小学奥数三年级第44讲整数的分拆例题
组合数学幻灯片44整数的拆分课件
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
由上面的讨论和定理4.2即可得
,1
x2
1 1
x4 x2
1
x3
1 1
x6 x3
,1
x4
1 1
x8 x4
,
(1
x)(1
x2
)(1
x3
)(1
x4
)
1 x2 1 x
1 1
x4 x2
1 1
x6 x3
1 1
x8 x4
上式的左端正好是Pd(n)的普通母函数(由定理4.3 的推论1)，而上式的右端，可将分子分母的所有偶 次幂约去就得到
1 22
1 32
1
1
1 x2 dx
2
故有log f ( x) 2x 1 x
而f ( x) p(n)xn p(n)xn n0
故有log p(n) log f ( x) n log x 2x n log x 1 x
而对于w>1时，有 log w w 1
• 于是有 log x log 1 1 1 1 x
1 (1 x )(1 x3 )(1 x5 )(1 x7 )
这正好是P0(n)的普通母函数(由推论4)。
∴Po(n)=Pd(n)
以上我们证明了把n拆分成奇整数的和的方 式数等于把n拆分成不相同的整数的和的 方式数。
• 7=5+1+1
7=6+1
7=3+3+1
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1.电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2：有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3：把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
三年级数的拆分练习题
三年级数的拆分练习题题目一：十以内的数的拆分1. 将以下数按照两个数相加的形式拆分：a) 7 = __ + __b) 5 = __ + __c) 8 = __ + __d) 9 = __ + __2. 将以下数按照三个数相加的形式拆分：a) 9 = __ + __ + __b) 6 = __ + __ + __c) 7 = __ + __ + __d) 8 = __ + __ + __3. 将以下数按照四个数相加（可以有相同的数）的形式拆分：a) 10 = __ + __ + __ + __b) 8 = __ + __ + __ + __c) 6 = __ + __ + __ + __d) 9 = __ + __ + __ + __题目二：百以内的数的拆分1. 将以下十位数为1的百位数按照两个数相加的形式拆分：a) 136 = __ + __b) 110 = __ + __c) 154 = __ + __d) 120 = __ + __2. 将以下十位数为1的百位数按照三个数相加的形式拆分：a) 107 = __ + __ + __b) 111 = __ + __ + __c) 138 = __ + __ + __d) 121 = __ + __ + __3. 将以下十位数为2的百位数按照四个数相加（可以有相同的数）的形式拆分：a) 210 = __ + __ + __ + __b) 242 = __ + __ + __ + __c) 214 = __ + __ + __ + __d) 232 = __ + __ + __ + __题目三：千以内的数的拆分1. 将以下百位数为3的千位数按照两个数相加的形式拆分：a) 3296 = __ + __b) 3301 = __ + __c) 3337 = __ + __d) 3389 = __ + __2. 将以下百位数为4的千位数按照三个数相加的形式拆分：a) 4240 = __ + __ + __b) 4412 = __ + __ + __c) 4384 = __ + __ + __d) 4593 = __ + __ + __3. 将以下百位数为5的千位数按照四个数相加（可以有相同的数）的形式拆分：a) 5556 = __ + __ + __ + __b) 5793 = __ + __ + __ + __c) 5355 = __ + __ + __ + __d) 5132 = __ + __ + __ + __各位同学，尽量独立完成，祝你们取得好成绩！。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
学而思奥数 三年级下学期 第四讲.整数拆分.基础巩固篇
第四讲
整数的分拆
拔高篇
1、把18拆成两个自然数（0除外）相加的形式，有几种拆法？
2、把17拆成3个不大于9的不同的自然数相加的形式（0除外）．
3、把7拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？
4、将80拆分成不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成个数之和．请写出
其中一种．
5、把71拆成两个数之和，使这两个数的积最大，请问是哪两个数？它们的积又是多少？如
果用同样的要求来拆分98情况又是如何？
6、把23拆分成若干个不同的自然数的之和，使这些自然数的乘积达到最大，请问拆分方法
如何？它们的乘积又是多少？
7、将54表示成两个自然数相乘的形式，要使这两个自然数的和最大，请问它们分别是多少？
最大的和是？。
二年级奥数习题：整数的分拆题型归纳
二年级奥数习题：整数的分拆题型归纳1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法?(此题是美国小学数学奥林匹克试题).7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法?8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分?9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分?10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚?(此题是美国小学数学奥林匹克试题).11.(1，1，8)是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把(1，1，8)与(1，8，1)及(8，1，1)看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个?习题解答1.解：共有2种不同的分拆方式：15=9+615=8+72.解：共8种.3.解：共12种.4.解：共6种.15=9+3+2+115=8+4+2+115=7+5+2+1=7+4+3+115=6+5+3+1=6+4+3+25.解：同第4题答案.6.解：同第4题答案.7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果;再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果;再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：87=64+16+4+2+1.8.解：从已有经验中可知66=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.即得100=64+6+6+6+6+6+6.9.解：仿例7解法，得下列分拆式：1000=888+88+8+8+8.10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：253=75(分).所以其余的7枚硬币的价值是：100-75=25(分).将25分拆成7个数之和，(注意没有各数不同的限制)25=1+1+1+1+1+10+10.所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.11.解：共8个.它们是(1，1，8)，(1，2，7)，(1，3，6)，(1，4，5)，(2，2，6)，(2，3，5)，(2，4，4)，(3，3，4).。
小学奥数数论试题：整数的拆分
小学奥数数论试题：整数的拆分
导读：本文小学奥数数论试题：整数的拆分，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
1.某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费3元;为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过16千克时，除了付基础费和保险费外，超过部分每千克还需付3元超重费.在托运的50千克物品可拆分(按整数千克拆分)的情况下，使托运费用最省的拆分方案是_________.
