2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2：模块综合检测-含解析
模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i2，对应点⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限． 2．下面几种推理中是演绎推理的为( )A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋) C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选C 由演绎推理的概念可知C 正确． 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( ) A ．y ′＝3x sin x 2·sin 2x 2 B ．y ′＝3(sin x 2)2 C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：选A y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin 2x 2，故选A.4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.6．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212.8.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞.故选D. 9．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2(x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )(e x )′(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x，由题意g ′(x )＞0，所以g (x )单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1＜f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为______． 解析：z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 答案：514．(天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案： 315．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a 2 016，则a 2 016＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝12×2 017×2020＝2 017×1 010.答案：2 017×1 010三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明：已知a ＞b ＞c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R)，其中m ＞0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，1－m )，(1＋m ，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m )内是增函数． 函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n －1，且a n ＞0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 解：(1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1±3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立． 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1， 所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 解：(1)由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2， f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)， 恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点．(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋ (a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝e x ＋4x －3， ∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x ＋4x －3，则h ′(x )＝e x ＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x －12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x . 令g (x )＝e x －12x 2－1x ， 则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增． ∴φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－18－112＝2e －94， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，2e －94.。
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 模块综合检测基础卷 含答案
模块综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·衡水中学高二检测)已知a ，b ∈R ，且2＋a i ，b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，q 的值分别是导学号 10510875( )A ．p ＝－4，q ＝5B ．p ＝－4，q ＝3C ．p ＝4，q ＝5D ．p ＝4，q ＝3[答案] A[解析] 分别将2＋a i ，b ＋i 代入方程得：⎩⎪⎨⎪⎧(2＋a i )2＋p (2＋a i )＋q ＝0①(b ＋i )2＋p (b ＋i )＋q ＝0② 对①②整理由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q －a 2＋4＝0，(p ＋4)a ＝0，pb ＋q ＋b 2－1＝0，p ＋2b ＝0.解得p ＝－4，q ＝5.本题也可以用“韦达定理”求解： 2＋a i ＋b ＋i ＝－p ③，(2＋a i)(b ＋i)＝q ④ 由复数相等的条件对③④整理得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝－p ，a ＋1＝0，2b －a ＝q ，ab ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，p ＝－4，q ＝5.故选A.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝导学号 10510876( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12，∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是导学号 10510877( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 10510878( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x [答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为导学号 10510879( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i [答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ， 故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2017的值为导学号 10510880( )A.20162017B.20152016C.20132014 D ．20142015[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2017＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12016－12017)＝1－12017＝20162017.7．(2016·潍坊高二检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是导学号 10510881( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为导学号 10510882( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 9．函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为导学号 10510883( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2015·山东理，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝导学号 10510884( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i[答案] A [解析] 因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i ， ∴z ＝1－i.故选A.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为导学号 10510885( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[答案] B[解析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为导学号 10510886( ) A ．(－∞，－1]和[0,1] B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) [答案] A[解析] y ′＝4x 3－4x ， 令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________.导学号 10510887[答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n－S n )．14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________.导学号 10510888 [答案] (－∞，－53)和(1，＋∞)[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5， 令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.导学号 10510889[答案] 1[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.16．已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且a 1＋a 2＝1，则1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.导学号 10510890[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·文昌中学高二检测)设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .导学号 10510891[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，①由(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，得3a －4b ＝0②联立①②解得⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35，或⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35.∴z ＝－45－35i 或z ＝45＋35i.18．(本题满分12分)已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列.导学号 10510892[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．19．(本题满分12分)设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率.导学号 10510893[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立． 设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0， 解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3， 当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5，当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .导学号 10510894 [证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .导学号 10510895(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n<13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加．(2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)． 所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(本题满分12分)(2015·福建文，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.导学号 10510896(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有f ′(x )＝1－x 2x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意． 当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x .由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。
2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2推理与证明 章末检测试卷(二)---精校解析Word版
A．大前提错误B．小前提错误
C．结论正确D．推理形式错误
考点“三段论”及其应用
B．若rn＝sntn，则{rn}是等比数列
C．若rn＝sn－tn，则{rn}是等比数列
D．以上说法均不正确
考点类比推理的应用
题点等差数列与等比数列之间的类比
答案B
解析在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘．故由“{an}，{bn}是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn}是等差数列”，类比推理可得：“设{sn}，{tn}是等比数列，若rn＝sntn，则{rn}是等比数列”．故选B.
