高中数学数列知识点与例题

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数列的极限-高中数学知识点讲解

数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。

高中数学数列知识点

高中数学数列知识点高中数学数列知识点11.定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

同样为数列的等比数列的性质与等差数列也有相通之处。

2.数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．等差数列练习题3.性质1：公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．4.性质2：公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．5.性质3：当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．高中数学数列知识点2一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。

等差数列的性质：1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,高一，有as+at=2ap；5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。

6）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即对等差数列定义的理解：①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．②求公差d时，因为d是这个数列的'后一项与前一项的差，故有还有③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。

2024高考数学数列知识点总结与题型分析

2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。

在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。

一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。

对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。

1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。

设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。

（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。

（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。

与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。

2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。

设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。

（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。

高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

高中数学专题练习《数列、导数知识点》含详细解析

数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。

数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列；4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列；知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。

2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。

1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2ba A +=，则b A a ,,是等差数列。

2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是等差数列。

(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法,练习及问题详解

高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=〔d 为常数〕,()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和：()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：〔1〕假如m n p q +=+,如此m n p q a a a a +=+；〔2〕{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+〔a b ，为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数〕2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=〔q 为常数,0q ≠〕,11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=,或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩〔要注意公比q 〕性质：{}n a 是等比数列〔1〕假如m n p q +=+,如此mn p q a a a a =·· 3．求数列通项公式的常用方法一、公式法例1 数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式.解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +,得113222n n n n a a ++=+,如此113222n n n n a a ++-=,故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-.二、累加法 )(1n f a a n n =--例2 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+如此所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.例3数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 如此111213333n n n n n a a +++-=+三、累乘法)(1n f a a n n=- 例4 数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,如此12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯例5 〔2004年全国I 第15题,原题是填空题〕数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式. 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-=如此1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 四、待定系数法〔重点〕例6 数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235n n n a a +=+⨯代入④式,得12355225n n nn n a x a x ++⨯+⨯=+⨯,等式两边消去2n a ,得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅,两边除以5n ,得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-例7 数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+⑥将13524nn n a a +=+⨯+代入⑥式,得整理得(52)24323n nx y x y +⨯++=⨯+.令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩,如此52x y =⎧⎨=⎩,代入⑥式得115223(522)n nn n a a +++⨯+=+⨯+⑦例8 数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++⑧将212345n n a a n n +=+++代入⑧式,得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++,如此等式两边消去2n a ,得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++,解方程组3224252x x x y y x y z z+=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩,如此31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,代入⑧式,得2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++⑨五、对数变换法例9 数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，.在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++⑩设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++错误! 六、迭代法例10 数列{}n a 满足3(1)2115nn n n a a a ++==，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为3(1)21n n n n a a ++=,所以121323(1)23212[]n n n n n n n n n a a a ---⋅-⋅⋅--== 七、数学归纳法例11 11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式.〔其他方法呢？〕解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++与189a =,得由此可猜想22(21)1(21)n n a n +-=+,往下用数学归纳法证明这个结论. 〔1〕当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立. 〔2〕假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,如此当1n k =+时, 由此可知,当1n k =+时等式也成立.根据〔1〕,〔2〕可知,等式对任何*n N ∈都成立. 八、换元法例12 数列{}n a满足111(14116n n a a a +=+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =如此21(1)24n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=-,代入11(1416n n a a +=+得即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,故10n b +=≥ 如此123n n b b +=+,即11322n n b b +=+,可化为113(3)2n n b b +-=-, 九、不动点法例13 数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,如此1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为十、倒数法11212nn n a a a a +==+，,求n a 4. 