必修1高一数学笔记完整版
高一数学必修一上知识点归纳笔记
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高一数学必修一知识点归纳笔记
高一数学必修一知识点归纳笔记高一上册:第一章集合与简易逻辑；第二章函数；第三章数列；函数这一章一定要学好，它包含函数的概念，图像，性质以及一些基本函数，如二次函数，指数函数，对数函数，幂函数等。
1、集合的含义及其表示集合的含义：一般的，我们把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫集合。
u通常用大写拉丁字母a,bc，表示集合，用小写拉丁字母a,b,c……表示集合中的元素。
子集与元素的关系：如果a就是子集a的元素，则a属子集a，记作a∈a，如果a不是子集a的元素，则a不属于a，记作a∈a子集的则表示方法列出法：将子集的元素一一列举出，用花掉括号“{}：内加出来则表示子集的方法。
描述法：用集合的共同特征来表示集合的方法，集合的性质（常用来判断是否是集合）：确定性，互异性，无序性。
2、子集间的基本关系涵盖关系：通常地，对于两个子集a,b如果子集a中任一一个元素都就是子集b中的元素，我们就说道这两个子集存有涵盖关系，表示子集a为子集b的子集，记作ab，读成a镰形b或者就是b涵盖a，常用veen图则表示子集的涵盖关系。
3、集合的基本运算并集：由所有属子集a或者就是属子集b的元素共同组成的子集，称作子集a与b的补集，记作aub，即aub={xx∈a或x∈b}。
交集：一般地，由属于集合a并且属于集合b的所有元素组成的集合，称为a与b的交集，记作a∩b即a∩b={xx∈a且x∈b}。
1.函数的奇偶性（1）若f（x）是偶函数，那么fx）=f（x）（2）若f（x）就是奇函数，0在其定义域内，则f（）=0（可以用作谋参数）（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f（x）±f（-x）=0或（f（x）≠0）（4）若所给函数的解析式较为繁杂，应先化简，再推论其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。
2、无机函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为a,b其复合函数fg（x）的定义域由不等式a≤g（×）≤b解出即可。
数学必修1笔记
2.用二分法求方程解的近似值
☆：映射是原象集中无剩余元素且象为一的对应.
4.映射的分类：
①满射：象集B中无剩余元素的映射（A，B均无剩余）
②单射：一对一的映射（B中可以有剩余）
☆既满足单射又满足满射的映射叫一一映射。
课题：函数的单调性（增减性）
增函数：在某区间D 定义域，任取x1,x2 D,且x1＜x2， f（x1）＜f（x2）
课题：函数与方程
一．方程的根与函数的零点
1.方程f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
☆： 当且仅当（又叫作充要条件）
2.零点：函数值（y）等于0的点，图像与x轴的交点
3.一般的，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a），f（b）＜0，那么，函数y=f（x），在区间（a，b）内有零点，即存在c（ ），使得
③ n=nlogaM（ （正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数）
④loga = logaM
课题：对数函数
1.定义：形如y=logax的函数，其中定义域（0，+∞），值域为R
2.图像
a＞1：
均过（1，0）点
增函数
X大于0
y
2.3幂函数
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数（α
4.集合相等的定义：两个集合的元素完全相等
1.1.2集合间的基本关系
1.子集：A中任何的一个元素都在B中，A为B的子集，记作：
2.子集的性质：① ②传递性（例 )③空集是任何集合的子集（例 )④空集是一切非空集合的真子集
必修一数学笔记
必修一数学笔记一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
- 常用的数集：- 自然数集：N={0,1,2,3,·s}（注意：在有些教材中，自然数集不包含0）。
- 正整数集：N^ *={1,2,3,·s}或N_+。
- 整数集：Z ={·s,- 2,-1,0,1,2,·s}。
- 有理数集：Q=所有整数与分数组成的集合。
- 实数集：R，包含有理数和无理数。
2. 集合的表示方法。
- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如{1,2,3}。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
例如{xx > 0,x∈R}，表示大于0的所有实数组成的集合。
3. 集合间的基本关系。
- 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。
- 真子集：如果A⊆ B，且存在元素x∈ B，但x∉ A，那么集合A称为集合B 的真子集，记作A⊂neqq B。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 空集varnothing是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
4. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}。
- 补集：设U是一个全集，A⊆ U，则∁_U A={xx∈ U且x∉ A}。
二、函数。
1. 函数的概念。
- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈ A}叫做函数的值域。
2. 函数的表示法。
