高中数学必修一第15讲：幂函数及图象变换(中等)

幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】 幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y()y x R αα=∈()y x R αα=∈轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()af x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =． 4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==（1）平移变换y=f(x)→y=f(x ＋a) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移 （2）对称变换y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y 轴对称 y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x 轴对称 y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称 y=f(x)→1()y fx -= 图象关于直线y=x 对称（3）翻折变换：y=f(x) →y=f(|x|),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y=f(x) →y=|f(x)| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称。

【典型例题】 类型一、求函数解析式 例1.已知()21212223m y m m x n -=+-⋅+-是幂函数，求m 、n 的值．举一反三：【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？ （1）2y x =；（2）23y x =；（3）3y x x =-；（4）23y x -=；（5）21y x=；（6）3y =．类型二、幂函数的图象例1．幂函数y x α=在第一象限内的图象如图所示，已知α分别取-1，1,1,22四个值，则相应图象依次为： ．【变式1】函数13y x =的图象是（ ）类型三、幂函数的性质 例1.比较下列各组数的大小.(1)523.14-与52π-； (2)35(-与35(-.举一反三：【变式1】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9-的大小.类型四、求参数的范围 例1. 讨论函数2221()k k y k k x --=+在0x >时，随着x 的增大其函数值的变化情况。

【变式1】若()()22132a a --+>-，求实数a 的取值范围.类型五、幂函数的应用例1. 求出函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与(f 的大小。

举一反三：【变式1】讨论函数211()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性．类型六、基本初等函数图象变换 例1．作出下列函数的图象：(1) y=lgx ， y=lg(-x)， y=-lgx ； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.举一反三： 【变式1】作出211x y x -=+的图象。

【变式2】作函数2|log (1)|2y x =++的图象。

巩固练习1．下列函数中，331,21,,y y x y x x y x==+=+=是幂函数的个数是（ ）． A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数12y x-=的定义域是( )A.[0，+∞）B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.R 3.函数23y x =的图象是( )4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2y x = D. 13y x = 5.幂函数35m y x-=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，又()()f x f x -=，则m=( )A.0B.1C.2D.36.若幂函数y x α=的图象在0<x<1时位于直线y=x 的下方，则实数α的取值范围是( ) A.α<1 B.α>1 C.0<α<1 D.α<0 7.下列结论中正确的个数有( )(1)幂函数的图象一定过原点； (2) 当α<0时,幂函数y x α=是减函数； (3)当α>0时，幂函数y x α=是增函数；(4)函数22y x =既是二次函数，又是幂函数. A.0 B.1 C.2 D.38. 三个数121.2a =，120.9b -=，c =( )A.c<a<bB.c<b<aC. b<a<cD.a<c<b9.若幂函数()y f x =的图象经过点1(9,)3，则(25)f 的值是 .10.若幂函数224(317)m m y m m x -=+-⋅的图象不过原点，则m 的值为 . 11.若1144(1)(22)a a +>-，则实数a 的取值范围是 . 12．函数1(1)y x -=+的单调递减区间为 .13.比较下列各组中两个值大小(1)6611110.60.7与； (2)5533(0.88)(0.89).--与14. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2f x x x =+． （1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式函数()()|1|g x f x x ≥--．1．B根据幂函数的定义判断，53431,y x y x x-====是幂函数．2.C函数12121y xx-===，所以函数的定义域是()0,+∞． 3.C函数23y x ==()()f x f x -===，所以这个函数为偶函数，图象关于y 轴对称，可能是B 或C ，又2013<<，所以当1x >时，图象应在y x =直线的下方，故选C ． 4. A 函数221y x x-==，所以函数是偶函数，又20α=-<，所以函数在区间()0,+∞上单调递减，故选A ．5.B 因为函数35m y x-=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，所以350m -<，即53m <，又函数是偶函数，故1m =．6.B 幂函数1,01y x x x x α=<=<<，考察指数函数(01)xy a a =<<的增减性知，1α>．7.A 幂函数y x α=，当0α>时，图象一定过原点，当0α<时，图象一定不过原点,故(1)不对．当0α<时，幂函数图象在()0,+∞上是减函数，故（2）不对．当0α>时，幂函数图象在()0,+∞上是增函数，故（3）不对．函数22y x =是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．8. A 11112222101.2,0.9(), 1.19a b c -====,易知101.2 1.19>>，又函数12y x =在[)0,+∞上单调递增，所以c b a <<，故选A ．9. 15 设()f x x α=，则1(9)3f =，即193α=，得112211,(),(25)2525f x x f α--=-∴=∴==．10.-6 由23171m m +-=，解得3m =或6m =-．又当3m =时，指数240m m ->不合题意；当6m =-时，240m m -<，所以6m =-．11.[)1,3 由题意知10,220,12 2.a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a ≤<．12.(),1-∞-和()1,-+∞ 将函数1y x -=的单调区间向左平移一个单位即可．13.解：(1)+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴(2)函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<< .)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即14. 解析：（1）设函数()y f x =的图象上任一点0,0()Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则000,20.2x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即00,x x y y =-⎧⎨=-⎩，因为点0,0()Q x y 在函数()y f x =的图象上，所以2()2()y x x -=-+⋅-，即2()2g x x x =-+．（2）由()()|1|g x f x x ≥--，得22|1|0x x --≤当1x ≥时，2210x x -+≤，由函数221y x x =-+的图象可知，此不等式无解．当1x <时，2210x x +-≤，由函数221y x x =+-的图象，解得112x -≤≤． ∴原不等式的解集为11,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。