１4.已知3=xy ,那么yxyx y x +的值是 ． 15.如图，在△ABC 中，中线CM 与高线ＣD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. １6．已知t bac a c b c b a =+=+=+,那么直线t tx y +=一定通过第 象限． １７．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数)的根总是x ＝1，那么=+b a .18.如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径， 四边形CDMN和DEFG 都是正方形． 其中,,C D E 在AB 上， ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题 第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为 ．. ﻬ三、解答题(本大题共2小题,每小题14分,共28分） 19．（本题满分14分)如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,与正比例函数x y 3=的图象交于点C ,点D 是线段OB 上的一个动点(不包含O 、B 两点），以ＡD 为边在其一侧作等边三角形AD Ｅ，ＤE 交ＡB 于Ｆ,A Ｄ交ＯC 于G ．(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似,为什么? (3)证明ＣＥ总与AB 垂直.ﻮ2０．(本题满分14分)如图１,在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合,另一直角顶点Ａ在y 轴的正半轴上，点Ｂ、C 的坐标分别为B （1２，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.,点M 、Ｎ分别从A 、Ｃ两点同时出发做匀速运动，其中点Ｍ沿AB 向终点Ｂ运动,速度为每秒1个单位;点N 沿ＣD 向终点D 运动,速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1)如图2,设点M 、N 的运动时间为t 秒,当t 为何值时,四边形MB ＣN 为平行四边形?（2)在(1)的条件下，连结ＤM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；(3)已知二次函数的图象经过D 及(1)中的点M 、N ,求该二次函数的解析式;（4）在运动过程中,是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形?如果存在,请求出直线ＭN 的解析式;如果不存在,请说明理由.（图3供解答本小题用）2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共4０分）题号123456７89１0x O B Ay C DGF E。
长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛 九 年 级 初 赛 试 题及答案
CABD M 第15题2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题（时量：90分钟 满分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 12345678910 答案1．设P ＝121220132012++，Q ＝121220142013++，则P 与Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．不能确定2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取 A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 4．若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（b a +，ac ）在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A ．152B ．143C ．132D ．108 6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50°7．已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 A ．6 B ．8C ．9D ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是 A ．11 B ．13 C ．17 D ．19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是 A ．k ≤1 B ． 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D ． k ≤－1或k ≥110．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,5BE =，则梯形ABCD 的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132D ． 4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222，则=-b a ． 12．若532=-+c b a , 8765=+-c b a ，则=-+c b a 529 .13．若m ，n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22??? ????? ．14．已知3=xy ，那么yxyx y x +的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. 16．已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx y +=一定通过第 象限． 17．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，那么=+b a ．18．如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径, 四边形CDMN和DEFG 都是正方形. 其中,,C D E 在AB 上, ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（本题满分14分）如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与正比例函数x y 3=的图象交于点C ，点D 是线段OB 上的一个动点（不包含O 、B 两点），以AD 为边在其一侧作等边三角形ADE ，DE 交AB 于F ，AD 交OC 于G .(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似，为什么？ (3)证明CE 总与AB 垂直.20．（本题满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合，另一直角顶点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 的坐标分别为B （12，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.，点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发做匀速运动，其中点M 沿AB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位；点N 沿CD 向终点D 运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.（1）如图2，设点M 、N 的运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形MBCN 为平行四边形？ （2）在（1）的条件下，连结DM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；（3）已知二次函数的图象经过D 及（1）中的点M 、N ，求该二次函数的解析式；（4）在运动过程中，是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形？如果存在，请求出直线MN 的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）x O B Ay C DGF E2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDABBCCCD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11、3； 12、28； 13、4； 14、32±；15、30︒； 16、二、三； 17、21-； 18、2R三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．(1)在y=-3x+23中，令x=0得y=23,令y=0得x=2， ∴A 的坐标为(2，0)，B 的坐标为(0，23).由⎩⎨⎧=+-=x 3y 32x 3y 得⎩⎨⎧==3y 1x ，即C 的坐标为(1，3). ……………………………………（4分）(2) △ADF ∽△ACG. 由tan ∠OAB=3得∠OAB=60?，由tan ∠AOC=3得∠AOC=60?, ∴△OAC 为等边三角形。
长沙市学用杯初中数学九级初赛模拟试题答案
2022年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准11、-2； 12、-12； 13、20152014； 14、31131+-=x y ；15、32，98； 16、2； 17、-32； 18、22三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）19．（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：11()13060x +=，解得：x =20．即甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程. …………………3分（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：111013060y ⨯+=，解得y =40． ∴完成这项道路改造工程共需40天. ………………………………………6分 （3）因为甲工程队单独完成工程需×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作m 天，乙工程队再单独工作n 天，则由题意可知111()1306060m n ++=，整理得603n m =-． ………………………………8分 ∴乙工程队还需单独做（60-3m ）天，得：（1+）m ＋1×（60-3m ）≤65．即3.5 m ＋60-3m ≤65，解得m ≤10．甲、乙两个工程队最多能合作10天.…10分 （4）甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作．又由（3）知75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天．设应安排他们合作t 天，由题意可得：112413060t +⨯=，解得：t =18.即：安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天，施工费为：×18+1×24=69（万元）．…………14分B CAA 1E 1A 2E 2xy O B 1D 20.解：（1）∵点A （-1，4）在双曲线ky x =上， ∴k=-4. 故双曲线的函数表达式为xy 4-=．……2分设点B （t ，-4t），t ＞0，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-+-=.44n mt tn m ，解得4m t =-，4(1)t n t -=. ∴AB 所在直线的函数表达式为()414t y x t t-=-+．……5分于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，tt )1(4-）， 故()141132AOB t S t t∆-=⨯⨯+=（）．整理得：22320t t --=， 解得2t =，或t ＝12-（舍去）．所以点B 的坐标为（2，2-）．………………7分因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上， 4422a b a b -=⎧⎨+=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=-⎩，∴a =1，b =-3，k = -4． ……………………9分 （2）如图，∵AC ∥x 轴，∴C （4，4），于是CO ＝42. 又BO =22，∴2=BOCO．……………………………………………………10分 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴正半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3，0）. 因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 逆时针旋转90︒，得到△11B OA .这时，点1B （2，2）是CO 的中点，点1A 的坐标为（-4，-1）．延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，那么这时点1E （-8，-2）是符合条件的点． ………………………………………………………12分（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形得△12B OA ，得到点2A （-1，4-），延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（-2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（-8，-2）或（-2，8-）． …………………………14分。
第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题(A)
全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题（每小题6分，共30分）1．校园内一个半径为10米的圆形草坪，如图1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设2步为1米，结果保留整数）（）A．4步B．5步C．6步D．7步2．小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图2所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（）A．两个矩形相似B．两个矩形不一定相似C．两个矩形一定不相似D．无法判断两个矩形是否相似3．如图3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树，准备在山坡上建一个抽水泵站．已知山坡上有A、P、Q三处可供选择，且测得A到水库C的距离为50m，P到C的距离为40m，Q到C的距离为35m，山坡的坡角∠ACB=15°．由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程AB不能超过10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建在（sin15°=0.258 8，cos15°=0.965 9，tan15°=0.267 9）（）A．A处B．P处C．Q处D．A、P、Q均可4．