数值分析误差的来源和有关误差电子教案
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
高中化学误差分析教案
高中化学误差分析教案
一、教学目标：
1. 了解误差的概念及分类；
2. 掌握误差的来源和计算方法；
3. 能够正确分析实验数据中的误差，并进行合理修正；
4. 提高学生的实验技能和数据处理能力。
二、教学内容：
1. 误差的概念及分类；
2. 误差的来源和计算方法；
3. 实验数据中的误差分析；
4. 误差的合理修正方法。
三、教学过程：
1. 导入：通过实际案例引入误差的概念，让学生了解误差对实验结果的影响；
2. 学习：讲解误差的分类、来源和计算方法，并进行实例演练；
3. 拓展：通过实验操作，让学生亲自体验误差的产生和修正过程；
4. 总结：归纳误差分析的要点，培养学生的数据处理能力；
5. 应用：让学生应用误差分析方法，对实验数据进行合理修正。
四、教学手段：
1. 教师讲解；
2. 实例演练；
3. 实验操作；
4. 小组讨论；
5. 课堂互动。
五、教学评估：
1. 学生自主完成误差分析实验报告；
2. 学生现场解答误差分析相关问题；
3. 课程结束时进行小测验评估学生的掌握情况。
六、教学反思：
1. 针对学生在误差分析过程中的常见问题，及时调整教学方法；
2. 结合学生的反馈意见，不断完善教学内容和教学方式；
3. 激发学生的实验热情，加强实践操作环节，提高学生的实验技能和数据处理能力。
误差分析—误差的来源及分类(试验设计与数据处理课件)
随机误差
试验数据误差的来源及分类
按性 质及 产生 的原 因分
1 随机误差 （ystematic error） 3 过失误差 （Mistake ）
随机误差（Random error）
（1）定义：以不可预知的规律变化的误差。绝对误差时正时负，时大时小。 （2）产生的原因： 偶然因素（气温的微小变动，仪器的轻微振动，电压的微小波动等） （3）特点：具有统计规律
过失误差
试验数据误差的来源及分类
按性 质及 产生 的原 因分
1 随机误差 （Random error ） 2 系统误差（Systematic error） 3 过失误差 （Mistake ）
过失误差
（1）定义：一种与事实不符的误差。 （2）产生的原因：失误， 实验人员粗心大意造成。 （3）特点：可以避免 ，没有一定的规律 。
系统误差
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按某些确定的规律起作用而产生的误差。 （2）产生的原因：多方面（仪器、操作步骤、操作者等） （3）特点：
① 系统误差大小及其符号在同一试验中恒定 ; ② 不能通过多次试验被发现； ③ 不能通过取多次试验值的平均值而减小； ④ 只有对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。
① 小误差比大误差出现机会多(呈正态分布)； ② 正、负误差出现的次数近似相等； ③ 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 ； ④ 可通过增加试验次数减小随机误差； ⑤ 随机误差不可完全避免
系统误差
试验数据误差的来源及分类
按性 质及 产生 的原 因分
1 随机误差 （Random error ） 2 系统误差（Systematic error） 3 过失误差 （Mistake ）
数值分析--误差分析
一.实验目的：
1、设计绘制图形；
2、误差分析；
二.实验内容：
某车间生产工件如图1-1所示，生产过程中工人用一把普通卡尺在线测量得知弓高h，弦长l，生产完成后工厂的验收部门用高度准确的卡尺测量而得的弓高h’, 弦长l’.试求实际生产直径D的值。
三. 实验方案（程序设计说明）
车间工人用一把卡尺进行测量其弓高h，弦长l，以及弓高的系统误差h’’和弦长的系统误差l’。
测得：h=50mm， l=500mm， h’=-0.1mm, l’=-1mm
四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
车间工人经测量得： h’=50-50.1=-0.1mm l’=500-499=1mm
误差传播的系数为： F’’/H= (L2/4h2-1)=-（5002/4*502-1）=-24
