2019版中考数学一轮复习《课题21：等腰三角形》课件

名师点拨 等腰三角形有两个重要的性质,这两个性质有着不同的适用范围, 一般情况下,如果等腰三角形中出现了相等的边,那么可以利用等腰三角形的 性质得到相等的边所对的角相等,如果等腰三角形中出现了底边的中线、高 或顶角的平分线,那么可以利用“三线合一”的性质.
变式训练1 (2017邯郸丛台模拟)如图,已知BD平分∠ABC,AB=AD,DE⊥AB, 垂足为E. (1)求证:AD∥BC; (2)①若DE=6 cm,求点D到BC的距离; ②当∠ABD=35°,∠DAC=2∠ABD时,求∠BAC的度数.
题型三 考查线段的垂直平分线
该题型主要考查线段垂直平分线的知识,主要内容包括:根据线段垂直平分线 的性质定理及其逆定理进行线段或角的计算,根据线段垂直平分线的性质定 理及其逆定理进行推理等.
典例3 (2017唐山乐亭模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线 DE交AC于点D,垂足为E,若∠A=30°,CD=3. (1)求∠BDC的度数; (2)求AC的长度.
Hale Waihona Puke 答案 (1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,且△ABC是等腰三角形.
∵BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBC= 1 ∠ABC= 1 ∠ACB=∠DCB,
2
2
∴BD=CD,
∴△BDC是等腰三角形.
∴在图①中共有2个等腰三角形.
(2)由(1)得,△ABC,△BDC是等腰三角形. ∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC. ∵BD平分∠ABC,∴∠DBE=∠DBC. ∴∠DBE=∠EDB, ∴BE=DE, ∴△BDE为等腰三角形. 同理可得△CDF为等腰三角形. ∵△ABC是等腰三角形, ∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ADE=∠AED= 1 (180°-∠CAD)= 1 ×(180°-30°)=75°,
2
2
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE =90°-75°=15°.
故答案为15°.
(2)在△ABC中,∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴∠CAD =∠BAD=40°, ∠ADC=90°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED= 1 (180°-∠CAD)= 1 ×(180°-40°)=70°,
在△AED和△AEC中,∵

AE

AE,
AED AEC,
∴△AED≌△AEC,∴CE=ED.
名师点拨 本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定的应用, 解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步证明出PQ=PS和△AED≌△ AEC,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.
变式训练4 (2018沧州模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC 的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE. (1)求线段CD的长; (2)求△ADE的面积.
典例1 (2018石家庄模拟)在△ABC中,AB=AC. (1)如图①,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= 15° ; (2)如图②,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC= 20° ; (3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表
∵∠DAC=2∠ABD, ∴∠DAC=70°, ∵AD∥BC, ∴∠ACB=∠DAC=70°, ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°.
题型二 考查等腰三角形的判定
该题型主要考查利用等腰三角形(包括等边三角形)的定义与判定定理判定 等腰三角形.
典例2 (2018保定模拟)如图①,AB=AC,BD,CD分别平分∠ABC和∠ACB.问: (1)图①中有几个等腰三角形? (2)在图①的基础上,过点D作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F,如图②,图中现 在增加了几个等腰三角形? (3)如图③,若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,则图中有几 个等腰三角形?线段EF与BE,CF之间有什么关系,请加以证明.
课题21 等腰三角形
基础知识梳理
考点一 考点二 考点三 考点四
等腰三角形 等边三角形 线段的垂直平分线 角平分线
中考题型突破 题型一 题型二 题型三 题型四
考查等腰三角形的性质 考查等腰三角形的判定 考查线段的垂直平分线 考查角平分线的性质定理及其逆定理
易混易错突破 易错在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解
河北考情探究
考点 1.等腰三角形的性质
年份 2018 2017 2017
2016
题号 23 9 10
16
分值 9 3 3
2
考查方式 以解答题的形式,与全等三角形相结合,考查等腰三角形的性质
以选择题的形式,与菱形相结合,考查等腰三角形的性质与判定
以选择题的形式,以轮船航行为问题情境,考查等腰三角形的性质与判 定 以选择题的形式,考查等边三角形的性质与判定
A.1个 B.2个
C.3个 D.3个以上
答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,易 知△PCD为等边三角形.在OC,DB上分别取点M,N,使CM=DN,则△PCM≌ △PDN(SAS),∴∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60°,则△PMN为等边三角形, ∵满足CM=DN的M,N有无数个,∴满足题意的三角形有无数个.
3.判定:(1)三边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是⑧ 60 度的⑨ 等腰 三角形是等边三角形.
考点三 线段的垂直平分线
1.定义:垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 2.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 ⑩ 相等 . 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上.
2
2
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE =90°-70°=20°.
故答案为20°.
(3)∠BAD=2∠EDC


