数值分析第一章实验 误差分析
数值分析实验误差分析.doc
c[i]=temp;//保存首行信息
}
//消去l=aik/akk
k=j;
while(k<n-1){
i=j;
b[0] =a[k+1][j];//保留第一个系数防止后面破坏
for(;i<n+1;i++)
{
//b[1]=b[0]*c[i]/a[j][j];
a[k+1][i]=b[0]*c[i]/a[j][j]-a[k+1][i];
}
// showarray(a);
for (i=0;i<n;i++)
{
cout<<"x"<<i<<"="<<x[i];
}
cout<<endl;
}
void showarray(float a[n][n+1])
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n+1;j++)
{
cout<<"x2"<<a[i][j]<<" ";
x3=-(b-sqrt(q))/2;
x4=c/xБайду номын сангаас;
printf("%f\n",x1);
printf("%f\n",x2);
printf("%f\n",x3);
printf("%f\n",x4);
}
数值分析1-3误差定性分析和与避免误差危害
定性等。误差处理对于确保结构分析的准确性和安全性至关重要。
02 03
流体动力学分析
在流体动力学分析中，数值分析用于求解流体流动和传热问题，如飞机、 汽车的气动性能等。误差处理对于确保流体动力学分析的准确性和可靠 性至关重要。
控制系统设计
在控制系统设计中，数值分析用于求解控制系统的数学模型，如飞机的 自动驾驶系统、工厂的自动化控制系统等。误差处理对于确保控制系统 设计的准确性和稳定性至关重要。
01
02
03
适应性选择
根据问题的性质和精度要 求，选择适合的数值方法 和算法。
对比分析
对不同的算法和数值方法 进行对比分析，选择误差 较小、精度较高的方法。
验证与测试
对所选择的算法和数值方 法进行验证和测试，确保 其在实际应用中的准确性。
增加计算精度和减少舍入误差
高精度计算
采用高精度计算方法，如使用高精度数学库或软件， 以提高计算精度。
数值分析1-3误差定性分析和与避 免误差危害
contents
目录
• 引言 • 误差定性分析 • 避免误差危害的方法 • 实际应用中的误差处理 • 结论
01 引言
误差的来源
测量误差
由于测量工具或方法的限制，导致测量结果与真 实值之间的差异。
近似误差
在数值计算过程中，为了简化计算而采取的近似 方法引入的误差。
可靠性下降
02
误差的存在降低了结果的可靠性，可能导致错误的决策或结论。
稳定性破坏
03
对于某些数值方法，误差的累积可能导致数值不稳定，影响计
算的可靠性。
02 误差定性分析
绝对误差和相对误差
绝对误差
表示测量值与真实值之间的差值，不 依赖于参考点。
数值分析(01) 数值计算与误差分析
数值分析
数值分析
一、误差的来源
1、数学模型
数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据 后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表 达式。
在数学模型中，往往包含了若干参量如物体比重、阻 力系数、热交换系数等，这些物理参数通常由实验仪器测 得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定 的误差。
（4）在研究区左端连续注入浓度为C0的废水，废水中的 污染物不发生吸附解吸和衰变；
（5）对流弥散是一维的。
数值分析
数值分析
基于以上假设，定浓度注入污染物一维迁移的数学物理方程为：
方程的解为：
c(ctx,0D) 0x2c,20Vxxc
,0
x
, t
0
c(0,
t)
c0
,
0
t
c(,t) 0, 0 t
有递推公式
sn sk
axn sk 1
ak
k n 1, ,2,1,0
Pn (x) s0
需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。
数值分析
数值分析
算法1 (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
t 1 u a(0)
注意
for i 1 : n
t x*t
u u a(i)* t
end
Hale Waihona Puke 的基础.数值分析数值分析
一、数值分析的特点
现代科学的三个组成部分: 科学理论,科学实验,科学计算
科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软 件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学, 计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等
数值分析
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值分析1——误差分析
第一章： 第一章：误差主要内容• 误差的来源与分类 误差的来源与分类 • 误差与有效数字 • 在近似计算中应注意的几个问题1. 来源与分类 ( Source & Classification )• • • •模型误差 参数误差(观测误差) 参数误差(观测误差) 方法误差(截断误差) 方法误差(截断误差) 舍入误差1.1 模型误差 (Modeling Error)用计算机解决实际问题时， 首先要建立数学 用计算机解决实际问题时 ， 首先要建立 数学 模型， 各种实际问题是十分复杂的， 模型 ， 各种实际问题是十分复杂的 ， 而数学 模型是对被描述的实际问题进行抽象 抽象、 模型是对被描述的实际问题进行 抽象 、 简化 而得到的， 往往忽略 了一些次要因素 忽略了一些 次要因素， 而得到的 ， 往往 忽略 了一些 次要因素 ， 因而 近似的 是 近似 的 ， 我们把数学模型与实际问题之间 出现的这种误差称为模型误差 模型误差。
出现的这种误差称为 模型误差 。
如自由落体 公式1 2 s = gt 2忽略了空气阻力。
忽略了空气阻力。
参数误差(观测误差， 1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error) 数学模型中的物理参数的具体数值， 数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过 实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有 实验测定或观测得到的， 得到的 误差，这种误差称为参数误差 观测误差。
参数误差或 误差，这种误差称为参数误差或观测误差。
例如前例中的重力加速度g=9.8 米 例如前例中的重力加速度 g=9.8米 / 秒 ， 这 g=9.8 个数值是由多次实验而得到的结果实际的值 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