求数列前n 项和的常用方法一、公式法利用如下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、错位相减法〔等差乘等比〕[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②〔设制错位〕 ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 〔错位相减〕∴1224-+-=n n n S三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列〔反序〕,再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-〔反序〕又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-〔反序相加〕 ∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②〔反序〕又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得〔反序相加〕)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,假如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ,… [例8] 求数列{n<n+1><2n+1>}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132〔分组〕五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ 〔3〕111)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 〔5〕])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n<6> nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S 〔裂项求和〕＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cosn n --= 〔找特殊性质项〕∴S n ＝〔cos1°+ cos179°〕+〔 cos2°+ cos178°〕+〔cos3°+ cos177°〕+···+〔cos89°+ cos91°〕+ cos90° 〔合并求和〕＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a 〔找特殊性质项〕 ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++〔合并求和〕＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中,假如103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+〔找特殊性质项〕和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=〔合并求和〕＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构与特征进展分析,找出数列的通项与其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法. [例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个〔找通项与特征〕 ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n 〔分组求和〕＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.数列练习一、选择题}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,如此1a =A.21B. 22C.2 D.22.为等差数列,,如此等于{}n a 的前n 项和为n S .假如4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,如此10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 . 4设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,23a =,611a =,如此7S 等于A ．13B ．35C ．49D ． 63 5.{}n a 为等差数列,且7a －24a ＝－1,3a ＝0,如此公差d ＝〔A 〕－2 〔B 〕－12 〔C 〕12〔D 〕2 ｛n a ｝的公差不为零,首项1a ＝1,2a 是1a 和5a 的等比中项,如此数列的前10项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,2110m m ma a a -++-=,2138m S -=,如此m = 〔A 〕38 〔B 〕20 〔C 〕10 〔D 〕9 .{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,如此{}n a 的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n+D ．2n n +｛n a ｝的公差不为零,首项1a ＝1,2a 是1a 和5a 的等比中项,如此数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题1设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,如此44S a =．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,如此4S ,84S S -,128S S -,1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,如此4T , , ,1612T T 成等比数列．}{n a 中,6,7253+==a a a ,如此____________6=a .4.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1,216n n n a a a +++=,如此{n a }的前4项和4S = .数列练习参考答案一、选择题1.[答案]B[解析]设公比为q ,由得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q =,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以2q =故2122a a q ===,选B 2.[解析]∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-⨯=.选B.[答案]B3.答案：C[解析]由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=如此12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.应当选C 4.解:172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====应当选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯=所以1777()7(113)49.22a a S ++===应当选C. 5.[解析]a 7－2a 4＝a 3＋4d －2<a 3＋d>＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－12[答案]B 6.[答案]B[解析]设公差为d ,如此)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0,解得d ＝2,∴10S ＝1007.[答案]C[解析]因为{}n a 是等差数列,所以,112m m m a a a -++=,由2110m m m a a a -++-=,得：2m a －2m a ＝0,所以,m a ＝2,又2138m S -=,即2))(12(121-+-m a a m ＝38,即〔2m －1〕×2＝38,解得m ＝10,应当选.C.8.[答案]A 解析设数列{}n a 的公差为d ,如此根据题意得(22)22(25)d d +=⋅+,解得12d =或0d =〔舍去〕,所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n nS n -=+⨯=+ 9.[答案]B[解析]设公差为d ,如此)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0,解得d ＝2,∴10S ＝100二、填空题1.[命题意图]此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分表现了通项公式和前n 项和的知识联系．[解析]对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--2.答案：81248,T T T T [命题意图]此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过条件进展类比推理的方法和能力3.[解析]:设等差数列}{n a 的公差为d ,如此由得⎩⎨⎧++=+=+6472111d a d a d a 解得132a d =⎧⎨=⎩,所以61513a a d =+=.答案:13.[命题立意]:此题考查等差数列的通项公式以与根本计算.4.[答案]152[解析]由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ,即062=-+q q ,0q >,解得：q ＝2,又2a =1,所以,112a =,21)21(2144--=S ＝152三、大题{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +==1〕.求数列{}n a 的通项公式.2〕.设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.{an}满足a2=0,a6+a8=-10〔I 〕求数列{an}的通项公式；〔II 〕求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．2*.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假如312S =,且1232,,1a a a +成等比数列. 〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记3nn n a b =的前n 项和为n T ,求n T . 3. 数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n+2=3a n+1-2a n 〔n ∈N +〕〔1〕证明：数列{a n+1-a n }是等比数列；〔2〕求数列{a n }的通项公式{}n a 的各项满足：k a 311-=)(R k ∈,1143n n n a a --=-.<1> 判断数列}74{nn a -是否成等比数列；〔2〕求数列{}n a 的通项公式{}n a 和正项等比数列{}n b ,111==b a ,1073=+a a ,3b ＝4a〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式〔2〕假如n n n b a c •=,求数列{}n c 的前n 项和n T。

