人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)-含答案
2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ，0y ，则0xy"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ，则AB ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ，则b B ，那么命题p 是（）A ．若a A ，则b B B ．若a A ，则b B C ．若bB ，则aAD ．若bB ，则aA5．命题“ｐ且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②22a b ；③2aa b ，其中可以作为a b 的必要非充分条件的命题是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ”是“B ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量,3x xR a，则“4x”是“5a”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（）A ．,x y 锐角，sin sin s )n (i x y x y B ．,x y 锐角，sin cos c )s (o x y x y C ．,x y 锐角，cos sin c )s (o x y x y D ．,x y锐角，cos cos s )n (i xy xy10．以下判断正确的是（）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x Z ，32xx ”的否定是“x Z ，32xx ”C ．“=2”是“函数()sin y x为偶函数”的充要条件D ．“0b”是“关于x 的二次函数2f xaxbx c 是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．已知命题p ：函数log 05()3f x x ．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k<0，则函数()k h x x 在(0,)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ”且“q ”为假12．已知向量),(x y a ，co ()s ,sin b，其中x y R ，，，若4ab ，则2a b成立的一个必要不充分条件是（）A ．λ>3或λ＜－3B ．λ>1或λ＜－1C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令221:0p x ax x ，如果对xR ，p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21aa 的必要不充分条件________．16．给定下列结论：①已知命题p ：?x ∈R ，tanx ＝1；命题q ：?x ∈R ，210x x ．则命题“p q ”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋by ＋1＝0，则12l l 的充要条件是3a b；③若1sin 2，1sin3，则tan α＝5tan β；④圆224210xyx y与直线12yx ，所得弦长为2．其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：?非零向量a 、b 、c ，若0a b c，则bc ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210axax 恒成立；Q ：关于x的方程20xx a有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程22100ax x a有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a<－1．20．(12分)已知p：2290x x a，q：22430680x xx x，且p是q的充分条件，求实数a的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x ＋2)和Q(cosx，－1)，?x∈[0，π］，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠０，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x，0y，则0xy ”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy，则0x，0y ”，是假命题，所以否命题也是假命题，所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ．2．【答案】B 【解析】可设1,2A，1,2,3B，满足AB ，但A B ，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直?直线l 与平面α垂直，故选C ．4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ”．故选A ．5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题?p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题?p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ．6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断．7．【答案】B【解析】由于“A?B ，A /B ”等价于“A B ，A /B ”，故“A ”是“B ”的必要不充分条件．故选B ．8．【答案】A【解析】由“4x ”，得)3(4,a ，故5a；反之，由5a ，得4x ．所以“4x ”是“5a”的充分而不必要条件．故选A ．9．【答案】D 【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y ，而当,x y锐角时，0cos 1y ，sin 1x，所以cos cos cos sin sin cos s (in )xy x y x yxy ，故选项D 正确．10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为x Z ，320xx ；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确．11．【答案】 D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断．12．【答案】 B 【解析】由已知1b ，∴44a b，224xy．又∵22cos sinsin4sin 4x y xy a b ，由于2a b成立，则24，解得λ>2或λ＜－2，这是2a b 成立的充要条件，因此2a b成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ＜－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．14．【答案】1a【解析】由已知xR ，2210axx 恒成立．显然0a不合题意，所以0440aa?1a ．15．【答案】1a (不惟一)【解析】2()(0)21a a 的解集记为B ＝{1|a a且a ≠2}，所找的记为集合1Aa a ，则BA ，B /A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q 假，①正确；对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ：?非零向量a 、b 、c ，若0abc，使bc ．p 为真命题．否命题：?非零向量a 、b 、c ，若0a b c，则b c ．否命题为真命题．18．【答案】1,0,44．【解析】命题P ：对任意实数x 都有210axax恒成立，则“a ＝0”，或“a>0且240aa ”．解得0≤a<4．命题Q ：关于x 的方程20xx a 有实数根，则140a，得14a．因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故PQ 为真命题，或P Q 为真命题，则0414aa a或或0414a a，解得a<0或144a．所以实数a 的取值范围是1,0,44．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程22100axx a有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ，并且10a，从而a<0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a|a<0}的真子集，a<－1符合题意．所以结论得证．20．【答案】a ≤９．【解析】由2243068x x xx，得1324x x，即2<x<3．∴q ：2<x<3．设290|2Ax xx a ，B ＝{x|2<x<3}，∵p q ，∴q?p ．∴B?A ．∴2<x<3包含于集合A ，即2<x<3满足不等式2290xxa．∴2<x<3满足不等式292ax x ．∵当2<x<3时，222981819818192229,21616488xx xx x，即2819928x x，∴a ≤９．21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直，得cosx(2cosx ＋1)－(2cos2x ＋2)≠０，变形得：22cos cos 0xx ，所以cosx ≠０或1cos 2x．而当0,x时，cos 2，1cos32，故存在2x或3x，使向量OP OQ 成立，因而p 是假命题．22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴32332232111a bab a b a a a a aa323222133120aaaaaaa aa．充分性：∵33220abab ab，即22220a b a ab baab b，∴2210aab ba b ，又ab≠０，即a≠０且b≠０，∴22223024b ba ab b a，只有1a b．综上可知，当ab≠０时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b．。
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套含答案解析
18.(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.
【解】(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，
所以{x|x>－2或x<3}{x|－2<x<3}，
而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}.
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件.
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔.
【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件.
