函数临界点的计算及其类型的判断
临界点求解三个数字
临界点求解三个数字在数学中，临界点是指一个函数在某一点的导数发生变化的点。
临界点的求解对于函数的最值、导数的正负性以及函数的图像有着重要的指导作用。
让我们深入探讨一下临界点的求解，并以三个数字为例进行说明。
1. 首先，让我们考虑一个简单的函数f(x) = x²。
我们希望找出这个函数的临界点来确定它的最值。
为了找到临界点，我们需要计算函数的导数。
对于f(x) = x²而言，它的导数是f'(x) = 2x。
现在我们来解方程2x = 0，得到x = 0。
这个临界点x = 0告诉我们函数的导数发生了变化，从正数变为零。
也就是说，在x = 0处，函数的增长速度突然变缓，从而确定了函数的最小值。
2. 接下来，考虑一个更加复杂的函数g(x) = 3x³ - 4x² + 2x + 1。
同样地，我们希望找到函数g(x)的临界点来确定其最值。
计算函数g(x)的导数g'(x)，我们得到g'(x) = 9x² - 8x + 2。
现在，我们来解方程9x² - 8x + 2 = 0。
通过求解这个二次方程，我们得到两个解：x = 0.359 和 x = 0.879。
这两个临界点告诉我们在这两个位置，函数的导数发生了变化。
根据导数的变化情况，我们可以确定函数在这两个临界点处的最值。
3. 最后，让我们考虑一个有限区间上的函数h(x) = sin(x) +cos(x)。
我们将寻找这个函数在区间[0,2π]上的临界点。
计算函数h(x)在区间[0,2π]上的导数h'(x)，我们得到h'(x) = cos(x) -sin(x)。
我们需要找到导数等于零的点，即cos(x) - sin(x) = 0。
通过数学计算，我们可以得知这个方程在x = π/4和x = 5π/4处有解，即这两个点是函数h(x)的临界点。
这个结果告诉我们在这两个临界点处，函数h(x)的增长速度发生了变化，从而可以确定函数在该区间上的最值。
高中物理中的临界与极值问题之令狐文艳创作
高中物理中的临界与极值问题令狐文艳宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。
与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。
极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。
临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。
因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。
高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。
从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。
也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。
可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
求临界点和取值范围问题的解析
求临界点和取值范围问题的解析临界点和取值范围问题是中考数学常考内容之一，一般与几何、函数一起考查，而取值范围问题，可能涉及不等式和代数式有意义的问题。
我们今天简单看一下临界点问题和取值范围常考哪些内容。
（1）求取值范围：①根据判别式求取值范围：例：已知x²-2mx+m+6=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围思路：显然有两个不相等的实数根需满足△=b²-4ac＞0，本式中a=1，b=-2m，c=m+6。
所以有（-2m）²-4（m+6）=4（m-3）（m+2）>0易知 m的取值范围为m<-2或m>3②有无数解问题：例：❶若ax²+ax+1>0恒成立，求a的取值范围。
【一般不等式均有无数解，这里我们说是恒成立】思路：实际上是考查对二次函数图像的认识，因为不等方程是＞0，所以二次函数需满足开口向上即a>0,且与x轴无交点，即判别式△<0,易知0<a<4例：❷关于x的不等式2x+5-a>1-bx恒成立，试确定a，b的取值范围。
思路：对于任意的方程ax+b=0，只有在a和b同时为0的时候，方程有无数解（为什么？因为a=0，则ax恒为0，与x的取值无关）。
而对于不等式ax+b>0，则必须是在a=0，b>0，时才可能恒成立。
所以此题先移项化为（2+b）x+4-a>0，则有b=-2,a<4。
②无解问题（二次函数问题不再举例）：例：❶思路：不等式组无解的思路是让两个不等式解到的解无公共部分例如（不存在x>1且x<0的值）。
本题中x-3（x-2）≤4，解得x≥1，第二个分式不等式解得x＜a，所以只需保证a不大于1即可，即a≤1。
