曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导
一、曲线坐标系下连续性方程的推导
曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导
一、曲线坐标系下连续性方程的推导
首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：
质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。
在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则
m τ
ρδτ=⎰
()1.1
为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。
根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立
()0dm d
dt dt
τ
ρδτ==⎰
()1.2
根据公式：
(
)
()d div dt
t
ττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫
=+ ⎪∂⎝⎭
⎰⎰v ()1.3，得 (
)
()0dm d
div dt dt
t ττρρδτρδτ∂⎛⎫
==+= ⎪∂⎝⎭
⎰⎰v ()1.4
因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：
()0div t
ρ
ρ∂+=∂v
()1.5
()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。
下面将写出它在曲线坐标下
的形式。
因为()()()1232313121231231
a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=
++⎢⎥∂∂∂⎣⎦
a
()1.6
所以()()()()1232313121231231
v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=
++⎢⎥∂∂∂⎣⎦
v
()1.7
将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：
()()()1232313121231231
0v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦
()1.8
二、曲线坐标系下N S -方程的推导
首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：
任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。
以F 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 表示作用于单位面积上的面力分布函数。
则作用在τ上和S 上的总质量力和面力为
ρδτ⎰F
及
s
S δ⎰
n p
其次，体积τ内的动量是
τρδτ⎰v
于是，动量定理可写成下列表达式：
s d
S dt τ
τρδτρδτδ=+⎰⎰⎰n v F p
()2.1
利用公式d d dt dt
ττρδτρ
δτ=⎰⎰a
a ，得： d d dt dt
ττρδτρδτ=⎰⎰v
v
()2.2 再利用的是高斯公式得：
div s
s
s P s P τ
δδδτ==⎰
⎰⎰g n p n
()2.3
其中P 是应力张量。
将()2.2和()2.3式代入()2.1式，整理得：
(div )0d P dt
τ
ρ
ρδτ--=⎰v
F 因τ任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即
div d P dt
ρ
ρ=+v
F
()2.4
()2.4式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲
线坐标下的形式。
因为
123(,,,)q q q t =v v
故
图1
3
12123dq dq dq d dt t q dt q dt q dt ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v 112233112233111()/H dq H dq H dq dt t H q H q H q ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂v v v v 3
12123()ds ds ds t s dt s dt s dt ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂v v v v
()2.5
上式中利用到等式：
111ds H dq =，222ds H dq =，333ds H dq =
现在进一步处理()2.5式右端的第二项
Q
112233v e v e v e =++r r r
v ，根据定义有
3
1
2
123,,ds ds ds v v v dt
dt
dt
=
=
=
故
123123
()d v v v dt t s s s ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v
()2.6
又
1111223311()v v v e v e v e s s ∂∂=++∂∂r r r v 111223311()v v e v e v e H q ∂=++∂r r r 3311212
1231231111111()v e v v v e e e e e v v v H q q q q q q ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂r r r
