人教版八年级数学正方形专题训练
A
B C
D
E
B
C
D E A
M
G H
A B
C
D B C
D E F A E
B C
D M N A ①O G
F A B C
D E ②
O
G F
A
B
C
D
E
Q P F A B C D E
③②P Q A D C B A D C B Q P A B C D ①F O M N E
A B
C
1.已知：如图所示，E 为正方形ABCD 外一点，AE ＝AD ，∠ADE ＝75°，则∠AEB ＝＿＿
2.已知：矩形ABCD 中，AB ＝2CB ，点E 中DC 上，且AE ＝AB ，则∠EBC ＝＿＿＿。
3.正方形ABCD 中，对角线的长是10cm ，点P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和是＿＿＿。
4.如图所示不，在正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，连结AM ，作AM 的垂直平分线GH 交
AB 于G ，交CD 于H ，若AM ＝10cm ，则GH ＝＿＿。
5.以线段AB 的两个端点A 、B 为顶点作位置不同的正方形，一共可作＿＿个。
6.在正方形ABCD 所在平面内找一点P ，使P 点与A 、B 、C 、D 中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P 点有＿＿。
7.已知：如图所示，E 、F 分别是正方形的边BC 、DC 上的点，且∠EAF ＝45°，求证：BE ＋DF ＝EF
8.如图所示，在正方形ABCD 中，M 为AB 上任意一点，MN ⊥DM ，BN 平分∠CBE ，试说明：MD ＝MN 。
9.（1）如图①所示，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，请说明OE ＝OF
（2）对于上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB 交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE ＝OF ”还
成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。
10.四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿AB 、
BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 移动。
①运动中的四边形PQEF 是正方形吗？请说明理由； ②PE 在运动中是否总过某一点？请说明理由；
③四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？
11.操作：将一把三角尺放中正方形ABCD 中，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，探究：①当点Q 在DC 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论；②当点Q 在DC 的延长线上时，①中你观察到的结论还成立吗？说明理由。
［图中①供操作用，②、③供说明用］
12.如图所示，在ΔABCD 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。
①试说明OE ＝OF ； ②当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请简要说明理由。
D
A
B M
C
F
N E
F
G H
E
A
B
C
D
③当点O 运动时，四边形AECF 有可能是正方形吗？请简要说明理由。
13.在以ΔABC 的AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点，求证：EM ＝MF 。
14.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，AE 的延长线交BC 的延长线于F ，交CD 于H ，G 为FH 中点，求证：EC ⊥CG 。
15.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；
⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.
【中考题】在□ ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE .
（1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.
解：（1）四边形EGFH 是平行四边形． …………………………1分 证明：∵ ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ． ∴点O 是 ABCD 的对称中心． ∴EO =FO ，GO =HO ．
∴四边形EGFH 是平行四边形． …………………………4分 （2）菱形． …………………………5分 （3）菱形． …………………………6分 （4）四边形EGFH 是正方形． …………………………7分
证明：∵AC =BD ，∴ ABCD 是矩形． 又∵AC ⊥BD ， ∴ ABCD 是菱形． ∴ ABCD 是正方形，∴∠BOC =90°，∠GBO =∠FCO =45°．OB =OC ． ∵EF ⊥GH ，∴∠GOF =90°．∴∠BOG =∠COF ．
∴△BOG ≌△COF ．∴OG =OF ，∴GH =EF ． …………………………9分
由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，又∵EF ⊥GH ，EF =GH . ∴四边形EGFH 是正方形． ……………………10分
E
A B
N
M
H
G F E O D C B A 图① H G F E O D C B A 图② A B C
D O
E
F
G
H 图③ A B C D O E F G H 图④ （第23题图）。
18.22 平面直角坐标系中的正方形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)
专题18.22 平面直角坐标系中的正方形（专项练习）一、填空题1．（2019·广东红岭中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为(1,1)．若直线y x b =+与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是____________．2．（2020·山东九年级）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕O 点顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕O 点连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，则点2021A 的坐标为_______．3．（2020·河北八年级期末）正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，正方形3332A B C C ，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点1A 、2A 、3A 和1C 、2C 、3C …分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2020B 的坐标是__________．4．（2019·北京人大附中八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且(3,0),(2,)A B b -，则直线CD 的解析式是_____________．5．（2019·丹东市第七中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中正方形OABC ，点A 的坐标为(1，2)，则点C 的坐标 __6．（2021·湖北八年级期末）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A的坐标为(，则点B 的坐标为______．7．（2020·宁波市第十五中学八年级期末）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．8．（2019·河南八年级期末）如图在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (0,2)，以AB 为边作正方形ABCD ，则点C 的坐标为___________.9．（2020·甘肃八年级期末）如图：在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、．．．在直线l 上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点2018B 的坐标是__________．10．（2020·湖北九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，继续旋转至2020次得到正方形202020202020OA B C ，那点2020B 的坐标是__________．11．（2021·沭阳县修远中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，则正方形OABC 的面积为____．二、解答题12．（2016·浙江八年级月考）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为（﹣4，﹣2），（1）求点A 的坐标.（2）线段BO 的长度.13．（2019·北京八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且A （-3，0），B （2，b ），求正方形ABCD 的面积．14．（2018·青岛超银中学九年级单元测试）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的点()2,0A ，()0,0O ，()0,2C ，现将此正方形绕O 逆时针旋转45，得到正方形111OA B C ，求正方形111OA B C 各顶点的坐标．15．（2019·四川八年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的点A 、C分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点()6,6B 在第一象限，AP 平分CAB ∠交OB 于P .（1）求OPA ∠的度数和OP 的长；（2）点P 不动，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转至图2的位置，60COP ∠=︒，AP 交OB 于点F ，连接CF .求证：OF CF PF +=；（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB 交x 轴于点D 、OE 平分BAD ∠，M 、N 是OB 、OE 上的动点，求BN MN +的最小值，请在图中画出示意图并简述理由. 16．（2019·天津中考模拟）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图①，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．