第三章课后习题答案

7..设二维随机变量(X,Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由 轴， 轴以及直线 所围成的三角形区域，则(X,Y)的关于X的边缘概率密度为( )B
(A) (B)
(C) (D)
8.设平面区域G是由 轴， 轴以及直线 所围成的三角形区域，二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布，则 ( ) A
(A) (B)
(3) .
Y
-1/2
1
3
pi
1/2
1/4
1/4
X
-2
-1
0
1/2
pi
1/4
1/3
1/12
1/3
解
(1) (X,Y)的联合概率分布律
X
Y
-2
-1
0
1/2
Pi.
-1/2
1
3
1/8
1/16
1/16
1/6
1/12
1/12
1/24
1/48
1/48
1/6
1/12
1/12
1/2
1/4
1/4
p.j
1/4
1/3
1/12
1/3
1
(2) = .
(3) =
=3/4.
12.某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55~8:00，而火车这段时间开出的时间Y的概率密度为：
求此人能及时上火车的概率。
解X的密度函数为
由题意知，随机变量X与Y相互独立，于是，此人能及时赶上火车的概率为
= 。
13.某电子仪器由两部分构成，其寿命(单位：103 )X与Y的联合分布函数为
解：由题意知 ，于是 ，由联合，边缘分布律的关系，得下表：
X2
X1
0
1
Pi.
-1
1/4
0
1/4
0
0
1/2
1/2
1
1/4
0
1/4
p.j
1/2
1/2
1
6.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求 。
解：
=
=
7.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求:(1)随机变量X的概率密度函数 ；
(2)
(3)条件密度函数 ；
。
7.设随机变量
Xi
-1
0
1
p
1/4
1/2
1/4
i=1,2,且满足 ，则 。
0
8.如图3.14所示，平面区域D由曲线 及直线 所围成，二维随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度在 处的值为。
9.设X,Y为两个随机变量，且 ， ，则
=。
10.设随机变量X与Y相互独立， ，且 ，则
。
二、选择题
1.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布， =
则下列各式中成立的是( )A
(A) , (B)
(C) (D)
2.设随机变量X与Y独立，且 ，
，令
要使X与Z独立，则 的值为( )C
(A) (B) (C) (D)
3.设随机变量X与Y相互独立，且 ， ，则( )B
(A) (B)
(C) (D)
4.已知
X
0
1
Y
0
1
p
1/2
1/2
p
1/4
3/4
且 ，则 ( )C
(4)概率 ；
(5)概率 。
解:(1)
(2)
= ;
(3)当 时， ；
(4) ;
(5) .
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求条件概率密度 .
解 ，
当 时，
。
9.已知随机变量Y的概率密度为 ，在给定 的条件下，随机变量X的条件概率密度为
求概率 。
解
。
10.设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布。Y的概率密度为
解X的密度函数和分布函数分别为
Y的密度函数和分布函数分别为
因为X,Y相互独立，于是 的分布函数为
U的密度函数为
的分布函数为
V的密度函数为
19.设(X,Y)的概率密度为
求 的概率密度。
解 的分布函数为 ，当 时，显然 ，当 时，有
=
求导得Z的概率密度函数
解(1) = .
(2) Z的分布函数为
①当 时， 。
求：(1)X和Y的联合概率密度;(2)设关于 的二次方程为 ,试求方程有实根的概率。
解：(1)X的概率密度为
Y的概率密度为
且知X,Y相互独立，
于是(X，Y)的联合密度为
(2)由于 有实跟根，从而判别式
即： 记
11.设X和Y相互独立，其概率分布如表所示，求：
(1) (X,Y)的联合概率分布；
(2) ;
X
Y
1
2
3
Pi.
1
0
1/6
1/12
1/4
2
1/6
1/6
1/6
1/2
3
1/12
1/6
0
1/4
p.j
1/4
1/2
1/4
1
4.设随机变量X与Y相互独立，X在区间(0,2)上服从均匀分布，Y服从参数为 的指数分布，则概率 。
5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 ，则 =
。
6.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间(0,3)上对的均匀分布，则 =
习题3
一、填空题
1.若二维随机变量(X,Y)在区域 上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为
。
2.设随机变量X与Y相互独立，具有相同的分布律
X
0
1
pk
0.4
0.6
则 的分布律为。
0
1
pk
0.16
0.84
3.设二维随机变量(X,Y)的概率分布见下表，则(1)关于X的边缘分布律为；(2)关于Y的边缘分布律为。
(A) (B) (C) (D)
5.已知(X,Y)在区域 上服从均匀分布，则概率 ( )C
(A)随 的增大而增大(B)随 的增大而减小
(C)与 无关是个定值(D)随 的变化增减不定
6.设随机变量X和Y的联合分布函数为 ，而 和 相应为X和Y的分布函数，则对任意 ，概 =( )B(A) (B)
(C) (D)
15.设随机变量X与Y相互独立，且都等可能的去1,2,3为值，求随机变量 和 的联合分布。
解随机变量U,V的可能的取值是1,2,3.
由题意知， ，即 ，
于是，U,V的联合分布律为
U
V
1
2
3
1
2
3
1/9
0
0
2/9
1/9
0
2/9
2/9
1/9
16.设(X,Y)的概率密度为
(1)问X与Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度。
②当 时， 。
③当 时， =
+ +
=
1)当 时，
2)当 时，
3)当 时，
于是，综上所述，
故，Z的概率密度为
解Z的分布函数为
①当 时， 。
②当 时，
=
③当 时， 。
故Z的分布函数为
Z的概率密度为
。
问(1)X与Y是否独立？(2)两部件的寿命都超过100h的概率。
解(1)关于X的边缘分布函数为
关于Y的边缘分布函数为
因为， ，均有 ，所以X和Y独立。
(2)因为X和Y独立，
14.设(X,Y)的联合概率密度为
试判断X和Y是否相互独立。
解X的边际密度函数为
Y的边际密度函数为
因为， ，故X与Y不相互独立。
分析：利用P{(X, Y)∈G}= 再化为累次积分，其中
解：（1）∵ ，∴
（2）
（3）
（4）
4.设(X,Y)在曲线 所围成的区域G内服从均匀分布，求：(1)
(2) .
解：(1)区域G的面积为：
于是： 。
(2) =
5.已知随机变量 和 的概率分布为：
0
1
P
1/2
1/2
-1
0
1
P
1/4
1/2
1/4
而且 ，求 和 的联合分布律。
2.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：
Y
X
1
2
3
4
1
1/4
0
0
1/16
2
1/16
1/4
0
1/4
3
0
1/16
1/16
0
求：(1) ;(2) .
解：(1) = + + =1/4.
(2) = + +
+ =5/16.
3.设随机变量（X，Y）概率密度为
（1）确定常数k；（2）求P{X<1,Y<3}；
（3）求P(X<1.5}；（4）求P(X+Y≤4}。
解(1) ；
因为， ，故X与Y不相互独立。
(2)因为 ，而
于是
。
17.设随机变量X与Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。
解X的密度函数为
Y的密度函数为
因为X与Y相互独立，于是
同时
随机变量Z=X+Y的概率密度
18.已知X,Y相互独立，若X与Y分别服从(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求 和 的概率密度。
(C) (D)
三、解答题
1.将两封信任意地投入3个空邮筒中，以X、Y分别表示放入第1、2号邮筒中信的数目，求:(1) 的分布律，(2)第3号邮筒中至少有一封信的概率.