r r r
()2.7
考虑到：
11123
12233
211
1
22311
1
331111e H H e e q H q H q e H e q H q e H e q H q ⎧∂∂∂=--⎪
∂∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩r
r r
r r
r r
()2.8
122
211
222312
3311
322
2
33
1111e H e q H q e H H e e q H q H q e H e q H q ⎧∂∂=
⎪
∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎨∂∂∂⎪⎪∂∂=
⎪∂∂⎩r r
r r r
r r
()2.9。
高等流体力学-流体力学基本方程组ppt
状态方程
总结词
描述流体状态变化的方程
详细描述
状态方程是流体动力学中描述流体状态变化的方程。它 表达了流体的某些物理属性之间的关系。在流体力学中 常用的状态方程包括理想气体状态方程、理想液体状态 方程和真实气体状态方程等。理想气体状态方程通常可 以表示为：$pV = nRT$，其中$p$是压力，$V$是体积， $n$是摩尔数，$R$是气体常数，$T$是温度。理想液体 状态方程通常可以表示为：$rho = text{常数}$。
非线性性
大多数流体力学方程是非线性的，这 意味着它们不满足叠加原理。非线性 方程的解通常更加复杂，可能需要特 定的初始和边界条件来求解。
定常与非定常性
要点一
定常性
定常或稳态方程描述的是不随时间变化的流动状态。定常 方程通常更容易求解，因为它们不包含时间导数项。
要点二
非定常性
非定常或非稳态方程描述的是随时间变化的流动状态。求 解非定常方程通常需要使用数值方法，因为它们包含时间 导数项，需要追踪流动随时间的变化。
02
流体的运动规律对于理解自然现 象、优化工程设计、提高生产效 率等方面具有重要意义。
流体力学的发展历程
01
流体力学的发展可以追溯到古代，如中国的水利工程和灌溉系 统等。
02
17世纪，牛顿建立了经典力学体系，为流体力学的发展奠定了
基础。
19世纪末到20世纪初，随着工业革命和科技的发展，流体力学
03
03
流体力学基本方程组的推导
连续性方程的推导
总结词
连续性方程描述了流体质量守恒的性质，通过质量守恒原理推导得出。
详细描述
连续性方程基于质量守恒原理，即流入和流出一个封闭系统的质量之差等于系统内质量的增加或减少。在流体力 学中，连续性方程表达了单位时间内流入流出控制体的流体质量流量与控制体内流体质量的变化率之间的关系。
《化工原理教学课件》流体静力学基本方程
03
流体静力学基本方程
流体静力学基本方程的表述
流体静力学基本方程是流体静 力学中的核心方程，用于描述 流体在平衡状态下压力与密度、 高度之间的关系。
该方程表述为：p = p(ρ, h)， 其中p表示压力，ρ表示密度， h表示高度。
该方程表明，在重力场中，流 体的压力与密度和高度之间存 在一定的函数关系。
流体静力学方程的推导
总结词
流体静力学方程是通过实验和数学推导得出的，用于描述流体在静止状态下压力 与密度、高度之间的关系。
详细描述
流体静力学方程是通过实验和数学推导得出的，它描述了流体在静止状态下压力 与密度、高度之间的关系。该方程是流体静力学的基本方程，对于理解流体的平 衡状态和性质非常重要。
流体静力学方程的应用范围
3. 调整水泵的出口阀门，使水柱高度发生变化。 4. 记录不同高度下水柱的压力数据。
实验步骤和操作
实验操作 1. 打开水泵，使水开始循环流动。
2. 调整水泵出口阀门，逐渐增加水柱高度。
实验步骤和操作
3. 在不同的液柱高度下，记录对应的压力数据。
4. 分析实验数据，得出结论。
实验结果分析和结论
结果分析
通过对实验数据的分析，可以发现流体压力 与液柱高度之间存在线性关系，符合流体静 力学基本方程。同时，还可以观察到随着液 柱高度的增加，流体压力也相应增大，进一 步验证了流体静力学基本方程的正确性。
结论
通过本次实验，我们验证了流体静力学基本 方程的正确性，加深了对流体静力学原理的 理解。实验过程中需要注意观察和记录数据， 确保实验结果的准确性和可靠性。
06
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题3
写出流体静力学基本方程，并解释其 物理意义。
第3章 流体运动的基本方程(10)
（3-11）
3.1.2.描述流场的基本概念
平均流速������，如图3-8所示。平均流速的物理意义是：假想过流 断面上各点的速度相等，而按平均流速流过的流量与实际上以不同 的速度流过的流量正好相等，所以有
������ = ������������ = ������������������
������
第3章 流体运动的基本方程
课程安排：理论10学时，实验2学时 学习要求： 1.掌握流体运动的基本概念，尤其是：欧拉法与拉格朗日法，定常 流与非定常流，一元流动，平均速度与流量，系统与控制体的概念； 2.掌握流体一元流动连续性方程； 3.理想流体的运动微分方程，总流的伯努利方程的建立及其应用。 4.掌握动量和动量矩方程； 5.了解空间欧拉运动方程，掌握平面势流模型及平面势流的应用。
本章作业： 3-2，3-3，3-4，3-11，3-13，3-16，3-21
第3章 流体运动的基本方程
3.1描述流体运动的几个基本概念 3.2 连续性方程 3.3理想流体的运动微分方程 3.4总流的伯努利方程及其应用 3.5伯努利方程的扩展 3.6 动量和动量矩方程 3.10欧拉运动方程与平面势流
第3章 流体运动的基本方程
微元流管：断面无限小的流管称为微元流管。微元流管断面上 各点的运动参数（如速度、压力等）可认为相等。
3.1.2.描述流场的基本概念
总流：无数微元流管的总和称为总流，如实际工程中的管道流动和 明渠水流都是总流。