17．（2020·广东九年级）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （0，1），点C （1，0），正方形AOCD 的两条对角线的交点为B ，延长BD 至点G ，使DG BD =．延长BC 至点E ，使CE BC =，以BG ，BE 为邻边做正方形BEFG ．（①）如图①，求OD 的长及AB BG的值； （①）如图①，正方形AOCD 固定，将正方形BEFG 绕点B 逆时针旋转，得正方形BE F G '''，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG '．①旋转过程中，当BAG ∠'=90°时，求α的大小；①在旋转过程中，求AF'的长取最大值时，点F'的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．18．（2020·四川八年级期末）如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中的第一象限，点A，点B分别在y轴，x轴正半轴上，AB所在的直线方程为443y x=-+．（1）求点C和点D的坐标；（2）连接BD，将线段BD绕点B顺时针方向旋转至BE的位置，交线段CD于点F若DE DF=，求直线CE的解析式．19．（2021·广东八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求正方形ABCD的面积；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB∆的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019·福建八年级期末）如果P 是正方形ABCD 内的一点，且满足①APB＋①DPC＝180°，那么称点P 是正方形 ABCD 的“对补点”.（1）如图1，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，求证：点M 是正方形ABCD 的对补点；（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A （1，1），C （3，3）.除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明.21．（2020·天津九年级月考）已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E ，F 分别在OA ，OC 上，且4OA =，2OE =．将OEF 绕点O 逆时针旋转，得OEF 点E ，F 旋转后的对应点为1E ，1F ．（①）①如图①，求11E F 的长；①如图①，连接1CF ，1AE ，求证11OAE OCF △≌△； （①）将OEF 绕点O 逆时针旋转一周，当11OE CF ∥时，求点1E 的坐标（直接写出结果即可）．22．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且AB ①OC ，BC OC ⊥，AB =4，BC =6，OC =8．正方形ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO 面积．将正方形ODEF 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO 的重叠部分面积为S ．（1）分析与计算：求正方形ODEF 的边长；（2）操作与求解：①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S （S ＞0）的变化情况是 ； A ．逐渐增大B ．逐渐减少C ．先增大后减少D ．先减少后增大①当正方形ODEF 顶点O 移动到点C 时，求S 的值；（3）探究与归纳：设正方形ODEF 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．23．（2020·北京四中九年级）在ABC 中，点D 在AB 边上（不与点B 重合），DE BC ⊥，垂足为点E ，如果以DE 为对角线的正方形上的所有点都在ABC 的内部或边上，则称该正方形为ABC 的内正方形．（1）如图，在ABC 中，4AB =，30B ∠=︒，点D 是AB 的中点，画出ABC 的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；（2）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A t ，(0,0)B ，3,02C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ①若2t =，求ABC 的内正方形的顶点E 的横坐标的取值范围；①若对于任意的点D ，ABC 的内正方形总是存在，直接写出t 的取值范围．24．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线12:43l y x =-+分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将AOB 沿直线29:22l y x =-折叠，使点B 落在点C 处．（1）求点C 的坐标．（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当CDB △与CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式．（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点(),3M m ）和点P ，使四边形EFMP 为正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（2020·湖北江夏一中八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，(,)A a b ，(,0)B c 是x轴正半轴上一点，30ABO ∠=︒|2|a -互为相反数．（1）求c 的值；（2）如图2，AC AB ⊥交x 轴于C ，以AC 为边的正方形ACDE 的对角线AD 交x 轴于F ．①求证：2BE OC =；①记22BF OF m -=，2OC n =，求m n的值． 26．（2019·辽宁七年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形EFGH .设正方形EFGH 与正方形ABCD 重叠部分面积为S .（1）①当点F 与点B 重合时，m 的值为______；①当点F 与点A 重合时，m 的值为______. （2）请用含m 的式子表示S ，并直接写出m 的取值范围.27．（2019·北京八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,0)A -，4()2,D -，顶点B 在x 轴的正半轴上．(1)写出点,B C 的坐标；(2)直线55y x =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．求EFC ∆的面积．28．（2019·河北九年级）如图，在平面直角坐标系中，点()()2,1,6,1B C ，四边形ABCD 是正方形，作直线()0y kx k =>与正方形AB CD 、边所在直线相交于E F 、（1）若直线()0y kx k =>经过点A ，求k 的值；（2）若直线()0y kx k =>平分正方形ABCD 的面积，求E 的坐标；（3）若AEF ∆的外心在其内部，直接写出k 的取值范围．29．（2020·天津南开翔宇学校九年级月考）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A -，点(0,6)C .若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形'''OA B C ，记旋转角为α.（①）如图①，当45α=︒时，求BC 与''A B 的交点D 的坐标；（①）如图①，当60α=︒时，求点'B 的坐标；（①）若P 为线段'BC 的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可)．参考答案1．﹣2＜b ＜2【解析】【分析】当直线y =x +b 过D 或B 时，求得b ，即可得到结论．【详解】①正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为（1，1），①D （1，3），B （3，1）． 当直线y =x +b 经过点D 时，3=1+b ，此时b =2．当直线y =x +b 经过点B 时，1=3+b ，此时b =﹣2．所以，直线y =x +b 与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是﹣2＜b ＜2．故答案为﹣2＜b ＜2．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】如图，①四边形OABC 是正方形，且OA=1，①A （0，1），①将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，①A 1），A 2（1，0），A 3，），…，发现是8次一循环，所以2021÷8=252……5，①点A 2021的坐标为（2-，2-）．故答案为（2-，2-）．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．3．20202019201921,2()B ﹣ 【分析】根据直线解析式先求出OA 1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n 个正方形的边长，从而求得点B n 的坐标，即可求得点B 2020的坐标．【详解】解：①直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，①OA 1=1，①B 1（1，1），①OA 1=1，OA=1，①①OAA 1=45°，①①A 2A 1B 1=45°，①A 2B 1=A 1B 1=1，①A 2C 1=2=21，①B 2（3，2）同理得：A 3C 2=4=22，…，①B 3（7，4）；B 4（24-1，24-1），即B （15，8），①B n （2n -1，2n -1），①B （22020-1，22019）故答案为（22020-1，22019）．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键．4．355y x =-+ 【分析】根据A(-3，0)，B (2，b)，得到OA=3，OE=2，易证得≅≅Rt AOD Rt BEA Rt DFC ，得到DF=AO=3，OD=AE=CF=5，即可求得点C 、D 的坐标，从而求得直线CD 的解析式．【详解】作CF①y 轴于F ，BE①x 轴于E ，①A(-3，0)，B (2，b)，①OA=3，OE=2，①AE= OA+OE =5，①四边形ABCD 是正方形，①AB=AD=CD ，①BAD=①ADC=90︒，①①1+①DAO=90︒，①2+①DAO=90︒，①2+①CDF=90︒，①3+①CDF=90︒，①①1=①2=①3，①≅≅Rt AOD Rt BEA Rt DFC ，①DF=AO=3，OD=AE=CF=5，①OF= OD - DF=2，①点C 的坐标为(5，2)，点D 的坐标为(0，5)，设直线CD 的解析式为5y kx =+，把点C 的坐标为(5，2)代入得：255k =+， 解得：35k =-，①直线CD 的解析式为355y x =-+， 故答案为：355y x =-+．