解析当n＝k时，等式的左端为1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式的左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b5>b7＋b8
考点类比推理的应用
题点等差数列与等比数列之间的类比
答案A
5．已知 ＋ ＝2， ＋ ＝2， ＋ ＝2， ＋ ＝2，…，依照以上各式的规律可得()
A. ＋ ＝2
B. ＋ ＝2
C. ＋ ＝2
D. ＋ ＝2
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数对(组)中的应用
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．
A．4个B．3个C．2个D．1个
考点类比推理的应用
题点平面几何与立体几何之间的类比
2018-2019学年高二数学选修2-2模块综合检测
阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.2．函数y ＝11－cos x的导数是________．3．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )ex ＞2的解集为________．7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.8．函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率是________．9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.10．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.11．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：____________________________________.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC ＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n(2n －1)2·(2n ＋1)2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图像相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x 有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a 的大小，并说明理由．答 案1．解析：2－2i 1＋i ＝2(1－i )2(1＋i )(1－i )＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．解析：y ′＝1′(1－cos x )－1·(1－cos x )′(1－cos x )2＝－sin x(1－cos x )2.答案：y ′＝－sin x(1－cos x )23．解析：∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，1e 4．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了(2k ＋1)·2(k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)6．解析：令g (x )＝f (x )e x ，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ＞0，∴g (x )为增函数．由f (x )e x ＞2得f (x )e x ＞f (0)e0，所以g (x )＞g (0)，∴x ＞0. 答案：(0，＋∞)7．解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.答案：1－i 或－1＋i11．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t t t －1s＝112．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0，即2p ＋q ＝3. ① 因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.②由①②，得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.答案：42713．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1(1－x 2)d x 22＝834＝23. 答案：2315．解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a－4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i. 16．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18，∴f (x )1,3]上的最大值是18，最小值是－8.17.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .当a >1时，列表：比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.当a <－1时，列表：得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.18．解：推测S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，S k＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[(2k ＋1)2－1](2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋3)2－1(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．20．解：(1)f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x .则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34x 2＜0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a b －a ＝ln bab －a ，要比较ln b ab －a 与2a ＋b 的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较lnb a 与2(b －a )a ＋b 的大小．∵ln b a －2(b －a )b ＋a ＝ln ba －2⎝⎛⎭⎫b a －1b a ＋1，构造函数φ(x )＝ln x －2(x －1)x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x －4(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴当x ＞1时，φ(x )＞0，即ln x －2(x －1)x ＋1＞0.则有ln b a ＞2(b －a )b ＋a 成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b 成立．即得f (b )－f (a )b －a ＞2a ＋b .∴f (b )－f (a )2＞b －a b ＋a.。