根据总流的边界情况把总流分为三类： （1）有压流动。总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满 管道，如有压水管道中的流动。 （2）无压流动。总流的边界一部分受固体边界的约束，另一部分 与气体接触，形成自由液面，如明渠中的水流。 （3）射流。总流的全部边界均无固体边界的约束，如喷嘴出口后 的流动。
流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正交曲线坐标
全书分上下两册，三篇，十五章。上册包括第一篇“流体力 学基础”和第二篇“流体动力学基本原理及流体工程”，具体内 容为：绪论、场论与正交曲线坐标、流体静力学、流体运动学、 流体动力学微分形式基本方程、流体动力学积分形式基本方程、 伯努利方程式及其应用、量纲分析和相似原理、流动阻力与管道 计算、边界层理论、流体绕过物体的流动和气体动力学基础。下 册包括第三篇“计算流体动力学”，具体内容为：计算流体动力 学的数学物理基础、流体动力学问题的有限差分解法和流体动力
第一节 第二节 第三节 第四节
连续性方程 动量方程 动量矩方程 能量方程
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第七章 伯努利方程式及其应用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
伯努利方程式及其限定条件 实际流体的伯努利方程式 实际流体的总流伯努利方程式 相对运动的伯努利方程式
伯努利方程式的应用
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第八章 量纲分析和相似原理
流体力学第一章 绪 论 第二章 场论与正
交曲线坐标
前言
本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程 教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。 本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问 题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工 作提供必需的较为坚实的流体力学基础知识，同时也兼顾到工程 技术人员和科技工作者的需要。
第1页
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第一章 绪 论
第一节 流体力学的研究对象和发展历史
自Newton(1642-1727)提出了三大运动定律和线性流体的粘性定律以后， 流体力学得到了较大的发展。十八世纪的一大批数学家如Bernoulli、 Euler、 Lagrange、 Laplace等在理想流体的假定下取得了许多无摩擦流 动问题的研究成果，如Euler的运动微分方程和其积分形式——Bernoulli 方程。但理想流体的假定有较大的局限性，工程实际中的大多数流动无 不受流体粘性的影响。当时的工程师们开始抵制这种他们认为不切实际 的理想流体流动理论，在几乎完全依赖实验的基础上发展了一门新的科 学——水力学。这样的实验科学家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy 等。他们通过实验得到了诸如明渠流动、船舶阻力、管道流动、波动等 问题的有用数据。
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
流体力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体τ有0dd dt τρτ=⎰。
根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0 CV CSd v ds t ρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。
上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。
由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0 CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。
考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由0=dt m d δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dtρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体0d dt ρ=，故有 0v ∇⋅=。
由奥高公式有 CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0 CSv ds ⋅=⎰⎰。
不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。
例1、1）定常流场中取一段流管，则由CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。
流体力学动量方程的积分推导_理论说明
流体力学动量方程的积分推导理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨流体力学中的动量方程，并对其进行积分推导和理论说明。
流体力学是研究液体和气体运动规律的学科，对于各个领域都具有重要意义，如工程、地质等。
而动量方程是描述流体运动的基本方程之一，通过对其积分推导可以得到更加普适且应用广泛的形式。
