高考数学微一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第5节 对数函数练习 理
2019版人教版a版高考数学练习：第二章 第五节 对数函数 含解析
课时规范练 A 组 基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合． 答案：D4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( )A ．(0,3)B ．[0,3]C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)． 答案：D5．(2018·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝loga |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.答案：D9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(0，3) C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：本题主要考查函数的奇偶性及单调性．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a <3，故选B.答案：B10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D. 答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫－22＝________. 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－22＝－f ⎝⎛⎭⎫22＝－⎝⎛⎭⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 16．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1.当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，1B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝⎛⎭⎫1221log 5＋ C.12D.120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫1222log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0， 由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x， 根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．已知a ，b ＞0，且a ≠1，b ≠1.若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：根据题意，log a b ＞1⇔log a b －log a a ＞0⇔log a ba＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜ba ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b a＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 或⎝ ⎛ a ＞1b ＞a .当⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜10＜b ＜a 时，0＜b ＜a ＜1，∴b －1＜0，b －a ＜0；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b ＞a 时，b ＞a ＞1，∴b －1＞0，b －a ＞0. ∴(b －1)(b －a )＞0.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21－x －1，易知y ＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A. 答案：A7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1100，1 B.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1.∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n<1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( ) A ．10 B.34 C.710D.32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D.答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立．∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.答案：C11．设方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝⎛⎭⎫12x 1，log 14x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．(2017·江西红色七校模拟)已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝12⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f⎦⎤⎝⎛⎭⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，114．(2018·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 15．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数， 由于f (x )＞1恒成立， 所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4， 故这样的a 不存在． ∴1<a <83.答案：⎝⎛⎭⎫1，83 16．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1g ⎝⎛⎭⎫a 2＞0，解得1＜a ＜2 5.答案：(1,25)。
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 对数与对数函数练习 理-人教版高三全册数学试题
§2.5对数与对数函数考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.对数的概念及运算理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用Ⅱ2017,8;2015某某,9;2015某某,12选择题、填空题★★★2.对数函数的图象与性质理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象Ⅱ2016课标全国Ⅰ,8;2016某某,5;2015某某,4;2015某某,103.对数函数的综合应用1.体会对数函数是一类重要的函数模型2.了解指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数Ⅲ2014某某,4;2014某某,8选择题、填空题★★☆分析解读1.对数函数在高考中的重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交会点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.五年高考考点一对数的概念及运算1.(2017,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D2.(2014某某,7,5分)已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c答案 B3.(2013某某,3,5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a(bc)=log a b·log a cD.log a(b+c)=log a b+log a c答案 B教师用书专用(4—8)4.(2015某某,9,6分)计算:log2=,=_________.5.(2015某某,12,5分)lg 0.01+log216的值是_______.答案 26.(2015某某,11,5分)lg +2lg 2-=_______.