【点拨】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．(-2，1)【分析】过点A 作AD①x 轴于D ，过点C 作CE①x 轴于E ，根据同角的余角相等求出①OAD=①COE ，再利用“角角边”证明①AOD 和①OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．【详解】如图，过点A 作AD①x 轴于D ，过点C 作CE①x 轴于E ，①四边形OABC 是正方形，①OA=OC ，①AOC=90°，①①COE+①AOD=90°，又①①OAD+①AOD=90°，①①OAD=①COE ，在①AOD 和①OCE 中，90OAD COE ADO OEC OA OC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩①OE=AD=2，CE=OD=1，①点C 在第二象限，①点C 的坐标为（-2，1）．故答案为（-2，1）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．(1-+【分析】过点A作AE①x轴，垂足为点E，过点B作BF①y轴，垂足为点F，交EA的延长线于点D，证明①AOE①①BAD，得到BF，DE的长度，后将线段的长度转化为点的坐标即可．【详解】过点A作AE①x轴，垂足为点E，过点B作BF①y轴，垂足为点F，交EA的延长线于点D，①四边形ABCO是正方形，①OA＝AB，①OAB＝90°，①①DBA+①BAD＝90°，①BAD+①EAEO＝90°，①①DBA＝①EAO，在①DBA和①EAO中，①DBA=①AEO,①D=①EAB=OA，①①BDA①①AEO，①BD＝AE，AD＝OE，①A（1），①OE＝AD＝DF=1，BD＝1，+1，①点B坐标为（1+1），故答案为：(1+．【点拨】本题考查了正方形的性质，一线三直角全等模型，线段与坐标的关系，根据图形的特点，熟练构造模型证明三角形全等是解题的关键．7．()3,1-【分析】过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．先证明AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，得到1AD CE BF ===，2OD OE CF ===，根据点的坐标定义即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．()2,1C --，2OE ∴=，1CE =．四边形OABC 是正方形，OA OC BC ∴==．易求AOD COE BCF ∠=∠=∠．又90ODA OEC F ∠=∠=∠=︒①AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，1AD CE BF ∴===，2OD OE CF ===，∴点A 的坐标为()1,2-，211EF =-=，点B 到y 轴的距离为123+=，∴点B 的坐标为()3,1-．故答案为：()3,1-【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．8．(2,6)或(−2,−2)【解析】【分析】当点C 在AB 上方时，过点C 作CE①y 轴于点E ，易证①AOB①①BEC （AAS ），根据全等三角形的性质可得BE=AO=4，EC=OB=2，从而得到点C 的坐标为（2,6），同理可得当点C 在AB 下方时，点C 的坐标为：（-2,-2）.【详解】解：如图所示，当点C 在AB 上方时，过点C 作CE①y 轴于点E ，①A (4,0)，B (0,2)，四边形ABCD 为正方形，①①BEC=①AOB=90°，BC=AB ，①①BCE+①EBC=90°，①OBA+①EBC=90°，①①BCE=①OBA ，①①AOB①①BEC （AAS ），①BE=AO=4，EC=OB=2，①OE=OB+BE=6，①此时点C 的坐标为：（2,6），同理可得当点C 在AB 下方时，点C 的坐标为：（-2,-2），综上所述，点C 的坐标为：(2,6)或(−2,−2)故答案为：(2,6)或(−2,−2).【点拨】本题主要考查坐标与图形以及三角形全等的判定和性质，注意分情况讨论，不要漏解. 9．（22017，22018-1）【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质找出A 1、B 1、A 2、B 2、A 3、B 3的坐标，从而求出B n ，从而求出结论．【详解】解：将y=0代入1y x =-中，得x=1①A 1（1，0），①OA 1= A 1B 1=1，即点B 1（1，1）=（21-1，21-1）；将y=1代入1y x =-中，得x=2①A 2（2，1），①A 2 C 1= A 2B 2=2，即点B 2的坐标为（2，1＋2）=（2，3）=（22-1，22-1）；将y=3代入1y x =-中，得x=4①A 2（4，3），①A 3C 2= A 3B 3=2，即点B 3的坐标为（4，1＋2＋4）=（4，7）=（23-1，23-1）； ①点B n 的坐标是（2n -1，2n -1）．①点2018B 的坐标是（22018-1，22018-1）=（22017，22018-1）．故答案为：（22017，22018-1）．【点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“点B n 的坐标是（2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．10．（-1，-1）【分析】连接OB ，根据图形可知，点B 在以点O 为圆心、、OB 为半径的圆上运用，将正方形OABC绕点O 逆时针依次旋转45°，可得点B 的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是8次一个循环，进而得出结论．【详解】解：如图，①四边形OABC 是正方形，且OA=1，①B （1,1），连接OB ，由勾股定理可得OB = ，由旋转的性质得：1232OB OB OB OB ===== 将正方形OABC 绕点O 逆时针依次旋转45°，得：11245AOB BOB B OB ∠=∠=∠==︒，①(10B ，()21,1B -，()3B ，41(1)B --，，…，可发现8次一循环， ①202082524÷=，①点2020B 的坐标为(11)--，, 故答案为(11)--，． 【点拨】本题考查了几何图形的规律探究，根据计算得出“8次一个循环”是解题的关键． 11．325【分析】过点C 作CD x ⊥轴于点D ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，由正方形的性质就可以得出CDO AEO ∆≅∆，就可以得出CD AE =，OD OE =，由一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，设点(,24)C a a -，就可以得出(24,)A a a --代入解析式就可以求出a 的值，由正方形的面积等于2OC 就可以求出结论．【详解】解：过点C 作CD x ⊥轴于点D ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，90CDO AEO ∴∠=∠=︒．四边形OABC 是正方形，90AOC ∴∠=︒，OC OA =．90DOE ∠=︒，AOC DOE ∴∠=∠，AOC AOD DOE AOD ∴∠-∠=∠-∠，COD AOE ∴∠=∠．在CDO ∆和AEO ∆中，CDO AEO COD AOE OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDO AEO AAS ∴∆≅∆CD AE ∴=，OD OE =．一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，设点(,24)C a a -， OD a ∴=，24CD a =-，OE a ∴=，24AE a =-，(24,)A a a ∴--，2(24)4a a ∴-=--，125a ∴=． 125OD ∴=，45CD =，在Rt CDO ∆中，由勾股定理，得2222212432555OC OD CD ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2OABC S CO =正方形，325OABC S ∴=正方形． 故答案为：325． 【点拨】 本题考查了正方形的性质及面积公式的运用，垂直的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，一次函数图象上点的坐标的特征的运用，构造K 字形全等，得出AC 两点坐标关系是解题的关键．12．（1）A(-2,4)；（2）【解析】试题分析：（1）过点A 作AE①y 轴，垂足为E ，过点C 作CD①y 轴，垂足为D,易证①AEO①①ODC ，即可求得A 点的坐标；（2）过点B 作BF①CD 交DC 的延长线于点F ，易证①BFC①①ODC ，即可求得点B 的坐标，由勾股定理求得正方形的边长，即可求得正方形的对角线OB 的长.试题解析：（1）过点A 作AE①y 轴，垂足为E ，过点C 作CD①y 轴，垂足为D,易证①AEO ≅①ODC,得A(-2,4)；（2）同理可证①BFC ≅①ODC ，得B(-6,2)，得.13．34【分析】过点B 作BM①x 轴于点M ，通过证明AOD BMA ≅，可得,AO MB DO AM ==，即可得出AO 、DO 的值，根据勾股定理求出AD 的值，即可求出正方形的面积．【详解】过点B 作BM①x 轴于点M①四边形ABCD 是正方形,90AD AB DAB ︒∴=∠=90OAD BAM ︒∴∠+∠=90BAM ABM ︒∠+∠=OAD ABM ∴∠=∠在①AOD 和①BMA 中AOD AMBOAD ABM AD AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOD BMA ∴≅,AO MB DO AM ∴==(3,0),(2,)A B b -3,2AO OM ∴==3,325MB AM AO OM ∴==+=+=5DO ∴=22292534AD AO DO =+=+=234ABCD S AD ∴==正方形．【点拨】本题考查了正方形的面积问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．14．1A ，(1B ，(1C ，()0,0O ． 【分析】作A 1D①x 轴于D ，C 1E①x 轴于E ，如图，根据正方形的性质得，①BOA=①BOC=45°，再根据旋转的性质得点B 1在y 轴上，OB 1，①A 1OD=45°，①B 1OC 1=45°，OA 1=OA=OC 1=2，则可判断①A 1OD 和①EOC 1都是等腰直角三角形，于是可根据等腰直角三角形的性质得到A 1D=OD=2OA 1，C 1E=OE=2OC 1，然后根据各象限点的坐标特征和y 轴上点的坐标特征写出正方形OA 1B 1C 1各顶点的坐标．