【答案】A
5.“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()
A.∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
【答案】B
3.已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()
A.x＝－B.x＝
C.x＝D.x＝－
【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】C
4.已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为()
人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率为3f ，第九个音频率9f ，则93f f 等于（ ）ABCD4．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．456．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a7．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列；②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列； ③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④9．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A．B ．1-C．-D10．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．30B ．35C ．40D ．4511．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12n n n a S n N n++=∈，则n a =（ ） A ．()112n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-二、填空题13．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-，若113a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为______.14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f，则21f f =______． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为1,3,23n n n S a S a λ==-，其中λ为常数，若14n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________.16．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？17．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =__________.18．等差数列{}n a 满足：123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-12320201111a a a a =++++++++，则其公差d 的取值范围为______.19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______. 20．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________21．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额. 22．已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()312nn n n nb a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 23．等差数列{}n a 满足：12a =、2315a a a +=.数列{}n b 满足()22n n b n a =+.（1）求等差数列{}n a 的通项n a ；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：对于任意的n ∈N *，都有34n S <. 24．在公差不为0的等差数列{}n a 的前10项和为65，1a 、3a 、7a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．已知正项数列{}n a 满足2220n n a na n --=，数列(){}12n nn aa -⋅+的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ．26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(0n n a a a S a--=>且1)a ≠.数列{}n b 满足lg n n n b a a =.（1）当10a =时，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若对一切n *∈N 都有1n n b b +<，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n na a +-=， 所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=， 将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．B解析：B 【分析】 由题意可得221114n n a a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列， 所以2114(1)43n n n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题3．A解析：A 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1122q =，由此能求出93f f 的值． 【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ， 则12131=a a q ，且1312=a a ，1122∴=q ，86912316191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭q q f q a a f a a 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.4．A解析：A将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．B解析：B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S .由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 6．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n =，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.7．D解析：D 【分析】结合等比数列、等差数列的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.对于①，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值，故{}1n n a a ++是等差数列，即①正确；对于②，设等比数列{}n a 的公比为q ，则12111n n n n n n n n a a a q a qq a a a a +++++++==++为定值，故{}1n n a a ++是等比数列，即②正确；对于③，等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为111S a =，设公差为d ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为nS n=()11a n d +-，所以()11n S na n n d =+-， 则2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-，由1a 符合()121n a a n d =+-，可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-，则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值，即{}n a 是等差数列，故③正确；对于④，设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()()211231111n n n T a a a a a a q a q a q -===()12311n n a q ++++-()121n n n a q-=，所以()()12122211n n nnn n n T a q a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则()()2112221211n n n n n n a q q a q T T ----==为定值，即()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.9．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan 1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=， 所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题10．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =， 同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，． （2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.11．A解析：A 【分析】先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】 解：∵()*12n n n a S n N n++=∈，∴12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，111n n n a S n --=+，② ①－②有1121n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时21113261a S a =+==，故21232a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，∴121n na n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.二、填空题13．【分析】先根据等差数列的定义求出数列的通项公式代入再利用裂项求和即可取出【详解】解：由题意知：数列为等差递减数列则公差即解得或（舍去）故数列的通项公式为：设的前项和为则：当时且单调递增当时时取得最大 解析：613【分析】先根据等差数列的定义求出数列{}n a 的通项公式，代入11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再利用裂项求和即可取出. 【详解】解：由题意知：数列{}n a 为等差递减数列，则公差0d <，21324a a a =-，()()211124a a d a d ∴+=+-，即2221111224a a d a a d d +=++-， 解得2d =-或2d =（舍去）， 故数列{}n a 的通项公式为：()()()111312152n a a n d n n =+-=+-⨯-=-， ()()1111111521322132152n n a a n n n n +⎛⎫∴==⨯- ⎪----⎝⎭，设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 则：111111121113911132152n S n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪--⎝⎭111213132n ⎛⎫=⨯-+ ⎪-⎝⎭， 当6n ≤时，0n S >且单调递增， 当7n ≥时0nS <，6n ∴=时，n S 取得最大值，即6116121313S ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故答案为：613. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对111213132n S n ⎛⎫=⨯-+ ⎪-⎝⎭的分析，求出n S 的最大值. 14．【分析】将每个音的频率看作等比数列利用等比数列知识可求得结果【详解】由题知：一个八度13个音且相邻两个音之间的频率之比相等可以将每个音的频率看作等比数列一共13项且最后一个音是最初那个音的频率的2倍 解析：132【分析】将每个音的频率看作等比数列{}n a ，利用等比数列知识可求得结果. 【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，∴可以将每个音的频率看作等比数列{}n a ，一共13项，且1nn a q a -=， 最后一个音是最初那个音的频率的2倍，1312a a ∴=，12121122a q a q =⇒=，()1164122113321312f a a q q q f a a q ∴=====，12312ff ∴=． 故答案为：132【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.15．【分析】先根据求得然后求得求得的表达式进而求得中的项的最小值【详解】当时而所以则当时所以所以数列是首项为公比为的等比数列所以由于所以当时当时且所以当时单调递增最小值为即数列中的项的最小值为故答案为： 解析：1513-【分析】先根据1a 求得λ，然后求得n a ，求得n b 的表达式，进而求得{}n b 中的项的最小值. 【详解】当1n =时，()11123,23a a a λλ=--=，而13a =，所以21,3λλ-==. 则233n n S a =-，当2n ≥时，11233n n S a --=-， 所以112333n n n n n a a a a a --=-⇒=，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3nn a =.由于14n n a b n =-，所以143n nnb -=， 当114n ≤≤时，0n b ≥， 当15n ≥时，0n b <， 且11111314134233333n n n n n n n n n n b b ++++-----=-=-122903n n +-=>， 所以当15n ≥时，n b 单调递增，最小值为1515151415133b -==-. 即数列{}n b 中的项的最小值为1513-. 故答案为：1513- 【点睛】根据n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，主要通过11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解.判断数列的单调性可采用差比较法.16．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ， 所以第n +1个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=， 即数列{n a }是首项为15a =，公比为2的等比数列，152n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212nn nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5017．【分析】结合累加法及裂项相消法可得根据已知条件即可求出通项公式【详解】解：因为所以则当时将个式子相加可得因为则当时符合题意所以故答案为:【点睛】本题考查了数列通项公式的求解考查了累加法考查了裂项相消解析：31,1,2n n N n*-≥∈【分析】结合累加法及裂项相消法可得111-=-n a a n，根据已知条件即可求出通项公式. 【详解】解：因为121n n a a n n +=++，所以121111n na a n n n n +-==-++，则当2,n n N *≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪⎪⎪-=-⎪-⎩，将1n -个式子相加可得11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131122n a n n=-+=-，当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31,1,2n a n n N n*=-≥∈. 