函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性

精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 高 一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性教学目的1.理解函数的概念；理解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），了解映射的概念．2.理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．3.理解和熟记函数的单调性和最值的定义；4.掌握求解函数的值域和最值的基本方法，并能解决与函数值域和最值有关的问题．5.理解和熟记函数的奇偶性和周期的定义；6.掌握判定函数的奇偶性和周期性的基本方法，并能解决与函数奇偶性和周期性有关的问题．教学内容教材回归◎基础重现：1．函数的概念：设A ，B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈．其中 叫做函数()y f x =的定义域；将所有 叫做函数的值域．2．函数的相等函数的定义含有三个要素： 、 和 ．当函数的定义域及对应法则确定后，函数的值域也随之确定．因此，定义域和对应法则是函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的 和 都分别对应相同时，两个函数才是同一个函数．3．映射的定义设A 、B 两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有 的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →．4．函数的表示法（1）解析法： ； （2）列表法： ； （3）图象法： ． 5．函数的定义域：（1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式 x 的取值范围．（2）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的 ．6．函数的值域：当函数的自变量取遍定义域中 所有值时叫做函数的值域． 求函数值域主要有以下一些方法：（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接 求得值域，有时也称为 ；（2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题常用 求值域；（3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用 求值域； （4）单调函数常根据函数的 求得值域；（5）很多函数可拆配成基本不等式的形状，利用 求值域； （6）对于一些较复杂的函数,可运用 求值域. 7．函数单调性的定义：（1）一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）；（2）如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有单调性，这一区间叫做f （x ）的 ；如函数是增函数则称区间为 ，如函数为减函数则称区间为 ．8．对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意自变量x ，都有0()()f x f x ≤（0()()f x f x ≥），则0()f x 叫做函数在此区间上的最 值．9．奇、偶函数的定义：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有 （或 ），则称f （x ）为奇函数；对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有 （或），则称f （x ）为偶函数．10．周期函数的定义：f(x)是定义在R 上的函数，如果存在非零常数T ，使得对任意的x 都有 ，则称f （x ）是R 上的周期函数，T 称为f （x ）的一个周期．如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是 ．11．奇、偶函数的性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 对称）；（2）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． 思维升华：1．函数()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为 ．2．我们知道：若f(x)定义域为[a ，b]，复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a ，b]，则f(x)定义域相当于x ∈[a ，b]时g(x)的值域；那么，（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________．2．你对函数xax y +=的单调性质熟悉吗？试着说说看! 基础自测1．设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N 的函数关系的是 ．(填序号)．2．若(21)12,()f x x f x +=-=则 ．3．（2010·东海期末）函数212log (25)y x x =-+的值域是_________．4．函数221x y x =+的定义域是 ，值域是 ．5．（2010·北京卷改编）给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是6．(2010·江苏省百校联考)若函数f (x )=x 2+ax ，x ∈[1，3]是单调函数，则实数a 的取值范围是___ __7．（2010·江苏高考题）设函数()()()xxf x x e ae x R -=+∈是偶函数，则实数a =____．8．( 2010·南京市高三第一次调研)定义在R 上的奇函数()f x ，当x ∈（0，+∞）时，2()log f x x =，则不等式()1f x <-的解集是 ．经典例题例1 根据下列条件求各函数的解析式：（1）已知函数2,0()21,(),1,0x x f x x g x x ⎧≥=-=⎨-<⎩求(())f g x 的解析式； （2）已知21(1)f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ；（4）已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ；变式训练： (1)已知3311()1f x x x x -=-+，求()f x ．(2)二次函数()y f x =对任意x R ∈，有2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式．例2求下列函数的定义域： （1）21)|lg(|)(x x x x f --=； （2）02)32(2)3(log -++-=x x x y ；（3）函数1()lg1x f x x +=-，求1()()()2x g x f f x=+的定义域．求下列函数的值域：（1）211x y x -=+；（2）232,[1,3]y x x x =-+∈；（3）21x y x x =-+；（4）2211()212x x y x x -+=>-； （5）1y x x =--；(6) ()2ln 20f x x x x =-+>，．变式练习：（2010·湖北文数）函数0.51log (43)y x =-的定义域为 ．函数单调性的判定和证明例3. 试判断函数2()f x x x=+在[2,)+∞上的单调性．变式训练：设函数f （x ）＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求f （x ）的单调区间，并证明f （x ）在其单调区间上的单调性．例4 讨论下述函数的奇偶性： ①31()f x x x=+； ②22()2112f x x x =-+-； ③4()f x x x =+； ④222(0)()0(0)2(0)x x f x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩．变式训练1：函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f 的是 函数（填“奇”或“偶”）变式训练2： 证明：函数11()()212xf x x a =++-（其中a 为常数）为偶函数．典型错误警示：定义域与值域：1．在利用判别式法解决有参数函数的定义域为R 的问题中，易忽视对2x 的系数是否为0进行讨论，如“当0k =时，2433kx kx ++=，也满足题意．”2．对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，就会造成求解错误，如已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域，常见错解有：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤∴(1)f x +的定义域是[1，2]；其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了，由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤，10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]．3．求函数值域时，错误地理解为区间两端点的函数值就是函数的最值而导致错误，如求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域．常错解为：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+= ，[1,5)x ∈，()f x ∴值域是[)311，．正确解法为：配方得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，． 单调性1．概念不清，导致判断错误．例如判断函数1()3xy -=的单调性．常见错解：1101,()33x y -<<∴= 是减函数；这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化．当然这个函数可化为3xy =，从而可判断出其在定义域上是增函数．2．忽视了函数的定义域，导致了解题的错误．例如求函数y=245x x --的单调增区间．常见错解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-；在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而出错．正确解法为y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--奇偶性与周期性：1．忽视函数的定义域关于原点对称．是函数具备奇偶性的必要条件而出错．如判断函数1()(1)1xf x x x-=++的奇偶性．常见错解：∵1()(1)1x f x x x-=++＝221(1)11x x x x -+=-+∴22()1()1()f x x x f x -=--=-=，∴1()(1)1x f x x x -=++是偶函数，而正确的解法：1()(1)1xf x x x-=++有意义时必须满足10111xx x-≥⇒-<≤+，即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．2．忽视函数解析式自身的化简而出现奇偶性错误判定．如判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性．常见错解：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ∴)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数；而正确解法可以是：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x )1(log 22++-x x＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数课后练习：1.已知2211()11x x f x x--=++，则()f x 的解析式为 ． 2.（2010·山东文数）函数()()2log 31xf x =+的值域为3.（2010·东海中学期末）已知3(9)()(4)(9)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f 的值为 ．4.（2010重庆文数）函数164xy =-的值域是 ． 5. 求函数f(x)=21)|lg(|xx x --的定义域．6.（2010·如东市期中）若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7.已知f(x)=ax x-(x ≠a)． （1）若a=-2，试证f(x)在（-∞，-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f(x)在（1，+∞）内单调递减，求a 的取值范围． 8.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a= ．9.函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)，若f (a )=2，则f (-a )的值为 ．10.（2010山东卷5改）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0,()22xx f x x b ≥=++时(b 为常数)，则(1)f -＝ ． 11.（2010·天津卷文）设函数f (x )=x-1x，对任意[1,),()()0x f mx mf x ∈+∞+<恒成立，则实数m 的取值范围是________。