F/T=l/2h=500/2*50=5
直径的系统误差： D1=F/T*l’+F/H*h’=7.4mm
其中 D=l2/4h+h、D0= l2/4h+h=1300
所以修正后的测量结果为：
D2= D0 –D1=1300-7.4=1292.6mm
若直接用h=50.1和l=499计算得：1292.62mm
五．实验总结
本实验主要是通过测量弓高h，弦长l并测量其系统误差得出相应的修正后的测量结果测量。
在本次实验中使用MATLAB中提供的大量函数以及开放式的结构进行对题目的设计，对MATLAB的使用有了一些了解和认识。
数值分析教案
数值分析教案数值分析教案是一份旨在帮助学生深入理解数值分析概念和原理的教学计划。
通过数值分析教案的学习，学生将能够掌握数值计算方法，理解数值误差分析和算法设计等重要内容。
本教案将分为以下几个部分进行讨论与学习：一、数值分析概述数值分析是一门研究用数值方法解决数学问题的学科。
其主要目的是通过数值计算的方法，得到数学、物理或工程问题的近似解。
数值分析的应用领域非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、工程等多个学科领域。
二、数值误差分析在进行数值计算时，往往会产生误差。
这些误差可能来源于测量精度、舍入误差、截断误差等多个方面。
了解不同类型的误差对于正确理解数值计算结果至关重要。
三、插值和逼近插值和逼近是数值分析中的重要内容。
插值是指通过一组已知数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处与原函数取值相同；而逼近则是通过多个已知数据点，构造一个函数来近似原函数。
四、数值积分与微分方程数值积分和微分方程是数值分析中的另外两大重要内容。
数值积分是对函数在一定区间上的积分进行数值计算，而微分方程则是研究描述变化的物理现象的数学方程。
五、算法设计算法设计是数值分析中一个至关重要的环节。
一个高效、准确的算法可以大大提高数值计算的效率和精度。
学生需要学会设计和实现各种数值计算算法。
通过本教案的学习，相信学生将对数值分析有更为深入的了解，掌握数值计算方法，提高数学建模和问题求解的能力。
数值分析作为一门重要的学科，对于理工科学生的学习和研究具有重要的指导意义。
愿本教案能够帮助学生打下坚实的数值分析基础，为未来的学习和工作打下良好的基础。
大学基础化学误差分析教案
课时：2课时教学目标：1. 理解误差的概念和分类。
2. 掌握误差的来源和影响因素。
3. 学会误差的测量和计算方法。
4. 培养学生严谨的科学态度和实验技能。
教学重点：1. 误差的概念和分类。
2. 误差的来源和影响因素。
3. 误差的测量和计算方法。
教学难点：1. 误差的来源和影响因素的识别。
2. 误差的测量和计算方法的运用。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾初中化学实验中误差的概念。
2. 提出问题：误差在大学基础化学实验中有什么重要性？二、新课讲解1. 误差的概念：误差是指测量值与真实值之间的差异。
2. 误差的分类：a. 系统误差：由于测量方法、仪器、环境等因素引起的误差。
b. 随机误差：由于不可预测的因素引起的误差。
3. 误差的来源和影响因素：a. 测量方法：如操作不当、读数误差等。
b. 仪器：如仪器精度、校准误差等。
c. 环境因素：如温度、湿度、压力等。
d. 试剂和溶剂：如试剂纯度、溶剂浓度等。
4. 误差的测量和计算方法：a. 平均误差：将多次测量值相加，除以测量次数。
b. 标准误差：表示测量结果的不确定性。
c. 极差：表示测量结果的最大误差。
三、课堂练习1. 分析一个实验中的误差来源。
2. 计算一组数据的平均误差和标准误差。
四、课堂小结1. 误差的概念、分类、来源和影响因素。
2. 误差的测量和计算方法。
第二课时：一、复习上节课内容1. 误差的概念、分类、来源和影响因素。
2. 误差的测量和计算方法。
二、实验误差分析1. 分析实验数据，识别误差来源。
2. 计算误差值，分析误差对实验结果的影响。
三、课堂讨论1. 如何减小实验误差？2. 误差分析在化学实验中的重要性。
四、课堂小结1. 误差的概念、分类、来源和影响因素。
2. 误差的测量和计算方法。
3. 误差分析在化学实验中的应用。