高中数学人教A版选修2-2模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若复数＝＋的实部与虚部相等，则实数＝( )．－．．－．【解析】＝＋的虚部为，故＝，选.【答案】．已知复数＝，则·在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】∵＝＝，∴＝＋，∴·＝－＋.【答案】．观察：＋<，＋<，＋<，…，对于任意的正实数，，使＋<成立的一个条件可以是( )．＋＝．＋＝．＝．＝【解析】由归纳推理可知＋＝.故选.【答案】．已知函数()的导函数为′()，且满足()＝′()＋，则′()＝( ) 【导学号：】．－．－．．【解析】∵()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝－.【答案】．由①＝＋是一次函数；②＝＋的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )．②①③．③②①．①②③．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，＝＋是一次函数(小前提)，＝＋的图象是一条直线(结论)．【答案】．已知函数＝()的导函数＝′()的图象如图所示，则( )图．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查′()的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么()在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么()在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么()在这个点处不是极值．由此可见，是函数()的极大值点，是极小值点，，不是极值点．【答案】．曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )．．【解析】∵′()＝，∴曲线在点(，)处的切线的斜率为＝′()＝，切线方程为－＝(－)，即－－＝，切线与轴和轴的交点坐标分别为()，(，－)，则切线与坐标轴围成的△的面积为××＝.【答案】．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是( )。
2018-2019版高中数学 模块综合试卷 新人教A版选修2-2
模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点共轭复数的定义与应用题点共轭复数与点的对应答案 D解析∵z＝2i1＋i ＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．2．曲线y＝sin x＋e x(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为( )A．2 B．3C.13D.12考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的斜率答案 A解析∵y′＝cos x＋e x，∴k＝y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，故选A.3．观察下列等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n(n∈N*)个等式应为( ) A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析注意观察每一个等式与n的关系，易知选项B正确．4．ʃ2π0|sin x |dx 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D解析 ʃ2π0|sin x |dx ＝ʃπ0sin xdx ＋ʃ2ππ(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.5．已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C解析 由题意知，O 为正四面体的外接球和内切球的球心．设正四面体的高为h ，由等体积法可求得内切球的半径为14h ，外接球的半径为34h ，所以AOOM ＝3.6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．1考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由f ′(x )＝3－12x 2＝3(1＋2x )(1－2x )＝0，解得x ＝±12，∵－12∉[0,1](舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0,1]上的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1. 又f (0)＝0，f (1)＝－1，∴函数最大值为1.7．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)考点 导数与曲线的切线问题 题点 切线存在性问题 答案 A解析 易知f ′(x )＝2ax ＋1x(x >0)．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线， 则2ax ＋1x＝0存在大于0的实数根，即a ＝－12x2<0.8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( ) A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题 答案 D解析 设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x＝240＋72⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)． 当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0. 故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( )A ．(－1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2,1)考点 利用导数研究函数的单调性 题点 已知函数值大小求未知数 答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，∴不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )即xf ′(x )＋f (x )<0，∵F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，即当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0，函数F (x )为减函数．∵f (x )是奇函数，∴F (x )＝xf (x )为偶函数，且当x >0时，为增函数，即不等式F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，∴|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3，得－1<x <2，故选A.11．若由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S ，则S 等于( )A.73B.83 C ．3 D.103考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5，所以所求面积为图中阴影部分的面积．所以S ＝ʃ10(x 2＋1)d x ＋ʃ31(3－x )d x ＝13＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－92－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝103. 12．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x－2)， 显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )<0， 在x ＝1附近的右侧f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 14．已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋a d x ＝________.