- 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y = 2x+1。
新高一数学必修一知识点手写笔记
新高一数学必修一知识点手写笔记一、函数及其应用1. 函数的概念- 定义：函数是一种特殊的关系，对于给定的输入值，都有唯一的输出值与之对应。
- 表示方法：常用的表示方法有解析式、图像和数据表等。
- 符号表示：函数通常用字母f、g或h等表示，函数的自变量通常用x表示。
2. 函数的性质- 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的值的集合，值域是所有可能输出的值的集合。
- 奇偶性：若对于定义域上的任意x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域上的任意x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
3. 常见函数的图像和性质- 一次函数：y = kx + b，表示为一次函数方程，k为斜率，b 为截距。
对应的图像是一条直线。
- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a≠0。
对应的图像是抛物线，开口方向由a的正负决定。
- 指数函数：y = a^x (a>0, a≠1)，对应的图像是一条逐渐逼近x轴但不与x轴相交的曲线。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念- 定义：数列是按照一定的顺序排列的一串数。
- 通项公式：数列中第n个数的表达式称为数列的通项公式。
2. 等差数列与等比数列- 等差数列：数列中任意两个相邻的数之差为常数d，称为等差数列的公差。
- 等比数列：数列中任意两个相邻的数之比为常数q，称为等比数列的公比。
3. 数学归纳法- 定义：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，包括基本步骤和归纳假设两个部分。
- 基本步骤：证明当n为某个特定的自然数时命题成立。
- 归纳假设：假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。
三、平面向量1. 向量的概念- 定义：向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
- 向量的表示：向量通常用字母加箭头或小写字母加箭头表示，表示方式为AB或者a→。
2. 向量的运算- 加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，它的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
高中数学必修一知识点总结(学习笔记)
数学笔记必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定．的．．、不．同．的．对象的全．体．构成一个集合二、表示：1.列举法：A={a 、b}2.描述法：{ x|p （x）}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法：（数轴、Venn 图）三、特点：确定性、互异性、无序性四、常用数集N 自然数集N 、N 正整数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集五、元素与集合的关系a M 、 a M （两者必居其一）六、集合相等两个集合所含元素完全相同 A B七、集合的分类1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含有任何元素的集合第二节：子集、全集、补集一）子集、定义（文字）A中的任一元素都属于 B（符号） A B （或 B A）二）真子集、定义（文字） A B，且 B 中至少有一元素不属于 A（符号）A B（或 B A）图形）注意空集是任何非．空．集．合．的真子集A（A为非空子集）（三）补集一、定义（文字）设 A U ，由U中不属于 A 的所有元素组成的集合称为U 的子集 A 的补集（符号）e U A={ x|x U ,且x A}第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合 A 且．属于集合 B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集图形）二）并集、定义（文字）由所有属于集合 A 或．者．属于集合 B 的元素构成的集合称为 A 与 B 的交集（符号） {x| x A,或．x B}图形）1（三）区间设 a , b 是两个实数，且 a b ，规定闭区间 a x b [a,b] ；开区间 a x b （ a,b）；半开半闭区间（左闭右开） a x b [ a,b）（左开右闭） a x b （a,b] x a, x a, x b, x b[a, ）,（a, ）,（ ,b],（ ,b）．对于集合{x|a x b}与区间（a,b），前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1. f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．2.f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5. y tanx中，x k (k Z) ．26.零(负)指数幂的底数不能为零．7.若 f ( x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x)的定义域为[ a, b ] ，其复合函数f[g(x)] 的定义域应由不等式 a g(x) b 解出．9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．10.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．