教学反思：本节课通过讲解误差的概念、分类、来源和影响因素，使学生了解误差在化学实验中的重要性。
通过实验误差分析，使学生掌握误差的测量和计算方法。
误差来源与分类PPT学习教案
会计学
1
测量误差的来源和分类
（一）测量误差的来源 测量误差的来源是多样的，概括起来可分
为下列三个方面：
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1．仪器误差
测量工作是用特制的仪器来完成的，而完美无缺的仪器是没有的。即使 最先进、最精密的仪器，也含有一定的误差。由于精度上的限制和结构 上的缺陷，或校正不完善而引起的误差，称为仪器误差。例如J6级经纬 仪测角，估读误差约为±3"，这便是仪器精度上的限制；又如水准仪水 准管轴不平行于视准轴，不论校正工作做得多么仔细，总是不可避免地 会有i角存在，这样，在观测时就必然会由此而产生误差.
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系统误差具有累积性
系统误差具有累积性，对成果质量危害较 大。因此，不论进行任何测量，都应找出 系统误差的影响规律，通过计算改正数和 改变观测方法等加以消除。例如，尺长误 差，可以在量得的距离中加入尺长改正数。 照准误差c可用正倒镜观测加以抵消等等。
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测量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ差的分类
按测量误差产生的规律，测量误差分为系统误差和偶然误 差两类。
1．系统误差 在一定的观测条件下，对某一变量进行一系列观测，若由
某一因素引起的测量误差，或者保持着相同的符号和大小 ， 或者随着因素的变化，其引起的误差数值循着一定的规律 变化，则称为系统误差。例如，某一钢尺的名义尺长度为 50 m，经检验，知其实际长度为49.985 m。用它进行直线 丈量，每量一整尺，就比实际长度长0.015m。这种误差的 大小和符号都是一定的。又如钢尺因温度变化引起的尺长 误差、水准仪视准轴和水准管轴不平行所引起的误差，以 及经纬仪视准轴不垂直于横轴而引起的误差等也属系统误 差。系统误差多数来源于仪器设备本身。
教案一 数值分析引论、误差分析
教案一 数值分析引论、误差分析基本内容提要1数值分析的研究对象和特点2误差的基本概念：绝对误差、相对误差、有效数字、科学计数法、舍入误差 3误差的来源、分类和误差估计教学目的和要求1了解数值分析课程的作用和地位2理解误差的来源、熟练掌握误差的基本概念、掌握基本误差估计方法和基本公式教学重点误差的来源、误差的基本概念、误差估计方法和基本公式教学难点有效数字与误差的关系、误差估计方法和公式的应用课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入数值分析课程关心的问题是如何设计有效的方法近似计算某个数学问题或数学模型的解。
由于数学问题或数学模型一般都是工程实际问题通过一定的简化假设得到的数学表达式，所以该数学问题实际上是要解决的实际问题的一个近似问题。
从这个意义上说，设计寻找数学问题的近似解的方法要比计算他的精确解更合适，通常，称这样一种寻找近似解的方法叫做算法，它一般由一组有顺序的代数运算和逻辑运算构成，目的是要计算满足指定精度的近似解。
因为方法的有效性要看它在计算机上是否容易执行，所以合适的方法是与实际计算时采用的计算机性能及其不断发展相匹配的。
与算法紧密联系的重要问题是如何估算近似解的误差界。
数值分析的研究内容主要包括：插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的数值解法，非线性方程(组)数值解法，代数特征值问题的数值解法，常微分方程与偏微分方程的数值解法等。
数值分析的研究特点：面向计算机；有可靠的理论分析；有好的计算复杂性；有数值实验验证。
数值分析的研究发展历史简介。
§1.1误差分析1.1.1 误差的来源于分类利用算法求解数学问题之所以产生误差，主要受下面几个因素影响。
A、模型误差，建立的数学模型与实际问题之间的差别引起的误差。
B、观测误差，利用实验方法（或测量工具）获得实验(测量)数据时，由于不可能达到绝对准确的程度而造成的误差。
C、截断误差，算法设计中为了算法的可执行性，用能够计算的或更容易计算的数学问题代替不易计算的问题时产生的误差。