【详解】解：作1A D x ⊥轴于D ，1C E x ⊥轴于E ，如图，①正方形OABC 的点()2,0A ，()0,0O ，()0,2C ，①OB =45BOA BOC ∠=∠=，①正方形OABC 绕O 逆时针旋转45，得到正方形111OA B C ，①点1B 在y 轴上，1OB OB ==，145A OD ∠=，1145B OC ∠=，112OA OA OC ===，①1A OD 和1EOC 都是等腰直角三角形，①112A D OD OA ===112C E OE ===，①1A ，(1B ，(1C ，()0,0O ． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．（1）∠OP A=67.5°；OP ＝6；（2）详见解析；（3）【分析】（1）先求出①3=①2=①BAC=45°，进而得出①CAP=22.5°，即可得出OP=OA ，即可得出结论；（2）先求出①P=15°，进而判断出①FOG 是等边三角形，再判断出①COF①①POG ，即可得出结论，（3）先作出点B 关于OE 的对称点B'，得出BN+MN=B'M ，然后根据垂线段最短的性质可确定M 点坐标，即可计算出结论．【详解】解：（1）如图1，①AC ，OB 是正方形OABC 的对角线，①OA ＝AB ，①2＝①3＝①BAC ＝45°，①AP 是①BAC 的角平分线，①①1＝12①BAC ＝22.5°， ①①OAP ＝①3+①1＝67.5°，在①OAP 中，①OP A ＝180°﹣①2﹣①OAP ＝67.5°，①①OAP ＝①OP A ，①OA ＝OP ，①B （6，6），①AB ＝6，①OA ＝AB ＝6，①OP ＝6；（2）如图2，①四边形OABC 是正方形，①OA ＝OC ，①AOC ＝90°，①①COP ＝60°，①①AOP ＝150°，由（1）知，OP ＝OA①①P ＝15°，由（1）知，①POG ＝45°，①①AGO ＝①P +①POG ＝60°，①OB 是正方形的对角线，①①BOC ＝45°，①①COP ＝60°，①POG ＝45°，①①BOG ＝①COP ＝60°，①①OFG 是等边三角形，①OF ＝FG ＝OG ，在①COF 和①POG 中，45OF OGCOF POG OC OP=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①COF ①①POG ，①PG ＝CF ，①CF +OF ＝PG +FG ＝PF ；（3）如图3，过点B 作BQ ①OE 于Q ，延长BQ 交x 轴于B '，①OE 是①DOB 的平分线，①BQ ＝B 'Q ，①点B '与点B 关于OE 对称，连接B 'M '交OE 于N '，①BN '+M 'N '＝B 'N '+M 'N '＝B 'M '，过点B '作B 'M ①OB 于M ，交OE 于N ，此时，BN +MN 最小，①OB 是边长为6的正方形的对角线，①OB ＝由作图知，OB '＝OB ＝，由（2）易知，①BOD ＝30°，在Rt①B 'OM 中，B 'M ＝12OB '＝3，即：BN +MN 的最小值为【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识进行推理证明是解题关键．16．（1）(6-；（2）3,3+；（3）3323AP +.【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt①BA′D 中，①OBC ＝45°，A′B ＝6，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明①OMC′①①C′NB′，可得C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝12OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．【详解】解：（1）①A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），①四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，①OB＝OA′＝OA＝6，①OBC＝45°，①A′B＝6，①BD＝（6）12=-，①CD＝6﹣（12-=6，①BC与A′B′的交点D的坐标为（6-6）；（2）如图①，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，①①OC′B′＝90°，①①OC′M＝90°﹣①B′C′N＝①C′B′N，①OC′＝B′C′，①OMC′＝①C′NB′＝90°，①①OMC′①①C′NB′（AAS），当α＝60°时，①①A′OC′＝90°，OC′＝6，①①C′OM＝30°，①C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，①点B′的坐标为(3,3+；（3）如图①，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，①P为线段BC′的中点，①PK＝12OC′＝3，①P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，①AK＝①AP最大值为3，AP的最小值为3，①AP长的取值范围为3323AP+.【点拨】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．17．（①，12AB BG =；（①）①α=30°，α=150°，①F '），α=315°．【分析】（①）根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题；（①）①因为①BAG ′=90°，BG ′=2AB ，可知sin①AG ′B ='AB BG =12，推出①AG ′B =30°，推出旋转角α=30°，据对称性可知，当①ABG ″=60°时，①BAG ″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°；①当α=315°时，A 、B 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大．【详解】解：（①）如图①中，①A （0，1），①OA =1．①四边形OADC 是正方形，①①OAD =90°，AD =OA =1，①OD =AC ，①AB =BC =BD =BO =2． ①BD =DG ，①BG ，①AB BG=12． （①）①如图①中，①①BAG ′=90°，BG ′=2AB ，①sin①AG ′B ='AB BG =12， ①①AG ′B =30°，①①ABG ′=60°，①①DBG ′=30°，①旋转角α=30°，根据对称性可知，当①ABG ″=60°时，①BAG ″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°．综上所述：旋转角α=30°或150°时，①BAG ′=90°． ①如图3中，连接OF ．①四边形BE ′F ′G ′，①BF ′=2，①当α=315°时，A 、B 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，最大值为2+2，此时α=315°，F ′（1122+-，）．【点拨】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用． 18．（1）点C 的坐标为(7,3)，点D 的坐标为(4,7)；（2）直线CE 的解析式为746y x =-． 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，从而可得3,4OB OA ==，再根据正方形的性质、直角三角形的性质可得,AB BC OAB HBC =∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得3, 4CH BO BH AO ====，从而可得7OH =，由此即可得出点C 的坐标，同样的方法可求出点D 的坐标；（2）设旋转角DBE ∠的大小为x ，先根据正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出30x =︒，再根据直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//BD CE ，然后利用待定系数法求出直线BD 的解析式，从而可得直线CE 的解析式中的一次项系数，最后将点C 的坐标代入即可得． 【详解】 （1）AB 所在的直线方程为443y x =-+， 当0x =时，4y =，即()0,4A ， 当0y =时，4403x -+=，解得3x =，即(3,0)B ， 3,4OB OA ∴==，如图，过点C 作⊥CH x 轴，垂足为H ， 四边形ABCD 是正方形，90,ABC AB BC ∴∠=︒=，90OAB OBA OBA HBC ∴∠+∠=∠+∠=︒， OAB HBC ∴∠=∠，在OAB 和HBC 中，90OAB HBC AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OAB AAS HBC ∴≅，3, 4CH BO BH AO ∴====，347OH OB BH ∴=+=+=，∴点C 的坐标为(7,3)，同理可得：点D 的坐标为(4,7)；（2）设旋转角DBE ∠的大小为x ，四边形ABCD 是正方形，45BDC ∴∠=︒，AC BD =，AC BD ⊥， DFE ∠是BDF 的一个外角，45DFE DBE BDC x ∴∠=∠+∠=+︒， DE DF =，45DEF DFE x ∴∠=∠=+︒，由旋转的性质得：BD BE =，45BDE BED x ∴∠=∠=+︒，4545EDF BDE BDC x x ∴∠=∠-∠=+︒-︒=，在EDF 中，由三角形的内角和定理得：180EDF DEF DFE ∠+∠+∠=︒， 即()245180x x ++︒=︒， 解得30x =︒，如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接AC ，交BD 于点N ，则1122CN AC BD ==， 在Rt BEM 中，30EBM x ∠==︒，1122EM BE BD ∴==， EM CN ∴=，,E AC BD M BD ⊥⊥，//EM CN ∴，∴四边形EMNC 是平行四边形，//BD CE ∴，设直线BD 的解析式为y kx b =+，将()3,0B 和()4,7D 代入得：3047k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得721k b =⎧⎨=-⎩， 则直线BD 的解析式为721y x =-，//BD CE ，∴设直线CE 的解析式为7y x m =+，将点()7,3C 代入得：493m +=，解得46m =-，故直线CE 的解析式为746y x =-．【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，较难的是题（2），利用平行四边形的判定与性质得出//BD CE 是解题关键．19．（1）5；（2）()1,3C -，()3,2D -；（3）存在，()1,0M - 【分析】（1）在直角三角形AOB 中，由OA 与OB 的长，利用勾股定理求出AB 的长即可； （2）过C 作y 轴垂线，过D 作x 轴垂线，分别交于点E ，F ，可得三角形CBE 与三角形ADF 与三角形AOB 全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C 与D 坐标即可； （3）作出B 关于x 轴的对称点B′，连接B′D ，与x 轴交于点M ，连接BD ，BM ，此时①MDB 周长最小，求出此时M 的坐标即可． 