故答案为: 31,1,2n n N n*-≥∈. 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了累加法，考查了裂项相消法，属于中档题.18．【分析】由题意知等差数列中的项一定有正有负分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论结合已知条件可知或从而可求出公差的取值范围【详解】解：由题意知等差数列中的项一定有正有负当时由则由则所以所以即；当时同 解析：(][),22,-∞-+∞【分析】由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论，结合已知条件，可知101110101,1a a ≥<-或101110101,1a a ≤->，从而可求出公差的取值范围. 【详解】解：由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，当10,0a d <>时， 由123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-，则10111010100a a -≥⎧⎨≤⎩ ， 由123202012320201111a a a a a a a a ++++=++++++++，则1011101010a a ≥⎧⎨+≤⎩， 所以101110101,1a a ≥≤-，所以10101a d +≥，即101012d a ≥-≥； 当10,0a d ><时，同理可求出101012d a ≤--≤-， 综上所述，公差d 的取值范围为(][),22,-∞-+∞.故答案为: (][),22,-∞-+∞.本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的单调性.本题的易错点是未讨论首项的正负问题.19．①②【分析】利用前项和公式得可得最大即可判断出正确命题【详解】化为：最大①为的最大值正确;②正确;③所以③不正确;④所以不正确综上可得：①②正确故答案为:①②【点睛】本题考查命题的真假判断与应用等差解析：①② 【分析】675S S S >>,利用前n 项和公式得7670,0a a a <+>,可得67670,,0a a a a d >>><，6S 最大, ()11111611110.2a a S a +==>即可判断出正确命题．【详解】675S S S >>116576546175222a d a d a d ⨯⨯⨯∴+>+>+, 化为：7670,0a a a <+>67670,,0a a a a d ∴>>>∴<6S 最大, ①6S 为n S 的最大值,正确; ()11111611110.2a a S a +==>②110S >正确;③()126760S a a =+>,所以③120S <不正确;④85678730S S a a a a -=++=<,所以850S S ->不正确. 综上可得：①②正确. 故答案为: ①②. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,等差数列的前n 项和公式,难度一般.20．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确.()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）()2*2160450,y x x x N =-+-∈；（2）1500万元.【分析】（1）保养费用是首项为22，公差为4的等差数列，再利用收入-维修费用-成本，写出y 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式计算yx的最大值. 【详解】（1）依题可得2(1)1802244502160450()2x x y x x x x x N -⎢⎥=-+⨯-=-+-∈⎢⎥⎣⎦即y 关于x 的函数关系式为22160450y x x =-+-，()*x N∈.（2）由（1）知，当年的平均盈利额为：45045021601602160100y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当4502x x=时，即15x =时等号成立. 所以使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是知道设备的维修费用是等差数列求和，才能正确写出函数关系. 22．（1）231n n a =-；（2）23λ-<<. 【分析】 （1）将()*13n n n a a n N a +=∈+，变形为1131n na a +=+，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得12n n nb -=，然后利用错位相减法求得1242nn n T -+=-，将不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，转化为()12142n n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，分n 为偶数和奇数讨论求解. 【详解】（1）由()*13nn n a a n N a +=∈+， 得13131n n n na a a a ++==+， ∴11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，所以1113322n n a -+=⨯，即231n na =-. （2）12n n nb -=()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯, ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:012111111222222222n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-， ∴1242n n n T -+=-， 因为不等式()112nn n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立， 所以()12142nn λ--<-，对一切*n N ∈恒成立， 因为1242n t -=-单调递增， 若n 为偶数，则1242n λ-<-，对一切*n N ∈恒成立，∴3λ<； 若n 为奇数，则1242n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，∴2λ-<，∴2λ>- 综上：23λ-<<. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 23．（1）2n a n =；（2）证明见解析． 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用基本量计算可得通项n a ； （2）利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和为n S ，可证得命题成立． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d 则2311235a a a d a +=+=，即12da ==()2122n a n n ∴=+-⨯=（2）()21112222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+⋅+⎝⎭则11111111111...232435112n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111311312212422244n n n n ⎛⎫=+--=--< ⎪++++⎝⎭ 故命题成立． 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和． 24．（1）1n a n =+；（2）223242n n n nT ++=-+. 【分析】（1）本题首先可根据前10项和为65得出1104565a d +=，然后根据1a 、3a 、7a 成等比数列得出()()211126a d a a d +=+，最后两者联立，求出1a 、d 的值，即可得出结果；（2）本题首先可根据1n a n =+得出121n n b n +=++，然后采用分组求和法即可求出n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 因为前10项和为65，所以101104565S a d =+=，因为1a 、3a 、7a 成等比数列，所以2317a a a =，即()()211126a d a a d +=+，联立()()1211110456526a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得12a =，1d =， 故1n a n =+.（2）因为1n a n =+，2n an n b a =+，所以121n n b n +=++，则231222231n n T n +=++++++++()()22412213241222n n n n n n +-+++=+=-+-， 故223242n n n nT ++=-+. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列通项公式的求法以及分组求和法求和，常见的数列的求和方法有：等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法以及倒序相加法.25．（1）2n a n =；（2）()()123?216n n S n n n +=-+++. 【分析】（1）由已知得()()20n n a n a n -+=且0n a >，即可得通项公式.（2）由（1）有()()122122nnn n a a n n -⋅+=-⋅+，利用分组、错位相减法求n S .【详解】（1）由2220n n a na n --=得()()20n n a n a n -+=，又{}n a 为正项数列，∴2n a n =．（2）由（1）知()()122122nnn n a a n n -⋅+=-⋅+，令n T 为数列(){}212nn -⋅的前n 项和，则()123123252212n nTn =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，∴()23412123252212n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，两式相减，得()123112222222212nn n T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯，所以()()2112212221212n n nT n ++⨯⨯--=+--⨯-，所以()12326n n T n +=-⨯+，令n B 为数列{}2n 的前n 项和，则()()1212n n n B n n +=⨯=+， 所以()()123216n n n n S T B n n n +=+=-⨯+++．【点睛】 关键点点睛：（1）由已知方程，将n a 作为未知数求正解，即为数列通项公式. （2）将所得数列分为(){}212nn -⋅、{}2n 两组分别求和，应用错位相减、等差数列前n项和公式求n S .26．（1）1(91)101081n n n T +-⋅+=；（2）10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1n =得出1a a =，再令2n ≥，由11n n a a S a --=，得出11n n a S a a -=-，可推出 1111n n a S a a---=-，两式相减得出1n n a a a -=，利用等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，可求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）由1n n b b +<得出()1lg 1lg n n na a n a a +<+，分两种情况1a >和01a <<讨论.①当1a >时，利用参变量分离法得出1na n >+，可得出1a >； ②当01a <<时，利用参变量分离法得出1n a n <+，可得出102a <<.综合①②得出实数a 的取值范围. 【详解】当1n =时，11a S =，1111a a a a--=，解得1a a =. 当2n ≥时，∵11n n a a S a--=， ∴11n n a S a a -=-，可得1111n n a S a a---=-， 上述两式相减得()111n n n n a S S a a a----=-， 即11n n n a a a a a--=-，所以1n n a a a -=. 所以数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列， ∴1nn na a a a ，从而lg lg nn n n b a a na a ==.（1）当10a =时，10nn b n =⋅，∴2121021010nn n T b b n b n n =+++=+⋅++⋅， 则2311010210(1)1010nn n T n n n +=+⋅++-⋅+⋅，∴()23111010191010101010109n n n n nT n n n ++--=++++-⋅=-⋅，所以()1121010110(91)10109981n n n n n n T ++-⋅-⋅+=-=. （2）由1n n b b +<，可得1lg (1)lg n n na a n a a +<+.①当1a >时，由lg 0a >，可得1na n >+，()*11n n n <∈+N ， ∴1a >，∴1na n >+，对一切*n ∈N 都成立，此时的解为1a >； ②当01a <<时，由lg 0a <，可得(1)n n a >+，∴1na n <+，()*1N 12n n n ≥∈+，01a <<， ∴01na n <<+，对一切*n ∈N 都成立， ∴102a <<. 由①，②可知，对一切*n ∈N 都有1n n b b +<的a 的取值范围是10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用前n 项和求通项，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立与参数问题，解题时要熟悉一些常见的求通项和数列求和方法，以及在数列不等式恒成立问题中，灵活利用参变量分离法简化计算，考查分类讨论数学思想，属于难题.。
选修2-1数学课后习题答案(全)
新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题. 逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题. 否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题. 逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220a b c ab ac bc++---=.所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以，0b c-=.-=，0a b-=，0a c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=()()()0a b a c b c所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，假命题；+≠，真命题；（2）3不是方程290（31≠-，真命题.习题1.3 A组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；∈，真命题；（2）4{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23+=，真命题；≥，假命题；（4）8715（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 B组（P18）（1）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∨为真命题；（2）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∧为真命题；（3）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∨为假命题；（4）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直. 