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精品文档第一章集合1一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。

2元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A （或a A ）（举例）3常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q4任何一个集合是它本身的子集5真子集的概念：若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：A B （或B A ） 6空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅ 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 7集合基本运算的一些结论：A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩A A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A （C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=∅ 若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B： A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ 第二章函数§1.2.2函数的表示法1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B∈为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

1.3.1函数的单调性1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．§1.3.2函数的奇偶性1．偶函数（even function）（偶函数的图象关于y轴对称）；一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2．奇函数（odd function）（奇函数的图象关于原点对称）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .§1.3.1函数的最大（小）值（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；§2.1.1指数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念x n ，那么x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N*．一般地，如果a当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示．式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）．当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n 次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－n a表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±n a（a>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn．分数指数幂正数的分数指数幂的意义 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．§2.1.2指数函数及其性质（一）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．2 ．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？课题：§2.2.1对数1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作：N x a log =a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a na =log ．：§2.2.2对数函数（一）（一）对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ）其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数 指数 对数 （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =NMa log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论 （1）b mnb a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． 函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．○2。