必修2课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(第2课时)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第1课时
1、空间中两条直线的位置关系有（ ） A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
D A CΒιβλιοθήκη BN提问 :
1 直线AA1与直线BC什么关系? 2 直线MB1与直线CC1什么关系?
M D1 A1 B1 C1
异面直线的定义：
D A C
B
N
我们把不同在任何一 个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
BACK NEXT
㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？ 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
例如 :
M D1 A1 B1
C1 1 直线AA 与BC异面直线关系 1
2 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A C
B
N
我们把不同在任何一 个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）
回答 :
M D1 A1 B1
C1 1 直线AA1与BC异面直线关系
(4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a
b
c
d
e
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
为了表示异面直线 a，b不共面的特点， 作图时，通常用一个或两个平面衬托，如 下图。
b
b b
a a
a
1
2
3
如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原 为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看 谁说得最多？共3对：AB与CD，AB与GH，GH与EF
∠ADC与∠B1C1D1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1
C1
B1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠B1C1D1=180O
A1
D A
C
B 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补．
BACK NEXT
1、空间中两条直线的位置关系有（C ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ A ） A、 共面 B、异面 C、可能共面也可能异面 D、既不共面也不异面
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子 。
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
已知a, b, c是三条直线, 若a, b是异面直线,
b,c是异面直线,判断a与c的位置关系,并画图说明.
答案 : a与c可能相交, 也可能平行, 也可能异面.
b
b
b
c
a
c
a
c
1
2
a
3
C
G
H E F
A E D B
C G
H
A
D
BF
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看, 可分为两类 : 1 有且仅有一个公共点 相交直线 平行直线 2 没有公共点 异面直线 若从有没有共面的角度来看,也可分为两类: 相交直线 1 在同一个平面内 平行直线 2 不同在任何一个平面内 异面直线
第1课时
1、空间中两条直线的位置关系有（ ） A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
D A CΒιβλιοθήκη BN提问 :
1 直线AA1与直线BC什么关系? 2 直线MB1与直线CC1什么关系?
M D1 A1 B1 C1
异面直线的定义：
D A C
B
N
我们把不同在任何一 个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
BACK NEXT
㈡：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？ 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
例如 :
M D1 A1 B1
C1 1 直线AA 与BC异面直线关系 1
2 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A C
B
N
我们把不同在任何一 个平面内的两条直线 叫做异面直线（skew lines）
回答 :
M D1 A1 B1
C1 1 直线AA1与BC异面直线关系
(4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
a
b
c
d
e
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
为了表示异面直线 a，b不共面的特点， 作图时，通常用一个或两个平面衬托，如 下图。
b
b b
a a
a
1
2
3
如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原 为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在 直线是异面直线的有几对？请你与同学们共同探究？看 谁说得最多？共3对：AB与CD，AB与GH，GH与EF
∠ADC与∠B1C1D1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1
C1
B1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠B1C1D1=180O
A1
D A
C
B 定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补．
BACK NEXT
1、空间中两条直线的位置关系有（C ）
A、 1种 B、 2种 C、 3种 D、无数种
2、空间中两条平行或相交的直线一定（ A ） A、 共面 B、异面 C、可能共面也可能异面 D、既不共面也不异面
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子 。
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
已知a, b, c是三条直线, 若a, b是异面直线,
b,c是异面直线,判断a与c的位置关系,并画图说明.
答案 : a与c可能相交, 也可能平行, 也可能异面.
b
b
b
c
a
c
a
c
1
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a
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C
G
H E F
A E D B
C G
H
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BF
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看, 可分为两类 : 1 有且仅有一个公共点 相交直线 平行直线 2 没有公共点 异面直线 若从有没有共面的角度来看,也可分为两类: 相交直线 1 在同一个平面内 平行直线 2 不同在任何一个平面内 异面直线
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必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系ppt课件
b a′ ？ a O P a′ θ O b′
平 移
注意:①与O的选取无关; ②将空间角转化为平面角 异面直线夹角的求解过程： 平移 相交 异面直线 异面 直线 所成的角 直线 思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间 图形问题为平面图形问题
如果两条异面直线所成的角为直角， 就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
：
' ' ' ' B C D A B C D 观察 如图2.1.2-5,长方体 A 中, BB'∥ AA'
DD'∥ AA'
那么 B B ' 与 D D ' 平行吗?
D' C'
A' D A
B' C
B
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、 空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
b
a'
a
O
记 作 ： a b
强调:
1)异面直线所成的角范围
0 ( 0 , 90 ]
2) 在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 3)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，
把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的
角.
例3 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ （2）直线BA1和CC1的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
a
b
课堂练习
2、异面直线a,b满足a,b,∩=l,则l与 a，b的位置关系一定是（ B ） （A）l与a，b都相交 （B）l至少与a，b中的一条相交 （C）l至多与a，b中的一条相交 （D）l至少与a，b中的一条平行
平 移
注意:①与O的选取无关; ②将空间角转化为平面角 异面直线夹角的求解过程： 平移 相交 异面直线 异面 直线 所成的角 直线 思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间 图形问题为平面图形问题
如果两条异面直线所成的角为直角， 就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
：
' ' ' ' B C D A B C D 观察 如图2.1.2-5,长方体 A 中, BB'∥ AA'
DD'∥ AA'
那么 B B ' 与 D D ' 平行吗?