【详解】 （1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =， ①()2,0A -，()0,1B ，在Rt AOB ∆中，2OA =，1OB =，根据勾股定理得：AB == 所以正方形ABCD 面积为5.（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，可得90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒， ①正方形ABCD ，①BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ①90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒，①90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ①BAO ADF CBE ∠=∠=∠， ①BCE DAF ABO ∆∆∆≌≌，①2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，①213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ①()1,3C -，()3,2D -；（3）找出B 关于x 轴的对称点B ′，连接B D '，与x 轴交于点M ，此时BMD ∆周长最小， ①()0,1B ， ①()0,1B '-设直线B D '的解析式为y kx b =+， 把B ′与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：11k b =-⎧⎨=-⎩，即直线B D '的解析式为1y x =--，令0y =，得到1x =-，即()1,0M -．【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．20．（1）证明见解析；（2）对补点如：N（52，52）．证明见解析【解析】试题分析：(1)根据正方形的对角线互相垂直,得到①DMC＝①AMB＝90°,从而得到点M是正方形ABCD的对补点.(2) 在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上除（2，2）外的任意点均可,通过证明①DCN①①BCN,得到①CND＝①CNB,利用邻补角的性质即可得出结论.试题解析：（1）①四边形ABCD是正方形，① AC①BD．① ①DMC＝①AMB＝90°.即①DMC＋①AMB＝180°．① 点M是正方形ABCD的对补点．（2）对补点如：N（52，52）．说明：在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上除（2，2）外的任意点均可.证明（方法一）：连接AC ，BD由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．则点N（52，52）是直线AC上除对角线交点外的一点，且在正方形ABCD内.连接AC，DN，BN，① 四边形ABCD是正方形，① DC＝BC，①DCN＝①BCN．又① CN＝CN，① ①DCN①①BCN．① ①CND＝①CNB．① ①CNB＋①ANB＝180°，① ①CND＋①ANB＝180°．① 点N是正方形ABCD的对补点．证明（方法二）：连接AC ，BD，由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．设点N是线段AC上的一点（端点A，C及对角线交点除外），连接AC，DN，BN，① 四边形ABCD是正方形，① DC＝BC，①DCN＝①BCN．又① CN＝CN，① ①DCN①①BCN．① ①CND＝①CNB．① ①CNB＋①ANB＝180°，① ①CND＋①ANB＝180°．① 点N是正方形ABCD除对角线交点外的对补点．设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．在1＜x ＜3范围内，任取一点均为该正方形的对补点，如N （52，52）．21．（①）①11=E F ①见解析；（①）点1E 的坐标为(或(1,． 【分析】（1）①根据勾股定理求出EF 的长，11E F 的长；根据SAS 定理证明11OAE OCF △≌△即可； （2）由于①OEF 是等腰Rt①，若OE①CF ，那么CF 必与OF 垂直；在旋转过程中，E 、F 的轨迹是以O 为圆心，OE （或OF ）长为半径的圆，若CF①OF ，那么CF 必为①O 的切线，且切点为F ；可过C 作①O 的切线，那么这两个切点都符合F 点的要求，因此对应的E 点也有两个；在Rt①OFC 中，OF=2，OC=OA=4，可证得①FCO=30°，即①EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E 点的坐标，由此得解． 【详解】解：（①）①①等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，2OE =， ①90EOF ∠=︒，2OF OE ==．在Rt OEF 中，由勾股定理，得EF =．①11OE F △是由OEF 绕点O 逆时针旋转得到的，①11=E F①①四边形OABC 为正方形， ①OA OC =，①将OEF 绕点O 逆时针旋转，得11OE F △， ①11AOE COF ∠=∠，又OEF 是等腰直角三角形， ①11OE F △是等腰直角三角形， ①11OE OF =， ①11OAE OCF △≌△． （①）如图，①OE①OF ，①过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直， 当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时， 则点F 在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上． ①过点F 与OF 垂直的直线必是圆O 的切线．又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2， 此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1①OE 1，CF 2①OE 2． 当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限． cos①COF 1=112OF OC =， ①①COF 1=60°，①①AOE 1=60°． ①点E 1的横坐标为：x E1=2cos60°=1，点E 1的纵坐标为：y E1①点E 1的坐标为(1；当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限．同理可求：点E 2的坐标为(1，)．综上所述，三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE①CF ，此时点E 的坐标为E 1(1或E 2(1，． 【点拨】本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形、以及分类讨论的数学思想．能够联系圆的相关知识来解答（3）题是此题的一个难点． 22．（1）①ODEF 1S =(48)6362ABCO S =+⨯=， 设正方形的边长为x ，①236x =，6x =或6x =-（舍去）．。
人教版八年级下册数学18章正方形综合问题大题专练(原卷版)
专题18.12正方形综合问题大题专练姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020春•青山区校级期中）如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC 分别于P、F点，连PC（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4√2，求PF的长．2．（2020•三门县一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若四边形AECF的面积为12．①正方形ABCD的面积是；②当FG＝2时，求EG的长．3．（2018•安丘市模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．4．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．5．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．6．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上（不与点A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，连接PD．（1）求证：四边形PMBN是矩形．（2）猜想PD、PM、PN之间的数量关系，并说明理由．7．（2019•黑龙江）如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接P A，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）如图①所示，求证：AP=√2OA；（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；9．（2020春•岳麓区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）若PB＝PQ，点F是BP的中点，连结EF、AF，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求PE的长．10．（2020春•江都区期中）如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC．连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求∠P AC的度数．11．（2020春•富县期末）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．12．（2020春•大观区校级期末）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB ＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．（1）求证：BE＝DE；（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；（3）△BEF的周长为．13．（2020•海安市一模）如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．（1）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；（2）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．14．如图，在正方形ABCD中，BD为一条对角线，点P为CD边上一点，A连接AP，并将△ADP平移使AD与BC边重合，P点落在DC的延长线上的一点G处，过G点作GH⊥BD于点H，连接HP和HC （1）在图中依题意补全图形；（2）求证：PH＝CH．15．（2020•浙江自主招生）已知如图，正方形ABCD和等腰直角△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°，取DF 中点G，连结EG、CG，探究EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．