关于复合函数定义域的求解方法

关于复合函数定义域的求解方法

若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。

一、已知的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中b x g a <<)(的解的范围，即为的定义域。

例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤

二、已知复合函数的定义域，求的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

例2 若函数的定义域为[]2,1-，求函数的定义域

解 ， 5231≤-≤-∴x ，

故函数的定义域为[]5,1-

【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ，有的同学会误将此x 的范围

x )(x f )(x f ()b a x ,∈)]([x g f x )]([x g f )2(2

x x f +)2(2

x x f +()][x g f )(x f ()x f 23-()x f 21≤≤-x ()x f

当作的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ，即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为的定义域。

三、已知复合函数的定义域，求的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得的定义域，再由的定义域求得()][x h f 的定义域。

例3 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。

解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x

即得定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x

故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1

四、已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4 已知函数定义域为是],[b a ，且0>+b a

求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域

解 ⎩

⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤m b x m a m b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-

要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20a b m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+

【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。 ()x f ()x f ()][x g f ()][x h f ()x f ()x f ()x f ()x f