或EDC

1 2
BAD

(4)是,理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED, ∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠ EDC=2∠EDC+∠C. 又∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠BAD=2∠EDC.
示:
∠BAD=2∠EDC
或EDC

1 2
BAD

.
(4)如图③,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,上述式子是否仍成立?如果是,请 你说明理由.
答案 (1)在△ABC中,∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴∠CAD =∠BAD=30°, ∠ADC=90°.
∵AD=AE,
答案 (1)证明:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC. 又∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD. ∴∠ADB=∠DBC, ∴AD∥BC.
(2)①过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,如图所示.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DF=DE=6 cm. ②∵BD平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠ABD=70°.
典例4 (2018衡水模拟)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ACB的外角的 平分线相交于点P,连接AP. (1)求证:AP平分△BAC的外角∠CAM; (2)过点C作CE⊥AP,E是垂足,并延长CE交BM于点D.求证:CE=ED.
答案 (1)过点P作PT⊥BC于点T,PS⊥AC于点S,PQ⊥BA于点Q,如图,
基础知识梳理
考点一 等腰三角形
1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质: (1)等腰三角形的两① 底 角相等.(简称“等边对等角”) (2)等腰三角形顶角的角平分线,② 底边上的中线 和③ 底边上的高 互 相重合.(简称“三线合一”) (3)等腰三角形是轴对称图形,④ 顶角的角平分线或底边上的中线、底边上 的高 所在的直线是等腰三角形的对称轴.
∵△BDE为等腰三角形,∴BE=DE. ∵△CDF为等腰三角形,∴CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF.
名师点拨 本题的求解过程实际上验证了一个重要的结论:平行线遇上角平 分线,等腰三角形就出现,根据这个结论,就能非常轻松地得到△BDE,△CDF 是等腰三角形,为解题提供了极大的便利.
变式训练2 (2016河北中考)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点 M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有 (D)
答案 (1)∵AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为E, ∴AD=BD, ∴∠ABD=∠A=30°, ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2∠A=60°. (2)∵∠C=90°,∠BDC=60°, ∴∠CBD=90°-∠BDC=90°-60°=30°, ∴BD=2CD=2×3=6, ∴AD=BD=6, ∴AC=AD+CD=6+3=9.
2.线段的垂直平分线
2018
8
3
2017
18
3
以选择题的形式,与全等三角形相结合,考查线段垂直平分线与角平分 线的知识
以填空题的形式,与尺规作图相结合,考查线段垂直平分线的知识
2016
10
3
以选择题的形式,以尺规作图为问题情境,考查线段垂直平分线的知识
备考策略:本课题的内容作为一些基本知识点,考查学生对等腰三角形的掌握和理解情况.预计2019年中考试题可能与四边形或圆的知识相结合, 考查等腰三角形的性质和判定.
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
答案 A 由作图可知点B,C到线段AD的两个端点的距离分别相等,∴点B,C 都在线段AD的垂直平分线上,即BC所在的直线垂直平分线段AD.故选A.