16．（2013•黄冈模拟）如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：△OEF是等腰直角三角形．（2）若AE＝4，CF＝3，求EF的长．17．（2016春•洪山区期中）如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2√3．（1）直接写出GE＝；（2）求出DG的长；（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．18．（2020春•兴化市期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DF A的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．19．（2020春•常州期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；（2）若AB＝3√2，BE＝3，求四边形AECF的周长．20．（2020春•江阴市期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．设点N的坐标为（m，n）．（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段BD上，点B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），则点D的坐标为，点C的坐标为；请直接写出点N纵坐标n的取值范围是；（2）若正方形的边长为2，求EC的长，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：连结MN：√4+2√3=√3+1，√4−2√3=√3−1）21．（2019春•滨海县期中）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF ＝45°．（1）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N，求证：EF2＝ME2+NF2；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．22．（2019秋•邳州市期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．23．（2019春•无锡期中）如图，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是AB边上一动点，ME⊥AO，MF⊥BO．（1）求证：四边形OEMF为矩形；（2）连接EF，求EF的最小值．24．（2020秋•海珠区校级期中）（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．25．（2020秋•永年区期中）（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．26．（2020春•南岗区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E，H分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE＝AG，DE⊥CH于F．（1）求证：四边形GHCD为平行四边形．（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ECF互余的角．27．（2020春•梁溪区期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠P AE＝∠E，PE交CD于点F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．28．（2020春•下陆区校级期中）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE ＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．29．（2020春•涧西区校级期中）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，经通过平移得到的线段记为PQ，连接P A、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明．30．（2019春•保山期中）四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（1）求证：AM＝AD+MC．（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；。
人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.3 正方形 课时练(含答案)
第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。
12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。
第十八章平行四边形正方形证明专项习题2021-2022学年人教版八年级数学下册
正方形的证明练习题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。
2.已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.3.如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.4.P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.5.如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求PAQ∠。
（2）若45∠=︒,求证：PQ=BP+DQ.PAQ6.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E.F分别在AB与BC边上的点，且BE=CF.求证：OE⊥OF.7．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为多少？8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，求EF的长。
10．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，求线段CH的长。
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.12．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．13．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．14．如图1，在正方形ABCD中，E.F分别是边AD.DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD 中，M.N.P.Q 分别是边AB.BC.CD.DA 上的点，且MP ⊥NQ ．MP 与NQ 是否相等？并说明理由．15.如图，正方形ABCD 与正方形OMNP的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．16.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A .C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；17.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C.D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG .线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG .线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；ABCPDE②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2.如图3情形．请你通过观察.测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．18.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．19.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3。
人教版初中数学八年级下册同步练习：正方形
正方形学习要求1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．课堂学习检测一、填空题1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形；4．对角线________________________________的四边形是正方形．5．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______．7．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，如果，那么EF ＋EG 的长为______．二、选择题8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则PQ 的长为( )(A)12 (B)13(C)14 (D)159．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )cm 2．(A)6(B)8 (C)16 (D)不能确定cm 25AB综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．11．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．13．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．拓展、探究、思考14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连结DP 交AC 于点Q ．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD面积的； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．61。
人教版八年级数学下《正方形》拔高练习