宏光学校有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1 000块以上者给予7折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（）A．到甲公司购买大块地板砖B．到乙公司购买大块地板砖C．到甲公司购买小块地板砖D．到乙公司购买小块地板砖5．如图4，在某条公路上，从里程数8m开始到4 000m止，每隔8m将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m处种一棵树，在16m处立一盏灯，在24m处种一棵树（相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8米）……，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程数800m~824m之间树与灯的排列顺序中正确的是（）二、填空题（每小题6分，共30分）6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克） 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3西瓜个数（单位：个） 1 2 3 2 1 1根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克．7．你是否用电脑进行过图案设计？图5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行变化，得到图5（2）；小亮也在电脑上设计了一个图案，如图5（3），如果小亮也按小明变化图形时的规律对图5（3）进行变化，得到的图案是（画出简图）．8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）．为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动．9．自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4 000千米．为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法，千米．10．已知，如图7，斜坡PQ坡度为41:3i ，坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A 处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为．三、解答题（本大题共60分）11．（本题10分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)：甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13；请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？12．（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：每辆甲型车租金（元/天）每辆乙型车租金（元/天）A地 1 000 800B地900 600（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求y 与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．13．（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈．图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为10.0m（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为40.0m．（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯(P点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度．（结果精确到0.1m）14．（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图11）？请说明理由．（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．四、开放题（本题30分）15．杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天8∶00到22∶00用电每千瓦时是0.56元（峰电）；22∶00至次日8∶00每千瓦时是0.28元（谷电）．0.52元．（1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？（2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的什么数学知识．第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题 （A ）卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B 2．C 3．C 4．C 5．D二、填空题（每小题5分，共30分）6．3 1257．8．2π米9．4 80010．8米三、解答题（每小题15分，共60分）11．解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是8年，众数是5年，中位数是7年；乙厂的收音机寿命的平均数约是6.45年，众数是8年，中位数是6年；丙厂的收音机寿命的平均数约是7.36年，众数是4年，中位数是8年． ···································································· 6分 所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数； ·············································· 8分（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品．·········································· 10分12．解：（1） 1 000(20)900800600(10)26 000100(010)y x x x x x x =-+++-=+≤≤；·········································· 6分（2）依题意，得26 00010026 800x +≥，又因为010x ≤≤，∴810x ≤≤．因为x 是整数，∴x =8，9，10，方案有3种． ·································································· 9分 方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆．································· 12分（3）∵26 000100y x =+是一次函数，且1000k =>，∴y 随x 的增大而增大． ∴当10x =时，这30辆车每天获得的租金最多．∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ············ 15分13．（1）如右图，以A 为坐标原点，BA 所在直线为轴建立直角坐标系xAy ，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2y ax =， ······························································ 4分 由题意抛物线过点(2010)D -，，代入得140a =-，故拱圈外沿抛物线的解析式为： 2140y x =-． ························································································································· 8分 （2）设(10)N k -，，则：21(10) 2.5(m)40k =-⨯-=-， ∴107.5(m)MN k =+=， ································································································· 12分 ∴7.5 1.18.6PM MN PN =++=≥（m ），即路灯支柱PM 的最低高度为8.6米．