D' C'
A' D A
B' C
B
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、 空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
b
a'
a
O
记 作 ： a b
强调:
1)异面直线所成的角范围
0 ( 0 , 90 ]
2) 在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 3)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，
把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的
角.
例3 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ （2）直线BA1和CC1的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
a
b
课堂练习
2、异面直线a,b满足a,b,∩=l,则l与 a，b的位置关系一定是（ B ） （A）l与a，b都相交 （B）l至少与a，b中的一条相交 （C）l至多与a，b中的一条相交 （D）l至少与a，b中的一条平行
高中数学人教版必修二：空间中直线与直线之间的位置关系课件
A
G F
C B
高中数学人教版必修二第二章：2.1.2 空间中 直线与 直线 之间的位置关系 课件(共18张PPT)
例1 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？ 45度 (2)FO与BD所成的角？ ∠HFO=30度 (3)哪些棱所在的直线与直线EA垂直？
AD、HE、FG、BC、 AB、CD、EF、GH、
是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是
平行四边形.
A
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线
H
∴EH ∥BD且EH = 12BD
E
同理，FG ∥BD且FG =
1
2BD
∴EH ∥FG且EH =FG
B
∴EFGH是一个平行四边形
D G
F
C
立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的
一种方法。 变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？
高中数学人教版必修二第二章：2.1.2 空间中 直线与 直线 之间的位置关系 课件(共18张PPT)
（3）垂直于同一条直线的两条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线是否平行？ 不一定
高中数学人教版必修二第二章：2.1.2 空间中 直线与 直线 之间的位置关系 课件(共18张PPT)
高中数学人教版必修二第二章：2.1.2 空间中 直线与 直线 之间的位置关系 课件(共18张PPT)
高中数学人教版必修二第二章：2.1.2 空间中 直线与 直线 之间的位置关系 课件(共18张PPT)
高中数学人教版必修二第二章：2.1.2 空间中 直线与 直线 之间的位置关系 课件(共18张PPT)
异面直线所成的角
高一数学(人教A版)必修2课件：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 2.1 2.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第二章 2.1 2.1.2
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高一数学必修2课件：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面 直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时 候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．
特别提醒：两条异面直线所成角的范围：(0，2π]．
[例3] 四面体A－BCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角， E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．
公理4、等角定理的应用
学法指导 1.公理4的作用： 公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平 行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．
2．剖析等角定理： (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且 方向相同，那么这两个角相等． (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且 其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补． (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且 方向都相反，那么这两个角相等．
(3)∵易证A1D∥B1C， ∴∠BA1D(或其补角)即为所求， ∵易知△BA1D为正三角形， ∴∠BA1D＝60°，故指导 空间两条直线位置关系的判定方法： (1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断， 而两条直线平行也可以用公理4判断． (2)判定两条直线是异面直线的方法： ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． ②排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．
[例1] 已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命 题：
①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直线， b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如果a，b是相交 直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；④如果a，b 共面，b，c共面，那么a，c也共面．
在上述命题中，正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] A
数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
锐角(或直角) 成的_______________ ． 90°
(2)范围：0°<θ ≤90°.特别地，当 θ＝_______时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) ) )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(
答案：(1)×
(2)×
(3)×
2．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的 棱的条数是( )
A．6 C．5
答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCDA1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
(1)说出下列直线的位置关系： AE 与 DD1 是________直线； A1B1 与 CD 是________直线． (2)异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为________．
[解析] 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直 线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该 填“异面” ；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填 “相交”．
1.若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线， 则( A．a∥c B．a、c 是异面直线 C．a、c 相交 D．a、c 平行或相交或异面
)
解析：选 D.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行，可以相交，可以异面．
[证明] (1)连接 BD，B1D1， 在△ABD 中， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF 同理，E1F1 1 BD. 2 1 BD. 2 1 1 B 1 B， A 1 A D 1 D， D1D.所以四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 BD E 1F 1.
(2)范围：0°<θ ≤90°.特别地，当 θ＝_______时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) ) )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(
答案：(1)×
(2)×
(3)×
2．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的 棱的条数是( )
A．6 C．5
答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCDA1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
(1)说出下列直线的位置关系： AE 与 DD1 是________直线； A1B1 与 CD 是________直线． (2)异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为________．
[解析] 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直 线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该 填“异面” ；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填 “相交”．
1.若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线， 则( A．a∥c B．a、c 是异面直线 C．a、c 相交 D．a、c 平行或相交或异面
)
解析：选 D.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行，可以相交，可以异面．
[证明] (1)连接 BD，B1D1， 在△ABD 中， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF 同理，E1F1 1 BD. 2 1 BD. 2 1 1 B 1 B， A 1 A D 1 D， D1D.所以四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 BD E 1F 1.