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解：ln10000001 ln10000000 ln 10000001 ln1.0000001 10000000
当x 0时，ln(1 x) x
ln1.0000001 0.0000001
write(*,*)log(1.0000001)
结果为 0.00000012
若用 write(*,*)log(10000001.0)-log(10000000.0) 结果为 0.0000000
write(*,*) 12345.0008 - 12345.0002 pause end
结果为 0.00097656
例2:计算 100000001 100000000
当x很小时：1 x 1 x 2
100000001 100000000 0.510-4
直接计算 write(*,*) sqrt(100000001.0) - 10000.0
结果为 1234568.0
四 好的运算方案能控制误差的传播放 大,减少计算步骤.
例6: 计算 ax3 bx2 cx d
不良运算方案 Write(*,*)a*x**3+b*x**2+c*x+d
一共6次乘法,3次加法.
良好运算方案
ax3 bx2 cx d (ax b)x cx d ,
• (ab)=ab, • r(ab)= [a/(ab)]ra+[b/(ab)]rb(近似数相减
不稳定)
• (ab) ba+ab
• r(ab) ra+rb • (a/b) (1/b)a(a/b2)b (b 0不稳定) • r(a/b) rarb
减少计算误差的措施
一 避免两个大数相减
例1:计算 12345.0008 – 12345.0002
例：计算50.1+1.45+0.5812=? 修约为：50.1+1.45+0.58=52.13=52.1
2. 乘除法
以有效数字最少的数据为基准，其他数据多保留
一位有效数字，再进行乘除运算，计算结果仍保留最 少的有效数字。
例：计算0.0121×25.64×1.05728=? 修约为：0.0121×25.64×1.057=? 计算后结果为：0.327927908，结果仍保留为三位 有效数字。
1 x10
1 x10
0
6
dx
0
x
dx 5
0
dx 5
1
1
66 I10 55
取
I10
1 2
1 66
t=0.01667
1 55
0.01667 利用
I n -1
1 5
1 n
- In
do i=10,1,-1
t=0.2*(1.0/i-t)
enddo write(*,*)t
结果为 I0 0.182
write(*,*)1000.0/(sqrt(1000001.0)-1000) 结果为 2048000.0
1000
1000 ( 1000001 1000000)
1000001 1000000
write(*,*)1000.0*(sqrt(1000001.0)+1000)
结果为 2000000.0 可见,直接计算的误差很大.
这个算法具有数值稳定性
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看 到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场 上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂 集合，我为他们放一部有关彗星的影片。
Pn ( x) x( x( x ( x(an x an1 ) an2 a1 ) a0
计算
pn ( x)的递推公式：
S
Sn
k 1
an; xS k
ak1 ,
(k n, n 1,,2,1).
则 S0 pn( x), 计算 pn ( x)的值只需作 n次乘法n次加法。
例7: 控制误差被恶性放大的例子.
这个算法显然不具有数值稳定性
正确的算法在哪?
先求出I10，利用
I n -1
1 5
1 n
- In
求I
9时,
I10的误差被减小到
1 5
求I
8时,
I10的误差被减小到
1 5
2
I9
倍
1 5
1 10
-
I10
，I 8
1 5
1 9
-
I9
，
求I0时, I10的误差被减小到
1 5
10
倍
1 x10
Write(*,*)((a*x+b)*x+c)*x+d 一共3次乘法,3次加法.
