浙大《概率论》习题

习题

第一讲

1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率.

2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率.

3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r 只, 求下列事件的概率:

(1) (1)没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子.

4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率:

(1) (1)取得以A 为打头的顺次同花色5张;

(2) (2)有4张同花色;

(3) (3)5张同花色;

(4) (4)3张同点数且另2张也同点数.

思考题:

1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。

I. I.若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有一球的概率；（2）有n

个格子各有一球的概率；

若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。

2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率：

（1） （1）五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10.

第二讲

1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于

2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不

订任何报纸的.

3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率.

4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:

(1) (1)四个事件至少发生一个;

(2) (2)四个事件恰好发生两个;

(3) (3)A,B 都发生而C, D 不发生;

(4) (4)这四个事件都不发生;

(5) (5)这四个事件至多发生一个;

(6) (6)这四个事件至少发生两个;

(7) (7)这四个事件至多发生两个.

5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.

6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率.

7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ?===, 求)(B A P 及)(B A P .

思考题

1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；

第三讲

1. n 件产品中有m 件废品, 任取两件, 求:

(1) (1)在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;

(2) (2)在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.

2. 袋中有)3(≥a a 只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.

3. 敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比. 假如这三部分面积之比为, , . 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.

4. 甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.

(1) (1)如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大

(2) (2)如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.

(3) (3)如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.

(4) (4)乙先摸是否对甲有利

(5) (5)如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.

5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: B A AB B A -?,,也相互独立.

思考题

1. 甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。甲先掷，以后每当某人掷出1点时则交给对方掷，否则此人继续掷。试求事件n A ={第n 次由甲掷}的概率.

2（赌徒输光问题）两个赌徒甲、乙进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为q ，p+q=1，每一局后，负者要付一元给胜者。如果起始时甲有资本a 元，乙有资本b 元，a+b=c ，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止，求甲输光的概率.

第四讲

1. 对同一目标进行三次独立射击,要害各次射击命中率依次为, 和. 求:

(1) (1)三次射击中恰好一次击中目标的概率;

(2) (2)至少一次击中目标的概率.

2. 在一电器中, 某元件随机开、关, 每万分之一秒按下面规律改变它的状态:

(1) (1)如果当前状态是开的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于开状态的概率为)1(α-,

变为闭状态的概率为α;

(2) (2)如果当前状态是闭的, 那么万分之一秒后, 它仍然处于闭状态的概率为)1(β-,

变为开状态的概率为β.

假设10,10<<<<βα, 并且用n θ表示该元件万分之n 秒后处于闭状态的概率. 请给出n θ的递推公式.

3. 在伯努里概型中, 若A 出现的概率为p , 求在出现m 次以前A 出现k 次的A 概率(可以不连续出现).

4. 甲乙丙三人进行某项比赛, 设三人胜每局的概率相等. 比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者. 若甲胜了第一、三局, 乙胜了第二局, 问丙成了整场比赛优胜者的概率是多少

5. 一个人的血型为O 、A 、B 、AB 型的概率分别为、、和. 现任选五人, 求下列事件的概率:

(1) (1)两人为O 型, 其他三人分别为其他三种血型;

(2) (2)三人为O 型, 两人为A 型;

(3) (3)没有一人为AB 型

第一讲

1. 1.设ξ为重复独立伯努里试验中开始后第一个连续成功或连续失败的次数, 求ξ的分

布.

2. 2.直线上一质点在时刻0从原点出发, 每经过一个单位时间分别概率或向左或向右移动

一格, 每次移动是相互独立的. 以n ξ表示在时刻n 质点向右移动的次数, 以n S 表示时刻n 质点的位置, 分别求n ξ与n S 的分布列.

3. 3.每月电费帐单是由电力公司派人上门抄表给用户的. 如果平均有1%的帐单与实际不

符, 那么在500张帐单中至少有10张不符的概率是多少

4. 4.某车间有12台车床独立工作, 每台开车时间占总工作时间的2/3, 开车时每台需用

电力1单位, 问:

(1) (1)若供给车间9单位电力, 则因电力不足而耽误生产的概率等于多少

(2) (2)至少供给车间多少电力, 才能使因电力不足而耽误生产的概率小于1%

5. 5.螺丝钉的废品率为. 问一盒中应装多少螺丝钉才能保证每盒有100只以上好螺丝钉的

概率不小于80%

6. 6.某疫苗所含细菌数服从泊松分布, 每一毫升中平均含有一个细菌, 把这种疫苗放入5

只试管中, 每管2毫升, 求:

(1) (1)5只试管中都有细菌的概率;

(2) (2)至少有3只试管含有细菌的概率.

第二讲

1. 1.在半径为R, 球心为O 的球内任取一点P,

(1) (1)求ξ=OP 的分布函数;

(2) (2)求)2/(R R P <<-ξ.

