复合函数的定义域-函数表达式的求法

复合函数的定义域-函数表达式的求法
个性化教学辅导教案
教案课题函数的单调性
教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版A
学习目标1.掌握用定义法求函数的单调性
2.掌握函数最值的求法
重难点重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义.
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值.
课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议：
第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法
&
一.复合函数的定义域
1.复合函数的定义：
一般地：若)(u f y=，又)(x g u=，则函数)]([x g f y=叫x的复合函
数，其中)(u f
y=叫外层函数，)(x g
u=叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: 2
()35,()1
f x x
g x x
=+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x
换成()g x ， 2
2(())3()53(1)538
f g x g x x
x =+=++=+
2.复合函数的定义域
函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围.
① 已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

② 已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域
③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类
解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

④ 已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1： 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域. 解：由题意得
∵)(x f 的定义域为](3,5- 3325x ∴-<-≤
137
x -<≤
1733
x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤
-
⎥
⎝
⎦
. 巩固练习： 已知)(x f 的定义域为]30(，
，求)
2(2
x x f +定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
⎩⎨
⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023
20
2320222
x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x 故)
2(2
x x f +的定义域为[)(]1,02,3⋃--
例2：若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得
∵ 函数()x f 23-的定义域为[]2,1- ∴5231≤-≤-x 所以函数()f x 的定义域为：[]5,1-
巩固练习：已知)
1(2
-x
f 的定义域为]
3,3[-
，求)(x f 的定义域.
例3：已知)1(+x f 的定义域为)32[，
-，求()2-x f 的定义域. 解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1
巩固练习：已知)2(+x f 的定义域为]2,1[，求)12(+x f 的定义域.
二．求函数的解析式
求函数的解析式的常用方法有：
(1) 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系
数法.
例1： 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)(
)
0(≠a ，则
b
ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴⎩⎨
⎧=+=3
42b ab a ∴⎩
⎨⎧⎩
⎨⎧=-===3
2
12b a b a 或 3
2)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
巩固练习：已知)(x f 是二次函数，且满足x x f x f f 2)()1(,1)0(=-+=，求
)
(x f .
(2) 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，
[()]
f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要
注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是
()
g x 的值域.
例2: 已知2
2
1
)1(x x
x
x f +
=+
)
0(>x ，求 ()
f x 的解析式
解：∵2
)
1
()1(2
-+=+x
x x x f ，
21≥+
x
x
2)(2-=∴x x f )2(≥x
巩固练习：
1. 已知11)1(33
-+
=+x
x x
x f ，求)(x f 的解析式.
2. 已知2
1)1(x
x x f -=，求)(x f 的解析式.
(3) 换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x
x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
解：令1
+=
x t ，则1≥t ，2
)1(-=t x
∵x
x x f 2)1(
+=+
∴,
1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1
)(2-=∴x x f
)
1(≥x
巩固练习：已知2
52)1(2
++=+x x x f ，求)(x f 的解析式.
(4) 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4 设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f 解: ∵x x
f x f =-)1
(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x
1，得： x
x f x f 1
)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：
x x x f 323
)(--=
巩固练习：已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f .
(5)
赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，
往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x,y ，等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f .
解 ∵对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y
y y y y f y f 再令
x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f。