习题 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=， 得422xy -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y ab+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF+=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=.3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P 的坐标是(1)2±±，共有4个7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……①当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-； 直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率e =（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题 B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……① 所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===.4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =± 因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =； （3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =； （4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-. 2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p. 4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒= 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y =8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =.这时水面宽为 m.习题 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以 b ==用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=.2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线. （4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……①222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得k >，或k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =+，22)y p =-把12)y p =+代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =+，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 m =所以，直线l 的方程为2y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==-由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===.当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得 a c +=所以 (1c += c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-； （3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==； （4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==； （5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==； （6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22- 习题 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅ ∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =.∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β；（3）2247u v u v⋅=-α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，21MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，21MN AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3ACDB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos2θ===sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 1OH OA θ=== 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，18DODA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，。
学高中数学选修21人教版：第一章单元测试(附答案)
第一章单元测试一、选择题1、命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0＞0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞02、“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题()A、若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0B、若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0C、若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0D、若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝03、“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要4、下列命题中是真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题④“若x－123是有理数，则x是无理数”的逆否命题A、①②③④B、①③④C、②③④D、①④5、在ΔABC中，条件甲：A<B，条件乙：cos2A> cos2B,则甲是乙的()A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、既非充分又非必要条件D、充要条件6、在下列结论中，正确的是()①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件； ③“p ∨q ”为真是“⌝p ”为假的必要不充分条件； ④“⌝p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④7、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必 要非充分条件，则甲是丁的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要8、已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：|x |<1是x <a 的充分不必要条件，则( ) A ．“p 或q ”为真命题 B ．“p 且q ”为假命题 C ．“⌝p 且q ”为真命题 D ．“⌝p 或⌝q ”为真命题9、(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q10、对于任何[1,1],a ?使函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的 值总大于0的充要条件是( )A 、1<x<3B 、x<1或x>3C 、1<x<2D 、x<1或x>211、以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x ∈N ，x 3>x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件12、(2013·海南模拟)若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则“f (x )<g (x )，x ∈R”成立的充要条件是( )A ．存在x 0∈R ，使得f (x 0)<g (x 0)B ．有无数多个实数x ，使得f (x )<g (x )C ．对任意x ∈R ，都有f (x )＋12<g (x )D ．不存在实数x ，使得f (x )≥g (x )13、下列结论错误的是( )A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1”B ．设α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(⌝p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题 D ．“∃α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题14、在ΔABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p是命题q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题15、命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．16、若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是__________．17、若不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是__________．18、下列说法正确的是__________．(填序号)．①若a ，b 都是实数，则“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件； ②若p ：x >5，q ：x ≥5，则p 是q 的充分而不必要条件； ③条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的必要而不充分条件；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分必要条件．19、下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b ，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是__________．(填序号)20、设p ：514x ->；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的__ ____ _________________条件．答题卡一．选择题二．填空题15. ； 16. ；17．__________________ ； 18. ；19．__________________ ； 20. ；三、解答题21、已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．22、设命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0－a＝0.命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0＞0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞0解析：因为命题“存在x0∈R,2x0≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．答案：D2、“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题（ D ）A、若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0B、若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0C、若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0D、若x＝a或x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝03、“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（B ）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要4、下列命题中是真命题的是（ B ）①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题③“若m>0，则x2＋x－m=0有实根”的逆否命题④“若x－123是有理数，则x是无理数”的逆否命题A、①②③④B、①③④C、②③④D、①④5、在ΔABC中，条件甲：A<B，条件乙：cos2A> cos2B,则甲是乙的（ D ）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、既非充分又非必要条件D、充要条件6、在下列结论中，正确的是()①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A．①②B．①③C．②④D．③④3．B7、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（A ）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要8、已知实数a>1，命题p：函数y＝log12(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是x<a的充分不必要条件，则()A．“p或q”为真命题B．“p且q”为假命题C．“綈p且q”为真命题D．“綈p或綈q”为真命题答案：A [命题p ：当a >1时，Δ＝4－4a <0，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a >1时，由|x |<1，得－1<x <1，即|x |<1是x <a 的充分不必要条件，故命题q 也是真命题．所以命题“p 或q ”是真命题．]9、(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q解析：命题p 为假，因为当x ＜0时，2x ＞3x .命题q 为真，因为f (x )＝x 3＋x 2－1在(0，＋∞)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f (x )必存在零点．所以綈p ∧q 为真命题，故选B.答案：B10、对于任何[1,1],a ?使函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总大于0的充要条件是（ B ）A 、1<x<3B 、x<1或x>3C 、1<x<2D 、x<1或x>211、以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x ∈N ，x 3>x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件 【答案】D[∵“负数的平方是正数”即为∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定为“∃x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确； 又∵f (x )＝sin 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π，∴|a |＝1⇒a ＝1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]12、(2013·海南模拟)若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则“f (x )<g (x )，x ∈R”成立的充要条件是( )A ．存在x 0∈R ，使得f (x 0)<g (x 0)B ．有无数多个实数x ，使得f (x )<g (x )C ．对任意x ∈R ，都有f (x )＋12<g (x )D ．不存在实数x ，使得f (x )≥g (x ) 答案 D13、下列结论错误的是( )A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1”B ．设α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(⌝p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题 D ．