考点 利用微积分基本定理求定积分 考点 利用微积分基本定理求定积分 答案 2－3ln 3 解析 由1－3x ＋a<0，得－a <x <3－a ，又不等式1－3x ＋a<0的解集为(－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1，3－a ＝2，解得a ＝1，∴ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋a d x ＝ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋1d x ＝[x －3ln(x ＋1)]|20＝2－3ln 3.15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数 答案 [－3，3]解析 依题意可知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案1191解析 设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限． (1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，求实数m 的值． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a <0， 所以a ＝－1，b ＝1，所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ， 所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ， 所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(12分)已知a >5，求证：a －5－a －3<a －2－a . 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题证明 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －3＋a －2， 即证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2， 即证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，即证0<6，显然0<6成立，所以a －5－a －3<a －2－a .19．(12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1(0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝π或x ＝32π.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如表：所以f (x )的单调增区间为(0，π)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π，32π. f (x )极大值＝f (π)＝π＋2， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝3π2.20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n >0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， 所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式问题 (1)解 由奇函数的定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3.因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数， 且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2，f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2.∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4. 22．(12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x .(1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 (1)证明 f ′(x )＝e x＋4x －3，∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x＋4x －3，则h ′(x )＝e x＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)解 由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x－12x 2－1x .令g (x )＝e x－12x 2－1x，则g ′(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x－1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
模块综合测评 人教A版数学选修2-2 全册测评
模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：5i2－i＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i(2＋i)5＝－1＋2i，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a<3b成立C.3a＝3b或3a<3b成立D.3a＝3b且3a<3b成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B. 答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，由f ′(x )＝0得x＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出 解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ，若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B. 答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C . 答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83 D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D . 答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B .答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019.答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫ππ－x 2d x ＝π24. 解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫ππ－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5， 所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ， ∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a .(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x，设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下：x (－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)－0＋0－g(x)递减有极小值－4递增有极大值0递减∴g(x)的大致图象如下：要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有两个零点，只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同的交点，∴实数a的值为－4或0.19．