关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
定义域是指函数能够接受的数值范围。
换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。
要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。
首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。
内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。
2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。
因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。
4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。
确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。
具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。
2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。
3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。
4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。
需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。
举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。
首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。
由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。
复合函数求解知识点总结
复合函数求解知识点总结1. 复合函数的定义在数学中，如果有两个函数f和g，那么它们的复合函数用f(g(x))表示，即先对x进行g函数操作，然后再对结果进行f函数操作。
复合函数的定义可以用以下公式表示：(f ∘ g)(x) = f(g(x))2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域对于复合函数(f ∘ g)(x)，它的定义域是g(x)的定义域中同时满足f(g(x))有意义的所有x。
（2）复合函数的值域如果f和g的值域分别为A和B，那么复合函数(f ∘ g)(x)的值域是A中所有能表示成f(g(x))的值。
3. 复合函数的求解方法（1）直接代入法直接代入法是最简单的复合函数求解方法，即将内函数的值代入外函数中进行计算。
例如，对于函数f(x)和g(x)，要求解f(g(x))时，先计算g(x)得到结果y，再将结果y代入函数f(x)中进行计算。
（2）分步求解法分步求解法是一种比较常用的复合函数求解方法。
假设要求解f(g(x))，可以将其分成两步：首先求出g(x)的值，然后再求出f(g(x))的值。
这样一步一步的分解问题，使得整个过程更加清晰和容易掌握。
（3）图像法有时候可以通过画出函数的图像来求解复合函数。
首先画出内函数g(x)的图像，然后再根据g(x)的图像来画出f(g(x))的图像，这样可以直观地看到函数的变化和求解的结果。
4. 复合函数的常见问题（1）求复合函数的导数在实际问题中，常常会遇到需要求复合函数的导数的情况。
可以利用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的公式可以表示为：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)（2）求复合函数的极限当需要求解复合函数的极限时，可以利用极限的性质和复合函数的性质来进行求解。
通常可以通过分母有理化或分子分母同时除以某个函数的方法来进行极限的求解。
（3）应用问题在实际问题中，常常会遇到需要利用复合函数进行求解的情况。
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案(总15页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。
二，对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。
（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。
（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
(完整版)关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法若)(u f y =,又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。
一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤<x 。
故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围,因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。
二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-,求函数()x f 的定义域解 21≤≤-x ， 5231≤-≤-∴x ,故函数()x f 的定义域为[]5,1-【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ,有的同学会误将此x 的范围当作()x f 的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ,即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为()x f 的定义域。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数是由两个或多个函数组成的一个新函数。
在定义复合函数的时候，需要确定合成函数的定义域以保证合成函数的存在和可行性。
一、基本定义域的合成考虑两个函数f和g，其中g的定义域包含f的值域，即对于任意x属于f的定义域，存在一个数y，使得f(x)=y且y属于g的定义域。
例如，考虑f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为[-1,1]。
显然，f的值域为非负实数集R+，并且R+在g的定义域[-1,1]内。
因此，f和g的合成函数h(x) = g(f(x))的定义域为实数集R。
二、交集的合成当两个函数的定义域没有包含关系时，可以考虑它们的交集作为合成函数的定义域。
也就是说，要找到两个函数的共同定义域，才能进行合成。
例如，考虑f(x)=√(4-x^2)和g(x)=1/x，其中f的定义域为[-2,2]，g的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)。
显然f和g的共同定义域为(0,2]U[-2,0]，即f和g的交集为[-2,2]。
因此，f和g的合成函数h(x)=g(f(x))的定义域为[-2,2]。
三、条件限制的合成有时候，函数之间的合成有些条件限制。
在这种情况下，复合函数的定义域需要根据这些条件来确定。
例如，考虑f(x)=x+2和g(x)=√x，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为非负实数集[0,+∞)。
但是，根据g的定义域的条件，对于g(f(x))来说，只有f(x)>=0时，g(f(x))才有定义。
因此，f(x)>=0，即x>=-2、所以，复合函数g(f(x))的定义域为[-2,+∞)。
综上所述，复合函数的定义域有三种形式的解法：基本定义域的合成、交集的合成和条件限制的合成。
具体的解法需要根据函数的定义域和值域来确定，以确保复合函数的存在和可行性。
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关于复合函数定义域的求解方法
若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。
一、已知的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中b x g a <<)(的解的范围，即为的定义域。
例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤<x 。
故的定义域为[)(]1,02,3 -- 【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。
二、已知复合函数的定义域，求的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2 若函数的定义域为[]2,1-，求函数的定义域
解 ， 5231≤-≤-∴x ，
故函数的定义域为[]5,1-
【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ，有的同学会误将此x 的范围
x )(x f )(x f ()b a x ,∈)]([x g f x )]([x g f )2(2
x x f +)2(2
x x f +()][x g f )(x f ()x f 23-()x f 21≤≤-x ()x f
当作的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ，即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为的定义域。
三、已知复合函数的定义域，求的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得的定义域，再由的定义域求得()][x h f 的定义域。
例3 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x
即得定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x
故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1
四、已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数定义域为是],[b a ，且0>+b a
求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域
解 ⎩
⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤m b x m a m b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-
要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20a b m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+
【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。
()x f ()x f ()][x g f ()][x h f ()x f ()x f ()x f ()x f。