“∃α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题解析：根据逆否命题定义知A 选项正确．由正切函数单调性，可判断B 选项正确．D 选项作为特称命题正确，对于C 选项，“綈p ∧q ”为假，则綈p ，q 中至少一个为假，故p ∨q 真假不定，故选C.答案：C14、在ΔABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p是命题q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] C[解析] 由已知a ＝b sin B sin C ＝b 2c⇒b 2＝ac .同理a 2＝bc ，c 2＝ab ，故有(a ＋c )(a －c )＝b (c －a )．若a ≠c ，则a ＋c ＝b 与a 、b 、c 是△ABC 的三边矛盾，故a ＝c ，同理得到b ＝c ， 于是a ＝b ＝c ，于是充分性得证，必要性显然成立．二、填空题15、命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，∴不等式ax 2－2ax －3≤0对于任意的实数x 恒成立，(1)当a ＝0时，符合条件；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0，即－3≤a ＜0.由(1)、(2)得实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－3}． 答案：－3≤a ≤016、若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． [答案] [1,2)[解析] x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}，即x ∈[2,5]∪{x |x <1或x >4}，即x ∈{x |x <1或x ≥2}，此命题为假，∴x ∈[1,2)．17、若不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是__________．解析：∵|x －1|＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a ，又∵不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤0，1＋a ≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥3，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)18、下列说法正确的是________(填序号)．①若a ，b 都是实数，则“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件； ②若p ：x >5，q ：x ≥5，则p 是q 的充分而不必要条件； ③条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的必要而不充分条件； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分必要条件． 5．①②④解析 ③中，a >a ⇔a >1，a >1是a >a 的充要条件．19、下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．(填序号)【答案】．①②20、设p ：514x ->；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的__即不充分也不必要____ ___条件．三、解答题21、已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由题意p ：－2≤x －3≤2， ∴1≤x ≤5.∴⌝p ：x ＜1或x ＞5.(4分) q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴⌝q ：x ＜m －1或x ＞m ＋1.(8分) 又∵⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5. ∴2≤m ≤4.(12分)22、设命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－a ＝0.命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1.如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a ≥0得a ≥0或a ≤－1，当命题q 为真时，(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴a ＋2＞0且16－4(a ＋2)(a －1)≤0，即a ≥2.(6分) 由题意得，命题p 和命题q 一真一假． 当命题p 为真，命题q 为假时，得a ≤－1； 当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈∅；∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(12分)。
最新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（ ）. A ．8B ．9C ．11D ．103．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．724．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．225．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29B ．28C ．27D ．266．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1627．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则121024102410241024a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．10258．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．09．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞010．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207511．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66(S a = ) A ．6332B ．3116C ．12364 D ．12712812．数列{}n a 中，2n ka n n=+，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]12,24B ．(]12,24C ．[]3,12D ．[]3,12二、填空题13．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______. 14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.15．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________.16．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________.17．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________. 18．等差数列{}n a 满足：123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-12320201111a a a a =++++++++，则其公差d 的取值范围为______.19．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式n a =__________．20．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n nn S a a n N *++∈，设()2112n n n na c S +=-⋅，则数列{}n c 的前2019项的和为___________.三、解答题21．已知数列{}n a 满足12a =，1496n n a a n +=+-.（Ⅰ）问是否存在实数x ，y ，使得数列{}n a xn y ++是等比数列？若存在，求出x ，y 的值，若不存在，请说明理由； （Ⅱ）设1231nin i aa a a a ==++++∑，求()13ni i i a i =+∑.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n n b a a n +=-+，记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .求证：43n T <，*n N ∈. 23．设{}n a 是公比为正数的等比数列， 12a =，324a a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n S . 24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*12n n a S n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式， （2）设函数13()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，1231111n nT b b b b =+++求证：2n T <． 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ，*n N ∈时，112n n S a -=-，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得158n T <成立的n 的最大值. 26．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2n S k n n n N =⋅+∈，其中k 是常数.（1）求1a 及n a 的值；（2）当k =2时，求证：12n 1112 (3)S S S +++<；（3）设0k >，记21n nb a =，求证：当2n ≥时，23411...14(1)n n b b b b n k k -<++++<-++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a q a ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=， 即2244421q q++=， 解得2q =±或12q =±， 又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ． 【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．D解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ， 令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=， 即11322n n a a +=-+， 即()11112n n a a +-=--， 又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列， 11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 则111632170n n S --=⨯<， 即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭， 又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=， 即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.3．A【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.4．B解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.5．A解析：A 【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭ 是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.6．B解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项， 结合裂项公式求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，再由最大整数定义即可求解 【详解】由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则12n nb b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，112n n n b n a a --==-，()1221n n a a n ---=-，，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得2n a n n =+，故()111111n a n n n n ==-++，所以1210241024102410241111111024110241223102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1024102410231025⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法： （1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭8．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=， 所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .9．A解析：A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.10．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项，所以这个数列的第2020项是2025492074+=，故选：C.【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题. 11．A解析：A【分析】利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=．∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．56232a ∴==，66216321S -==-． 则666332S a =． 故选：A ．【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12．A解析：A【分析】根据题意，可知当0k ≤时，数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，得出2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即可求出实数k 的取值范围，再通过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案.【详解】解：由题可知，2n k a n n=+，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立， 当0k ≤时，可知数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即46238643k k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得：1224k k ≥⎧⎨≤⎩， 1224k ∴≤≤，此时，数列在()1,2上递减，()3,+∞上递增，或在()1,3上递减，()4,+∞上递增， 故符合题意，所以实数k 的取值范围为[]12,24.故选：A.【点睛】本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.二、填空题13．