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高中数学中的恒成立问题-精品文档
高中数学中的恒成立问题数学课本中的公理定理推论公式等都可作为恒成立的结论：一次函数图象经过了一二三象限的则不会过第四象限，过了一二四象限的图象则不会过第三象限；二次函数图象开口向下时，则函数值在顶点处取最大值，开口向上时，在对称轴的右面呈递增的特性；奇函数都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定义）；│f（x）│≥0在定义域内恒成立；指数函数的值恒为正；周期函数从任一起点的一个周期内的图象截下沿X轴依次存放则成整个定义域内的图象；等比数列相邻相同项数的和与积都成等比数列；立体几何图形中的面积和体积不变问题等等。
具体来说有下面的恒成立题型。
一、定义域中恒成立案例1 如若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围是什么？（2007年高考）解：∵f（x）=的定义域为x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4a）≤0，解得-1≤a≤0.案例2 已知：a > 1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程loga x+loga y=c，求a 的取值的集合为什么？（2008年高考）解：∵loga x+loga y=c，∴y=.∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上递减，∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，ac-1≤a2c≤3ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2∵loga 2+2≤c≤3时，而c值只有1个，∴c=3，即loga 2=1，有a=2.∴a的取值的集合为：{2}注：对于定义域问题，要注重各个基本函数的定义域条件，实际上是比较基础的，主要是认出题目反映出来的是哪个基本函数。
如果题目与其它知识交叉运用，则难度会增大；同时重视多个条件的限制。
二、不等式中恒成立恒成立往往是在某个范围内成立，所以经常以不等式的形式出现。
案例3 集合A={t|t2-4≤0}，对于满足集合A的所有实数t，则使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围为什么？（2010年模拟）解：∵A={t|t2-4≤0}，∴A=[-2，2]，∵（x-1）t+x2-2x+1>0对t∈A恒成立，∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1对t∈[-2，2]恒有f（t）>0，∴，即，解得∴x的取值范围为：x>3或x。
高中数学恒成立问题(教师)
..n b +证明：当2(1cos=+22 4.a =,2n n+ 4132n n+++ 1122n n n++-11122n n n +=--2.()(2≠++=a c bx ax x f 1. （1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围.)0()(2≠++=a c b x a x x fB ≠∅⇔ (2) 当0a >时{x x x >B ≠∅⇔21a +3<⇒于是,实数a 的取值范围是)6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解法二:(1) 当0a <时象的对称轴2.a ⇒<-6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭学会用函数和变量来思考()f x 是奇函数上单调递增。
解：()f x m ≤]1,1-恒成立，即max 1am f +≥，max f f =220am m -+≥在[1,1-又4a > 0≥ 6∴-4a -≤≤⑶当22a->又4a <- 总上所述，-⑶解法一：分析：题目中要证明上恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间0在[]2,2-()lg(f x =又1a b >>}0>()lg(xf x a b =-b(f x '∴)x 在()0,+∞上单调递增上单调递增，∴。
(完整word版)恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >;()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化:()a f x >能成立⇒()min a f x >;()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间［a ，b]上的值域为A ，g （x)在区间［c,d ］上的值域为B ，则A B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方;10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方;恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立；某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
高一数学——恒成立问题
6 a 2
又
4 a 4
⑶当
4 a 2
a 2 ，即 a 4 时， g (a) f (2) 7 a 0 a 7 又 a 4 7 a 4 2
总上所述， 7 a 2 。 【3】 解法一：分析：题目中要证明 f ( x) a 在 2, 2 上恒成立，若把 a 移到等号的左边，则 把原题转化成左边二次函数在区间 2, 2 时恒大于等于 0 的问题。
分析： y f x 的函数图像都在 x 轴上方，即与 x 轴没有交点。 【1】 略解： a 4 3 a a 4a 12 0 6 a 2
2 2
【2】
a a2 f ( x) x a 3 ，令 f ( x) 在 2, 2 上的最小值为 g (a) 。 2 4
D． ， ∞
3 2
3 分类讨论法
【练习1】 【1】 【2】 【3】 已知函数 f ( x) x ax 3 a ，
2
在 R 上 f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围。 若 x 2, 2 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围。 若 x 2, 2 时， f ( x) 2 恒成立，求 a 的取值范围。
—2
2
a 5 2 ，即 a 4 时， g (a) f (2) 7 3a 2 a 4, 2 3 2 a 2 2
， 即
a 不存在。
⑵
当
4 a 4
时
，
a a2 g (a) f ( ) a 3 2 2 4
2
a 2 4(1 a ) 0 f (2) 0 5 a 2 2 2 ⑵ f ( 2) 0 a 2或 a 2 2 2
高中数学素能培优(二) 恒成立与能成立问题
例2(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=log3 9 ·log3(3x),函数g(x)=4x-2x+1+5.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若存在实数m∈[-1,2],使不等式f(x)-g(m)≥0成立,求实数x的取值范围.
1
2 3
2
令 =t,则 t∈(0, ],- 2 − +1=-3t2-2t+1,
3
2
2
5
1
5
2
2
令 g(t)=-3t -2t+1,t∈(0, ],则 g(t)的最小值为 g =- ,所以 2-4m ≤- ,
3
3
3
3
33Biblioteka 3222
整理可得(3m +1)(4m -3)≥0,解得 m ≥ 4,即 m≥ 2 或 m≤- 2 .