五、求函数值域(最值) ：1.观察法：初等坐标函数2.配方法：二次函数类3. 判别式法：二次函数类b2( y) 4a(y) c(y) 04.不等式法：基本不等式5.换元法：变量代换、三角代换6.数形结合法：函数图象、几何方法7.函数的单调性法．8.分离常数法: 反比例类六、函数的表示方法：解析法列表法图象法（不是所有函数都有图像）七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1.配凑（换元）法2.待定系数法: 已知函数模型3.方程组法: 互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质（一）、单调性一、定义如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＜．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是增．函．数．．y=f(X)f(x1 )x2x1当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＞．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是减．函．数．．x 1 注意1. 不在区．间．内谈单调增或单调减都无意义2. 端点不计入区间3. 一般情况下单调区间不能并4. 单调区间≠区间单调二、证明1. 任取2. 作差3. 变形4. 定号5. 下结论三、证明1. 定义2. 初等坐标函数、已知函数3. 函数图象（某个区间图象）4. 复合函数：同増异减 （二）、最值 、定义1)一般地，设函数 y f (x)的定义域为 I ，如果存在实数 M x 2y=f(X满足：① 对于任意的x I ，都有 f ( x) M② 存在x0 I ，使得f(x0) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作f max (x) M ．(2) 一般地，设函数y f (x)的定义域为I ，如果存在实数满足：①对于任意的x I ，都有 f( x) m②存在x0 I ，使得 f (x0)m ．那么，我们称m是函数 f (x) 的最小值，记作f max(x) m ．注意: 开区间无最值二、题型定函数动区间动函数定区间注意: 抓住对称轴和区间的相对关系(二)、奇偶性、定义1)如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x，都有f．(．－．x．)．=．－．f．(x．) 那么函数f(x) 叫做奇．函．数．．2)如果对于函数f(x) 定义域内任意一个x，都有f．(．－．x．)．=．f．(．x)．那么函数f(x) 叫做偶．函．数．．二、证明1.定义域f(x) 的定．义．域．为——任意的x——2.f( －x)与f(x)3.下结论正确——严格证明错误——举出反例奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数两个反例1.分段函数要分段讨论2.0 可单独讨论3. 若函数 f ( x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f(0) 0三、应用1. 定义（一般到一般）2. 代“ 0”（特殊到一般）需检验四、奇偶性若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a ，-b ）上单调增若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a ，-b ）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、B是两个非．空．集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A中任．何．一．个．元素，在集合 B 中都有唯．一．的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作 f :A B B可用树状图考虑第三章：指数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数一)、根式 、定义当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当n 是偶数时， 正数a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示；0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．根指数被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a 0 ． 、性质：n an |a|a (a 0)(na)na ；当n 为奇数时， na na ；当n 为 a (a 0)偶数时，三、分数指数幂根式na1.a r a s a r s(a 0,r, s R)2.(a r)s a rs (a 0,r,s R)3.(ab)r a r b r (a 0,b 0,r R) (二)指数函数一、定义二、图像与性质三、图像移动及解析式变化平移变换y f (x)h h 00,右,移 |hh|个单位 y f (x h) y f(x) k k00,下,移| kk|个单位 y f (x) k伸缩变换y f ( x) 1,缩y f ( x ) y f(x) 0A A 11,伸,缩 y Af (x)对称变换去掉y 轴左边图象y f(x)保留y 轴右边图象，并作其关于 y 轴对称图象y f (| x|)保留x 轴上方图象y f (x)将x 轴下方图象翻折上去y | f (x) |四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3. 求解(解模)4. 