(12分)(1)当a>2时，求证：a＋2＋a－2<2a；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)由题意得(a＋2＋a－2)2＝2a＋2a＋2·a－2，∵a－2>0，a＋2>0，且a＋2≠a－2，∴要证a＋2＋a－2<2a，即证2a＋2a＋2·a－2<4a，即证a＋2·a－2<a，即证a2－4<a2，即证－4<0，而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ， 则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值． 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 解析：(1)f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点， 所以2－a 2＝0，所以a ＝4. (2)因为f ′(x )＝x －a x，f (x )的定义域为x >0， 所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x， 令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ， 则g ′(x )＝2x 2－x －1x， 因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0. 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式． 解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85， 猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， 所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1， 所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证． 所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)， 所以a n ＝2n (n ＋1).。
(人教版)高中数学选修2-2检测模块综合检测A Word版含答案
模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．复数＝(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：∵＝＝＝＝－，∴复数对应的点的坐标为，在第四象限．答案：．函数()＝＋＋的图象在＝处的切线在轴上的截距为( )．．．－．－解析：′()＝＋，′()＝，()＝，－＝(－)，＝时，＝－.答案：．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．．①②③．①③．①．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：．函数＝－－(－<<)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：′＝－－＝，得＝－，＝，当<－时，′>；当>－时，′<.当＝－时，极大值＝，取不到，无极小值．答案：．函数＝＋的单调递增区间是( )．(，＋∞) ．(－∞，)．．(，＋∞)解析：令′＝－＝>，即(－)(＋＋)>，且≠，得>.答案：．下列计算错误的是( )．＝．))＝．＝．＝解析：由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋>(∈＋)时，在验证＝时，左边的代数式为( ) ．＋＋．＋．．解析：当＝时，不等式左边为＋＋＝＋＋.答案：．函数＝－在(－∞，＋∞)上的减区间是[－]，则( )．＝．＝．＝．≤解析：∈[－]，′＝－≤，且′＝±＝，∴＝，＝.答案：．若，∈，则＋是( )．纯虚数．实数．虚数．不能确定解析：设＝＋，＝＋(，，，∈)，则＋＝(＋)(－)＋(－)(＋)＝(＋)∈.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( ) ．±．．－．解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，所以＝.答案：．函数()的定义域为，(－)＝，对任意∈，′()>，则()>＋的解集为( ) ．(－) ．(－，＋∞)．(－∞，－) ．(－∞，＋∞)解析：设()＝()－(＋)，。
2019秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：模块综合检测 Word版含解析.docx
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a<0,-1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析∵-1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D3若复数2a+2i1+i(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析2a+2i1+i =(2a+2i)(1-i)2=(a+1)+(1-a)i,由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于() A.-4 B.-1C.3D.-2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,a-b=-2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2√解析由m>n,m>p可能有m-n<m-p,例如2-1<2-(-1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lg m,lg n不一定为正数,所以lg m+lg n≥2√不一定成立,故选项D不正确.答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取2的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2 016到2 018,箭头的方向依次为()A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由得从2 016到2 018的方向为选项A中所示.答案A9给出以下命题:(1)若∫baf(x)d x>0,则f(x)>0;(2)∫2π|sin x|d x=4;(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则∫a0f(x)d x=∫a+TTf(x)d x.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0解析(1)错误.如∫2-1x d x=12x2|-12=32>0,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.∫2π0|sin x|d x=∫πsin x d x+∫2ππ(-sin x)d x=4.(3)正确.∫a 0f(x)d x=F(x)|a=F(a)-F(0),∫a+T T f(x)d x=F(x)|Ta+T=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时() A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是( ) A.①③B.②④C.②③D.①④解析②中|z|2∈R ,而z 2不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用b 2-4ac 来确定根的个数.