答案-17.(2014某某,12,5分)已知4a=2,lg x=a,则x=_______.答案8.(2013某某,11,5分)lg+lg的值是_______.答案 1考点二对数函数的图象与性质1.(2016某某,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则( )A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案 D2.(2015某某,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2015某某,10,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案 C4.(2014某某,5,5分)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案 B5.(2014某某,6,5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案 D6.(2013某某,6,5分)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C教师用书专用(7—10)答案 D8.(2013某某,3,5分)函数y=的定义域是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)答案 C9.(2013课标全国Ⅱ,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案 D10.(2013某某,7,5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值X围是( )A.[1,2]B.C.D.(0,2]答案 C考点三对数函数的综合应用1.(2014某某,8,5分)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )答案 B2.(2013某某,7,5分)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f=( )A.-1B.0C.1D.2答案 D教师用书专用(3)3.(2014某某,4,5分)设a=log2π,b=loπ,c=π-2,则( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案 C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一对数的概念及运算1.(2018某某某某高级中学月考,6)设a=log54-log52,b=ln+ln 3,c=,则a,b,c的大小关系为( )A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b2.(2017某某重点协作体一模,8)已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于()A. B. C. D.答案 D3.(2017某某某某二模,9)已知a=-,b=1-log23,c=cos,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a答案 C4.(2018某某荆州中学月考,13)化简:=_______.答案5.(人教A必1,二,2,例4,变式)计算:+log2(log216)= _______.答案考点二对数函数的图象与性质6.(2018某某师大附中模拟,10)已知函数f(x)=ln x+ln(4-x),则( )A.f(x)在(0,4)上单调递增B.f(x)在(0,4)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=2对称D.y=f(x)的图象关于点(2,0)对称答案 C7.(2017某某某某二模,4)设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a答案 B8.(2017某某某某南雄模拟,4)函数f(x)=x a满足f(2)=4,那么函数g(x)=|log a(x+1)|的图象大致为( )答案 C9.(2017某某红桥期中联考,9)函数f(x)=的图象大致是( )10.(2018某某一模,15)若函数f(x)=log a(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值X围是_______. 答案(0,1)∪(1,4]考点三对数函数的综合应用11.(2018某某某某一模,7)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案 D12.(2018某某模拟,12)已知函数h(x)的图象与函数g(x)=e x的图象关于直线y=x对称,点A在函数f(x)=ax-x2的图象上,A关于x轴对称的点A'在函数h(x)的图象上,则实数a的取值X围是( )A. B. C. D.答案 A13.(2017某某某某七校联考,7)若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值X围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4]∪[2,+∞)D.[-4,4)答案 D14.(2016某某四地六校第一次联考,19)已知函数f(x)=log3.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)当x∈时,函数g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.解析(1)要使函数f(x)=log3有意义,自变量x需满足>0,解得x∈(-1,1),故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称,∵f(-x)=log3=log3=-log3=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.故u=在上为减函数,则u∈,又∵y=log3u为增函数,∴g(x)∈[-1,1],故函数g(x)的值域为[-1,1].B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018某某师大附中模拟,4)若a>b>0,c>1,则( )A.log a c>log b cB.a c<b cC.c a<c bD.log c a>log c b答案 D2.(2017某某某某二中期中,12)若函数f(x)=log2x在[1,4]上满足f(x)≤m2-3am+2恒成立,则当a∈[-1,1]时,实数m的取值X围是( )A.B.∪∪{0}C.[-3,3]D.(-∞,-3]∪[3,+∞)∪{0}答案 D3.(2017某某某某二中等四校联考,10)已知函数f(x)=log2(ax2+2x+3),若对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)=k成立,则实数a的取值X围是( )A. B. C.[3,+∞) D.(-1,+∞)答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017某某某某一模,16)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则=_______.答案95.(2016某某某某一模,15)下列四个函数:①y=-;②y=log2(x+1);③y=-;④y=.在(0,+∞)上为减函数的是_______.(填上所有正确选项的序号)答案①④1.(2018某某某某执信中学月考,5)设a,c为正数,且3a=lo a,=9,=log3c,则( )A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c答案 A2.(2017某某某某期中,6)函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是( )答案 B3.(2017海淀期中,5)已知函数y=x a,y=log b x的图象如图所示,则( )A.b>1>aB.b>a>1C.a>1>bD.a>b>1答案 A方法2 对数函数的性质及其应用4.(2017某某某某二中期中,4)下列关于函数f(x)=ln|x|的叙述,正确的是( )A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数B.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数C.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数D.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数答案 D5.(2017某某某某二中等四校联考,7)已知lo a<lo b,则下列不等式一定成立的是( )A.ln(a-b)>0B.>C.<D.3a-b<1答案 C6.(2016某某某某示X高中五校联考,7)已知f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,那么实数a的取值X围是( )A.(1,+∞)B.(-∞,3)C.D.(1,3)答案 C7.(2018某某某某期中,19)已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).(1)求f(x)的解析式;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),某某数m的取值X围.解析(1)依题可设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),∵f(x)的图象过点(4,1),∴f(4)=1⇒log a4=1⇒a=4,∴不等式f(2m-1)<f(5-m)即∴⇒<m<2,∴m的取值X围是.。
