复合函数定义域的求法 课件
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
复合函数的定义域PPT教学课件
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，
夹
tanθ k2 - k1
1 k1k2
角公式是
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率
都
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0
（3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 d Ax0 By0 C A2 B2
的距离为：
（4）.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0
的距离为：
d
C1 C2
A2 B2
注意：
1、两直线的位置关系判断时，要注意斜率不存在
的情况
2、注意“到角”与“夹角”的区分。
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:
若函数y f (x)的定义域是[1,1), 求f (2x 1)的定义域
例2. 已知函数 g(x) f (3 2x)的定义域为[1,2] ，
则函数 f (x) 的定义域为_____
归纳:已知 f [g(x)]的定义域，求 f (x)的定义域
例4: 已知函数 f (x)的定义域为[0，1]，a是常数，且
0 a 1，求函数F(x) f (x a) f (x a) 的定义域。
2
归纳:运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域， 其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
复合函数的定义域
复合函数：
形如y=f[g(x)]，是由y=f(X),X=g(x) 两个函数叠合到一起的函数，叫做函 数f和g的复合函数。
如f(x+2)
g(x)=x+2
复合函数的定义域
题型一：已知函数y=f(x)的定义域,求 它的复合函数f[g(x)]的定义域.
如：已知f(x)的定义域为[1,4],求f(x+2) 的定义域。
如：已知f(x+3)的定义域是[-4,4],求 f(x)的定义域.
解：∵f(x+3)的定义域为[-4,4] ∴在f(x+3)中，-4≤x≤4 ∴-1≤x+3≤7
即对应关系f下，括号内的范围为[-1,7]
∴在f(x)中，-1≤x≤7
∴f(x)的定义域为[-1,7]。
结论2:
(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求 原函数f(x)的定义域 在x∈[a,b]下,求出g(x)的值域，即得f(x)的定义 域.
结论1:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域，
a≤g(x)≤b解出x即得.
题型二：已知复合函数y=f[g(x)]的定 义域,求原函数y=f(x)的定义域. 如：已知f(x+3)的定义域是[-4,4],求 f(x)的定义域.
同一对应关系f下，括号内的范围是一样的。
复合函数的定义域
回忆函数的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应，那么就称f: A→B为从集合A到 集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A
函数的三要素 定义域、对应关系、值域 f(x+2)，f(2x-1)
复合函数
归纳总结:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合 函数f[g(x)]的定义域 由不等式a≤g(x)≤b解出x即得. (2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],求
高一数学必修1_复合函数定义域的求法_1.ppt
1, 2 (2, )
探究学习： 已知函数的解析式，若未加特殊说 明，则定义域是使解析式有意义的自 变量的取值范围。一般有以下几种情况(初等函数) ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ●对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。 ●由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
其解法是：若f [g(x)]的定义域为m x n ，则由
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（ ）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
其解法是：若f (x)的定义域为 a x b ，则 f [g(x)] 中
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
解：由题意知: 0 x2 2
2 x 2
故 : f x2 的定义域是 [ 2, 2 ]
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
布置作业：
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
D.[0, 5 ] 2
归纳:已知f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)]的定义域
其解法是：可先由 f [g(x)] 的定义域求得 f (x) 的定义域，再由 f (x)定义域求得f [h(x)]的定义域。
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
复合函数求定义域的方法
复合函数求定义域的方法
定义域是指可以被设置的一个有穷的、具有唯一的解的数集。
在复合函数中，定义域就是由最底层（最外层）函数的定义域所决定的（这里称为最外层函数），也就是说，除了最外层函数的定义域外，其他嵌套函数的定义域无关紧要。
一般来说，可以把复合函数的定义域求解分为以下几步：
1.首先,确定最外层函数的定义域。
即，根据函数定义，找出最外层函数能接受的实数范围，来确定最外层函数的定义域。
要注意，最外层函数的定义域可以是完全的实数范围，也可以是已知的：例如定义域是[0,1]，[-3,2]等。
3.最后,计算出复合函数的定义域。
根据上面的步骤，由最外层函数的定义域和嵌套函数的定义域，确定复合函数的定义域。
显然，复合函数的定义域是按照最外层函数和嵌套函数定义域的交集确定的。
因此，当求解一个复合函数的定义域时，需要明确最外层函数的定义域，并在此定义域范围内，确定嵌套函数的定义域，从而求得复合函数的定义域。
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? ?3 ? 2 ? 5x ? 9
? ?7 ? x?1 5
? f ?2 ? 5 x ?的定义域是 [? 7 ,1)
5
练习：
已知 函数 f ?2x ? 1?的定义域是[0, 2],
求f (13? x)的定义域
答案：x
?
????
4 3
,0???
练习：若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则
当a?来自0时? ???
?
a? 0 a2 ? 4a ?1 ?
? 0
0? a? 4
综上知:实数a 的取值范围为 0 ? a ? 4
2
2
练习:(若f x)的定义域是?0, 2?, 求f (x2)的定义域
解：由题意知:
0 ? x2 ? 2
? ? 2? x? 2
故 : f ?x 2 ?的定义域
[? 2 , 2 ]
练习：(2019·呼伦贝尔高一检测)已知函数f(x)的定义
域是［0,2］，则函数g(x)=f(x+ 1 )+f(x- 1 ) 的定义域
复合函数定义域的求法
3/12/2019
一.复合函数求定义域的几种题型 题型(一):已知f (x)的定义域, 求f [ g(x)]的定义域 例1.若( f x)的定义域是[0, 2], 求f (2x ? 1)的定义域
解:
由题意知 :
0 ? 2x ? 1? 2
? 1 ? x? 3
2
2
故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是 { x 1 ? x ? 3 }
?
kx ? 7 kx2 ? 4kx ?
的定义域是一切实数 3
解:
由 y ? k x? 7 的定义域为一切实数 k x2 ? 4k x? 3
, 可知
分母 k x2 ? 4k x? 3 ? 0对 x ? R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K ? 0时 : ? ? 0, 解得 : 0 ? k ? 3
综上 (1), (2)知,当0 ? k ? 3 时
4
4
y
?
k
k x? 7 x2 ? 4 k x?
的定义域是一切实 3
练习: 若函数 y ? ax 2 ? ax ? 1 的定义域是 R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ? ax2 ? ax ? 1? 0恒成立
当 a ? 0 时,显然适合题意.
? ?3 ? 2x ? 1? 9
? f ( x)的定义域为 ?? 3, 9?
例、已知f (2x2 ? 1)的定义域是 ??1, 2?,
求f ()x 定义域。
答案：??3,9 ?
拓展：
已 知 f ( 2 x ? 1)的 定 义 域 ?? 1, 5,?
求 f ( 2 ? 5)x 的 定 义 域
解： 由题意知: ? 1 ? x ? 5
2
2
是( )
A.［0,2］
C.［1 , 5 ］ 22
B. ［- 1 , 3 ］ 22
D. ［1 ,3 ］
22
题型(二):已知f ????g ?x? 的定义域, 求f (x)的定义域
例2 :已知f ?2 x ? 1?的定义域(? 1, 5], 求f ( x)的定义域
解： 由题意知 :
?1? x ? 5
函数g(x）＝f ?2x?的定义域是( )
x－1
A.［0,1］
B. ［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］
D.(0,1)
【解析】选B. 因为f(x) 的定义域为［0,2 ］，所以对于函数
g(x) 满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈［ 0,1).
题型三： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围
例3 :当k为何值时,函数y