八年级数学第13章轴对称知识点

第十三章 轴对称知识点总结及常见题型
1、轴对称图形：
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：
（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：
（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，
∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，
∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，
∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：
（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：底角顶角⨯-=2180ο
顶角顶角底角2
1
-902180︒=-︒=
可见，底角只能是锐角。

（2）性质：
①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC
∴∠B=∠C 。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。

（3）判定方法：
①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形 。

②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C
∴△ABC 是等腰三角形 。

7、等边三角形：
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质：
①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。

（3）判定方法：
图6
m C A
B
D'D C'
B'A'
K J I
H 图1
图2 m
C
A
B
P
图3 底边
底角底角顶角
腰
腰
D
C
B A 图5 A B
C 图4
①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴△ABC 是等边三角形 。

②判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC 中 ∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC 是等边三角形 。

③判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC 中
∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ）
∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC 是等边三角形 。

（4）重要结论1：在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

如图7，
∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° ∴BC=2
1
AB 或AB=2BC
（5）重要结论2：在Rt △中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是ο
30。

8、平面直角坐标系中的轴对称： （1）),()
,(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）),(),(b a y b a -横反向，纵不变
轴对称
关于
说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。

对称点的作法见12（1）。

9、对称轴的画法：
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。

②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。

10、常见的轴对称图形： （1）英文字母。

A B D E H I K M O T U V W X Y
（2）中文。

日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，
只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

（3）数字。

0 3 8 （4）图形。

说明：①圆有无数条对称轴。

对称轴为每一条直径所在的直线。

②正n 边形有n 条对称轴。

11、其他结论
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

（2）三角形三个边的中垂线（垂直平分线）交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

12、掌握几个作图：
（1）作出点A 关于直线m 对称的点A / 。

作法：如图
①以点A 为圆心，适当的长为半径画圆弧。

使圆弧与直线MN 交于两点C 、D 。

②分别以点C,D 为圆心，大于
CD 2
1
的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E 。

③作射线AE ，设交直线mn 于点F 。

○
4在射线AE 上截取FA /=FA ，点A /即为所求。

（2）课本62页例题1、63页例题2。

（3）课本37页10、12题。

（4）课本82页第8题。

13、作图题专练
图7
1、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
2．、已知：
．．．．A．、．B．两点在直线
．．．．．l．的同侧，试分别画出符合
．．．．．．．．．．．
条件的点
．．．．M．．．
（．1．）如图，在
．．．．．l．上求作一点
．．．．．M．，使得
．．．AM
．．＋．BM
．．最小．
．．．（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题
A
C
·
·D O B。