高考数学一轮复习 第二章 函数2.6对数与对数函数试题
课时作业9 对数与对数函数一、选择题1．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )． A ．a ＞5或a ＜2 B ．2＜a ＜5 C ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 D ．3＜a ＜42．设a ＝131log 2，b ＝132log 3，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a3．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数是( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)等于( )．A.124B.112C.18D.385．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝12log a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝12log b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)7．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为( )．①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万个，则此时5＜P A ＜5.5.A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题8．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝__________.9．将函数y ＝log 3x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m ＞0)倍，得到图象C ，若将y ＝log 3x 的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m ＝__________.10．已知函数y ＝2log a (x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，则a 的取值范围是__________．三、解答题11．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．12．若函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)，且log 2f (x )＜f (1)．参考答案一、选择题1．C 解析：要使对数式有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5.2．B 解析：∵y ＝13log x 在(0，＋∞)上单调递减，且12＜23，∴131log 2＞132log 3，即b ＜a . ∵c ＝log 343＝133log 4，且34＞23，∴133log 4＜132log 3，故c ＜b ＜a .3．C 解析：a |x |＝|log a x |有意义，则x ＞0，问题即a x ＝|log a x |，画出两个函数y ＝a x，y ＝|log a x |的图象，则可以得到交点有2个．4．A 解析：∵2＋log 23＜4， 又当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，∴f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (3＋log 23)． ∵3＋log 23＞4，∴f (2＋log 23)＝23log 312+⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·2log 312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·121log 312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝18×13＝124. 5．A 解析：由2a ＝12log a 可知a ＞0⇒2a＞1⇒12log a ＞1⇒0＜a ＜12；由⎝ ⎛⎭⎪⎫12b＝12log b 可知b ＞0⇒0＜12log b ＜1⇒12＜b ＜1；由⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c 可知c ＞0⇒0＜log 2c ＜1⇒1＜c ＜2. 从而a ＜b ＜c .6．C 解析：函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图象知a ，b 一个大于1，一个小于1，不妨设a ＞1,0＜b ＜1. ∵f (a )＝f (b )，∴f (a )＝|lg a |＝lg a ＝f (b )＝|lg b |＝－lg b ＝lg 1b.∴a ＝1b.∴a ＋b ＝b ＋1b ＞2b ·1b＝2.7．B 解析：当n A ＝1时P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A ＝lg(n A )＝lg 2＋5. 又∵lg 2≈0.3，∴5＜P A ＜5.5，故③正确． 二、填空题8．{1,2,3} 解析：由A ∩B ＝{1}知 log 2a ＝1，得a ＝2，b ＝1. 故A ∪B ＝{1,2,3}． 9．19解析：将y ＝log 3x 的图象向上平移2个单位， 得到y ＝2＋log 3x ＝log 3(9x )的图象．∴m ＝19.10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(0,1) 解析：∵f (x )＝x 2－2ax －3在(－∞，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数，∴要使y ＝2log a (x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，首先必有0＜a 2＜1，即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a ＜0或0＜a ＜1.三、解答题11．解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0.∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋l g b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2·lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.12．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0＜x ＜1.。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 对数与对数函数练习 理讲解