（其余解法可类似给分）． ······································ 15分14．解：（1）当正三角形ABC 向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是三条等弧，所以其中心O 经过的路程为：120π32π180R R ⨯=． ········································································ 3分 （2）中心O 经过的路程为90π42π180R R ⨯=． ···································································· 6分 （3）当n 边形向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是n 条等弧，这些弧的半径为R ，所对的圆心角为360n，所以中心O 经过的路程为360π2π180R n n R ⨯= ． ·························· 10分 （4）是定值2πR ，理由如下： 在△ABC 中，设A B C αβγ∠=∠=∠=，，，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为R ，把△ABC 沿直线l 向右翻滚一周时，其外心O 经过的路线是三条弧，当AC 边与直线l 重合时，C 与C '重合，A 与A '重合，B 与B '重合，连接CO 、C O ''，则ACO AC O '''∠=∠，所以180OCO ACA γ''∠=∠=- ，所以(180)π180R l γ-=，同理，另两条弧长分别为：(180)π180R α-，(180)π180R β-，所以外心O 所经过的路程为2πR ． ······························ 16分 通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值． ······················································································································ 20分四、开放题（本题30分）15．（1）答案不惟一，可选择自己家每月（或平均每天）的用电情况，计算说明．只要合理即可得分．（本小问10分）；（2）答案不惟一，本小问共20分，编写题目合理可得10分，再写出解题过程，并说明所用数学知识可得20分，以下题目可参考．题1：（用一元一次方程知识编拟）某户居民今年二月份起使用“峰谷电”，三月份经记录这两个月使用“谷电”150千瓦时，已知两月共付电费112元．问该居民使用“峰谷电”多少（“峰谷电”中，“峰电”是8∶00到22∶00用电，“谷电”是22∶00到次日8∶00，下同）题2：（用二元一次方程知识编拟）某户居民今年三月份使用“峰谷电”，付电费112元，比原来节约了60.8元，问该户居民使用“峰电”，“谷电”各多少千瓦时？题3：（用不等式知识编拟）某户居民今年三月份使用电量300千瓦时，当“峰电”占总电量的多少时，使用“峰谷电”才合算？题4：（用函数知识编拟）某户居民今年三月份起使用“峰谷电”，平均每天使用“峰电”8千瓦时，写出三月份（31天）该户居民的电费（y元）与每天“谷电”的用电量x（千瓦时）之间的函数关系式．。
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。
A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。
（）2. 任何数乘以0都等于0。
（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。
（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。
（）5. 任何数都有倒数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。
2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。
3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。
4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。
2. 请简述一元一次方程的求解方法。
3. 请简述等差数列的定义及通项公式。
4. 请简述平行四边形的性质。
5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。
“数学 ”全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题
第二届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．初三（2）班生物兴趣小组培养了一种微生物，该微生物每天增加一倍，经过10天后，整个实验瓶充满微生物，则经过天微生物所占的体积是实验瓶体积的一半.2．小明从十字路口开始以4米/秒的速度向北前进，此时小峰在十字路口东方50米A处以3米/秒的速度向西前进，则经过秒后，此二人的距离为85米.3．小刚在一次投镖游戏中投了多于11支镖，共得100环，且每发都命中8、9或10环，则他打中8环的次数为次.4．在一次航空模型的设计制作中，需将两个半径为12cm和4cm的圆木棍用铁丝紧紧扎在一起，则最少需铁丝cm（接头忽略不计）.5．一城市出租车的收费标准如下表，四位同学到郊外写生，到达目的地后，出租车打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.1元，请付29元，谢谢！”则基本价N= 元（N<12）.61米/秒的速度向东匀速走开，某时他的影子长1.3米，再过2秒，他的影子长为1.8米，则路灯高度为米. 7．某书店对同学们购书实行优惠，规定：（1）如一次购书不超过30元，则不予以折扣；（2）如一次购书超过30元，但不超过50元，按标价给予九折优惠；（3）如一次购书超过50元，其中50元给予九折优惠，超过50元的部分给予八折优惠，李华同学两次去购书，分别付款23元与36元，如果他只去一次购买同样的书籍，则应付款元. 8．如图1，张敏同学的狼狗“赛赛”的狗窝是8×8的正方形，用长为12的皮带将狗拴在A 点，在狗窝外面狗所能活动的面积为.二、选择题（每小题5分，共50分）9α，则它们公共部分（图2中阴影部分）的面积为（）.（A）1sinα（B）1cosα（C）sinα（D）110．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的（）. （A）2倍（B）3倍（C）4倍（D）5倍11．学校大门如图3所示是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地4米高处各有一挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则该校门的高度（精确到0.1米）为（）.（A ）9.2米（B ）9.1米 （C ）9米（D ）5.1米12．某校参加数学竞赛的选手平均分数是75分，其中参赛男选手比女选手人数多80%，而女选手的平均分比男选手的平均分高20%，那么女选手的平均分是 （ ）.（A ） 81（B ）82 （C ）83 （D ）8413．初三某班在庆祝申奥成功的活动中，制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠，使得弧与直径相切，如图4所示，如果切点分直径为3:1两部分，则折痕长为 （ ）.