【数学】2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》课件(新人教A版必修2).pptx
新疆 王新敞
奎屯
例题示范
例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？
解：（1）由异面直线的判 定方法可知，与直线 BA
成异面直线， 的有直线
BC, AD,CC, DD, DC, DC
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
面只有一个公共点。
（ ）
3、四个点中如果有三一个平面内。
（ ）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ）
5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可
以确定一个平面。
（）
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
文字语言 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
例题示范
例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H
分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： 欲证EFGH是一个平行四边形
A
只需证EH∥FG且EH＝FG
连结BD,只需证： 1
EH ∥BD且EH ＝ BD
2
FG ∥BD且FG ＝1 BD 2
人教版必修二2.2.1空间中直线与直线之间的位置关系课件
习
标
• 探
与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故异面直线有且仅有 3 对．
• 固
新
双
知
(2)如图①中，直线 GH∥MN；
基
合 作 探 究 • 攻 重
图②中，G，H，N 三点共面，但 M 平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；
课
图③中，连接 MG(图略)，GM∥HN，因此，GH 与 MN 共面；
知
基
合 作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返
图 2-1-20
首
页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形；
基
合
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【导学号：07742100】
作
探
究
•
攻
重
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难
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自 主
思路探究：(1)欲证四边形 BB1M1M 是平行四边形，可证其一组对边平行
合 作 探 究 • 攻 重
点)3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)
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难
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[自 主 预 习·探 新 知]
自 主
1．异面直线
当 堂
预
达
习 •
(1)定义：不同在__任__何__一__个__平_面__内____的两条直线．
(2)若 a∥b，a、c 是异面直线，那么 b 与 c 不可能平行，否则由公理 4 知 a∥c.]
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
注意证明中常常要说明两个平面是重合的， 其基本模式如： ①点A、B、C、D共面于α，点A、B、C、 E共面于β，经过不共线三点A、B、C的平 面有且仅有一个，∴α与β重合，从而A、B、 C、D、E共面． ②直线a、b、c共面于α，直线a、b、d共 面于β，但直线a与b确定一个平面(a∥b或a 与b相交)，∴α与β重合，∴a、b、c、d共 面．
(3)共面问题 证明多个几何元素(点和直线)共面，一般 先据公理2或其推论结合题设条件确定一 个平面α，再由公理1或公理3说明其它元 素也在平面α内． 证明直线共面的一般方法有两种：一是先 由两条平行或相交直线确定一个平面，再 依据平面的基本性质证明其它直线在此平 面内；二是先分别确定两个平面，再依据 平面的基本性质证明两个平面是同一个平 面(即两平面重合)．
2．怎样检查一张桌子的四条腿的下端是 否在同一个平面内． [解析] 用两条细绳沿桌子对角两腿的下 端拉直，看两绳是否相交，若相交则在同 一个平面内，否则不在同一个平面内．
3．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B， l∩c＝C，求证：a、b、c、l共面． [证明] ∵a∥b，∴a、b确定一个平面α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α，故l⊂α，∴a、b、l共面于 α. 又∵a∥c，∴a、c确定一个平面β， 同理可证：l⊂β，∴a、c、l共面于β， ∵a∩l＝A， 过两条相交直线有且只有一个平面． ∴α与β重合，即直线a、b、c、l共面．
制作人：豆猛刚
1．确定平面的条件． 我们已知不共线三点可以确定一个平面， 请探究： (1)一直线外一点和该直线能确定一个平面 吗？ (2)两条平行直线能确定一个平面吗？ (3)两相交直线能确定一个平面吗？
[解析] (1)可以．如图，在直线l上任取相 异两点，∵P∉l，∴P、A、B三点不共线， 由公理2，P、A、B三点可确定一个平面α， ∴经过直线l和l外一点P，有且仅有一个平 面．
高中数学复习课件-高中数学必修2课件 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
【做一做 1】 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AA1 异面的是 ()
A.AB
B.BB1
C.DD1
D.B1C1
解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1 与 B1C1 是异面直线.
答案:D
2.空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内,有且只有一个公共点; (2)平行直线——同一平面内,没有公共点; (3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
对定义可作如下理解:“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一 个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.“异 面”的含义就是“不能共面”的意思.定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误 解为“不同在某一平面内”.
(2)图示:如图 a,b 所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个 或两个平面来衬托.
2
2
∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,且 EG=GF.
∵AB⊥CD,∴EG⊥GF.
∴∠EGF=90°,
∴△EFG 为等腰直角三角形.
∴∠GFE=45°,即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
反思:(1)求两条异面直线所成的角的一般步骤: ①作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; ②证:证明作出的角就是要求的角; ③计算:求角的值,常利用解三角形.因此可用“一作二证三计算”来概括. (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这
成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内,在空间中就成立,否则不成立.
【做一做 4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=( )
《空间中直线与直线之间的位置关系》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.1.2课时)__收 (1)
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
新知探究
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
新知探究
空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
新知探究
例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
新知探究
定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
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练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
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讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
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空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
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例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
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定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1