还原(结论——答)y f ( x)x 轴y f (x) y f ( x)y 轴y f ( x)原点y f (x)原点yf直线 y x 直线 y x 1y f ( x)y f (x)1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节：对数函数一）对数 、定义如果 a （．a ．＞．0．，．a ．≠．1．）．的 b 次幂等于 N 即 a b=N 那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数 记作 log a N=b底数 真数．、互化对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： lnN ，即 log e N （其中 e 2.71828⋯）．四、运算1. 加法： log a M log a N log a （MN ）2. 减法： log aM log aN log aMN3. 数乘： n log a M log a M n(n R)4.alog aN N5. log a bM n nlog aM (b 0,n R) a bb a6. 换底公式： log aN logb N(b 0,且b 1) log b a(二)对数函数一、定义x x logx a N a N a aN x a x Nax x aN aN (x a a N a N a aaN xN N na a a x Na N、图像与性质三、题型1. 比较大小①利用单调性②利用图像（真数相同）③利用中间值2. 解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数、定义、图像与性质定义域：(0, ) 一定有定义过定点：(1,1) ．单调性：[0, ) 上0 ，过原点、(0, ) 上为增函数．a=0，常函数0，(0, )上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q(其中p,q互质，p和q Z )，若p为奇数q为奇数时，pq则y x p是奇函数，q若p 为奇数q 为偶数时，则y x p是偶函数，q若p 为偶数q 为奇数时，则y x p是非奇非偶函数．图象特征：幂函数y x , x (0, ) ，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x 下方，若x 1，其图象在直线y x 上方，当1时，若0 x 1，其图象在直线y x 上方，若x 1，其图象在直线y x 下方．第四节：函数的应用(一)、零点一、定义对于函数y f (x)(x D)，把使f(x) 0 成立的实数x叫做函数y f(x)(x D) 的零点二、意义函数y f(x)的零点方程 f (x) 0实数根函数y f (x) 的图象与x轴交点的横坐标1. 零点不是点2. 穿过零点，y 值变号y 值变号，穿过零点(图像．连．续．不．断．)三、求法1．(代数法)① 证单调区间② 零点定理1．(几何法) 交点(二)、零点定理一、定义设函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连．续．，且f(a) ×f(b)<0 ，那么在开区间( a,b )内至少有函数f(x) 的一个零点二、应用(二次函数的实根分布)已知二次函数 f （x） ax2 bx c （a> 0）设一元二次方程ax2 bx c 0（（a a0>）0）的两实根为x1,x2 ，① k< x1≤ x2>02af(k) > 0②x1≤x2<kf(k) >③x1<k<x2f(k) <0④k 1<x 1≤x 2<k 2>0f (k 1) > 0 f (k 2) > 0 k 1<x b<k 22a⑤k 1< x 1<k 2f (k1) > 0 f (k 2)<0y a 0 f (k 1) 0f (k 2 ) 0。
(完整版)新人教版高中数学课堂笔记必修一
第一章集合与函数概念第一节集合一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）V enn图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合(1)无限集含有无限个元素的集合(2)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{AxSxx∉∈且第二节函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一一、函数与三角函数1.1 函数的基本概念定义1.1.1：函数从一个集合A中的每一个元素a，都唯一地对应到另一个集合B中的一个元素f(a)，则称这样的对应f为一个函数。
定义1.1.2：自变量和因变量在函数f中，元素a称为自变量，元素f(a)称为因变量。
定义1.1.3：定义域和值域f的定义域是由自变量构成的集合A，f的值域是由因变量构成的集合B。
1.2 函数的表示方法1.2.1 显式表示法在一个函数的定义域内，用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1就是一个用显式表示法表示的函数。
1.2.2 隐式表示法在一个函数的定义域内，无法用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系，只能通过复杂的方程或者不等式来描述函数。
例如，方程x^2+y^2=1就是一个用隐式表示法表示的函数。
1.2.3 参数表示法在一个函数的定义域内，用一个参数表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=sin(x)就是一个用参数表示法表示的函数，其中sin是一个参数。
1.2.4 函数图像函数图像是函数在坐标系中的图形。
如果函数的定义域和值域都是实数集合，那么可以用二维笛卡尔坐标系来表示函数的图像。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1的图像是一条开口向上的抛物线。
1.3 三角函数1.3.1 弧度制弧度（radian）是表示角度大小的一种单位。
一弧度表示角度中圆心角对应的弧长等于半径的长度。