【分析】根据等比数列的求和公式由题中条件得到讨论为奇数和为偶数两种情况分别判定其单调性得出最大值和最小值进而可求出结果【详解】因为等比数列的首项为2公比为其前项和记为所以当为奇数时显然单调递减因为所 解析：94【分析】根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到n S ，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ， 所以121331331112322313n n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==--=-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，331223n n S ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，显然单调递减， 因为*n N ∈，所以13312223n S S ≤=+⋅=，又33132232nn S ⎛⎫=+⋅> ⎪⎝⎭，所以322n S <≤； 当n 为偶数时，331223n n S ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，显然单调递增， 因为*n N ∈，所以233142293n S S ≥=-⋅=， 又33132232n n S ⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭，所以4332n S ≤<， 综上，对任意的*n N ∈，都有423n S ≤≤， 所以436n S ≤≤，11324n S ≤≤，则31142n S -≤-≤-， 所以31143642n n S S -≤-≤-，即13111342n n S S ≤-≤， 因此对任意的*n N ∈，都有13111342n n S S ≤-≤； 为使对任意的*n N ∈，均有13n n A S B S ≤-≤恒成立， 只需112B ≥，134A ≤， 所以B A -的最小值为11139244-=. 故答案为：94. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出n S 后，利用分类讨论的方法，根据n S 的单调性，求n S 的最值，进而即可求解.14．1010【分析】由与关系当时将代入条件等式得到数列为等差数列求出进而求出即可求出结论【详解】∵∴∴∴令则∴数列是以为首项公差的等差数列∴即∴∴由解得即正整数的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛：本题 解析：1010【分析】由n S 与n a 关系，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入条件等式，得到数列21{}n n S +为等差数列，求出n S ，进而求出12m S S S ，即可求出结论.【详解】∵1122n n n n n S S S S na --+-=，∴()11122n n n n n n S S S S n S S ---+-=-，∴()()1122121n n n n S S n S n S --=+--， ∴121212n n n n S S -+--=， 令21n n n b S +=，则()122n n b b n --=≥， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =-，即2121n n n S +=-，∴2121n n S n +=-， ∴12521321321m m S S S m m +=⨯⨯⨯=+-， 由212021m +≥，解得1010m ≥，即正整数m 的最小值为1010.故答案为: 1010.【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有： 观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律；公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前n 项和与通项公式的关系； 累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推数列；累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推数列．15．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求 解析：50【分析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===. 故答案为：50.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题. 16．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以 解析：18或19【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，当1n =时，21a a λ=，当2n =时，42a a λ=， 所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去）， 所以()2112n n n d S na n n -=+=+， 记()2991010n n n n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+， 所以()()()12129119210110910n n n n n n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥， 当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<，所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题. 17．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为： 解析：n a n =【分析】令1n =，由()2*1122n n n S a a n =+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式.【详解】 由题意可得：当1n =时，211111122a S a a ==+，所以11a =， 当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，所以()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221111112222n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =.故答案为：n a n =【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.18．【分析】由题意知等差数列中的项一定有正有负分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论结合已知条件可知或从而可求出公差的取值范围【详解】解：由题意知等差数列中的项一定有正有负当时由则由则所以所以即；当时同 解析：(][),22,-∞-+∞【分析】由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，分成首项大于零和小于零两种情况进行讨论，结合已知条件，可知101110101,1a a ≥<-或101110101,1a a ≤->，从而可求出公差的取值范围.【详解】解：由题意知，等差数列{}n a 中的项一定有正有负，当10,0a d <>时， 由123202012320201111a a a a a a a a ++++=-+-+-+⋯+-，则10111010100a a -≥⎧⎨≤⎩ ， 由123202012320201111a a a a a a a a ++++=++++++++，则10111010010a a ≥⎧⎨+≤⎩， 所以101110101,1a a ≥≤-，所以10101a d +≥，即101012d a ≥-≥；当10,0a d ><时，同理可求出101012d a ≤--≤-，综上所述，公差d 的取值范围为(][),22,-∞-+∞. 故答案为: (][),22,-∞-+∞.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的单调性.本题的易错点是未讨论首项的正负问题. 19．【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5可得求解【详解】第一图点数是1；第二图点数;第三图是；第四图是则第个图点数故答案为：【点睛】本题考查由数列的前几项求通项公式数列的前几项求通项公式的思路方法： 解析：54n -【分析】 观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。
人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+4．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项6．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×201827．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++等于（ ）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4) 8．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12=A ．40B ．60C ．32D ．509．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．156010．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12n n n a S n N n++=∈，则n a =（ ） A ．()112n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅12．在公差不为零的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，前7项和为35，则数列{}n a 的通项n a 等于（ ） A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n二、填空题13．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.14．已知、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，数列{}n a 是等差数列，S n 是数列{}n a 的前n 项和．若12012OA a OB a OC =⋅+⋅，则2012S =____________．15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.16．数列{}n a 的前n 项和()*23n n S a n =-∈N，则4a=__________.17．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且()*21(1)nn n a a n N +-=+-∈，则这30天因病请假的人数共有人______.18．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．19．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为_____________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b ，11b =，点()1,n n P b b +直线20x y -+=上.（1）求1a 值；（2）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （3）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，3522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设+14n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c +++<.24．已知数列{}{},n n a b 满足1231112,1,2,,n n n n na a ab b b a n N a ++++===-=∈ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：1211111,6n n N b b b ++++<∈. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ，*n N ∈时，112n n S a -=-，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =，数列{}n b 的前n 项和n T ，求使得158n T <成立的n 的最大值. 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()31n n n S a n a -=-．（1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n n a a +-=， 所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=， 将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．D解析：D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.3．D解析：D 【分析】 当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===， 当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=， 则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.4．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解. 【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.6．C解析：C 【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】 由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列，则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.7．A解析：A 【分析】由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出3k =，利用等差数列的求和公式求解即可． 【详解】由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠(0)10f k b ==⨯+，1b ∴=．(1),(4),(13)f f f 成等比数列，且41,(13(1)1,(4)1)13k f f k f k =+=+=+．1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，(2)(4)(2)f f f n +++(221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+ (242)2n n =++⋯+⨯+(1)42n n n +=⨯+2(1)n n n =++ ()22332n n n n ==++.故选：A ． 【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．8．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．9．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】先由已知数列递推公式可得1221n n a a n n +=⋅++，得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得n a . 【详解】 解：∵()*12n n n a S n N n++=∈，∴12n n n a S n +=+，① 当2n ≥时，111n n n a S n --=+，② ①－②有1121n n n n n a a a n n +--=++，化简得1221n n a a n n +=⋅++()2n ≥， 另外，n =1时21113261a S a =+==，故21232a a =⋅，也符合上式， 故1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以112a =为首项，以2为公比的等比数列，∴121n na n -=+，故()112n n a n -=+⋅. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了数列通项公式的求法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式. 