2023-2024学年陕西省西安市第二十五中学高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．153D ．1032．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -3．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>4．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅5．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ）A ．sin sin αβ>B ．sin sin αβ<C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<6．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π7．若，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(2D ．(]1,29．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．410．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 11．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．812．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B 的面积为（ ）A ．22B ．23C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0x >，0y >，且211x y+=，则2x y +的最小值是______. 14．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．15．曲线()4xf x x e =-在点()()0,0f 处的切线方程为________.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：16nT <. 18．（12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，底面四边形ABCD 满足∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AD ＝1，BC ＝1．（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D ﹣PE ﹣B 的余弦值．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --25. 20．（12分）如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABCD ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ； （2）求点D 到平面PAB 的距离. 21．（12分）已知函数()ln f x x =． （1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-； （3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．22．（10分）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．（1）解关于x 的不等式()()1g x f x x ≥--；（2）如果对x R ∀∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF a AF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解 【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得102c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题 2、D 【解析】设非零向量a 与b 的夹角为θ，在等式23a b b -=两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b 在向量a 方向上的投影为cos b θ，即可得解. 【详解】2b a =，由23a b b -=得2223a b b -=，整理得22220a a b b -⋅-=，22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=，解得1cos 2θ=-，因此，向量b 在向量a 方向上的投影为1cos 2b b θ=-.故选：D. 【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 3、A 【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'． 设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =，∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈；2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-， 221[3,2]sin α-，∴sin 23sin sin ααβ=，2αβ∴．综上可得，2αβα<． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 4、C 【解析】先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，再求M N ⋃. 【详解】因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭，又因为{|13}M y y =-<<，所以71,2M N ⎛⎤⋃=-⎥⎝⎦， 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题. 5、D 【解析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题. 6、D 【解析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,3CD BD BC ===231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=. 由正弦定理可得1322sin 3DO π==，故11DO =，又因为3AD =，故23DO =因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ， 因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ，所以四边形21OO DO 为平行四边形，所以1232OO DO ==， 所以37142OD =+=，故外接球的半径为72，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度. 7、B 【解析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得，所以.故选B 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 8、C 【解析】求得双曲线的渐近线方程，可得圆心()0,2到渐近线的距离2d ≥a 的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围． 【详解】双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，即0x ay -=，由题意知，直线0x ay -=与圆()2222x y +-=相切或相离，则221d a=≥+解得1a ≥，因此，双曲线的离心率(2112c e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 9、D 【解析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=.故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题. 10、D 【解析】根据复数运算，即可容易求得结果. 【详解】3(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i ----====--++-.故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题. 11、B 【解析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=，,OA a OB b ==，且()(),0,0,A m B n ，由于5a c b c -=-=，所以[],4,6m n ∈.()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--.所以2222222cos cos sin 252sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()()()()222a b a c b c a c a c b c b c-=---=---⋅-+-482cos 2sin m n θθ=++222m n mn =+≥.当且仅当m n =时取得最小值，此时由22482cos 2sin m n m n θθ+=++得()22482sin cos 4822sin 4m m m πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为4822m -，即224822m m =-，22240m m +-=，解得32m =.所以当且仅当532,4m n πθ===时a b -有最小值为()22326⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 12、D 【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF BSS=，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==，所以12121sin 23AF F Sr r π==故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。