2. 2.确定下列函数中的常数A, 使它们为密度函数:

(1) ;)(||x Ae x p -= (2) ?????<≤<≤=.,0,

32,,21,)(2其他x Ax x Ax x p

3. 3.某城市每天用电量不超过100万度, 以ξ表示每天耗电量(即用电量/100), 其密度为

)10()1(12)(2<<-=x x x x p . 问每天供电量为80万度时, 不够需要的概率为多少 供电量为90万度呢

3 假设一块放射性物质在单位时间内发射出的α粒子数ξ服从参数为λ的泊松分布.而每个发射出的α粒子被记录下来的概率均为p ,就是说有p -1的概率被计数器遗漏.如果个粒子是否被记录是相互独立的,试求记录下的α粒子数η的分布。

4. 4.设)4,5(~N ξ, 求a , 使 (1);90.0)(=-a P ξ.

5. 5.若]5,0[~U ξ, 求方程有实根的概率.

第三讲

1. 1.试用),(ηξ的分布函数),(y x F 表示下列概率:

).,()3();

,()2();

,()1(+∞<-∞<<=≤≤≤ηξηξηξP y a P y b a P

2 设二维随机向量),(ηξ的密度函数为

???>>=+-.0,0,0,),()(2其它y x Ae y x p y x (1) (1)确定常数A ；（2）求分布函数),(y x F ；（3）求ξ的边际密度；（4）计算概率

)10,2(<<<ηξP ；（5）计算概率);2(<+ηξP (6) )(ηξ=P .

3. 3.设随机变量ξ与η相互独立, 且0)1()1(>====p P P ηξ, 又==)0(ξP )0(=ηP p -=1, 定义:

??

?++=.,1,,0为偶数为奇数ηξηξζ

问p 取什么值能使ηξ,独立

第四讲

1. 1.设),(ηξ服从圆2

22r y x ≤+上的均匀分布,

(1) (1)求ηξ,各自的密度;

(2) (2)判断ξ与η是否相互独立.

2. 2.设),(ηξ的密度函数为),(y x p , 求证ξ与η相互独立的充分必要条件为),(y x p 可分

离变量, 即)()(),(y h x g y x p ?=. 此时)(),(y h x g 与边际密度有何关系

3. 3.利用上题的充分必要条件判断ξ与η的独立性, 若它们的密度函数为: (1)???≤≤≤≤=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p

(2) ???≤≤≤=.,0,10,8),(其他y x xy y x p

第五讲

1. 四张小纸片分别写有数字0, 1, 1,

2. 有放回地取两次, 每次取一张, 以ηξ,分别记两次取得的数字, 求ηξ,各自的分布以及ξηθ=的分布.

2. 2.设ηξ,是独立随机变量, 分别服从参数为1λ及2λ的泊松分布, 试直接证明:

(1) ηξ+服从参数为1λ+2λ的泊松分布; (2)

.,,1,0,)()()|(212211

n k C n k P k n k k n =++==+==λλλλλληξξ 3. 3.若Θ服从]2/,2/[ππ-上的均匀分布, ,tan Θ=ψ求ψ的密度.

4. 4.设ηξ,独立同分布，且都服从]1,0[上的均匀分布，求ηξζ+=的密度函数.

5. 设ηξ,独立同分布, 且都服从)1,0(N 分布，求ηξζ/=的分布密度.

第六讲

1. 在线段),0(a 上随机投掷两点, 求两点间距离的密度函数.

2. 设ηξ,相互独立，且都服从参数为1的指数分布，求ηξ+=U 与ηξ/=V 的联合密度,并分别求出ηξ+=U 与ηξ/=V 的密度.

3. 设),(ηξ的联合密度为：

???<<<<=.,0,10,10,,4),(其他y x xy y x p

求),(22ηξ的联合密度.

4. 设),(ηξ服从二元正态分布).,,,0,0(2

221r N σσ求ηξ+与ηξ-相互独立的充分必要条件.

第一讲

1. 1.某人有n 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这n 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的数学期望. 假设:

(1) (1)每次使用过的钥匙不再放回;

(2) (2)每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.

2. 2.设随机变量ξ分别具有下列密度, 求ξE : ?????≤≤-=??

???<≤-<≤=其他其他,0;2/2/,cos 2)()2(.,0,

21,2,10,)()1(2πππx x x p x x x x x p 3. 3.设分子的速度的分布密度有马克斯韦尔分布律给出:

?????≤>-=.0,0,0),ex p(4)(22

32x x a x a x x p π 分子的质量为m , 求分子的平均速度和平均动能.

第二讲

1. 1.设事件A 在第i 次试验中出现的概率为p , μ是在n 次独立试验中A 出现的次数, 求

μE .

2. 某人有n 把钥匙, 只有一把能打开家门. 当他随意使用这n 把钥匙时, 求打开家门时已被使用过的钥匙数的方差. 假设:

(1) (1)每次使用过的钥匙不再放回;

(2) (2)每次使用过的钥匙与其它钥匙混在一起.