例如，一个半径为1的圆的周长是2π，那么一弧度对应的角度大小就是360°/2π≈57.3°。
1.3.2 三角函数的定义令在单位圆上顺时针旋转的角度为θ，则定义三角函数为：sinθ=纵坐标（y）cosθ=横坐标（x）tanθ=纵坐标（y）/横坐标（x）cotθ=横坐标（x）/纵坐标（y）secθ=1/cosθcscθ=1/sinθ1.3.3 三角函数的基本关系式sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθcotθ=1/tanθ1.3.4 三角函数的性质周期性：sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。
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高中数学必修一第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用第一章集合与函数概念§1.1集合一．集合1.定义：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性3.集合1=集合2：构成集合的元素完全一样4.元素与集合的关系：∈和∉（1）a属于集合A：a∈A（2）a不属于集合A：a∉A5.常用数集及其记法（1）N={全体非负整数}={全体自然数}={0，1，2，……}（2）N+/N* ={全体正整数}={1，2，3，……}（3）Z={全体整数}={…，-2，-1，0，1，2，…}（4）Q={全体有理数}（5）R={全体实数}6.集合的分类：有限集，无限集，空集（∅）7.集合的表示方法：列举法、描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，如{1，2，3，4}（2）描述法：把集合中对的元素的公共属性描述出来，如{x｜x-3>2，x∈N} 8.奇数集A={x｜x=2k+1，k∈Z}偶数集B={x｜x=2k，k∈Z}二．集合间的基本关系1.定义：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，若任意x∈A，都有x∈B，称A为B的子集。
记作：A含于B（A⊆B）,B包含于A（B⊇A）2.不包含：当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B3.注意：（1）A不包含于B，记作A⊈B（2）任意一个集合都是它本身的子集A⊆A（3）规定空集是任意集合的子集（4）若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C4.Venn图（韦恩图）5.集合相等：两个集合中全部元素相同A=B满足A⊆B，B⊆A，即A=B6.真子集：若集合A⊆B，存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集(propersubset)。
记作：A⫋B，读作：A真包含于B7.注意：（1）A⫋B且B⫋C，则A⫋C（2）∅是任意非空集合的真子集，任何一个集合是它本身的子集（3）{a，b}的子集有：{a}，{b}，{a，b}，∅8.空集：不含有任何元素的集合成为空集（empty set），记作：∅9.若A⫋B，则A⊆B且A≠B若A⊆B，则A=B或A⫋B10.区分：（1）∈（∉）是指集合与元素之间的关系（2）⊆（⫋）是表示集合与集合之间的关系（3）{0}与∅区别：{0}是含有一个元素的集合，而∅是不包含任何元素的集合，因此，∅⊆{0}，但不能写成∅∈{0}11.若一个集合含有n个元素，则(1)子集个数为2n个(2)非空真子集个数为（2n-2）个(3)非空子集个数为（2n-1）个三．集合间的基本运算1.并集：由所有属于集合A，或属于集合B的元素组成的集合，成为A与B的并集，记作A∪B。
读作：“A并B”。
即A∪B={x｜x∈A，或x∈B}（1）并集的性质：A∪A=A、A∪∅=A、A∪B=A则B⊆A（2）并集的性质：A⊆（A∪B）、B⊆（A∪B）、（A∩B）⊆（A∪B）2.交集：由属于集合A，且属于集合B的元素组成的集合，成为A与B的交集，记作A∩B。
读作：“A交B”。
即A∩B={x｜x∈A，且x∈B}（1）交集的性质：A∩B=A、A∩∅=∅、A∩B=A则A⊆B（2）交集的性质：A∩B⊆A、A∩B⊆B3.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Unlverse）,通常记作U。
4.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
记作：C U A。
即：C U A={x｜x∈U且x∉A}。
（1）补集的概念必须要有全集的限制（2）补集的性质：C U∅=U、C U U=∅、C U（C A）=A（3）补集的性质：A∩（C U A）=∅、A∪（C U A）=U§1.2函数及其表示一．函数的概念1.函数：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数（function）。
记作：y= f(x)，x∈A.2.自变量：其中，x叫做自变量3.定义域：x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)4.函数值：与x的值相对应的y值叫做函数值5.值域：函数值的集合{ f(x)｜x∈A}叫做函数的值域（range）6.注意：（1）“y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y= g(x)”（2）函数符号”y= f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数。
