一题多解专题六：等差数列前项和的最值问题
高中数学重点知识研究：等差数列前n项和的最值探究-小姚数学
a1 a2 a3 ak 0 ak 1 ，则： Smin Sk (ak 0) 或 Smin Sk Sk 1 (ak 0) ；
若 d 0，a1 0 时，存在 k N ， a1 a2 a3 ak 0 ak 1 ，则：
Smax Sk (ak 0) 或 Smax Sk Sk 1 (ak 0) ；
所以 a3 35, a4 33 ，故 a1 39, d 2 ，
所以 an a3 n 3 d 35 n 32 41 2n ，
2
学高为师，身正为范
小姚数学专题研究系列
Sn
na1
nn 1
2
d
39n
nn
1
n 40
n
，
法 1： Sn n40 n n 202 400 ，故使得 Sn 达到最大值的 n 是 20 ．
其图象是过原点的抛物线上一种“自变量等距离”的孤立的点．若 Sp Sq p, q N*, p q ，
则 Spq 0.
【变式 3】已知等差数列{an} 的首项 a1 0 ，设 Sn 为{an} 的前 n 项和，且 S6 S11 ， 则 Sn 取得最小值时， n ____________.
四、方法的灵活选取
【例 4】已知an 为等差数列，a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，以 Sn 表示 an 的前 n
项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是
．
【解析】由于 an 为等差数列， a1 a5 2a3 , a2 a6 2a4 ，
又 a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，
一、二次函数法
【例
1】已知等差数列
5,
4
2 7
,3
4 7
,
的前
等差数列的前n项和的最值及应用
法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
索引
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
索引
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.
(文章)等差数列前n项和最值的求法
等差数列前n 项和最值的求法根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n =na 1+2)1(-n n d=2d n 2+（a 1-2d ）n ，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，当a 1＜0，d ＞0时，Sn 有最小值。
下面以最大值为例，探讨求Sn 的最值的一般方法。
方法一：S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，d ＜0，S n 可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n 是S n 取得最大值的n 。
（注：若对称轴为212+n ，则S n 与S n+1同时取得最大值） 方法二：由⎩⎨⎧≥+001n a an ，解出n 的范围，从而确定此范围中的自然数n 。
方法三：设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大例1 等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，如果S 7=S 12，求数列{a n }前n 项和S n 的最大值。
分析：用上述三种方法分别求。
解法一：由S 7=S 12，得d=-91a 1，∴S n =na 1+21n （n-1）d=-181a 1（n-219）2+72361a 1。
故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法二：由S 7=S 12，得d=-91a 1，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=+=≥-=-+=+0)9(910)10(91)1(11111n a nd a a n a d n a a n n 得9≤n ≤10，故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法三：由S 7=S 12，得d=-91a 1＜0，知{a n }是递减的等差数列。
∵S 7=S 12，∴a 8+a 9+…+a 12=0∴5a 10=0，由此必有a 1＞a 2＞…＞a 10=0＞a 11＞…，故S 9=S 10并且最大。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列的前n项和的最值问题
精品资料
解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
精品资料
前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
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一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法：
①0,01<>d a 时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；
②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .
例、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解析：选C.方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ， 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.
方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故 n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项 和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有 72
11
3=+=n 时，n S 取得最大值. 针对性练习：
1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =. ①求n S ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：①∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =，
∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d
∴21322
)
1(n n d n n na S n -=-+
=。
②方法一：由①中可知256)16(3222+--=-=n n n S n ， ∴当n ＝16时，n S 有最大值，n S 的最大值是256. 方法二：由1--=n n n S S a ，可得332+-=n a n . 由0332≥+-=n a n a ，得233≤
n ；由03121≤+-=+n a n ,得2
31≥n n ； 又n 为正整数，所以当n=16时，n S 有最大值256. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.
解析：(1)∵S 12>0,S 13<0,∴111
12a 66d 0,
13a 78d 0,a 2d 12.
+>⎧⎪
+<⎨⎪+=⎩ ∴-247＜d<-3. (2)由()
11313713a a S 13a 0,2
+=
=<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0, 又∵d ＜0,∴n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0, ∴S 6最大，即n=6. 3.已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5.
(1)求{a n }的通项a n . (2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.
解析：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11a d 1,
a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2.
所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5. (2)S n =()()2
21n n 1na d n 4n n 242
-+
=-=--. 所以n=2时，S n 取到最小值-4.。