3. 某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量.他们估计出售该产品一件可获利m 元,而每积压该产品一件导致n 元的损失。另外，该产品的销售量ξ预测服从参数

λ的指数分布。问若要获得最大利润，应安排生产多少件产品

4. 4.设ξ只取值于],[b a , 求证.4/)(2

a b Var -≤ξ

5. 5.设二维随机向量),(ηξ的分布密度为 ???<<<<--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x p 求协方差矩阵.

思考题

1. 设袋中装有m 只颜色各不相同的球. 有返回地摸取n 次, 摸到ξ种颜色的球. 求ξE .

第三讲

1. 1.设d c b a d c V b a U ,,,,,+=+=ηξ为常数, c a ,同号, 求证V U ,的相关系数等于

ηξ,的相关系数.

2. 2.设随机变量n 221,,,ξξξ 的数学期望都为0, 方差都为1, 两两间的相关系数都为ρ,

求n ξξη++= 1与n n 21ξξζ++=+ 之间的相关系数.

3. 3.设ηξ,都是只取两个值的随机变量, 求证: 如果它们不相关, 则它们独立. 思考题

1. 1.设),1,1,0,0(~),(r N ηξ,求证: ./)1(),max(πηξr E -=

2. 2.设ρηξηξηξ=====),(,1,0Cov Var Var E E . 证明: 22211),max(ρηξ-+≤E .

第四讲

1. 1.求下列分布的特征函数:

(1)

;1,,2,1,)(1p q k pq k P k -====- ξ (2)ξ服从],[a a -上的均匀分布;

(3) ξ服从参数为λ的指数分布.

2. 2.设)(t ?是特征函数, 求证下列函数也是特征函数:

).0(sin )

()2();()]()[1(>∈+a at at t Z n t n ??

3. 3.证明下列函数是特征函数, 并找出相应的分布. .)1)(3(;)sin )(

2(;cos )1(1222-+t t t t

思考题 1. 1.试举例说明在逆极限定理中, 在0=t 处连续这一条件不能少.

2. 2.当ηξ,独立时, 则有

第一讲

1. 1.下列分布函数列是否弱收敛于分布函数

?????≥<≤-+-<=???-≥-<=.,1,,2/)(,,0)()2(./1,1,/1,0)()1(n x n x n n n x n x x F n x n x x F n n

2. 2.设}{n ξ为独立同分布随机变量序列, }{n ξ的分布列为

???? ??-5.05.011, ∑==n k k

k n 12/ξη.求证}{n ξ的分布收敛于[-1,1]上的均匀分布.

第二讲 1. 1.设某车间有200台同型机床，工作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1

千瓦. 问应供给该车间多少千瓦电力才能有的把握保证正常生产

2. 2.一家火灾保险公司承保160幢房屋, 最高保险金额有所不同, 数值如下表所示:

假设: (1) (2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立;

(3)如果理陪发生, 理陪量从0到最高保险金额间的均匀分布.

记N 为一年中理陪次数, S 为理陪总量,

a. 计算N 的数学期望和方差;

b. b.计算S 的数学期望和方差;

c. c.确定相对保证附加系数θ, 即=θ(每份保单保费收入–平均理陪量)/ 平均理陪量,

以确保保险公司的保费收入大于理陪总量的概率等于.

3. 3.设}{n ξ为独立同分布, 其分布列为泊松分布. 记

∑∑==-=n k n

k k k k n Var E 11/)(ξξξη计算n η的特征函数, 并求+∞→n 时的极限,

从而验证林德贝格–勒维定理在这种情况成立.

4. 4.设}{},{n n ηξ各自独立同分布, 也相互独立.

2/1}1{,1,02=±===n n n P E E ηξξ. 求证:

∑==n k k k n n S 11ηξ的分布函数弱收敛于).1,0(N

思考题 1. 利用中心极限定理证明:

.,2/1!0∞→→∑=-n k n e n k k n

第三讲 1. 设}{n ξ独立同分布, 密度为

???≤>=--.,0,,)()(a x a x e x p a x , 令},,min{1n n ξξη =, 求证:

a P n →η.

3. 3.求证: (1)若ξξP n →,ηηP n →, 则.ηξηξ±→±P n n

(2)若ξξP n →,ηηP n →, 则.ξηηξP n n →

4. 4.设}{n ξ独立同分布, 都服从[0,1]上的均匀分布, 令n n

k k n /11)(∏==ξη, 求证:

,c P

n →η并求出常数c .

思考题

1. (蒙特卡罗方法) 设)(x f 是定义在[0,1]上的连续函数, 且取值于[0,1]. 现在平面的正方形}10,10:),{(≤≤≤≤y x y x 上做随机投点试验, 记)(A f n 为所投点落在区域=A

,1

0:)

,

{(≤

≤x

y

x)}

(

0x

f

y≤

≤内的频率. 试说明当投点次数充分多时, n f可充分接近

积分值?10.)(dx

x

f