数值计算方法教案5

plot(x,y1,'k-.',x,y2,'r-')
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('f(x)=e^{x}','p_{3}^{*}(x)')
title('\fontname{ new roman}比较f(x)=e^{x}与其平方逼近函数p_{3}^{*}(x)=0.9963+0.9979x+0.5367x^{2}+0.1761x^{3}图形');
由多元函数取极值的必要条件，则有
（3.3）
计算
由（3。3）式，则有 应满足方程组
或
或
总结上述讨论有结论：
（1）如果 是 最佳平方逼近函数，则
系数 满足方程组
（3.4）
其中系数矩阵G是由基函数作内积构成，方程组 称为法方程组。
（b）误差函数与基函数正交，即
事实上，由（3.4）式有
即
所以
（2）由 线性无关得|G|≠0，则法方程组 有唯一解
§3最佳平方逼近
3．1法方程
设已知 ，且选择一函数类 ，其中 且设 在 上线性无关（例如取 或 等）。
研究最佳平方逼近问题：寻求
（3．1）
或写为
这里我们主要研究 最佳平方逼近函数 存在性，唯一性，计算等问题。
设有 ，即 使（3．1）式成立，来考查 应满足什么条件。
对于任一 ，即有 ，于是
(3.2)
(3.2)式说明均方误差是 多元函数（为二次函数），由设存在 是极值问题（3.1）解，即说明存在 使
在S中最佳平方逼近函数。
事实上，
即有
（3.5）
如果能证明，对任何 ，则有
那么， 满足
考查（记 ）
因 ）
（因为 ），及（3.5）式有
总结上述讨论有结论：
定理6（最佳平方逼近）
（1）设 ；
（2）选择函数类 其中 且 于 线性无关。
则(a) 在S中最佳平方逼近函数 存在且唯一，即存在 使
(b)可由解法方程组
以下介绍如何应用Chebyshev多项式作最佳平方逼近。
设 。
选取 中正交基 ，其中 为Chebyshev多项式。 ，权函数 ，寻求 使
由定理7， 在 中最佳平方逼近多项式为
或
均方误差
如果 ，要求 在 上最佳平方逼近多项式：
作变换
于是，
且
可用Legendre多项式求 在[-1，1]的最佳平方逼近 ，其中
plot(x,y1,'k-.',x,y2,'r-')
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('f(x)=e^{x}','C_{3}^{*}(x)')
title('\fontname{ new roman}比较f(x)=e^{x}与Chebyshev平方逼近函数C_{3}^{*}(x)=0.994571+0.997308x+0.542991x^{2}+0.177347x^{3}图形');
最后，利用
可得函数在 上最佳平方逼近多项式
例5用Chebyshev多项式求 在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。
解3次最佳逼近多项式为
其中，
令
于是，可用数值积分计算积分（见表3.2）
表3。2
1
2
3
4
5
6
2.53213176
1.13031821
0.27149534
0.04433684
0.00547424
3．3用正交多中正交基 权函数 ，寻求 使
由设， 。
（2）求解法方程组
于是，
得到 在 最佳平方逼近多项式
定理7（用正交多项式作最佳平方逼近）
（1）设 ；
（2）选取 中正交基 即
，
为权函数，则
在 中最佳平方逼近多项式
其中，
均方误差
=
由此，用正交多项式求得最佳平方逼近多项式，其中计算Gram矩阵时，只需计算对角元素，这大大降低了法方程组系数矩阵所涉及的定积分计算量。
例4求 在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。
解取 中正交基 其中 为Legendre多项式。 于[-1，1]在 中3次最佳逼近多项式为：
其中
且
表3-1
所以由表3-1：
下面画出 图形和近似函数 的图形，直观感受3次最佳平方逼近多项式 对于 的逼近效果。
x=-1:0.01:1;
y1=exp(x);
y2=0.9963+0.9979*x+0.5367*x.^2+0.1761*x.^3;
0.00054293
0.000044977
在 上3次最佳逼近多项式为：
且
或
用Chebyshev多项式求得 的3次最佳平方逼近 的最大误差 接近最佳一致逼近的误差（见图3-3），且误差函数的分布很相似（见本章§6）。
x=-1:0.01:1;
y1=exp(x);
y2=0.994571+0.997308*x+0.542991*x.^2+0.177347*x.^3;
求得 ，于是 的最佳平方逼近函数为
（因为 ）
3．2用多项式作最佳平方逼近
已知 。
（1）选取 寻求 使
显然， 计算
（2）求解法方程组： 即得：
特别，设 ，则
法方程组为：
（或 ）
求解 ，则可得
上述矩阵 称为Hilbert矩阵，是一个著名病态矩阵（对解 而言），且随 增大， 病态愈严重，求得 比较准确的计算解就愈困难。因此，取 中基 ，求 是佳平方逼近多项式 当 较大时用一般计算方法求得的解是不可靠的，当 增加时，这种方程组计算解精度由舍入误差影响而迅速恶化。一个回避病态矩阵的的办法是取 中正交基来做最佳平方逼近。