答案D12如图,设T 是直线x=-1,x=2,y=0以及过x=-1,x=2与y=x 2交点的直线围成的直角梯形区域,S 是T 内函数y=x 2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T 中随机投一点,则该点落入S 中的概率为( ) A.15B.25C.13D.12解析解方程组{y =x 2,x =-1,得曲线y=x 2与直线x=-1交点的纵坐标y 1=1;解方程组{y =x 2,x =2,得曲线y=x 2与直线x=2交点的纵坐标y 2=4.所以直角梯形区域T 的面积为1+42×[2-(-1)]=152.又因为阴影部分S 的面积为∫ 2-1x 2d x=13x 3|-12=3,所以向T 中随机投一点, 则该点落入S 中的概率为3152=25.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a 的值为 . 答案-214已知函数f (x )={ax 2+bx +c (x ≥-1),f (-x -2)(x <-1),在其图象上点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+1,则f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 . 解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f (1)=3, 所以a+b+c=3.对函数f (x )=ax 2+bx+c 求导得f'(x )=2ax+b ,则f'(1)=2a+b=2.由已知得f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数f (x )=f (-x-2)求导得f'(x )=-f'(-x-2), 所以f'(-3)=-f'(3-2)=-2,所以f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3. 答案y=-2x-315设等边三角形ABC 的边长为a ,P 是△ABC 内的任意一点,且P 到三边AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有d 1+d 2+d 3为定值√32a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD 的棱长均为a ,P 是四面体ABCD 内的任意一点,且点P 到平面ABC ,平面ABD ,平面ACD ,平面BCD 的距离分别为d 1,d 2,d 3,d 4,则有d 1+d 2+d 3+d 4为定值 .解析在等边三角形ABC 中,d 1+d 2+d 3=√32a 为△ABC 的高,类比四面体中,d 1+d 2+d 3+d 4也应为四面体的高√63a. 答案√63a16若偶函数f (x )在x ∈(0,+∞)时满足f'(x )>f (x )x ,且f (1)=0,则不等式f (x )x ≥0的解集是 . 解析设g (x )=f (x )x (x>0),则g'(x )=f '(x )·x -f (x )x 2>0, 所以g (x )在(0,+∞)内是增函数. 当x>0时,由f (x )x ≥0=f (1)1,得x ≥1;当x<0时,-x>0,f (x )x ≥0⇔f (x )-x ≤0⇔f (-x )-x ≤0⇔-x ≤1,所以-1≤x<0. 答案[-1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)若复数z 1满足z 1=i(2-z 1)(i 为虚数单位). (1)求z 1; (2)求|z 1|;(3)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.分析先由已知条件求出复数z 1,再利用复数模的定义及其几何意义求解. 解(1)由z 1=i(2-z 1),得z 1=2i1+i =1+i .(2)|z 1|=|z 1|=√2.(3)|z-z 1|表示复数z 与z 1分别对应的点Z 与Z 1间的距离,Z 在圆x 2+y 2=1上,Z 1(1,1),显然Z ,Z 1间的最大距离为√2+1,即|z-z 1|的最大值为√2+1.18(12分)设两抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求M 的面积. 分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解. 解解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).函数y=-x 2+2x 与y=x 2在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形M 的面积为∫ 10(-x 2+2x-x 2)d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-23x 3+x 2)|01=13. 所以M 的面积为13.19(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等.若1a ,1b ,1c 成等差数列,比较√ba 与√cb 的大小,并证明你的结论. 解大小关系为√ba <√cb ,证明如下:要证√ba <√cb ,只需证ba <cb , 因为a ,b ,c>0,所以只需证b 2<ac. 因为1a ,1b ,1c成等差数列,所以2b =1a +1c ≥2√1ac .所以b 2≤ac.又a ,b ,c 任意两边均不相等,所以b 2<ac 成立. 故所得大小关系正确.20(12分)设△ABC 的两个内角A ,B 所对的边分别为a ,b ,复数z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,若复数z 1·z 2为纯虚数,试判断△ABC 的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解. 解△ABC 为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,所以z 1·z 2=(a cos A-b cos B )+i(a cos B+b cos A ). 又z 1·z 2为纯虚数,所以{acosA =bcosB ,acosB +bcosA ≠0,①②由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B , 即sin 2A=sin 2B. 因为A ,B 为△ABC 的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π. 所以2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2.也就是A=B 或C=π2. 由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A ≠0, 即sin(A+B )≠0.因为A ,B 是△ABC 的内角,所以0<A+B<π. 所以sin(A+B )≠0成立. 综上所述,知A=B 或C=π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 21(12分)已知函数f (x )=e x (ax 2+a+1)(a ∈R ). (1)若a=-1,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )≥2e 2对任意x ∈[-2,-1]恒成立,求实数a 的取值范围. 解(1)当a=-1时,f (x )=-x 2e x ,f (1)=-e .f'(x )=-2x e x -x 2e x .因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f (x )在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e . (2)由题意得,f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e2, 解得a ≥15.f'(x )=e x (ax 2+2ax+a+1)=e x [a (x+1)2+1]. 因为a ≥15,所以f'(x )>0恒成立, 所以f (x )在[-2,-1]上单调递增. 要使f (x )≥2e 2恒成立,则f (-2)=e -2(4a+a+1)≥2e 2,即a ≥15. 