【西安交通大学】【电介质物理】【姚熹、张良莹】【课后习题答案】【第二章】

第二章 变化电场中的电介质2-1 什么是瞬时极化、缓慢极化？它们所对应的微观机制代表什么？极化对电场响应的各种情况分别对何种极化有贡献？ 答案略2-2 何谓缓慢极化电流？研究它有何意义？在实验中如何区分自由电荷、束缚电荷随产生的传到电流？ 答案略2-3 何谓时域响应、频域响应？两者的关系如何？对材料研究而言，时域、频域的分析各由什么优缺点？ 答案略2-4 已知某材料的极化弛豫函数ττ/1)(t e t f -=，同时材料有自由电荷传导，其电导率为γ，求该材料的介质损耗角正切δtg 。

解 ：由弛豫函数 ττ/1)(t e t f -=可知 德拜模型极化损耗 P tg δ，漏导损耗 G tg δ 如果交变电场的频率为 ω； 则P tg δ=22)(τϖεεωτεε∞∞+-s s G tg δ=)11(220τωεεεωεγ+-+∞∞s 该材料的介质损耗正切为：δtg =P tg δ+G tg δ 2-5在一平板介质（厚度为d ，面积为S ）上加一恒定电压V ，得到通过介质的总电流为Vt e I -+=βα,已知介质的光频介电常数为 ∞ε，求单位体积内的介质损耗、自由电子的电导损耗、极化 弛豫与时间的关系。

若施加频率为ω的交变电场，其值又为多少？并求出介质极化弛豫函数f （t ）。

解 ：在电场的作用下（恒场）介质中的功率损耗即为介质 损耗电功 dt t VI Vdq dA )(==)1()()(0Vt ttVt e Vt Vdt e dt t VI A ---+=+==⎰⎰βαβαV t I Ve V tAW Vt )(=+=∂∂=-βα 单位体积中的介电损耗 ：)(1Vt Ve V ds ds W w -+==βα自由电子电导损耗 ： dsVw α=1极化弛豫损耗 ： Vte ds V w -=βα电导率 ：dsV R V I s d R ραρ====0, , 电流 ： Vt e I -+=βα 其中 α=R I 为传导电流 Vt r e I -=β为极化电流另一方面 dt dPs dt s d dt dQ I r r r r ===)(σ ττεεε/00)(t sr e E dt dP -∞-= 故 Vt t sr e e E I --∞=-=βτεεετ/00)( 有 d sV d VE V s βεεετ=-==∞20)(,,120sVd s εβεε+=∞因而，加交变电场w 时 ：221)(τωεεεε+-+='∞∞s r极化损耗 ： 2211)(τωωτεεε+-=''∞s r电导损耗 ： sVdrωεαωεγε002=='' 单位体积中的极化损耗功率 ：)1(2)(21222220210τωτωεεεεωε+-=''=∞d V E W s r r 单位体积中的电导损耗功率 ：dsV W G α= G r W W W += 弛豫函数 ：Vt t Ve e f --==ττ/12-6若介质极化弛豫函数ττ/1)(t e t f -=，电导率为γ，其上施加电场E(t)=0 (t<0);E(t)=at (t>0 , a 为常数) 求通过介质的电流密度。

解 ：已知 ：ττ/1t e f -=⎰--+=∞∞ts dx x E x t f T E T D 000)()()()()(εεεεε⎰--∞∞-+=tx t s xdx e t 0/)(001)(τταεεεαεε)()(/00ττταεεεαεεt s e t t -∞∞+--+= )1()(/00--+=-∞∞τατεεεαεεt s e t j(t)=t e t E dtt dD t s γααεεεαεεγτ+-+=+-∞∞/00)()()( 2-7求德拜弛豫方程中ε''吸收峰的半高宽？ε''吸收峰高为多少？出现在什么频率点上？ε''吸收峰中（以半高宽为范围）ε'的变化 为多少？占ε'总变化量的百分之几？解 ： 令0=''ωεd d r 可得 τω1=m )(21max∞-=''εεεs 半高 22max 1)()(4121)(τωωτεεεεεωε+-=-=''=''∞∞s s 可以解得 )32(1,32±=±=τωωτ半高宽 32)]32(32[1ττωω=--+==∇由于221)(τωεεεε+-+='∞∞s 在ε''吸收峰的半高宽范围，ε'的变化)]32(1[)]32(1[-'-+'='∆τετεε22)32(1)()32(1)(-+--++-=∞∞εεεεs s)(866.0∞-=εεs ε'的总变化量 ∞-=∞'-'εεεεs )()0(( ε'占总变化量的百分数 86.6%2－8 试对德拜方程加以变化，说明如何通过)(ωε''，)(ωε'的测量， 最后确定弛豫时间。