第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数练习 理[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝log 0.5 4x －1 的定义域为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 答案 C解析 由题意易知⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5 4x －1 ≥04x －1>0整理得0<4x －1≤1，解得14<x ≤12，即函数f (x )＝log 0.5 4x －1 的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12，故选C.2．[2015·重庆高考]“x >1”是“log 12 (x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由log 12 (x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12 (x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.3．[2015·石家庄一模]设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )A ．－12B.12 C ．2 D ．－2答案 B解析 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12，故选B.4．函数f (x )＝2x ＋1和函数g (x )＝log 2(x ＋3)的图象的交点一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝log 2(x ＋3)的图象可以由基本的指数函数f (x )＝2x和对数函数g (x )＝log 2x 的图象分别向左平移1个单位和3个单位得到，由f (x )＝2x ＋1，g (x )＝log 2(x ＋3)的图象可知，其交点在第二象限，选B.5．[2014·辽宁高考]已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案 C解析 0<a ＝2－13 ＝12 13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 12 13＝log 23>1.∴c >a >b .6．[2014·福建高考]若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案 B解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．7．[2016·云南名校联考]设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )， 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③答案 D解析 由a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb，①正确；由幂函数的图象与性质知②正确；由a >b >1，c <0知a －c >b －c >1－c >1，由对数函数的图象与性质知③正确，故选D.8．[2016·河北五校质监]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m ＝n＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D. 9．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)解析 当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1，解得0<x <110或x >10.10．已知函数y ＝f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，给出以下结论：①函数y ＝f (x )的图象关于点(k,0)(k ∈Z )对称； ②函数y ＝|f (x )|是以2为周期的周期函数； ③当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－log 2(1－x )； ④函数y ＝f (|x |)在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上单调递增． 其中，正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，奇函数的图象关于原点(0,0)对称，故函数y ＝f (x )的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f (x )在(1,3)上的图象，左右平移即得到f (x )的草图如图所示，由图象可知f (x )关于点(k,0)(k ∈Z )对称，故①正确；由y ＝f (x )的图象可知y ＝|f (x )|的周期为2，故②正确；当x ∈(－1,0)时，2<2－x <3，f (2－x )＝log 2(1－x )＝－f (x )，即f (x )＝－log 2(1－x )，故③正确；y ＝f (|x |)在(－1,0)上为减函数，故④错误．11．[2015·珠海月考]函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1， 又当x 2－1＝0即x ＝±1时，f (0)＝0>－2符合题意． ∴不等式的解集为(－5，5)．12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)． 所以g (x )＝－log a (1－x )(x <1)． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a1＋x1－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)．由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0,1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m 的取值范围是(－∞，0]．[B 组·能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案 B解析 如图所示，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．故选B.2．定义函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数c ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f x 1 ＋f x 22＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝ln x ，x ∈[1，e 2]，则函数f (x )＝ln x 在x ∈[1，e 2]上的均值为( )A.12 B ．1 C ．e D.1＋e 22答案 B解析 只有x 1x 2＝e 2，才有x 1∈[1，e 2]时，x 2＝e 2x 1∈[1，e 2]，所以函数f (x )＝ln x 在x∈[1，e 2]上的均值为ln x 1＋ln x 22＝ln x 1x 2 2＝ln e22＝1.3．[2016·山西质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2 x －m ，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.4．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k < 3－4t 3－t t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时 指数与指数函数精品课件 理 北师大
• 3．指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
图象特征
在x轴 上方，过定点 (0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大时， 图象逐渐上升
函数
定义域
值域
性 单调性 质
函数 值变 化规律
y＝ax(a＞0，且a≠1)
D．f(－2)＞f(2)
解析： 由a－2＝4，a＞0，得a＝12， ∴f(x)＝21－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1)． 答案： A
4．方程3x－1＝19的解是________． • 答案： －1
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析： 函数的定义域为R，令u＝1－x∈R， ∴y＝21u＞0. 答案： (0，＋∞)
• (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函 数．
• 1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
• (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； • (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝
af(x)的值域． • 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 • (1)求复合函数的定义域； • (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； • (3)分层逐一求解函数的单调性； • (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
【变式训练】 1.计算下列各式：
• 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象．
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件 理
D．①②④
13
第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
14
第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
11
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2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
12
第十二页，共四十五页。
「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
23
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对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第5节 对数与对数函数
解析:因为 f(x)=
)
, ≥ ,
- , < < 1.
则函数的定义域为(0,+∞),即函数图象只出现在 y 轴右侧;值域为[0,+∞),
即函数图象不能出现在 x 轴下方,所以函数图象是在区间(0,1)上单调递减,
在区间(1,+∞)上单调递增的曲线,由增长趋势知 C 不正确,只有 D 满足要求.
第5节
对数与对数函数
[考纲展示]
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对
数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底
数为 2,10, 的对数函数的图象.
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反
(3)形如
-
化简问题,可利用指数的运算性质转化为
-
=
(a>0,且 a≠1).
(4)利用已知对数表示不同底数的对数时,主要是利用对数换底公式统一
底数,并结合对数运算法则求解.
=
考点二
对数函数的图象(基础性)
题组过关
1.若a-2>a2(a>0且a≠1),则函数f(x)=loga(x-1)的图象大致是(
零
:loga1=
0
_
_
底数的对数是 1
:logaa= 1
对数恒等式: =
N
loga(M·N)= logaM+logaN .
运算
loga = logaM-logaN .
2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数1
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 对数与对数函数练好题·考点自测1。
下列说法正确的是（ ）①若MN >0，则log a (MN )=log a M +log a N.②对数函数y =log a x (a >0且a ≠1）在(0,+∞）上是增函数. ③函数y =ln1+x 1-x与y =ln(1+x )—ln （1—x ）的定义域相同。
④对数函数y =log a x （a 〉0且a ≠1）的图象过定点(1,0)且过点(a ,1)，（1a,-1),函数图象只在第一、四象限。
A.①③④B.①③ C 。
③④ D.④2.[2019浙江，6,5分］在同一直角坐标系中，函数y =1a x,y =log a（x +12)（a >0,且a ≠1)的图象可能是( )A B CD3。
[2020全国卷Ⅰ,8，5分][文］设a log 34=2,则4-a = （ ） A 。
116B.19C 。
18D.164.［2020全国卷Ⅱ，9,5分］设函数f （x )=ln|2x +1｜-ln|2x —1|，则f （x ）( )A 。
是偶函数,且在（12，+∞)单调递增B .是奇函数,且在（−12，12)单调递减C.是偶函数，且在(-∞,−1)单调递增2)单调递减D。
是奇函数,且在（-∞,−12, 5.［2020全国卷Ⅲ，10,5分］［文］设a=log32,b=log53，c=23则（) A.a〈c〈b B.a<b<cC。
b〈c<a D。
c<a〈b6.[2018全国卷Ⅲ，16,5分]［文]已知函数f（x）=ln（√1+x2−x)+1，f(a）=4,则f(-a)=.,a b=b a, 7。
［2016浙江,12,6分］已知a>b>1。
若log a b+log b a=52则a=，b=.拓展变式1。
［2021安徽省四校联考］已知实数a，b满足a+b=5,log2a=log3b，则ab=(）A。
2019版高考数学(理科 课标版)一轮复习题组训练：第2章第5讲 对数与对数函数 Word版含解析
第五讲 对数与对数函数题组1 对数函数图象与性质的应用1.[2017全国卷Ⅰ,9,5分]已知函数f (x )=ln x+ln(2-x ),则 ( )A .f (x )在(0,2)单调递增B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图象关于直线x=1对称D .y=f (x )的图象关于点(1,0)对称 2.[2016浙江,5,5分]已知a ,b>0,且a ≠1,b ≠1.若log a b>1,则 ( ) A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b )>0C.(b-1)(b-a )<0D.(b-1)(b-a )>03.[2015北京,7,5分][理]如图2-5-1,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集是( )图2-5-1A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2} 4.[2014天津,4,5分][理]函数f (x )=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)5.[2013天津,7,5分]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(0,12]C.[12,2]D.(0,2]6.[2016浙江,12,6分][理]已知a>b>1.若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a= ,b= . 7.[2015四川,12,5分]lg 0.01+log 216的值是 .8.[2014重庆,12,5分][理]函数f(x)=log2√x·lo g√2(2x)的最小值为.题组2 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用9.[2017北京,8,5分]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是() (参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.109310.[2016全国卷Ⅰ,8,5分][理]若a>b>1,0<c<1,则()图2-5-2A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c11.[2014福建,4,5分][理]若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图2-5-2所示,则下列函数图象正确的是()A B C D12.[2015浙江,12,4分][理]若a=log43,则2a+2-a=.13.[2015北京,10,5分]2-3,312,log25三个数中最大的数是.A组基础题1.[2018山西省太原市上学期期中考试,7]已知lg a+lg b=0,则函数y=a x与函数y=-log b x的图象可能是()A B C D 2.[2018广东第一次七校联考,5]设a=(12)13,b=(13)12,c=ln(3π),则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c3.[2018湖北省百校联考,10]已知定义在R 上的函数f (x )的周期为6,当x ∈[-3,3)时,f (x )=(12)x -x+1,则f (-log 23)+f (log 212)= ( )A.373B.403C.433D.4634.[2017湖北省武汉市部分重点中学调考,5]函数f (x )=log a (x 2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)C.