故实数a 的取值范围是[15,+∞).22(14分)设函数f (x )=(x-1)3-ax-b ,x ∈R ,其中a ,b ∈R .(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )存在极值点x 0,且f (x 1)=f (x 0),其中x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3; (3)设a>0,函数g (x )=|f (x )|,求证:g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14. (1)解由f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:①当a ≤0时,有f'(x )=3(x-1)2-a ≥0恒成立,所以f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x )=0,解得x=1+√3a3,或x=1-√3a3. 当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的单调递减区间为(1-√3a3,1+√3a3),单调递增区间为(-∞,1-√3a3),(1+√3a3,+∞).(2)证明因为f (x )存在极值点,所以由(1)知a>0,且x 0≠1.由题意,得f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2=a3,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=-2a x 0-a -b.又f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b=8a (1-x 0)+2ax 0-3a-b=-2a x 0-a -b=f (x 0),且3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0),且x 1≠x 0,因此x 1=3-2x 0.所以x 1+2x 0=3.(3)证明设g (x )在区间[0,2]上的最大值为M ,max{x ,y }表示x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a ≥3时,1-√3a3≤0<2≤1+√3a3,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此M=max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b )|,|a-1-(a+b )|}={a -1+(a +b ),a +b ≥0,a -1-(a +b ),a +b <0.所以M=a-1+|a+b|≥2.②当34≤a<3时,1-2√3a 3≤0<1-√3a 3<1+√3a 3<2≤1+2√3a3,由(1)和(2)知f (0)≥f (1-2√3a3)=f (1+√3a3),f (2)≤f (1+2√3a3)=f (1-√3a3),所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (1+√3a 3),f (1-√3a3)],因此 M=max {|f (1+√3a3)|,|f (1-√3a3)|} =max {|-2a9√3a -a -b|,|2a9√3a -a -b|} =max {|2a9√3a +(a +b )|,|2a9√3a -(a +b )|} =2a 9√3a +|a+b|≥29×34×√3×34=14.③当0<a<34时,0<1-2√3a 3<1+2√3a3<2, 由(1)和(2)知f (0)<f (1-2√3a 3)=f (1+√3a 3),f (2)>f (1+2√3a 3)=f (1-√3a3), 所以f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (0),f (2)],因此M=max{|f (0)|,|f (2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b )|,|1-a-(a+b )|} =1-a+|a+b|>14.综上所述,当a>0时,g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于14.。
2018_2019版高中数学模块综合测评新人教A版选修
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若a>b>c,则的值()A.大于0B.小于0C.小于或等于0D.大于或等于0解析因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.所以,所以>0,故选A.答案A2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.答案C3.若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是()A.P≤3B.P<3C.P≥3D.P>3解析因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,所以=3,即P<3.答案B4.不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为()A. B.C. D.解析由已知2∉M,可得2∈∁R M,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.答案B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时等号成立.答案C6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a的取值范围是()A.a<-1或a>3B.a<0或a>3C.-1<a<3D.-1≤a≤3解析|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,则它的最小值为2.∵原不等式的解集为⌀,∴a2-2a-1<2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.故选C.答案C7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A. B.C. D.6解析由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2×=62×.答案C8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n∈N+时,f(n)能被m(m∈N+)整除,猜想m的最大值为()A.9B.18C.27D.36解析当n=1时,f(1)=(2×1+9)·31+1+9=108.当n=2时,f(2)=(2×2+9)·32+1+9=360.故猜想m的最大值为36.(1)当n=1时,猜想成立.(2)当n=k(k≥1)时猜想成立,即f(k)=(2k+9)·3k+1+9能被36整除.当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+9]·3k+2+9=(2k+9+2)·3·3k+1+9=3[(2k+9)·3k+1+9]+6·3k+1-18=3[(2k+9)·3k+1+9]+18(3k-1).∵(2k+9)·3k+1+9,18(3k-1)均能被36整除,∴猜想成立.综上,m的最大值为36.答案D9.(2017 山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为()A.4B.6C.8D.9解析=(a-1,1),=(-b-1,2),∵A,B,C三点共线,∴2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得2a+b=1.又a>0,b>0,则=(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当b=2a=时,等号成立.故选C.答案C10.用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<”,假设正确的是()A.B是锐角B.B不是锐角C.B是直角D.B是钝角答案B11.