【详解】由题意得，等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，故2317a a a =，则()()211126a d a a d +=+， 故12a d =，① 又数列7项和为35， 则1767352da ⨯+=，②， 联立①②解得：1d =，12a =， 故()211n a n n =+-=+， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.二、填空题13．【分析】先根据题意得由于数列是以为首项为公比的等比数列进而利用分组求和法求和即可得答案【详解】解：由等比数列的前项和公式得由于数列是以为首项为公比的等比数列设的前项和则故答案为：【点睛】本题考查等比 解析：3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案. 【详解】解：由等比数列的前n 项和公式得()13141121818211212n n nn n a q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-=-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列， 设{}n S 的前n 项和n T ，则31412188812881212n nn nT n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：3288n n -+- 【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出382n n S -=-，再结合数列{}32n -是以4为首项，12为公比的等比数列，再次求和即可. 14．1006【分析】先根据条件将表示成的形式由此确定出的关系再根据等差数列的前项和公式求解出的值【详解】因为三点共线(O 在该直线外)所以所以所以所以所以所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知平面中三点共线解析：1006 【分析】先根据条件将OA 表示成xOB yOC +的形式，由此确定出12012,a a 的关系，再根据等差数列的前n 项和公式求解出2012S 的值. 【详解】因为、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，所以()1AB AC λλ=≠， 所以AO OB AO OC λλ+=+，所以()1OA OB OC λλ-=-+，所以111OA OB OC λλλ-=+--， 所以120121111a a λλλ-+=+=--，所以()120122012201210062a a S +⨯==，故答案为：1006. 【点睛】结论点睛：已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，若OA xOB yOC =+，则必有1x y +=.15．【分析】先由题意求得数列的前几项进而猜想然后利用数学归纳法证明猜想再求得再根据恒成立对分奇数偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得……故猜想：下面用数学归纳法证明：（1）当时显然成立解析：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由题意求得数列{}n a 的前几项，进而猜想12n na ，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得n c ，再根据1n n c c +>恒成立对n 分奇数、偶数两种情况讨论求得实数λ的取值范围【详解】解：由题意得11a =，22a =，342214,4228a a =+⨯==+⨯=，…… 故猜想：12n na ，下面用数学归纳法证明：（1）当1,2,3,4n =时，显然成立； （2）假设当(3)n k k =≥时有12k ka ，那么当1n k =+时，12(1)11122222k k k k k k a a a --+-+-=+=+⨯=所以当1n k =+时，也成立， 由（1），（2）得12n na ，所以32(1)3(2)n n n nn n c a λλ=-⨯-=--，因为对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立， 所以113(2)3(2)n n n n λλ++-->--对任意的*n ∈N 恒成立，即13(1)()2nn λ-->-对任意的*n ∈N 恒成立，当n 为偶数时，有1max33()22n λ-⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，有1min3()12n λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以312λ-<< 所以实数λ的取值范围为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题，解题的关键是归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明，以及由1n n c c +>得13(1)()2n n λ-->-，然后分类讨论可得结果，考查转化思想，属于中档题16．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的解析：24 【分析】根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠， 所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，所以4143224a -=⋅=，故答案为：24. 【点睛】思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.17．255【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律由此求得前天的请假人数之和【详解】依题意且所以以此类推数列的奇数项均为偶数项是首项为公差为的等差数列所以前项的和故答案为：【点睛】本小题主要考查分组求解析：255 【分析】根据题目所给递推关系找到数列{}n a 的规律，由此求得前30天的请假人数之和30S . 【详解】依题意11a =，22a =，且()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈，所以31311101a a a a -=-=⇒==，4241124a a a -=+=⇒=， 53531101a a a a -=-=⇒==， 6461126a a a -=+=⇒=，以此类推，数列{}n a 的奇数项均为1，偶数项是首项为2、公差为2的等差数列， 所以前30项的和()()301112430S =+++++++23015151516152552+=+⨯=+⨯=. 故答案为：255 【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查等差数列前n 项和公式，属于中档题.18．【分析】由递推公式可得即以为首项为公比的等比数列根据等比数列的通项公式求出的通项公式即可得解；【详解】解：因为所以即所以以为首项为公比的等比数列所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通 解析：1231n -⨯-【分析】由递推公式可得()1131n n a a ++=+，即{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出{}1n a +的通项公式，即可得解； 【详解】解：因为132n n a a +=+，11a =， 所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+ 所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯ 所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯- 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.19．5【分析】设偶数项和为则奇数项和为由可得的值根据公差求得结果【详解】设偶数项和为则奇数项和为由可得故公差故答案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质得到公差是解题的关键解析：5 【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k += 可得k 的值，根据 公差32276k kd -=求得结果． 【详解】 设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =，故公差32275566k k kd -===， 故答案为：5． 【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键． 20．22【分析】由等差数列的前项和的公式求解解出､的关系式再求出的临界条件最后得解【详解】解：等差数列的前项和为所以所以其中所以当时解得所以的最大自然数的值为22故答案为：22【点睛】本题应用公式等差数解析：22 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和的公式求解149S S =，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，最后得解. 【详解】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，149S S =，所以()114579a a a +=，1117(13)9(4)a a d a d ++=+，111a d =-， 所以()12n a n d =-，其中10a >，所以0d <，当0n a =时，解得12n =，()2312312232302S a a a =+==， 1222222()1102a a S d +==->， 所以0n S >的最大自然数n 的值为22.故答案为：22． 【点睛】 本题应用公式()12n n n a a S +=，等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，判断满足0n S >的最大自然数n 的值.三、解答题21．（1）12a =；（2）2nn a =，21n b n =-；（3）1(23)26n nT n +=-⋅+.【分析】（1）由题意得出22n n a S =+，令1n =可求得1a 的值；（2）当2n ≥时，由22n n a S =+可得出1122n n a S --=+，两式作差可得出12nn a a -=，可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，由题意可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n b 的通项公式；（3）求得12n n c n +=⋅，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）由22n n a S =+得：1122a S =+ 即1122a a =+解得12a = （2）由22n n S a =-1122(2)n n S a n --=-≥①-②1122n n n n n a S S a a --=-=-12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nn a =又由数列{}bn 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上 得1:20n n b b +-+=且11b = 所以：12(1)21n b n n =+-=- （2）(21)2nn n n c a b n ==-数列{}n C 的前n 项和23412325272(21)2nTn n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅23451212325272(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅()23411222222222(21)2n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅可得：1(23)26n n T n +=-⋅+【点睛】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前n 项和. 22．(1) 31n a n =-；（2） ()24333+2n T n =-. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知求得411a =，再由等差数列的通项公式可求得答案；（2）运用裂项求和法，可求得答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知得354222a a a +==，所以411a =， 所以141123413a a d --===-，所以()()1+12+1331n n d n a a n -⨯=-⨯=-=， 所以31n a n =-； （2）由（1）得()()+144411313+23313+2n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，所以 411111111++++32558811313+2n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41124323+2333+2n n ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 所以()24333+2n T n =-.数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.23．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+； （2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得31413124333a a d a a d S a d =+=⎧⎨=+==+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，从而22n a n =-，2(1)(1)2n n nS n n -==-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列 所以()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++， 从而()211222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++，所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)2(1)2n n n n n n n S S S n n n n n n n n b n n S S S n n n n n n ++++-+--+++====++--+++-+. （2）证明：因为n c ===<=， 所以122(10211)2n c c c n n n +++<-+-++--=【点睛】关键点点睛：将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.24．（1）21nn b =-；（2）证明见解析.（1）由题可知数列{}n a 为等比数列，公比2q，进一步求出n a 的通项公式，所以112n n n b b ---=，利用累加法求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用111212n n -<-对数列进行放缩 ，化简求出答案. 【详解】 （1）12n na a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比2112,12q a q a q =+=，所以12a =，2n n a ∴=所以11211211222,22222n n n n n n b b b b b b ----=⋯-==-=+++=-21n n b ∴=-（2）证明：222112111111114111112121322322n n n n b b b --⎛⎫⎛⎫+++=+++<++++=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭111111626n -⎛⎫=-<⎪⎝⎭【点睛】放缩法的注意事项： （1）放缩的方向要一致。