2. 把10拆分成三个数的和(0除外)有_____种拆分方法.
3. 将100拆分成若干个不同的非零自然数相加的形式，最多能拆分成多少个数之和?。
学而思奥数 三年级下学期 第四讲.整数拆分.强化挑战篇
第四讲整数拆分
篇
强化挑战篇
强化挑战
1、将10拆分成4个自然数相加的形式，问共有多少种拆分方法？请全部写出。
（0除外）
2、有3个工厂共订300份《广州日报》，每个工厂最少订99份，最多订101份。
问：共有多少种不同的订法？
3、有一部25集的电视剧，分6天播出。
如果每天至少播一集，且每天播的数量都互不相同，问一共有多少种分法？
4、小玲用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册。
已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本。
那么，共有多少种不同的购买方法？
5、将2013拆分成2个自然数相加的形式，使这两个自然数的乘积最大，请问是哪两个自然数？如果将2013拆分成7个自然数相加的形式，使这些自然数的乘积最大，请问是哪7个自然数呢？
6、将2013拆分成若干个自然数相加的形式，使得这些自然数的乘积最大，请写出你的拆分方法。
7、将2013拆成若干个不同的自然数相加的形式，使得这些自然数之积最大，请写出你的拆分方法。
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整数的分拆
整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题 。
所谓整数的分拆 ， 就是 把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便 一 。
是这个自然数的个分拆 核心思想：有序、全面
将 12 分 成三 不同的正整数相加之和 共 多少 不同的分 【例 1 】 ( ★★ )
拆个 ， 拆 有种 方式，请把它们一一列出。
将 15 分拆成不大于 9 的三个不同的自然数【 0 除外】之和有多少种 【例 2 】 ( ★★★ )
不同分拆方式，请一一列出。
古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子
【例 3 】 ( ★★★ )
中取梨，每个 盘 子中分别装 有 1 个、 2 个、 3 个、 5 个、 6 个、 7 个和 9 个梨 . 她要从这些盘子中取出 15 个
梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿 ， 要么都不拿 。
共有多少种不同的拿法 ？
1
100
这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？
【例 4 】 ( ★★★ )
电视台要播放一部 30 集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互
【 拓展 】 ( ★★★ )
不相等 ， 则该电视连续剧最多可以播几天 ？
⑴两个非零自然数的和是 14 ，这两个数分别是多少时，它们的积
【例 5 】 ( ★★★★ )
最大？最大是 多少 ？
⑵两个自然数的积为 40 ，
这两个数分别为多少时，它们的和最小？ 最小为多少 ？ 这两个数分别为多时 ， 它们 的和最大 ， 最大是多 少？
⑴将 10 分成若干个自然数的和 ( 允许有相同的 ) ，使得这些自然数 【例 6 】 ( ★★★★★ )
的乘积达到最大 ， 这个乘积是什么 ？
⑵将 10 分成若干个自然数的和 ( 不允许有相同的 ) ，使得这些自然 数的乘积达到最大 ， 这个乘积是什么 ？
⑶将 13 分成若干个自然数的和 ( 不允许有相同的 ) ，使得这些自然 数的 积达 大 这 积是 么？
乘到最， 个乘什 一、概念
【本讲总结】
整数的拆分：
把一个自然数 (0 除外 ) 拆分成几个自然数相加的形式
核 心 思想 ： 有序、全面 二 、 基本型
三、告知最大数 四、求加数的最多 数 个 五、拆成两个数
1 ．和一定，差小积大
2 ． 积 一 定 ， 差小和 小 六、拆成多个数，乘积最大
1 ． 相同 ： 多 3 ， 少
2 ， 无 1 2 ．不相同：
2。