(2,+∞)D.(5,+∞)5.[2017广西三市联考,10]已知在(0,+∞)上函数 f (x )={-2,0<x <1,1,x ≥1,则不等式log 2x-[lo g 14(4x )-1]f (log 3x+1)≤5的解集为( )A.(13,1)B.[1,4]C.(13,4] D.[1,+∞)6.[2018全国名校第二次大联考,13]函数y=log a (2x+1)(a>0,且a ≠1)的图象必定经过的点的坐标为 .7.[2018山西省45校第一次联考,3]若函数f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,则a= . Ｂ组提升题8.[2018成都一诊,10]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)+f (x )=0,且当x ∈[0,1]时,f (x )=log 2(x+1),则下列不等式正确的是 ( )A.f (log 27)<f (-5)<f (6)B.f (log 27)<f (6)<f (-5)C.f (-5)<f (log 27)<f (6)D.f (-5)<f (6)<f (log 27)9.[2018辽宁五校联考,10]已知函数f (x )=|ln x|.若0<a<b ,且f (a )=f (b ),则a+4b 的取值范围是( )A.(4,+∞)B.[4,+∞)C.(5,+∞)D.[5,+∞)10.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,6]若a=lo g 1π13,b=e π3,c=log 3cos π5,则 ( )A .b>c>aB .b>a>cC .a>b>cD .c>a>b11.[2017陕西省西安地区高三八校联考,16]如图2-5-3所示,已知函数y=log 2(4x )图象上的两点A ,B 和函数y=log 2x 图象上的点C ,线段AC 平行于y 轴,当△ABC 为正三角形时,点B 的横坐标为 .图2-5-3答案1.C 解法一 由题意知,f (x )=ln x+ln(2-x )的定义域为(0,2),f (x )=ln[x (2-x )]=ln[-(x-1)2+1],由复合函数的单调性知,函数f (x )=ln x+ln(2-x )在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A,B;又f (12)=ln 12+ln(2-12)=ln 34,f (32)=ln 32+ln(2-32)=ln 34,所以f (12)=f (32)=ln 34,所以排除D,选C .解法二 由题意知,f (x )=ln x+ln(2-x )的定义域为(0,2),f '(x )=1x +1x -2=2(x -1)x (x -2),由{f '(x )>0,0<x <2,得0<x<1,由{f '(x )<0,0<x <2,得1<x<2,所以函数f (x )=ln x+ln(2-x )在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A,B;又f (12)=ln 12+ln(2-12)=ln 34,f (32)=ln 32+ln(2-32)=ln 34,所以f (12)=f (32)=ln 34,所以排除D,选C.2.D 根据题意知,log a b>1⇔log a b-log a a>0⇔log a ba >0⇔{0<a <1,0<b a <1或{a >1,b a>1,即{0<a <1,0<b <a 或{a >1,b >a .当{0<a <1,0<b <a 时,0<b<a<1,∴b-1<0,b-a<0;当{a >1,b >a 时,b>a>1,∴b-1>0,b-a>0.∴(b-1)(b-a )>0,故选D .3.C 在平面直角坐标系中作出函数y=log 2(x+1)的图象,如图D 2-5-1所示,则f (x )≥log 2(x+1)的解集是{x|-1<x ≤1},故选C .图D 2-5-14.D 函数y=f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f (x )是由y=log 12t 与t=g (x )=x 2-4复合而成,且y=log 12t 在(0,+∞)上单调递减,g (x )在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y=f (x )在(-∞,-2)上单调递增.故选D .5.C 因为lo g 12a=-log 2a ,且f (x )是偶函数,所以f (log 2a )+f (lo g 12a )=2f (log 2a )=2f (|log 2a|)≤2f (1),即f (|log 2a|)≤f (1),又函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以0≤|log 2a|≤1,即-1≤log 2a ≤1,解得12≤a ≤2.故选C .6.4 2 因为a>b>1,所以log a b ∈(0,1).因为log a b+log b a=52,即log a b+1log ab =52,所以log a b=12或log a b=2(舍去),所以a 12=b ,即a=b 2.所以a b =(b 2)b=b 2b =b a ,所以a=2b ,所以b 2=2b ,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b 2=4. 7.2 lg 0.01+log 216=-2+4=2.8.-14 依题意,得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x=(log 2x+12)2-14≥-14,当且仅当log 2x=-12,即x=√2时等号成立,因此函数f (x )的最小值为-14.9.D 因为lg 3361=361×lg 3≈361×0.48≈173,所以M ≈10173,则M N≈101731080=1093,故选D .10.C 对于选项A,考虑幂函数y=x c ,因为c>0,所以y=x c 为增函数,又a>b>1,所以a c >b c ,A 错.对于选项B,ab c <ba c ⇔(ba)c <ba,因为y=(ba)x 是减函数,所以c>1,与已知条件矛盾,所以B 错.对于选项D,由对数函数的性质可知D 错,选C.11.B 因为函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象过点(3,1),所以1=log a 3,解得a=3,则y=3-x 不可能过点(1,3),排除A;y=(-x )3=-x 3不可能过点(1,1),排除C;y=log 3(-x )不可能过点(-3,-1),排除D,选B. 12.4√33原式=2log 43+2-log 43=√3+√3=4√33. 13.log 25 因为2-3=123=18,312=√3≈1.732,而log 24<log 25,即log 25>2,所以三个数中最大的数是log 25.Ａ组基础题1.D ∵lg a+lg b=0,∴ab=1,∴b=1a.∴y=-log b x=-lo g 1ax=log a x.∴函数y=a x 与函数y=-log b x 互为反函数,∴二者的单调性一致,且图象关于直线y=x 对称,故选D .2.B 解法一 因为a=(12)13>(12)12>b=(13)12>0,c=ln(3π)<ln 1=0,所以c<b<a ,故选B. 解法二 因为a 3=12>b 3=√127=√39,所以a>b>0.又c=ln(3π)<ln 1=0,所以c<b<a ,故选B.３.C f (-log 23)+f (log 212)=f (-log 23)+f (-6+log 212)=f (-log 23)+f (log 2316)=(12)-log 23+log 23+1+(12)log 2316-log 2316+1=3+log 216+2+163=433.故选C .4.D 由函数f (x )=log a (x 2-4x-5),得x 2-4x-5>0,解得x<-1或x>5.根据题意,设u (x )=x 2-4x-5,由条件a>1知,若函数f (x )=log a (x 2-4x-5)为单调增函数,则函数u (x )也是增函数.因为u (x )=x 2-4x-5在(5,+∞)上是增函数,故x 的取值范围是(5,+∞),故选D .5.C 原不等式等价于{log 3x +1≥1,log 2x -[log 14(4x )-1]≤5或{0<log 3x +1<1,log 2x +2[log 14(4x )-1]≤5,解得1≤x ≤4或13<x<1,故原不等式的解集为(13,4].故选C .6.(0,0) 由题意得2x+1=1,解得x=0,则y=log a 1=0,所以该函数图象必定经过点(0,0).7.