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第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题“如果p，那么q”为真，则()A．q⇒p B．綈p⇒綈qC．q⇒p D．綈q⇒p解析p⇒q⇔q⇒p.答案 C2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析由数与向量的意义知，B正确．答案 B3．已知下列三个命题，其中真命题是()①方程x2－x＋2＝0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线垂直且平分；③3≥2.A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 答案 B4．下列说法正确的是( )①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 B5．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，x >0B ．如果x <2，那么x <1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠0 答案 D6．四个条件：b >0>a ；0>a >b ；a >0>b ；a >b >0.能使1a <1b 成立的充分条件的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C7．命题“∃数列{a n }，{b n }既是等差数列，又是等比数列”( )A ．是特称命题并且是假命题B ．是全称命题并且是假命题C ．是特称命题并且是真命题D ．是全称命题并且是真命题答案 C8．(2013·海南模拟)若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则“f (x )<g (x )，x ∈R ”成立的充要条件是( )A ．存在x 0∈R ，使得f (x 0)<g (x 0)B ．有无数多个实数x ，使得f (x )<g (x )C ．对任意x ∈R ，都有f (x )＋12<g (x )D ．不存在实数x ，使得f (x )≥g (x )答案 D9．(2012·云南师大附中模拟)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≥0，则下列说法正确的是( )A ．綈p 是特称命题，且是真命题B ．綈p 是全称命题，且是假命题C ．綈p 是全称命题，且是真命题D ．綈p 是特称命题，且是假命题解析 命题p ：∀x ∈R ，sin x ≥0是全称命题，且是假命题．所以綈p 应为特称命题，且是真命题，故选A.答案 A10．设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A11．(2012·佛山模拟)下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0B ．x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0答案 C12．给出命题p ：若“AB →·BC→>0，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数a ，b ，c 满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”．那么下列结论正确的是( )A ．p 且q 与p 或q 都为真B ．p 且q 为真而p 或q 为假C ．p 且q 为假且p 或q 为假D ．p 且q 为假且p 或q 为真解析 ∵AB →·BC→>0⇒∠B 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形，∴命题p 为假．∵b 2＝acD ⇒/a ，b ，c 为等比数列(如a ＝0，b ＝0，c ＝1)∴命题q 为假．故p ∧q 且p ∨q 均为假．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．设α表示平面，a ，b 表示直线，给定下面四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α； ②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α； ④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .其中正确命题的个数有________个．解析 ①中b 可能平行于α；②正确．③中b 可能在α内；④正确．答案 214．a ＝3是直线l 1：ax ＋2y ＋3a ＝0和直线l 2：3x ＋(a －1)y ＝a－7平行且不重合的________条件．解析 当a ＝3时，l 1：3x ＋2y ＋9＝0，l 2：3x ＋2y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，a 3＝2a －1≠3a 7－a，∴a ＝3. ∴a ＝3是l 1∥l 2的充要条件．答案 充要15．“若(x －1)(y ＋2)≠0，则x ≠1且y ≠－2”的否命题是____________，逆否命题是____________．答案 若(x －1)(y ＋2)＝0，则x ＝1，或y ＝－2若x ＝1，或y ＝－2，则(x －1)(y ＋2)＝016．对任意实数x ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0都成立，则a 的取值范围是________．解析 当a 2－1＝0时，易知a ＝1适合．当a 2－1≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0 解得－35<a <1.综上可知－35<a ≤1.答案 －35<a ≤1三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某人投篮，设命题p ：第一次投中；q ：第二次投中．试用p，q及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：(1)两次都投中；(2)两次都没有投中；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中．解(1)两次都投中：“p∧q”．(2)两次都没投中：“綈p∧綈q”．(3)恰有一次投中：“p且綈q或綈p且q”．(4)至少有一次投中：“p∨q”．18．(12分)写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax ＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．解逆命题为：“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝3－x}，则“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？解由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．∴M∩P＝(2,3]，M∪P＝R.当x∈M，或x∈P时，x∈(M∪P)＝R⇒/x∈(2,3]＝M∩P.而x∈(M∩P)⇒x∈R.∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．20．(12分)∀x∈R，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立，求m的取值范围．解 当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎨⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.故∀x ∈R ，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立，－4<m ≤0.21．(12分)已知命题p ：对于m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立；命题q ：不等式x 2＋ax ＋2<0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围．解 ∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]．∵对m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8恒成立，可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6，或a ≤－1.故命题p 为真时，a ≥6，或a ≤－1.命题p 为假时，－1＜a ＜6.又命题q ：x 2＋ax ＋2<0有解，∴Δ＝a 2－8>0.∴a >22，或a <－2 2.从而命题q 为真时a >22，或a <－22，q 为假时－22≤a ≤2 2.依题意p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 必有一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是－22≤a ≤－1；当p 假q 真时，a 的取值范围是22<a <6.综上，a 的取值范围是[－22，－1]∪[22，6)．22．(12分)下图是函数y ＝(12)x 和y ＝3x 2图像的一部分，其中x＝x 1，x 2(－1<x 1<0<x 2)时两函数值相等．(1)给出如下两个命题：①当x <x 1时，(12)x <3x 2；②当x >x 2时，(12)x <3x 2，试判定命题①②的真假并说明理由．(2)求证：x 2∈(0,1)．解 (1)命题①是假命题，可以举反例：取x ＝－10，则x <x 1，但是(12)－10＝1024,3×(－10)2＝300，(12)x <3x 2不成立；命题②是真命题，∵函数y ＝(12)x 在[x 2，＋∞)上是减函数，函数y ＝3x 2在[x 2，＋∞)上是增函数，∴当x >x 2时，(12)x <(12)x 2＝3x 22<3x 2.(2)证明：构造函数f (x )＝3x 2－(12)x ，则f (0)＝－1<0，f (1)＝3－12＝52>0，∴f (x )在区间(0,1)内有零点．又∵f (x )＝3x 2－(12)x 在区间(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )在区间(0,1)内的零点唯一． ∴x 2∈(0,1)．。
人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（ ） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（ ） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（ ）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知命题p ：函数()log 05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ， 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ；④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2． 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题， 所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确． 10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确． 11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意， 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．15．【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ＝{1|a a >且a ≠2}，所找的记为集合{}1A a a =>，则B ⇒A ，B /⇐A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q ⌝∧假，①正确； 对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0； 对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ⌝：∃非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，使≠b c ．p ⌝为真命题． 否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-≠a b c ，则≠b c ．否命题为真命题． 18．【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【解析】命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且240a a -<”．解得0≤a <4．命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，则140a ∆=-≥，得14a ≤． 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题， 故P Q ⌝∧为真命题，或P Q ⌝∧为真命题，则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得a <0或144a <<．所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ∆=->⇔<，并且10a<，从而a <0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．【答案】a ≤9．【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324x x <<⎧⎨<<⎩，即2<x <3．∴q ：2<x <3．设{}290|2A x x x a =-+<，B ＝{x |2<x <3}，∵p q ⌝⌝⇒，∴q ⇒p ．∴B ⊆A ．∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2290x x a -+<．∴2<x <3满足不等式292a x x <-．∵当2<x <3时，222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即2819928x x <-≤，∴a ≤9． 21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直， 得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：22cos cos 0x x -≠， 所以cos x ≠0或1cos 2x ≠． 而当[]0,x ∈π时，cos2π=0，1cos 32π=， 故存在2x π=或3x π=，使向量OP OQ ⊥成立，因而p 是假命题． 22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：∵33220a b ab a b ++--=，即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+， ∴()()2210a ab b a b -+-=+，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭，只有1a b+=．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．。
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套含答案解析
【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”.
【答案】D
2.已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()
A.﹁pB.﹁p∨q
C.﹁q∧pD.q
【解析】很明显命题p为真命题，所以﹁p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以﹁q是真命题.所以﹁p∨q为假命题，﹁q∧p为真命题，故选C.
【答案】C
10.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()
A.∅B.{c|c<－1}
C.{c|c≥－1}D.R
【解析】命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域包含(0，＋∞).即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}.于是A∩B＝∅，故选A.
【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15.已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______.
【解析】依题意，∴3≤m<8.
【答案】[3,8)
A.(0，－3)B.(1,2)
C.(1，－1)D.(－1,1)
【解析】因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题.所以点P为直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点.解方程组得即点P的坐标为(1，－1).
【答案】C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
高中数学选修2-1 第一章《 常用逻辑用语》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。