人教版八年级数学下《正方形》拔高练习《正方形》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．13．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM 的长为（）A．2B．2C．4﹣D．8﹣44．（5分）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．14C．15D．165．（5分）已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时?ABCD为矩形B．当AB＝AD时?ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为．7．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为．8．（5分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为．9．（5分）如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为度（正方形的每个内角为90°）10．（5分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3的度数为°．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F 点．已知FG＝2，求线段AE的长度．12．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F 是AE的中点，过点F垂直于AE的直线与边CD的交点为M，与AD 的延长线的交点为N．若AB＝12，BE＝5，求DN的长．13．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，请判断AE和BF的关系，并说明理由．14．（10分）如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠F AE，求证：AF＝AD+CF．15．（10分）如图1，P为正方形ABCD内一点，且P A：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设P A＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把P A、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，P A：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝度．请写出推理过程．《正方形》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD 的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE＝CF，在△BCE与△CDF中，∴△BCE≌△CDF，（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG＝CD＝AD，故④正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正确；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．故选：D．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH 为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明∠BNM＝∠BMN，BN ＝BM＝1．【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM＝1，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质作辅助线是解决问题的关键．3．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM 的长为（）A．2B．2C．4﹣D．8﹣4【分析】过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM＝BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠F AM＝45°，在直角三角形中用∠F AM的正弦值即可求出FM与AM的关系，最后由AM+BM＝4列方程求解即可．．【解答】解：过点M作M F⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB＝45°，FM＝BM．在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠F AM＝45°，AM＝2，∴BM＝FM＝AM?sin∠F AM＝AM．又∵AM+BM＝4，∴AM+AM＝4，解得：AM＝8﹣4．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出FM 的长度与AM的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．4．（5分）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．14C．15D．16【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，所以a2+b2＝13，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．5．（5分）已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时?ABCD为矩形B．当AB＝AD时?ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形【分析】直接利用矩形、菱形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A、当OA＝OB时，可得到?ABCD为矩形，故此选项正确；B、当AB＝AD时?ABCD为菱形，故此选项错误；C、当∠ABC＝90°时?ABCD为矩形，故此选项错误；D、当AC⊥BD时?ABCD为菱形，故此选项．故选：A．【点评】此题主要考查了矩形、菱形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为9．【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，根据正方形的性质得出∠A OB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF＝6，求出BF，即可求出答案．【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．7．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为16．【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC ＝∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2＝7+9＝16，即S b＝16，则b的面积为16，故答案为16【点评】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB ≌△DCE．8．（5分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为9．【分析】根据正方形的性质就可以得出∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∠AEB＝∠CBD，就可以得出△ABE≌△CDB，得出AE＝BC，AB＝CD，由勾股定理就可以得出BE的值，进而得出结论．【解答】解：∵四边形①、②、③都是正方形，∴∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DBC＝90°，∴∠AEB＝∠CBD．在△ABE和△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，AB＝CD．∵正方形①、②的面积分别27cm2和54cm2，∴AE2＝27，CD2＝54．∴AB2＝27．在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2＝AE2+AB2＝27+54＝81，∴BE＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理，正方形的性质的运用，正方形的面积公式的运用，三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明△ABE≌△CDB是关键．9．（5分）如图，有两个正方形夹在AB与CD 中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为70度（正方形的每个内角为90°）【分析】如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB于G，交CD于H．利用四边形内角和36°，求出∠HMF，再根据∠KME＝∠MKG+∠MEH，求出∠MKG即可解决问题；【解答】解：如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB 于G，交CD于H．∵∠GHM＝∠GFM＝90°，∴∠HMF＝180°﹣150°＝30°，∵∠HMF＝∠MKG+∠MEH，∠MEH＝10°，∴∠MKG＝20°，∴∠1＝90°﹣20°＝70°，故答案为70．【点评】本题利用正方形的四个角都是直角，直角的邻补角也是直角，四边形的内角和定理和两直线平行，内错角相等的性质，延长正方形的边构造四边形是解题的关键．10．（5分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3的度数为150°．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝150°．故答案为：150．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F 点．已知FG＝2，求线段AE的长度．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由AB∥CD，可得，即可得AE＝2AG＝12．【解答】解：∵G为CD边中点，∴CG＝DG＝CD∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．∵AB∥DC∴∴AE＝2GE＝2（AE﹣AG）∴AE＝2AG＝12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键12．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F 是AE的中点，过点F垂直于AE的直线与边CD的交点为M，与AD 的延长线的交点为N．若AB＝12，BE＝5，求DN的长．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠F AN，根据新的数据线的性质和勾股定理得到AN＝16.9，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠F AN，∵FN⊥AE，∴∠AFN＝90°，∴∠B＝∠AFN，∴△ABE∽△NF A，∴，在Rt△ABE中．AE＝＝＝13，∵F是AE的中点，∴AF＝AE＝6.5，∴＝，∴AN＝16.9，∵AB＝AD＝12，∴DN＝AN﹣AD＝4.9．