-12∵f (x )是偶函数,∴f (-1)=f (1),即lg(10-1+1)-a=lg(101+1)+a ,故2a=lg(10-1+1)-lg(101+1)=lg 1110-lg11=lg 110=-1,解得a=-12,而当a=-12时,f (x )=lg(10x+1)-12x=lg(10x+1)+lg10-12x=lg[(10x+1)10-12x]=lg(1012x +10-12x),此时有f (-x )=f (x ),综上可知,若函数f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,则a=-12. Ｂ组提升题８.C f (x+2)+f (x )=0⇒f (x+2)=-f (x )⇒f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),所以f (x )是周期为4的周期函数.又f (-x )=-f (x ),且有f (2)=-f (0)=0,所以f (-5)=-f (5)=-f (1)=-log 22=-1,f (6)=f (2)=0.又2<log 27<3,所以0<log 27-2<1,即0<log 274<1,f (log 27)+f (log 27-2)=0⇒f (log 27)=-f (log 27-2)=-f (log 274)=-log 2(log 274+1)=-log 2(log 272),又1<log 272<2,所以0<log 2(log 272)<1,所以-1<-log 2(log 272)<0,所以f (-5)<f (log 27)<f (6).9.C 由f (a )=f (b )得|ln a|=|ln b|,根据函数y=|ln x|的图象及0<a<b ,得-ln a=ln b ,0<a<1<b ,1a =b.令g (b )=a+4b=4b+1b ,易得g (b )在(1,+∞)上单调递增,所以g (b )>g (1)=5,即a+4b>5,故选C .10.B ∵0<1π<13<1,∴1=lo g 1π1π>lo g 1π13>0,∴0<a<1.∵b=e π3>e 0=1,∴b>1.∵0<cos π5<1,∴log 3cos π5<log 31=0,∴c<0.故b>a>c ,选B .11.√3 依题意,当AC ∥y 轴,△ABC 为正三角形时,|AC|=log 2(4x )-log 2x=2,点B 到直线AC 的距离为√32×2=√3.设点B (x 0,2+log 2x 0),则点A (x 0+√3,3+log 2x 0).由点A 在函数y=log 2(4x )的图象上,得log 2[4(x 0+√3)]=3+log 2x 0,则4(x 0+√3)=8x 0,解得x 0=√3,即点B 的横坐标为√3.。
2019版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数模拟演练 理
2019版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数模拟演练 理1．[2017·广东湛江模拟]函数f (x )＝1－ln x 的定义域是( ) A ．(0，e) B ．(0，e] C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞)答案 B解析 本题考查函数的定义域．要使函数f (x )＝1－ln x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ≥0，x >0，解得0<x ≤e，则函数f (x )的定义域为(0，e]，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，f x ＋，x <2，则函数f (log 23)的值为( )A ．3 B.13C ．6 D.16答案 D解析 f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 log 26＝2－log 26＝2log 216 ＝16.故选D.3．[2017·山东烟台模拟]已知log a 34<1，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1，综上知A 正确．4．函数f (x )＝ln (4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案 D解析 y ＝ln t 是单调递增函数，则只需研究函数t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间，并注意t ＞0的限制．t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，当x ≥4时，t ≤0，所以区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4符合题意．5．[2017·湖南模拟]设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c答案 D解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D.6．[2017·西宁期末]函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．答案 (－1,3)解析 当x ＋2＝1时，x ＝－1，f (－1)＝log a (－1＋2)＋3＝3，所以函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(－1，3)．7．[2015·浙江高考]若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝12log 23＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋2log 233 ＝3＋33＝433.8．函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 底数a ＞0，y ＝6－ax 为减函数，又f (x )＝log a (6－ax )为减函数，所以a ＞1,6－ax 在[0,2]上要恒大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，6－2a ＞0，所以1＜a ＜3.9．计算：(1)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (2)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＋ln (e e)＋32－log 98.解 (1)原式＝log 33 34 3＋lg (25×4)＋2＝log 33－14 ＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.(2)原式＝(lg 2)2＋(lg 2＋lg 10)×(lg 10－lg 2)＋ln e 32 ＋32312log 38＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＋32＋924＝10＋924.10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·桂林模拟]使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0)D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，由y ＝x ＋1的图象知，满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.12．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c .故a ＞b ＞c .选A.13．[2017·河南模拟]已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析 由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.14．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32＝2∉[2,8]，舍去． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。