7.构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域8.区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示9.求值域：即y的取值范围（1）数形结合法例①：y=2x+1，{x｜-2≤x≤1}值域{y｜-3≤y≤3}例②：y=2x+1，{x｜-2≤x≤1，且x∈Z}值域{-3，-1，1，3}（画图结合定义域求值域）（2）观察法（3）配方法例①：y=x2+2x+3在[-4，-3]区间对的值域解：y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2∴对称轴为x=-1 ∴当x=-3时，y min==6X=-4时，y max=11，∴y=x2+2x+3在[-4，-3]的值域为[6,11] （4）换元法（y=ax+b±√cx+d）（5）分离常数法（y=cx+d）ax+b（6）反解x（反函数法）（7）辨别式法求值域10.求定义域：即当y= f(x)有意义时x的取值范围（定义域是一个集合）（1）f(x)是整式（单项式和多项式）定义域为R（2）f(x)的分母中含有字母，定义域为使得分母不为0的x值的集合（3）f(x)含偶次数方根，定义域是根号里的式子大于或等于0的x值的集合（4）对数函数，使其真数大于0的x的取值范围（5）由实际问题确定的函数，使其有意义的x的取值范围为其定义域11.区间的表示：（1）R=（-∞，+∞）（2）{x｜x≥a} = [a，+∞]（3）{x｜x≤a} = [-∞，a]（4）{x｜x >a} = （a，+∞）（5）{x｜x <a} = （-∞，a）（6）{x｜x≠a} = （-∞，a）∪（a，+∞）12.函数相等：f(x)=x2+2x和f(t)=t2+2t相等（1）满足条件：定义域、对应关系、值域相等13.函数的定义域与值域（1）y=kx+b（k≠0）定义域（-∞，+∞）值域（-∞，+∞）（2）y=ax2+bx+c（a≠0）定义域（-∞，+∞）值域a>0：[4ac−b 24a，+∞]，a<0：[-∞，4ac−b 24a]（3）y=kx（k≠0）定义域{x｜x≠0} 值域{y｜y≠0}二． 映射1. 映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中对的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（“一对一”和“多对一”） 2.三． 函数的表示法1. 函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法2. 表示函数y=｜x ｜。
①解析法：y= x ，x ≥0 分段函数 （必须注明函数的定义域） -x ，x ＜0 ②列表法：（选取的自变量要有代表性）③图像法： （是否连线）x3. 分段函数：也是一个函数4.求解析式：（1）代入法：例①：f(x)=2x+1 ，求f(x2+x)解：当f(x)=2x+1 中的x变换为x2+x 时，如下：f(x2+x)=2(x2+x)+1=2x2+2x+1（2）配凑法：（3）换元法：（4）待定系数法例①：f(x)为一次函数，且f [f(x)]=25x+12 ，求f(x)解：设f(x)=kx+b（k≠0）f [f(x)]= k f(x)+b = k(kx+b)+b =k2x+kb+b=25x+12∴k2=25 、kb+b=12∴k=5，b=2 或k=-5，b=-3∴f(x)=5x+2 或f(x)=-5x-3（5）方程组法（6）特殊值法例①：f(x)为二次函数，且f(0)=1，f(x+1)- f(x)=2x，求f(x) 解：设f(x)=ax2+bx+c（a≠0）由f(0)=1 ，得c=1令x=0 ，∴f(1)- f(0)=0 ，∴f(1)=1∴a+b+1=1 ①令x=-1，∴f(0)- f(-1)=-2，∴f(-1)=3∴a-b+1=3 ②由①、②得a=1，b=-1 ，∴f(x)=x2-x+1解：设f(x)= ax2+bx+c（a≠0）由f(0)=1 ，得c=1f(x+1)- f(x)= a(x+1)2+b(x+1)+c-（ax2+bx+c）=ax2+2ax+a+bx+b+c- ax2-bx-c=2ax+a+b∵f(x+1)- f(x)=2x ，∴2ax+a+b=2x∴a=1，b=-1 ，∴f(x)=x2-x+15.求一元二次不等式的解集ax2+bx+c≥0 （a≠0）f(x)= ax2+bx+c（a≠0）（称为三个二次）ax2+bx+c=0 （a≠0）§1.3函数的基本性质一．函数的单调性1.增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为Ⅰ，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）。
注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1＜x2总有f(x1)＜f(x2)2.减函数3.单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间4.判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1、x2∈D，且x1＜x2②作差f(x1)-f(x2)③变形（通常是因式分解和配方）④定号（判断差f(x1)-f(x2)的正负）⑤下结论5.常见函数的单调性①f(x)=x ：在定义域R上单调递增②f(x)=x2：在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增③f(x)=(x-1)2：在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞) 上单调递增（x≠0）：在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增④f(x)=1x6.常见变式②（x1−x2）·[ f(x1) - f(x2) ]①f(x1)−f(x2)x1−x27.最值：（1）最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1.对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；2.存在x0∈I，都有f(x0)=M。