对于一般多项式
Pn (x) an xn an1xn1 a1x a0
(a) 直接计算每一项再求和：
计算
pn ( x)的值需作乘法次数：
n
(n
1)
2
1
n(n 2
1) ;
加法次数： n.
(b)秦九韶算法
实际问题 物理模型 数学模型
数值分析方法
数值分析实际上就是介绍在计算机上解 决数学问题的数值计算方法及其理论。这门 课程又称为数值计算方法.
数值分析方法
计算机求结果
• Fortran
• C++
•Matlab
误差的来源和有关误差的基本概念
一 误差的来源和分类 模型误差:数学模型仅是实际问题的一个近似，
其中利用了sin x x, cos x 1
write(*,*)sin(0.0003)/(1.0+cos(0.0003)) 结果为 0.00015000
三 防止大数吃小数。当两个绝对值相差很大的 数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能 被绝对值大的数"吃掉".
例5: 计算 1234567加上100个0.01
计算积分
In
1 0
xn dx，其中 x5
n 0,1,2,,10
In
1 0
xn
5xn1 5xn1 dx x5
1 0
1
xn1dx 5
0
xn1 dx x5
1 n
5In1
11
I0
0
x
dx 5
ln 6 ln 5
0.182
(a)利用
In
1 n 5In1
来计算
I1
1 1
5I0
; I2
1 2
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出 现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的 现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战 服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命 令每隔76年才会出现一次。
利用公式
x 1 x
1
x 1 x
结果为 0
计算
1
100000001 100000000
write(*,*)1.0/(sqrt(100000001.0)+10000.0) 结果为 0.00004999
二 避免绝对值接近于零的数做分母
例3 : 计算 y
1000
1000001 1000000
直接计算 利用
1.把 0.01 一个一个直接 加到 1234567.0上
t=1234567.0 do i=1,100 t=t+0.01 enddo write(*,*)t
结果为 1234567.0
2. 先把 100 个 0.01 加在 一起,然后再加到 1234567.0上
t=0.0 do i=1,100 t=t+0.01 enddo t=t+1234567.0 write(*,*)t
5I1;,
I10
1 10
5I
9
t=0.182 do i=1,10 t=1.0/i-5.0*t enddo write(*,*)t
I10 真实值约为0.0167 , 计算结果却为 -3140.224 Why ?
求I1时, I0的误差被放大5倍
求I2时, I0的误差被放大52倍
求I10时, I0的误差被放大510 倍
例4: 计算
1 cos x , sin x
x 0.0003
当x很小时，分子出现相近数相减，分母趋于零.
直接计算
write(*,*)(1.0-cos(0.0003))/sin(0.0003) 将以上算式变形
结果为 0.00019868
(1 cos x)(1 cos x) 1 cos2 x sin x x 0.00015 sin x(1 cos x) sin x(1 cos x) 1 cos x 2
它们之间的误差 观测误差：模型中所含数据大都由实验或观测得
到，受条件限制也会有误差 这里，我们专门讨论数值计算中的误差，不考虑
上述两类误差，即假定所利用的模型和数据是恰 当、合理的．
截断误差(方法误差):求近似解 舍入误差:机器字长有限
计算规则 1. 加减法
以小数点后位数最少的数据为基准，其他数据比 它多保留一位，再进行加减计算，最终计算结果保留 最少的位数。
排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上 去。
班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的 陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。
思考题:
用正确方法编程计算 ln10000001 ln10000000
记录为：0.0121×25.64×1.056=0.328 例：计算2.5046×2.005×1.52=? 修约为：2.505×2.005×1.52=? 当把1.13532×10⒑保留3个有效数字时，结果为 1.14×10⒑ 运算中若有π、e等常数，以及√2.1/2等系数，其 有效数字可视为无限，不影响结果有效数字的确定。