1.2 文章结构本文主要由四部分组成：引言、流体力学动量方程的积分推导、理论说明和结论。
首先，在引言部分，我们将简要介绍文章的概述、目的以及结构安排，为读者提供一个整体的了解和预期。
然后，在流体力学动量方程的积分推导部分，我们将深入探讨动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述，并详细介绍积分推导过程。
接下来，在理论说明部分，我们将解释动量守恒方程的意义和应用场景，并探讨积分形式与微分形式之间的关系以及考虑动量通量项和边界条件时所需注意的问题。
最后，在结论部分，我们将总结动量方程积分推导的过程，并讨论实际应用中可能遇到的局限性和改进方法，同时探讨流体力学研究的重要性和未来展望。
1.3 目的本文的目的在于提供读者对流体力学动量方程积分推导及其理论说明的全面了解。
通过对动量守恒定律、Eulerian描述和Lagrangian描述进行讨论，我们将详细探究动量方程的积分推导过程，并阐述其在实际应用中的意义和应用场景。
通过理论说明部分，我们将帮助读者理解积分形式与微分形式之间的关系以及考虑边界条件时需要注意的问题。
最后，我们将总结动量方程积分推导过程，并就实际应用中可能遇到的局限性提出一些改进方法，并强调流体力学研究在现实世界中所起到的重要性和未来展望。
通过阅读本文，读者将对流体力学动量方程有一个更加深入和全面的了解。
2. 流体力学动量方程的积分推导:2.1 动量守恒定律:在流体力学中，动量守恒是一个基本原理。
根据牛顿第二定律和质点的动能定理，我们可以得出流体力学中的动量守恒定律。
该定律表明，在一个封闭系统中，流体粒子总动量的变化率等于作用在其上的合外力矢量之和。
曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导
一、曲线坐标系下连续性方程的推导曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导一、曲线坐标系下连续性方程的推导首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程：质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。
在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则m τρδτ=⎰()1.1为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。
根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立()0dm ddt dtτρδτ==⎰()1.2根据公式：()()d div dttττϕϕδτϕδτ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.3，得 ()()0dm ddiv dt dtt ττρρδτρδτ∂⎛⎫==+= ⎪∂⎝⎭⎰⎰v ()1.4因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：()0div tρρ∂+=∂v()1.5()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。
下面将写出它在曲线坐标下的形式。
因为()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a()1.6所以()()()()1232313121231231v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦v()1.7将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为：()()()12323131212312310v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ∂∂∂⎡⎤∂+++=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦()1.8二、曲线坐标系下N S -方程的推导首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
工程流体力学 第3章 流体流动的基本方程
B F ( x, y, z, t )
比如，流体质点的速度场：
u F ( x, y, z, t )
第3章 流体流动的基本方程
速度分布的分量可表示为：
u x F1 ( x, y , z , t ) u y F2 ( x, y , z , t ) u z F3 ( x, y , z , t )
u x 2 x 2 F1 (a, b, c, t ) ax 2 t t t 2 u y 2 y 2 F2 (a, b, c, t ) ay 2 t t t 2 u z 2 z 2 F3 (a, b, c, t ) az 2 t t t 2
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 势流理论
第5章 相似理论与量纲分析
第6章 粘性流体管内流动
第7章 粘性流体绕物体的流动
第3章 流体流动的基本方程
流体运动——满足质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒… 推导——连续方程，动量方程，动量矩方程，能量方程…
第3章 流体流动的基本方程
流体质点的速度和加速度
u ux i uy j uz k
x F1 (a, b, c, t ) ux t t y F2 (a, b, c, t ) uy t t z F3 (a, b, c, t ) uz t t
a ax i ay j az k
两边积分 ln x 2t C ，故 x c1e
' 1