临界与极值问题

热点综合专题四牛顿运动定律的综合应用热点一超重和失重问题超重、失重和完全失重的比较【典例】(2018·福建福州期末)广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600米，游客乘坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台．若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电梯在t＝0时由静止开始上升，a －t图象如下图所示．则下列相关说法正确的是()A．t＝4.5 s时，电梯处于失重状态B．5～55 s时间内，绳索拉力最小C．t＝59.5 s时，电梯处于超重状态D．t＝60 s时，电梯速度恰好为零[审题指导](1)判断超重与失重，仅看加速度方向即可，与加速度大小如何变化无关．(2)a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度的变化量．[解析]利用a－t图象可判断：t＝4.5 s时，电梯有向上的加速度，电梯处于超重状态，则A错误；0～5 s时间内，电梯处于超重状态，拉力>重力，5～55 s时间内，电梯处于匀速上升过程，拉力＝重力，55～60 s时间内，电梯处于失重状态，拉力<重力，综上所述，B、C错误；因a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度改变量，而图中横轴上方的“面积”与横轴下方的“面积”相等，则电梯的速度在t＝60 s时为零，D正确．[答案]D判断超重和失重的方法[针对训练]1．(2018·吉林省白城市通榆一中考试)某运动员(可看成质点)参加跳台跳水比赛，t＝0时，为其向上起跳离开跳台的瞬间，其速度与时间关系图象如图所示，不计空气阻力，则下列说法错误的是()A．可以求出水池的深度B．可以求出跳台距离水面的高度C．0～t2时间内，运动员处于失重状态D．t2～t3时间内，运动员处于超重状态[解析]跳水运动员在跳水过程中的v－t图象不能反映是否到达水底，所以不能求出水池的深度，故A错误；应用v－t图象中，图线与横轴围成的面积表示位移大小，可以求出跳台距离水面的高度，故B正确；t＝0时刻是运动员向上起跳离开跳台的瞬间，速度是负值时表示速度方向向上，则知0～t1时间内运动员做匀减速运动，t1～t2时间内向下做匀加速直线运动，0～t2时间内，运动员一直在空中具有向下的加速度，处于失重状态，故C正确；由题图可知，t2～t3时间内，运动员向下做减速运动，则加速度的方向向上，处于超重状态，故D正确．[答案]A2．(多选)飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员处于完全失重状态时，下列说法正确的是()A．宇航员不受任何力作用B．宇航员处于平衡状态C．地球对宇航员的引力全部用来提供向心力D．正立和倒立时宇航员一样舒服[解析]飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞船以及里面的宇航员都受到地球的万有引力，选项A错误；宇航员随飞船绕地球做匀速圆周运动，宇航员受到地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，不是处于平衡状态，选项B错误，选项C正确；完全失重状态下，重力的作用效果完全消失，正立和倒立情况下，身体中的器官都是处于悬浮状态，没有差别，所以一样舒服，选项D正确．[答案]CD热点四动力学中的临界和极值问题的分析方法(微专题)1．临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点．(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点．(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度．2．解临界或极值问题的基本思路(1)认真审题，分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)．(2)寻找过程中变化的物理量．(3)探索物理量的变化规律．(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．3.常见临界（极值）问题的条件（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是相互作用的弹力为零，加速度相等。