2
因为
2
y= -x
7
在(1,4)内单调递减,所以值域为(- ,1),所以
2
2
-x
在(1,4)内能成立,
a 的取值范围是(-∞,1).
命题点3
更换主元法
解决含参数不等式恒成立(能成立)的某些问题时,若能适时的把主元变量
和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化,方便问题的求解.
例5已知当a∈[2,3]时,不等式ax2-x+1-a≤0恒成立,求x的取值范围.
1
例 1(2024·江西南昌模拟)已知函数 f(x)=x -ax+a ,若在区间[ ,a]上,
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恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的， 下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥ f(x)恒成立 , 只须求出,则 a ≥ 例1; 若已知函数a ≤ f(x) f(x)=恒成立 ,只须求出 , 若任意, 则 x ∈ [2 ,+a ≤∞ ) 恒有转化为函数求最值 . f(x)>0, 试确定 a 的取值范围 .解 : 根据题意得则 f(x)= -,x+ - 2>1 在 x ∈ [2 ,+ ∞ ) 上恒成立 , 即+ , 当 x=2 时 ,=2 , 所以 a>-a>2+3x 在 x ∈[2 ,+ ∞ ) 上恒成立 . 设 f(x)=-+3x .2 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即 : 若 f(a) ≥ g(x) 恒成立 , 只须求出 g(x) 最大值 , 则 f(a) ≥范围 ; : 若 f(a) ≤ g(x) 恒成立 , 只须求出 g (x) 最小值 , 则 f(a) ≤值范围 . 问题还是转化为函数求最值 .例 2 已知 x ∈ ( - ∞ ,1] 时 , 不等式 1+ +(a -)>0 恒成立 , 求 解 令=t , ∵ x ∈ ( - ∞ ,1]∴ t ∈(0 ,2]. 所以原不等式可化为上恒成立 , 只须求出 f(t)=在 t ∈(0 ,2] 上的最小值即可 .∵ f(t)== + = -又 t ∈ (0 ,2] ∴ ∈ [) . 然后解不等式求出参数a 的取值. 然后解不等式求出参数a 的取a 的取值范围 .<, 要使上式在 t ∈ (0 ,2]∴ =f(2)=∴ < , ∴ - <a<例 3 设 ab c 且1 b1m 恒成立，求实数 m 的取值范围。
高中数学恒成立问题常见类型及解法共24页文档
高中数学恒成立问题常见类型及解法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的。——孔子
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高中数学不等式的恒成立问题
不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结
合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式：
一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取
值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解
决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构
造函数法
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构
造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量
的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目
更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.
例 1已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.
解：由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相
的似，于是我们可以设则不等式对满足
一切实数恒成立对恒成立.当时，
即
解得故的取值范围是.
注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令
则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法
在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）
能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的
最值或范围可求时，常用分离参数法.
例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数 .
都有在上恒成立，求实数的（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数
取值范围 .
解：由题意知，函数在区间上是减函数.
在上恒成立
注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧
看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.
三、数形结合法
如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、
图形的位置关系建立不等式求得参数范围 .
例 3已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是.
解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是
注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当
的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围. 利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象. 如：不等式，在时恒成立，求的取值范围 . 此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结
合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解 . 四、最值法
当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最
值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解 .
例 4已知函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，
，亦即
，由
在上单调递增，在
，所以
得. 且当时，
上单调递减，所以
. 令
；当时，
在处取得极大值
，则
，即
，也
就是函数在定义域上的最大值 . 因此要使恒成立，需要，所以的
取值范围为.
例 5对于任意实数x，不等式│ x+1│+│x-2 │＞ a 恒成立，求实数 a 的取值范围.
分析①：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解.
解法 1：设 f （x）=│x+1│+│x-2 │
=-2x+1, （x≤1）3，（ -1 ＜x≤2）2x-1, （x＞2）
∴f（x）min=3.
∴a＜3.
分析②：利用绝对值不等式│a│- │b│＜│ a±b│＜│ a│+│b│求解 f （x）= │x+1│+│ x-2 │的最小值 .
解法 2：设 f （x）=│x+1│+│x-2 │，
∵│ x+1│+│x-2 │≥│（ x+1）- （x-2 ）│ =3，
∴f（x）min=3. ∴a＜3.
分析③：利用绝对值的几何意义求解 .
解法3：设x、-1 、2 在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│ x+1│+│x-2 │=│PA│+│PB│，当点P 在线段AB上时，
PA│+│PB│=│AB│=3，当点P 不在线段
│
PA│+│PB│＞ 3，因此不论点P 在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当AB上时，
│
a＜3 时，│ PA│+│PB│＞ a 恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2 │＞a 恒成立 . ∴实数a 的取值范围为（- ∞， 3）.
小结
求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为
正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象. 综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”
为主要特征，以“导数”为主要解题工具. 往往与函数的单调性、极值、最值等有关，
所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题. 不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等
特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用
的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透
恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和
思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.。