（注意对于a是否能取1，不熟练时单独拿出来分析一下）❷我们将上一题略微改动：思路：注意改动的位置，第一个不等式不等式改变，则解变为了x≤1，而整个不等式组的解也是x≤1，所以第二个不等式解到的解必须是x<b,且b需要时大于1的数。
函数的极值与最值的求解(导数法)
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
函数临界点
函数临界点
函数的临界点是指函数图像上的转折点或拐点，也被称为驻点或拐点。
在临界点，函数的导数为零或不存在，因此临界点是确定函数极值和拐点的关键点。
对于一个函数 f(x)，它的临界点可以通过求导数 f'(x) 并令其等于零来求出。
当 f'(x) 在某个点 x=c 处等于零或不存在时，该点为函数的临界点。
在求出临界点后，可以通过一些方法来确定函数在临界点处的极值和拐点。
例如，可以通过二阶导数 f''(x) 的符号来确定临界点的分类：当 f''(x)<0 时，临界点为函数的局部最大值；当
f''(x)>0 时，临界点为函数的局部最小值；当 f''(x)=0 时，需要进一步分析来确定临界点的类型。
在一些应用中，函数的临界点也可以表示某些过程的关键节点。
例如，对于质量变化曲线，临界点可以表示材料的变化点；对于价格变化曲线，临界点可以表示市场的转折点。
因此，函数的临界点在数学和实际应用中都具有重要的意义。
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人教 版 九年级上册 与函数有关的临界点问题
朝阳二模第27题得分率统计图100%80%20%0%50%100%150%第（1）问第（2）问第（3）问得分率得分率直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．教学 环节教师活动学生活动 设计意图问题引入上周我们进行了第二次模拟考试，27函数综合题的得分率统计：从数据中发现大家在解答第（1）（2）问求函数解析式和特殊点时基本没有问题，在第（3）问求直线平移后与抛物线的临界点的参数取值时只有4位同学做对，所以本节课我们将专题复习这一类——与函数有关的临界点问题。
这是一种较综合的代数题型，也是北京中考的一个热点（如2014年第23题和2015年的第27题）。
这类题的题型特点是：利用图形的运动变化来找到满足条件的临界状况，再由临界点这一条件求出临界状况时的参数值，最后由临界状况时的参数值确定满足已知条件的参数的取值范围. 但它涉及的知识点较多且面较广，思维的要求较高，综合性较强，难度比较大，因此对不少同学来说它是还未解决的一个题型创设情景，引出本节复习的专题内容。
专题研究下面以海淀一模27题（改编）的第（3）问为例进行研究。
例1：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=x2-2x-3的顶点为A(1,-4)，与x轴交于B（-1,0），C(3,0)两点,与y轴交于点D．将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若直线y2=x+b与图像G有两个交点，结合函数的图象，求b的取值范围．通过上题，我们来总结一下解题步骤：第一步：“画一画”确定的图形第二步：“找一找”运动图形中确定临界点第三步：“算一算”计算临界时参数的值，并确定参数的取值范围。
第四步：“验一验”检验临界值是否可取。
教师带领学生画图并分析，学生自主总结，小组合作，畅所欲言，相互补充。
引导学生分析解决与函数有关的临界点问题变式训练刚才在“找一找”步骤中我们提到了“运动方式”，那么这一类临界点问题还有哪些运动方式呢？通过下面的一些变式训练，我们来总结一下。
三角函数的极值问题的求解方法
三角函数的极值问题的求解方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
在三角函数中，极值问题是一个常见而重要的求解方法。
本文将介绍三角函数的极值问题的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
首先，我们先回顾一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)。
这些函数的图像在数学坐标系中呈现出周期性的波动，具有许多特点和性质。
在三角函数的极值问题中，我们需要找到函数的最大值和最小值。
首先，我们需要了解函数在何处取得极值。
对于周期性的三角函数来说，它们的极值一般出现在一个周期的起点和终点，即在x=0和x=2π处。
这是因为三角函数的周期是2π，所以在一个周期内，函数的值会先增后减或先减后增。
其次，我们需要找到函数的临界点。
临界点是指函数的导数为零或不存在的点。
对于三角函数来说，我们可以通过求导的方法来找到临界点。
以sin(x)为例，它的导数是cos(x)。