（2）是否相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。

（3）绳子是否断裂与张弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子张弛的临界条件是F T=0。

（4）滑块在滑板上滑下与不滑下的临界条件：滑块滑到滑板一端时，两者速度相同。

（5）加速度的极值条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度。

（6）速度最大的极值条件：应通过运动过程分析，很多情况下当加速度为零时速度最大。

4.求解临界极值问题的思维方法题型一“脱离”临界问题【典例1】(2017·海南卷)一轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为m的小物块a相连，如图所示．质量为35m的小物块b紧靠a静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为x0，从t＝0时开始，对b施加沿斜面向上的外力，使b始终做匀加速直线运动．经过一段时间后，物块a、b分离；再经过同样长的时间，b距其出发点的距离恰好也为x0.弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度大小为g.求：(1)弹簧的劲度系数；(2)物块b加速度的大小；(3)在物块a、b分离前，外力大小随时间变化的关系式．[审题指导]第一步读题画图(形象过程)过程1：a 、b 紧贴在一起做匀加速直线运动，b 受外力． 过程2：a 、b 恰好分离后，b 继续做匀加速直线运动．第二步 审题分析(找突破口)(1)初始时“b 紧靠a 静止在斜面上，弹簧的压缩量为x 0”，可直接求得弹簧的劲度系数．(2)“物块b 始终做匀加速直线运动”；物块b 的加速度在整个过程中是没有改变的．(3)过程1和过程2的时间是相等的．[解析] (1)物块a 、b 静止在斜面上，由平衡条件有⎝⎛⎭⎪⎫m ＋35m g sin θ＝kx 0，解得k ＝8mg sin θ5x 0. (2)设物块b 加速度的大小为a ，a 、b 分离时b 运动的位移为x 1，由运动学公式有x 1＝12at 21，x 0＝12a (2t 1)2， 分离瞬间，对物块a 进行受力分析，由牛顿第二定律有k (x 0－x 1)－mg sin θ＝ma ，联立以上各式解得a ＝15g sin θ.(3)设外力为F ，经过时间t 弹簧的压缩量为x ，在物块a 、b 分离前，对物块a 、b 整体，由牛顿第二定律有F ＋kx －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋35m g sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋35m a ， 由运动学公式有x 0－x ＝12at 2， 联立以上各式解得F ＝4mg 2sin 2θ25x 0t 2＋8mg sin θ25. [答案] (1)8mg sin θ5x 0 (2)15g sin θ (3)4mg 2sin 2θ25x 0t 2＋8mg sin θ25动力学中极值问题的处理方法“四种”典型的数学处理方法①三角函数法；②根据临界条件列不等式法；③利用二次函数的判别式法；④极限法．[针对训练]1．(2018·安徽六校二联)一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量m 1＝4 kg 的物块P ，Q 为一重物，紧靠P 放置，已知Q 的质量m 2＝8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝600 N/m ，系统处于静止状态，如图所示．现给Q 施加一个沿斜面向上的力F ，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求此过程中力F 的最大值与最小值．(sin37°＝0.6，g ＝10 m/s 2)[解析] 从受力角度看，两物块分离的条件是两物块间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物块恰好分离时，两物块在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．设刚开始时弹簧压缩量为x 0，则(m 1＋m 2)g sin θ＝kx 0①因为在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，所以在0.2 s 时，P 对Q 的作用力为0，设此时弹簧压缩量为x 1，由牛顿第二定律知kx 1－m 1g sin θ＝m 1a ②前0.2 s 时间内P 、Q 向上运动的距离为x 0－x 1＝12at 2③ 联立①②③式解得a ＝3 m/s 2P 、Q 刚开始运动时拉力F 最小，此时有F min ＝(m 1＋m 2)a ＝36 N当P 、Q 分离时拉力最大，此时有F max ＝m 2(a ＋g sin θ)＝72 N.[答案] 72 N 36 N2．小车内固定一个倾角为37︒的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为2m kg =的小球，如图所示。

（1）当小车以加速度215/a m s =向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？（2）当小车的加速度2215/a m s =向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？(g 取210/)s s【解答】解：（1）当支持力为零时，小球受拉力和重力两个力作用，根据cot37mg ma ︒=得， 解得240cot37/3a g m s =︒=， 因为1a a <，知小球未离开斜面，受重力、支持力和拉力作用，受力如图所示，竖直方向上有：cos37sin37N T mg ︒+︒=，水平方向上有：1cos37sin37T N ma ︒-︒=，代入数据解得20T N =。

（2）2a a >，可知小球离开斜面，根据平行四边形定则知，拉力T 。

题型二 “相对滑动”临界问题【典例2】(多选)(2018·河北五校联盟)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力，则( )A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μg C ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg[审题指导] (1)注意B 与地面有摩擦力．(2)逐渐增大拉力时，B 先与地面发生相对滑动，然后才是AB 发生相对滑动．[解析] A 、B 间的最大静摩擦力f A m ＝2μmg ，B 与地面间的最大静摩擦力f B m ＝32μmg .逐渐增大拉力F ，当F ＝32μmg 时，A 、B 间相对静止，B 与地面开始相对滑动，A 错误．当A 、B 间相对滑动时，由牛顿第二定律，对物块A 有F －2μmg ＝2ma ，对物块B 有2μmg －32μmg ＝ma ，联立两式得F ＝3μmg ，也就是当F ≥3μmg 时，物块A 、B 开始相对滑动，因此F ＝52μmg 时，A 、B 相对静止，整体应用牛顿第二定律可得此时的加速度为a A ＝F －32μmg 3m＝13μg ，B 、C 正确．物块A 、B 间和物块B 与地面间都相对滑动时，B 的加速度为a B ＝2μmg －32μmgm＝12μg ，此后无论F 为何值，只要A 、B 间相对滑动，B 的加速度就是12μg ，所以B 的加速度不会超过此值，D 正确．[答案] BCD叠加体系统临界问题的求解思路[针对训练]1. (2018·河南六市一联)如图所示，光滑水平面上放置着质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg ，现用水平拉力F 拉B ，使A 、B 以同一加速度运动，则拉力F 的最大值为( )A ．μmgB ．2μmgC ．3μmgD ．4μmg[解析] 当A 、B 之间恰好不发生相对滑动时力F 最大，此时A 物体所受的合外力为μmg ，由牛顿第二定律知a A ＝μmgm ＝μg ；对于A 、B 整体，加速度a ＝a A ＝μg ，由牛顿第二定律得F ＝3ma ＝3μmg .选项C 正确．[答案] C2.如图所示，质量为1 kg 的木块A 与质量为2 kg 的木块B 叠放在水平地面上，A 、B 间的最大静摩擦力为2 N ，B 与地面间的动摩擦因数为0.2.用水平力F 作用于B ，则A 、B 保持相对静止的条件是(g 取10 m/s 2)( )A ．F ≤12 NB ．F ≤10 NC ．F ≤9 ND ．F ≤6 N[解析] 当A 、B 间有最大静摩擦力(2 N)时，对A 由牛顿第二定律知，加速度为2 m/s 2，对A 、B 整体应用牛顿第二定律有：F －μ(m A ＋m B )g ＝(m A ＋m B )a ，解得F ＝12 N ，A 、B 保持相对静止的条件是F ≤12 N ，A 正确，B 、C 、D 错误． [答案] A题型三 极值问题2．如图所示，一质量0.4m kg =的小物块，以02/v m s =的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经2t s =的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离10L m =。