实数a i(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为()A.3B.2C. D.1解析因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1+(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,所以[(a6+a5)-(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2.答案B12.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k=()A. B.C.3D.9解析因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,当且仅当=k时,等号成立,则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90,得k2(x2+y2+z2)=90,于是k=3.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为.解析2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7(当且仅当(x-a)2=1时,等号成立), 则a≥,即实数a的最小值为.答案14.不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是.解析不等式a≥|x-4|+|x-3|有解⇔a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.答案a≥115.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9当且仅当,即x=-1,y=-4,z=2时,等号成立.答案916.导学号26394074对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立,则实数x的取值范围是.解析依题意只需不等式的左边的最小值≥|a||x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解2|a|≥|a||x-1|即可,解得-1≤x≤3.答案[-1,3]三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.18.(本小题满分12分)已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.解(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵其解集为[0,4],∴解得m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.(方法二:利用柯西不等式)∵(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2=(a+b)2=9,∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.(方法三:消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a.∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为.19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:>n!(n>1,n∈N+).(n!=n×(n-1)×…×2×1)证明(1)当n=2时,>2!=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即>k!.当n=k+1时,=+…+(k+1)·=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对n>1的一切自然数,不等式成立.20.(本小题满分12分)已知x+y>0,且xy≠0.(1)求证:x3+y3≥x2y+y2x;(2)如果恒成立,试求实数m的取值范围.(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)2≥0,所以x3+y3-(x2y+y2x)≥0,故x3+y3≥x2y+y2x.(2)解①若xy<0,则等价于.又因为=-3,即<-3,因此m>-6.②若xy>0,则等价于.因为=1,即≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故m≤2.综上所述,实数m的取值范围是(-6,2].21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)≥2;(2)当x∈R,0<y<1时,求证:|x+2|-|x-2|≤.(1)解由已知可得,f(x)=故f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|≤|(x+2)-(x-2)|=4.∵0<y<1,∴0<1-y<1.∴[y+(1-y)]=2+≥4,当且仅当,即y=时,等号成立.∴|x+2|-|x-2|≤.22.(本小题满分12分)已知a,b,c为非零实数,且a2+b2+c2+1-m=0,+1-2m=0.(1)求证:;(2)求实数m的取值范围.(1)证明由柯西不等式得(a2+b2+c2)≥,即(a2+b2+c2)≥36.∴.(2)解由已知得a2+b2+c2=m-1,=2m-1,∴(m-1)(2m-1)≥36,即2m2-3m-35≥0,解得m≤-或m≥5.又a2+b2+c2=m-1>0,=2m-1>0,∴m≥5,即实数m的取值范围是[5,+∞).。
高中数学人教A版选修2-2模块综合检测(二) Word版含解析
模块综合检测(二)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(辽宁高考)设复数满足(－)(－)＝，则＝( )．－．＋．－．＋解析：选＝＋＝＋＝＋＋＝＋.．已知＝，＝，＝，…，类比这些等式，若＝(，均为正实数)，则＋＝( )．．．．解析：选观察下列等式＝，＝，＝，…，第个应该是＝(＋) ，则第个等式中：＝，＝－＝，＋＝.．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )．①②．①③．②①．②③解析：选解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选.．设函数()＝＋的导函数′()＝＋，则(－)的值等于( )解析：选由于()＝＋的导函数′()＝＋，所以()＝＋，于是(－)＝(－)＝＝.．在数列{}中，＝，且＝(－)，通过求，，，猜想的表达式为( )解析：选由＝，＝(－)求得＝＝，＝＝，＝＝.猜想＝.．已知函数()＝＋的图象在点(，())处的切线的斜率为，则函数()＝＋的最大值是( )．．解析：选∵′()＝＋，∴′()＝＋＝，∴＝.∴()＝＋＝≤.．＝＋，＝·(、、、、、均为正数)，则、的大小为( )．≥．≤．不确定．>解析：选＝≥＝＋＝.．在，上，函数()＝＋＋与()＝＋在同一点处取得相同的最小值，那么()在，上的最大值是( )．．解析：选因为()＝＋，且∈，，则()≥，当且仅当＝时，()＝.又′()＝＋，∴′()＝，即＋＝，得＝－，∴()＝－＋.又()＝()＝，∴－＋＝，∴＝.∴()＝－＋＝(－)＋，∈，.∴()＝()＝.．若函数＝－＋在()内有极小值没有极大值，则实数的取值范围是( )．() ．(－∞，)．(，＋∞)解析：选′()＝－，∵()在()内有极小值没有极大值，∴(\\(′((<′((>))⇒(\\(－<，－>.))即<<.．设()＝－－，若()在其定义域内为单调增函数，则的取值范围是( )．(－∞，]．[，＋∞)．(－∞，－]．[－，＋∞)解析：选由′()＝＋－＝，令()＝－＋，要使()在其定义域(，＋∞)上单调递增，只需()在(，＋∞)内满足()≥恒成立．由()≥得－＋≥，即≥＝在∈(，＋∞)上恒成立，∵>，∴＋≥.∴≤.∴≥.二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．设＝＋，＝＋，则，的大小关系为．解析：＝＋，＝＋两式的两边分别平方，可得＝＋，＝＋，显然，<.∴<.答案：<．复数＝(其中为虚数单位)的虚部是．解析：化简得＝＝＝＋，则虚部为.。