当cos(x)=0时，即x=π/2或x=3π/2时，sin(x)的导数为零，所以这两个点是sin(x)的临界点。
在求解极值问题时，我们还需要考虑边界条件。
边界条件是指函数的定义域范围内的端点。
对于三角函数来说，边界条件一般是定义域的起点和终点。
以sin(x)为例，它的定义域是(-∞, +∞)，所以边界条件是x→-∞和x→+∞时的极限值。
在解决三角函数的极值问题时，我们可以采用以下方法：1. 使用图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的波动情况，找到极值点的大致位置。
这种方法适用于简单的三角函数，如sin(x)和cos(x)。
2. 使用导数法：通过求函数的导数，找到导数为零或不存在的点，即临界点。
然后，通过临界点和边界条件来判断函数的极值。
这种方法适用于复杂的三角函数，如tan(x)。
3. 使用数值法：通过计算函数在定义域内的一系列点的值，找到函数的最大值和最小值。
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
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H1=subs(He,{x,y},{0,0})
H2=subs(He,{x,y},{1,1})
eig(H1) % 得到特征值 -3
3
eig(H2) % 得到特征值 3
9
结论：f的临界点(0,0)是鞍点，(1,1)是极小值点。
作图观察
[X,Y]=meshgrid(-1:0.2:2); %生成网格点 Z=X.^3+Y.^3-3.*X.*Y; surf(X,Y,Z);%作曲面图 由图像也可以大致判断 (0,0)点为函数的鞍点
解：输入命令 syms x y %定义符号变量 f=x^3+y^3-3*x*y;%给定函数f Ja= jacobian(f,[x,y]) %计算f的Jacobi矩阵，即f的导
数（梯度） Ja = [ 3*x^2 - 3*y, 3*y^2 - 3*x]
He=jacobian(jacobian(f,[x,y]),[x,y]) %f的Hessian
矩阵，即f的二阶导数 He = [ 6*x, -3] [ -3, 6*y]
[x0,y0]=solve(Ja);%计算临界点
x0 =
0
1
- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2
- 1/2 - (3^(1/2)*i)/2
y0 =
0
1
- 1/2 - (3^(1/2)*i)/2
- 1/2 + (3^(1/2)*i)/2
x22
2 f (x0)
xnx2
2 f (x0 x1xn
)Hale Waihona Puke 2 f (x0)
x2xn
2 f (x0)
xn2
如果在函数的临界点Hessian矩阵是正定(负定)的，即所有特征值大(小)
于零，则该临界点为函数的极小(大)值点；如果既有正的又有负的特
1) H>0：若
2 f (x0 x2
)
0
则(x0,y0)是局部极小值点；
若2 f (x0)
x2
0
则(x0,y0)是局部极大值点。
2) H<0：则(x0,y0)是鞍点。
3) H=0：则二阶导数无法判断该临界点的性质，需要从更高阶
的导数用泰勒公式考虑。
(1) 计算f(x,y)=x3+y3-3xy临界点并判断其类型
征值，则该临界点为鞍点；否则，仅凭函数的二阶导数无法确定该临
界点的性质。
二元函数的极值
给定二阶导数连续的函数f(x,y)，对于f的临界点(x0,y0)， 只凭函数的一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大值点还是
局部极小值点。而结合函数的Hessian矩阵行列式
H(det(He))，可以判断f的临界点是属于鞍点还是极值点。
15
(1,1)点为函数的极小值点 10
5
0
-5 2
1
0 -1 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
思考
如何利用Matlab，给出课本292页例题的答案？
作业 习题9.3.2中临界点类型判别(2)、(4)、(6)、(8)
数学分析实验课（十）
函数临界点的计算及其类型的判断
例
判断下列函数临界点的类型 f(x,y)=x3+y3-3xy 分析：首先计算函数的临界点，即一阶导数的 零点，然后通过函数在临界点处的二阶导数， 即Hesse矩阵，的特征值的正负性判断临界点 的类型。
Hessian矩阵
定理：设 f:Rn R1,x0Rn x的各分量的二阶偏2f导(x数0)(i, j 1,2,n)
xixj
存在且连续，
,如果f在点x0处对于自变量 都
则函数f在点x0处二阶可导，并且称矩阵2fx(12x0)
2 f (x0)
D2
f
(x0
)
x2x1
2 f (x0
)
xnx1
为f在点x0处的Hessian矩阵。
2 f (x0)
x1x2 2 f (x0)