解 ：在ε''极大值处 τω1=m)(21∞+='εεεs )(21max∞-=''εεεs 测量ωε~'曲线测)(21∞+='εεεs 时，对应m ω求 m ωτ1= 测量ωε~''曲线测)(21max∞-=''εεεs 时对应m ω求弛豫时间 ：m ωτ1= 另2211τωεεεε+=--'∞∞s r , 221τωωτεεε+=-'''∞s所以 )(∞-'="εεωτεr r , )(∞-'''=εεωετr r , 且 ∞→ω时，s r εε→'所以 ∞→ω时 ，很大，)(∞-''=εεωετs r 可以求的 τ2－9 已知一极性电介质具有单弛豫时间，为了确定这一弛豫时间 τ，对其ε''在一定的频率范围内进行测量（在一定的温度下） ，结果表明τ所对应的频率远高于所用的频率，证明得到的 ε''地变化满足形式f f M l )(22-=''ε 其中lM224πτ=若介质具有明显的直流电导，若介质没有明显的直流电导，ε'' 与f 的变化关系记成对数形式更有用，为什么？ 解 ：已知 l M 2224/πτ= , f πω2= 1<<ωτ ,2222111τωτω-≈+)1()(1)()(2222τωωτεετωωτεεωε--=+-=''∞∞s s )41()(2222τπτεεπf f s --=∞ )/1()(222l f M f s --=∞τεεπ f f M l ls )()(222--=∞τεεπ令 l s =-∞τεεπ)(2 即 f Mf l )()(2-=''ωε如果介质有明显的直流电导 ωεγτωωτεεωε0221)()(++-=''∞s 当1<<ωτ 时 ，漏导损耗 ωε1~'' 可以用f ln ~ε''或者ωεln ~'' 作图2-10 一个以极性电介质（单弛豫）制作的电容器，在上施加一正弦交变电压，试写出热损耗对频率的函数。

并证明在ε''极大值对应的频率下损耗为其极大值得一半。

试问能否用上面的结果作实际测量，以确定弛豫时间τ？解：单位体积中的介质损耗功率 2222022))1(2)((E gE E w s τωτωεεεγγ+-+=+=∞ g 为电容器中的介质在交变电场下的等效电导率， γ为介质电导率E 为宏观平均电场强度的有效值 当 0=ω的时候，2min E w γ= 当 ∞→ω的时候,2020max )(21)](21[E E w s s ∞∞-≈-+=εεετεεετγmax ε'' 时，τω1=m ，)(21max ∞-='εεεs r高频下由于漏导很小20)](41[E w s ∞-+=εεετγ20)(41E s ∞-≈εεετmax 21w =不能确定弛豫时间 τ 因为忽略了介质中的漏导损耗 2－11 已知电介质静态介电常数5.4=s ε，折射率48.1=n ，温度 C t o 251=时，极化弛豫时间常数s 311060.1-⨯=τ，C t o 1252=时 s 62105.6-⨯=τ。

（1）分别求出温度1t 、2t 下m ax ")(r ε的极值频率1m f ，2m f 以及max )(δtg 的极值频率1mf ',2m f '. (2)分别求出在以上极值频率下r ε'，m ax "r ε，)(δtg ，r ε'，rε'' ，max )(δtg 。

（3）分别求出Hz Hz C 6010,50,25时的r ε'，rε'' ，δtg 。

（4）从这些结果可以得出什么结论？（5）求该电介质极化粒子的活化能U （设该电介质为单弛 弛豫时间）。

解 ： 5.4=s ε ,n = 1.48 , ,2.22==∞n ε f πω2= （1）625106.111311=⨯==-τωm , Hz f m 10026251==π5622105.1105.611⨯=⨯==-τωm ,Hz f m 451103.32105.1⨯=⨯=π max )(δtg 时的 ，∞=εετωsm 118942.25.4106.111311=⨯==-∞εετωs m ， HZ f m1421=' 5622101.22.25.4105.611⨯=⨯==-∞εετωs m HZ f m42103.3⨯='（2）在极值频率下 ：m ωω=35.3)2.25.4(21)(21=+=+='∞εεεs r15.1)2.25.4(21)(21max =-=-=''∞εεεs r34.035.315.1max ==+-='''=∞∞εεεεεεδs s r tg mωω'= 96.22.25.42.25.422=+⨯⨯=+='∞∞εεεεεs s r07.12.25.42.25.42.25.4=⨯+-=+-=''∞∞∞εεεεεεεs s s r37.02.25.422.25.42=⨯-=-=∞∞εεεεδs s tg（3） C T o 25= ,HZ f 501= , 31106.1-⨯=τ ,314211==f πω5.011=ωτ04.425.012.25.42.21)()(221=+-+=+-+='∞∞τωεεεωεs r92.025.015.0*)2.25.4(1)()(221=+-=+-=''∞τωωτεεωεs r23.004.492.0)()()(111=='''=ωεωεωδr r tg Hz f 6210= , 6221028.62⨯==f πω , 32110-=ωτ5.41012.25.42.21)()(6222=+-+=+-+='-∞∞τωεεεωεs r363222103.210110*)2.25.4(1)()(---∞⨯=+-=+-=''τωωτεεωεs r 432221055.4103.2)()()(--⨯=⨯='''=ωεωεωδr r tg（4）温度越高，极化弛豫时间越小，max rε''极值频率越大max )(δtg 的频率mω'大于max r ε'' 频率 m ω (5) kTu e /021υτ=1/0121kT u e υτ=, 2/0221kT u e υτ= 1012ln ln kT u +-=υτ ; 2022ln ln kT u +-=υτev T T T kT u 56.0)ln (ln 212121=--=ττ该极化粒子的极化能U 为 0.56ev2－12 某极性电介质10=s ε，5.2=∞ε，在某一温度下s 310-=τ，求其 分别在频率为Hz Hz f 100,50=交变电压作用下，电容器消耗的 全部有功、无功电能中有多少被转化为热量。