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，请判断AE和BF的关系，并说明理由．【分析】根据正方形的性质得到AD＝CD＝AB＝BC，∠ADE＝∠BAF＝90°，证明△BAF≌△ADE，根据全等三角形的性质证明．【解答】解：AE＝BF，AE⊥BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ADE＝∠BAF＝90°，∵CE＝DF，∴AF＝DE，在△BAF和△ADE中，，∴△BAF≌△ADE（SAS），∴AE＝BF，∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，即AE⊥BF．【点评】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边相等，四个角都是90°是解题的关键．14．（10分）如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠F AE，求证：AF＝AD+CF．【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明Rt△AEG≌Rt △AED，即可得AG＝AD，同理证明出CF＝GF，于是结论可以证明AF＝AD+CF．【解答】解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，∵∠DAE＝∠EAF，∠B＝∠AGE＝90°，即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，∴DE＝EG，在Rt△AEG和Rt△AED中，，∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），∴AG＝AD，∵E是CD的中点∴DE＝EC＝EG同理可知CF＝GF，∴AF＝AG+FG＝AD+CF．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．15．（10分）如图1，P为正方形ABCD内一点，且P A：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设P A＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把P A、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝135度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，P A：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝150度．请写出推理过程．。
八年级数学正方形的判定和性质(人教版)(基础)(含答案)
正方形的判定和性质（人教版）（基础）一、单选题(共9道，每道11分)1.如果要证明四边形ABCD为正方形，我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A.AC与BD互相垂直平分B.∠A=∠B且AC=BDC.AB=AD且AC=BDD.AB=AD且AC⊥BD答案：C解题思路：A：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A不能；B：一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，故B不能；C：对角线相等的平行四边形是矩形，一组邻边相等的矩形为正方形，故C可以；D：一组邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故D不能。
故选C试题难度：三颗星知识点：略2.四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定四边形是正方形的条件是( )A.AC=BD，AB=CD，AB∥CDB.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.AO=CO，BO=DO，AB=BC答案：B解题思路：先画草图，再依图分析；A：若AB=CD，AB∥CD，可判断是平行四边形，再由AC=BD，可判断是矩形，则A错；B：若AO=BO=CO=DO，可判断是矩形，再由AC⊥BD，可判断是正方形，则B对；C：若AD//BC，∠A=∠C，可判断是平行四边形，则C错；D：若AO=CO，BO=DO，可判断是平行四边形，再由AB=BC，可判断是菱形，则D错．故选B．试题难度：三颗星知识点：略3.学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( )A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁答案：D解题思路：甲：根据判定定理有一个角是直角的菱形是正方形，可判断甲正确；乙：根据判定定理有一组邻边相等的矩形是正方形，可判断乙正确；丙：由对角线互相垂直平分判定为菱形，再加上对角线相等可判定为矩形，综合可得四边形为正方形，故丙正确；丁：有一个角是直角的平行四边形是矩形，再加上有一组邻边相等可判断为正方形，故丁正确。
人教版八年级数学上册正方形练习题
人教版八年级数学上册正方形练习题题目1
一块房地产开发商计划在一块长方形土地上建造一个正方形小区。
已知土地的长为100米，宽为80米。
请回答以下问题：
1. 该土地合适建造正方形小区吗？为什么？
回答：该土地合适建造正方形小区。
因为正方形的特点是四边相等，正好适应了土地的长和宽两个方向。
2. 若建造正方形小区，该正方形的边长是多少？小区的面积是多少？
回答：若建造正方形小区，该正方形的边长应为80米。
小区的面积是80米×80米=6400平方米。
题目2
正方形的对角线有什么特点？
回答：正方形的对角线具有以下特点：
- 对角线长度等于边长乘以√2；
- 对角线将正方形分为两个等边直角三角形。
题目3
在一个正方形中，顶点A的坐标是(3,2)，顶点B的坐标是(7,2)，请计算正方形的边长和面积。
回答：根据顶点A和B的坐标，可以计算出正方形的边长为4。
面积等于边长的平方，所以正方形的面积为16平方单位。
题目4
已知一个正方形的周长是36，求其边长和面积。
回答：已知周长为36，因为正方形的四条边相等，所以边长应为9。
正方形的面积等于边长的平方，所以面积为9乘以9，即81平方单位。
题目5
若一个正方形的面积是49，求其周长和对角线长度。
回答：已知面积为49，可以求得边长为7。
正方形的周长等于边长的4倍，所以周长为28。
对角线长度等于边长乘以√2，所以对角线长度为7乘以√2。
人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案
学科：数学 教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。
人教版八年级下册数学 18.2.3正方形 同步习题 (含答案)
18.2.3正方形同步习题一．选择题1．下列说法正确的是）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形2．如图，正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，AE＝BF，下列结论错误的是（）A．BE＝CF B．∠AEB+∠BFC＝180°C．∠DAE＝∠BFC D．AE⊥BF3．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（）A．25B．5C．16D．124．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：5．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则OF的值为（）A．2B．﹣1C．D．26．如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E，H在AD，CD边上，点F，G在对角线AC 上若AB＝6，则EFGH的面积是（）A．6B．8C．9D．127．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点E在边BC上的延长线上，点G在CD上，若AB＝2，则线段DF的最小值为（）A．1B．C．D．28．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AG⊥EF，垂足为点G．则∠EAF的度数为（）A．45°B．30°C．60°D．40°9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2B．4C．5D．610．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、CD上，BE＝2，若∠EBF＝45°，连接EF，则EF的长为（）A．3B．C．D．+2二．填空题11．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为．12．如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE＝BC，则∠AEB＝．13．如图，正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，正方形的边长为4，则阴影部分面积为．14．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，已知△ADP≌△ABP′，AB＝6，DP＝2，求PP′＝．15．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．求证：△ABE≌△ADF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E在CD边上，以线段CE为边长在正方形ABCD 的外部作正方形CEFG，以线段AD和DE为邻边作矩形ADEH，若S正方形CEFG＝S矩形ADEH．（1）求线段CE的长；（2）若点M为BC边的中点，连接MD，求证：MD＝MG．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，线段BE与AC交于点F．（1）求∠AEB和∠BFC的度数；（2）若AD＝6，求BE2的值．参考答案1．B2．B3．A4．A5．C6．B7．B8．A9．A10．B11．22.5°12．22.5°13．14．415．16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝90°，∴∠B＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）．17．（1）3﹣3；（2）证明：∵点M为BC边的中点，∴MC＝3，在Rt△MCD中，DM＝＝3，∵MG＝MC+CG＝3+3﹣3＝3，∴MD＝MG．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．（2）过E作EG⊥AD，并与AB交于H，∵△ADE是等边三角形，EG⊥AD，∴AG＝GD＝3，∴GE＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴BH＝3，∵HE＝HG+GE＝6+3，在Rt△BHE中，BE2＝．。