（A （B （C ）D 14．在居委会提出的“全民健身”倡导下，甲、乙两人早上晨练，同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点，改为跑步，而乙则是先跑步到中点，改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车速度快，若某人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数图象表示，则下图给出的四个函数图象中，甲、乙两人的图象情况只能是 （ ）.（A ）甲是图（1），乙是图（2）（B ）甲是图（1），乙是图（4）（C ）甲是图（3），乙是图（2）（D ）甲是图（3），乙是图（4）15．如图5，某海关缉私艇巡逻到达A 处时，接到 情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏 西45°的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C 处截住可疑船只，则该艇的速度约为)1.414≈≈≈（ ）. （A ）44（B ）45（C ）46（D ）4716．本市一房地产公司在西部大开发活动中，成功中标一块锐角三角形地皮，现要在此地皮上建一个供市民休闲娱乐的正方形广场，若三角形地皮的三边长分别为a 、b 、c ，且a >b >c ，则正方形广场的两个顶点放在哪条边上可使广场面积最大 （ ）.（A ）最小边c 上（B ）中间边b 上 （C ）最大边a 上 （D ）哪条边上都一样17．两名初三学生被允许参加高中学生举行的象棋比赛，每个选手都同其他每个选手比赛一A B C 图5 图4图3 (2) (3) (1) (4)次，胜得一分，和得半分，输得零分，两名初三学生共得8分，每个高中学生都和高中其他同学得到同样分数，则参赛的高中学生人数为（）. （A）7 （B）9 （C）14 （D）7或1418．编号为1到101的101个小球分放在两个盒子A和B中，40号小球在盒子A中，把这个小球从盒子A中移至盒子B中，这时盒子A中小球号码数的平均数增加了14，B中小球号码数的平均数也增加了14，则原来在盒子A中的小球个数为（）.（A）70 （B）71 （C）72 （D）73三、解答题（每小题20分，共40分）19．某下岗职工开办的一小型服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图6），现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角中剪出一种扇形（做成不同形状的玩具用），使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的其他边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请你设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出示意图，并标上半径即可）.20．某地引进外资兴办的一家公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，（2）如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元，问广告费在什么范围内，公司所获年利润随广告费的增大而增大？四、开放题（本大题20分）21．请用一个长方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具），写出你的作法，并说明理由.图6。
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C
A
B
D M 第15题
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
九 年 级 初 赛 试 题
（时量：90分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题
号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 答
案
1．设P ＝121220132012++，Q ＝1
21
220142013++，则P 与Q 的大小关系是
A ．P ＞Q
B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．不能确定
2．边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取 A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 4．若二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则点（b a +，ac ）在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．如图，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于
A ．152
B ．143
C ．132
D ．108 6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 50°
7．已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，
那么四边形BCDE 的面积为 A ．6 B ．8
C ．9
D ．10
8．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是 A ．11 B ．13 C ．17 D ．19 9．直线k x y +=
2
1
与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是 A ．k ≤1 B ． 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D ． k ≤－1或k ≥1
10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，6AB BC CD ++=,
5BE =，则梯形ABCD 的面积等于
A ． 13
B ． 8
C ． 13
2
D ． 4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31
)5(2)3(2
2
2
，则=-b a ． 12．若532=-+c b a , 8765=+-c b a ，则=-+c b a 529 .
13．若m ，n 是一元二次方程0132
=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22
??? ????? ．
14．已知3=xy ，那么y
x
y
x y x +的值是 ． 15．如图，在△ABC 中，中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠，
则B ∠等于 度. 16．已知
t b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx y +=一定通过第 象限． 17．不论k 取什么实数，关于x 的方程
16
32=--+bk
x a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，那么=+b a ．
18．如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径, 四边形CDMN
和DEFG 都是正方形. 其中,,C D E 在AB 上, ,F N
学校： 姓名： 考场： 考号：
☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼
A
B
C
D E 第10题
O
x
y
第4题 A B C D 第6题
O C B A D 第5题
第18题
在半圆上，则两个正方形的面积之和为?? ????? ．.