高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +12=log an22,log a n +12=2log a n2,设b n =log a n2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 12=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n2=2n -1,a n =22n -1.【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +12=log 2a n22,log an +12=log 22+2log a n2,log a n +12=1+2log a n2设b n =log an2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n +1=2n -1,所以b n =2n -1-1,log a n2=2n -1-1,a n =22n -1-1.【经典例题3】已知a 1=2,点a n ,a n +1 在函数f x =x 2+2x 的图像上,其中n ∈N *,求数列a n 的通项公式.【解析】将a n ,a n +1 代入函数得a n +1=a n 2+2a n ,a n +1+1=a n 2+2a n +1=a n +1 2,即a n +1+1=a n +1 2两边同时取以3为底的对数,得log a n +1+13=log a n+123⇒log a n +1+13=2log a n+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为log a 1+13,a 1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以log a n+1 3 是以1为首项,2为公比的等比数列,即log a n+1 3=1×2n -1,a n +1=32n -1,a n =32n -1-1.【经典例题4】在数列a n 中, a 1=1,当n ≥2时,有a n +1=a n 2+4a n +2,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=a n 2+4a n +2,得a n +1+2=a n 2+4a n +4,即a n +1+2=a n +2 2,两边同取以3为底的对数,得log a n +1+23=log a n+223,即log a n +1+23=2log a n+2 3,所以数列log a n+2 3是以1为首项,2为公比的等比数列,log a n+23=2n -1,a n +2=32n -1,即a n =32n -1-2.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n +1=Aa n +Ba n -1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n +1-a n =(A -1)a n -a n -1 ,利用a n +1-a n 成等比数列,以及叠加法求出a n .还有一小部分题型可转化为a n +1+a n =(A +1)a n +a n -1 ,利用a n +1+a n 成等比数列求出a n .【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1-2a n n ∈N * ,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=3a n -2a n -1⇒a n +1-a n =2a n -a n -1 ,故a n +1-a n 是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-a n =a 2-a 1 2n -1=2n ,接下来就是叠加法啦,a n -a n -1=2n -1...a 2-a 1=2全部相加得:a n -a 1=2n-2,所以a n =2n -1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13a n ,求数列a n 的通项公式。

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数列基础知识点和方法归纳知识点：(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，，，，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立的点（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

（6）数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321Λ 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n题型一应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项【例1】已知数列{}n a 的前n 项和23-=n n S ，求其通项公式. 解析：当123,1111=-===S a n 时，当)23()23(,211---=-=≥--n n n n n S S a n 时132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n题型二、利用递推关系求数列的通项【例2】根据数列{}n a 的首项和递推关系，141,21211-+==+n a a a n n求其通项公式解析：因为14121-+=+n a a n n ，所以)121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n 所以)3111(2112-=-a a)5131(2123-=-a a43111()257a a -=-…，…，1111()22321n n a a n n --=---以上)1(-n 个式相加得)1211(211--=-n a a n 即：24342411--=--=n n n a n 【点拨】：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

课外练习 1、设1212111++++++=n n n a n Λ，(*∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C )A ．n n a a >+1B ．n n a a =+1C ．n n a a <+1D ．不能确定解：因为0221321113212211<+-+=+-+++=-+n n n n n a a n n所以n n a a <+1，选Ｃ．2．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则⎩⎨⎧≥-=-=)2(,52)1(,2n n n a n3．已知数列{}n a 的通项9998--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ，解：构造函数99989919998--+=--=x x x y由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1<y ；函数在），＋∞99(上递增且1>y最小最大，），又910921301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ΛΛ（二）数列1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数n 2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.（7）项数为奇数12-n 的等差数列，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 1．等差数列{}n a 中，,1201210864=++++a a a a a )(31119C a a 的值为则-A ．14B ．15C ．16D ．17解：)2(313199119d a a a a +-=-1651203232)(3289=⋅==-=a d a2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，Θ003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为解：∵ΛΛ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S2210291010100-=∴=⨯⨯+⨯∴D D ， D S S S 1010100110+=-又110221010100110-=-⋅++=∴）（S⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=42)1(129850n n n n y 984022-+-=n n 102)10(22+--=n10210max ==y n 时，所以当4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，，Λ中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=0)72(63>+=d a7240724->∴>+∴d d )(2132)(1311313113a a a a S +=+=又0)82(2133<+=d a372430824-<<--<∴<+∴d d d 从而 ②0)(67612>+=a a S Θ013713<=a S 最大。

，66700S a a ∴><∴5.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( D )32313132．．．．D C B A --6.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（ A ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64151212497=∴+=+a a a a a Θ解：7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==54 8.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ， ①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组，由2)1(1dn n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵1)1)(1(21-++=n n a n S[]nn n n n n n n n n nn n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=-=∴-++=∴+++++++++++整理得，nn n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2∴数列{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}122)1(3)1(2251211212+=⋅-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列③)32)(12(111++=+n n a a n n Θ61)32131(21)32112171515131(2132112121<∈+-=+-+++-+-=∴⎪⎭⎫⎝⎛+-+=*n n T N n n n n T n n 时，又当Λ 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n都成立，M 的最小值为61。

2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或. 前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为n q . 注意：由求时应注意什么？时，；时，.例：⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=Λ⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121ΛΛ)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b 则有等式成立。