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第5节对数函数基础对点练(时间：30分钟)1．(2018·聊城模拟)函数y＝log2(x＋1)的图象经过点( )A．(0,1) B．(1,0)C．(0,0) D．(2,0)解析：x＋1＝1，解得x＝0，图象过(0,0)．答案：C2．lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2等于( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原式＝2lg 5＋lg 2·(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.答案：B3．(高考福建卷)若函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：因为函数y＝log a x过点(3,1)所以1＝log a3，解得a＝3，y＝3－x不可能过点(1,3)，排除选项A；y＝(－x3)＝－x3不可能过点(1,1)，排除选项C；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除选项D.答案：B4．(2018·宜宾模拟)已知log a 2＜1(a ＞0且a ≠1)，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．(0,1)∪(2，＋∞)解析：因log a 2＜log a a ，(1)0＜a ＜1时，函数是减函数，a ＜2， (2)a ＞1时，函数是增函数，a ＞2. 综上，0＜a ＜1或a ＞2，故选D. 答案：D5．(2018·洛阳二模)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝lg x ，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：因为f (a )＝a 2≥0， 所以g (b )＝lg b ≥0， 所以b ≥1.故选C. 答案：C6．(2018·湘西州校级一模)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝212，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a解析：因为a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，因为log 23＞log 2e ＞1， 所以1log 23＜1log 2e ＜1，又c ＝212＞1，所以a ＜b ＜c ，故选A. 答案：A7．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于( ) A.12B.14C ．－14D ．4解析：令h (x )＝ax 2＋2x －1，要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＝4＋4a ≥0－4a －44a ＝3，解得a ＝－14，此即为实数a 的值．故选C.答案：C8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0，所以－1＜x ≤0；当x ＞0时，log 2x ＞1⇒x ＞2， 所以x ＞2.答案：{x |－1＜x ≤0或x ＞2}9．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1， 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，所以0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 10．解答下列各题：(1)计算：lg 22＋lg 50·lg 4＋lg 25＋lg 25； (2)计算：log 23·log 34.解：(1)原式＝lg 22＋(1＋lg 5)·2lg 2＋lg 25＋2lg 5 ＝(lg 2＋lg 5)2＋2(lg 2＋lg 5)＝1＋2＝3.(2)原式＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2lg 2lg 2＝2.11．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．能力提升练 (时间：15分钟)12．(2018·长春校级四模)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()解析：因为y ＝f (x )＝1ln|e x －e －x |，所以f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称， 所以排除B ，C.因为f (2)＝1ln|e 2－e －2|＞0，所以(2，f (2))在x 轴上方，所以排除A.故选D. 答案：D13．(2018·银川校级四模)设e ＜x ＜10，记a ＝ln(ln x )，b ＝lg(lg x )，c ＝ln(lg x )，d ＝lg(ln x )，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c ＜dB ．c ＜d ＜a ＜bC ．c ＜b ＜d ＜aD ．b ＜d ＜c ＜a解析：因为e ＜x ＜10， 所以ln x ＞1，lg x ＜1，所以a ＝ln(ln x )＞0，b ＝lg(lg x )＜0，c ＝ln(lg x )＜0，d ＝lg(ln x )＞0，令x ＝e 2，则a ＝ln 2，d ＝lg 2，显然a ＞d .令x ＝10，则b ＝lg 12＝－lg 2，c ＝ln 12＝－ln 2，显然b ＞c 所以c ＜b ＜d ＜a . 答案：C14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列结论：①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )是增函数；当x ＜0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数． 其中所有正确结论的序号是________． 解析：因为函数f (－x )＝lg－x 2＋1|－x |＝lg x 2＋1|x |＝f (x )，所以函数为偶函数，即图象关于y 轴对称，故①正确．因函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝|x |＋1|x |在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函数，故②错，④正确．③因为x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，所以f (x )≥lg 2，即最小值为lg 2，故③正确．答案：①③④15．已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1) 求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln mx －－x恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由x ＋1x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， 所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－lnx ＋1x －1＝－f (x )， 所以f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数． (2)因为x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1＞lnmx －－x 恒成立，所以x ＋1x －1＞mx －－x＞0，因为x ∈[2,6]，所以0＜m ＜(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x ) ＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减， x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，所以0＜m ＜7.即实数m 的取值范围是(0,7)．16．(2018·太原期中)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 018的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)f (x )的定义域是(－1,1)，f (x )＝－x ＋log 2 1－x 1＋x ，f (－x )＝x ＋log 21＋x1－x＝－(－x )＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－(－x ＋log 21－x1＋x )＝－f (x )．即f (x )＋f (－x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 018＝0.(2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x 在(－1,1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 2 1－x1＋x在(－1,1)内单调递减，所以当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)时，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a .。