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
19．（本题满分14分）
如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与正比例函数x y 3=的图象交于点C ，点D 是线段OB 上的一个动点（不包含O 、B 两点），以AD 为边在其一侧作等边三角形ADE ，DE 交AB 于F ，AD 交OC 于G .
(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似，为什么？ (3)证明CE 总与AB 垂直.
20．（本题满分14分）
如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合，另一直角顶点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 的坐标分别为B （12，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.，点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发做匀速运动，其中点M 沿AB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位；点N 沿CD 向终点D 运动，速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.
（1）如图2，设点M 、N 的运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形MBCN 为平行四边形？ （2）在（1）的条件下，连结DM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；
（3）已知二次函数的图象经过D 及（1）中的点M 、N ，求该二次函数的解析式；
（4）在运动过程中，是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形？如果存在，请求出直线MN 的解析式；如果不存在，请说明理由.（图3供解答本小题用）
x O B A
y C D
G
F E
2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
九 年 级 初 赛 试 题
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
B
D
A
B
B
C
C
C
D
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11、3； 12、28； 13、4； 14、32±；
15、30︒； 16、二、三； 17、2
1-； 18、2
R
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）
19．(1)在y=-3x+23中，令x=0得y=23,令y=0得x=2， ∴A 的坐标为(2，0)，B 的坐标为(0，23).
由⎩
⎨⎧=+-=x 3y 32x 3y 得⎩⎨⎧==3y 1
x ，
即C 的坐标为(1，3). ……………………………………（4分）
(2) △ADF ∽△ACG. 由tan ∠OAB=3得∠OAB=60?，
由tan ∠AOC=3得∠AOC=60?, ∴△OAC 为等边三角形。
又∵△ADE 也为等边三角形， ∴∠OCA=∠ADE=60?,
而∠DAF=∠CAG ，∴△ADF ∽△ACG 。
…………………………………………（10分） (3)∵∠OAC=∠DAE ，
∴∠OAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠OAD=∠CAE, 在△OAD 和△CAE 中，
⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=AE
AD CAE OAD CA OA
∴△OAD ≌△CAE
∴∠ACE=∠AOD=90?，即CE 总与AB 垂直. ……………………………………（14分）
20.解：（1）由MB=NC 得12—t=3t ∴t=3
故当t=3时，四边形MBCN 为平行四边形 ………………（3分） （2）连结AP 可知AD=8，AM=3， ∴DM=2238+=73
∴
DM
AD
AD PD =
， ∴PD=DM AD 2
=73
64=737364 ………………（6分）
（3）可知DN=DC —NC=14—3×3=5，∴N （5，0）又M （3，8），D （0，0） 设过D 、M 、N 的二次函数的解析式为y = a x （x —5），将（3，8）代入
得8=3×（3-5）·a ∴a = —
3
4 所求解析式为y = —34x （x —5），即y = —34x 2 +
320
x ……（10分） （4）假设存在MN 与⊙E 相切，切点为F ，作MG ⊥DC 于G
可知MF=MA=t ，FN=DN=14—3t ， ∴MN=14—2t ，NG = t —(14—3t) = 4t —14
Rt △DMG 中，MN 2=NG 2+MG 2得 (14—2t ) 2 = (4 t —14 ) 2 +82
∴t 1=2，t 2=3
8
∴M 1（2，8），N 1（8，0）和M 2（38
，8），N 2（6，0）
设直线MN 的解析式为y=k x +b ， 将M 1（2，8），N 1（8，0）代入 得M 1N 1……：y = —
34x +3
32
将M 2（38
，8），N 2（6，0）代入
得M 2N 2……：y = —
512x +572 故存在直线MN ：y = —
34x +3
32
或y = —
512x +5
72 与⊙E 相切。
………………………………………………………（14分）。