g-9.8就是参数误差 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
1.3 方法误差 (截断误差 Truncation Error）在数学模型（ 包括参数值） 确定以后， 在数学模型 （ 包括参数值 ） 确定以后 ， 就要考虑 选用某种数值方法具体进行计算， 选用某种数值方法具体进行计算 ， 许多数值方法 都是近似方法， 都是近似方法 ， 故求出的结果与准确值之间是有 误 差 的 ， 该 误 差称 为 截断 误 差 或 方 法 误 差 。
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
数值分析误差及分析
f
( x1*,
x2*, xi
, xn*)e( xi*)
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e( y*) e[ f ( x1*, x2*, , xn*)] df ( x1, x2, , xn )
n f ( x1, x2,
i1
xi
,
xn )e( xi*)
n i1
f
( x1*,
x2*, xi
, xn*)e( xi*)
记
用递推算法:
u0 an, uk uk1x ank , k 1, 2, , n.
最终
Pn (x)=un
共需n 次乘法和n次加法运算。
一般地要注意:能在循环外计算, 就不要放在循环 内计算。
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二、 注意避免两个相近数的相减
两个相近的数相减,有效数字会大大损失。
例2
170 13 0.0384048
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x*)
x*
r ( x*)
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综合例题1
上页 下页
三、有效数字 定义：如果近似值x*的误差限不超过某一位的半个 单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有n 位,我们 称 x* 有n 位有效数字。它可表为
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) )
其中 a1, a2 , , an 为0-9 中的一个数字a, 1 0, m 为整数，
er ( x*)
x*x | x* |
0.5 10mn1 a1 10m
1 10n1 2a1
此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。
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定理 2 设近似值 x* a1.a2 an 10m 的相对误差
不大于
1 2(a1
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
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1. 计算1
1
n x n
I e
x e dx -=⎰
(n=0,1,2,……)并估计误差。
由分部积分可得计算n I 的递推公式
1111
01,1,2,e 1.n
n x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1
2,,I I …
的值。
要
算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和
21
(1)(1)1(1),2!!
k
e k ---≈+-+++
…
并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差
14711
|0.3679|108!4
R e --=-≤
<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。
当初值取为
00
0.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 0
10.6321A 1n
n I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。
计算结果见表1的n I 列。
用0I 近似0I 产生的误差000
E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.
表1 计算结果
从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。
实际上，由积分估值得
111110001011
(im )(max)11
x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。
这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就
是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n
E I I =- 满足关系
1,1,2,n n E nE n -=-=….
由此容易推得
0(1)!n n E n E =-，
这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。
例如，n=8，若
4
01||102
E -=
⨯，则80||8!||2E E =⨯>。
这就说明8I 完全不能近似8I 了。
它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。
我们现在换一种计算方案。
由（2）式取n=9,得
1911010
e I -<<， 我们粗略取1
*9911()0.068421010
e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即
由*9I 算出*8I ，*7I ，…，*
0I ，公式为
*
9**
10.0684()1(1),98n n I B I I n n -⎧=⎪
=⎨=-=⎪⎩
，
，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。
我们发现*
0I 与0I 的误差不超过410-。
记
**
n n n
E I I =-，则**01||||!
n E E n =，*0E 比*
n E 缩小了n!倍，因此，尽管*9E 较大，但由于误差逐步缩小，故可用*
n I 近似n I 。
反之，当用方案（A ）计算
时，尽管初值0I 相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。
此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。