重庆中考数学压轴题训练

一．压轴题专题训练

1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC

度数的大小和等边三角形ABC 的边长．

李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所

以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解

决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．

图3

图1 图2

2.阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，

c b

于是csinB=bsinC ，即 b

sin B

c

sin C

c a a b

．同理有，

sin C sin A sin A sin B

．

a b c

∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯（*）

sin A sin B sin C

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：

用关系式求出第一步，由条件∠B；

用关系式求出第二步，由条件∠C；

用关系式求出第三步，由条件c．

o

（2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4

o

海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的

北偏西o

70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）．

3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c

这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 2

3

34

3

，min {－1，2，3} ＝－1；

M{ －1，2，a} ＝1 2 a a

3 3

1

，m{ －1，2，a} ＝

a(a

1(a

1),

1),

解决下列问题：

(1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2，

则x 的取值范围是________；

(2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________；

②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________”

(填a，b，c 大小关系)；

③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2，

x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________；

2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)

象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x}

最大值为________．

4.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S

．

△BCD

应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交

于点O．

（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，

1 将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

，

4 请直接写出△ABC的面积．

2bx a

6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ax8(0)与x轴交于A、B两点、与月y轴交于点C经过点B的直线y x4与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，且P点的横坐标是1．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在第一象限的抛物线上有一个动点M，过点M作直线MN x轴于点N，交直线BD 于点E，若点M到直线BD的距离与BN的长度之比为22：1，求点M坐标；

(3)如图2，若点P位于x轴上方，且PAB60，点Q是对称轴上的一个动点，将BPQ

绕点P顺时针旋转60°得到船B'PQ'(B的对应点为B'，Q的对应点为Q')，是否存在点

Q，使BQQ'的面积是

3

4

，若存在，请求出PQ的长：若不存在，说明理由．