等差数列中的最值问题
1.等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d
当d≠0，an=dn+a1-d是n的一次函数 ， 是 的一次函数 2.等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和公式： 等差数列的前 项和公式：
n(a1 + an ) Sn= 2
或 Sn=
n( n − 1) na1 + d 2
d 2 d n + (a1 − )n n的二次 当d≠0， Sn= ， 是 的二次 2 2
函数。 函数。
在等差数列{a 中 在等差数列 n}中
a1 > 0, d < 0, Sn有最
an ≥ 0 ) 值(填大或小 an+1 ≤ 0
an ≤ 0 a1 < 0, d > 0, Sn有最 值（填大或小） an+1 ≥ 0
在等差数列｛ 【 问题 2】 在等差数列｛ a n ｝ 中 ， a1 = 26 ， S9 =S18 , 求使 S n ＞０时 n 的最大值
变式训练 是等差数列， 若{an}是等差数列，a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0 是等差数列 求使前n项和 最大的自然数n。 项和S ①求使前 项和 n最大的自然数 。 求使前n项和 项和S 成立的最大自然数n。 ②求使前 项和 n>0成立的最大自然数 。 成立的最大自然数
作业
1.等差数列｛an｝的前 项和 n，且Sm=Sn，Sm+n=—— 等差数列｛ 的前n项和 项和S 等差数列 2．设等差数列 n}的前 项和为 n，已知 3=12，S12>0,S13<0. 的前n项和为 ．设等差数列{a 的前 项和为S 已知a ， (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出 1，S2，…Sn中哪个值最大，并说明理由。 指出S 中哪个值最大，并说明理由。 指出
课堂小结 1. 善于利用函数的图像和性质来分析数列问题，但应注 善于利用函数的图像和性质来分析数列问题， 意定义域n∈ 意定义域 ∈N* 2.利用函数思想解决等差数列的前 项和的最值问题主要 利用函数思想解决等差数列的前n项和的最值问题主要 利用函数思想解决等差数列的前 有两种思路：（ ：（1）从等差数列的通项公式入手；（ ；（2） 有两种思路：（ ）从等差数列的通项公式入手；（ ） 从等差数列的前n项和公式本身入手 项和公式本身入手。 从等差数列的前 项和公式本身入手。
【 问题 1】 等差数列 {a n } 中， a1 = 26 ，S n 是前 n 项和且 为何值时， S 9 = S18 ， 求当 n 为何值时 ， S n 最大
变式训练 1.等差数列｛an｝中，公差为 ，d＜0，且|a3|=|a7|， 等差数列｛ 公差为d， ＜ ， 等差数列 ， 为何值时S 问： n为何值时 n最大？ 为何值时 最大？ 2.等差数列｛an｝中， a1>0,且S9＞0，S10＜0,这个数列 等差数列｛ 等差数列 且 ， 这个数列 的前多少项和为最大？ 的前多少项和为最大？
等差数列的前n项和的最值及应用
法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
索引
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
索引
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
高考数学复习等差数列的前n项和Sn的最值问题
10×9 15×14 解法 2 设公差为 d.因为 S10＝S15，所以 10a1＋ 2 d＝15a1＋ 2 d， nn－1 5 5 2 125 代入 a1＝20，得 d＝－3.所以 Sn＝na1＋ 2 d＝－6n ＋ 6 n＝ 12×11 5 2 －6(n －25n)， 所以当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值为 12a1＋ 2 5 ×－3＝130.
S7<S8， 所以 S9<S8， 49＋21d<56＋28d， 7 即 解得－1<d<－8. 63＋36d<56＋28d，
即d
7 的取值范围为－1，－8 .
a11 5．在等差数列{an}中，a <－1，若它的前 n 项和 Sn 有最大值，则使 Sn 10 取得最小正数的 n＝
1 3 － － q∈ . 2 2，2 7
8．在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值．
答案：当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 130.
解法 1 因为 S10＝S15，所以 S15－S10＝0，即 a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0， 也即 5a13＝0，所以 a13＝0，即 a1>a2>…>a12>a13＝0>a14>a15>…， 13a1＋a13 13×20＋0 故当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值为 ＝ ＝ 2 2 130.
微专题47
等差数列的前n项和Sn的最 值问题
2 4 1．已知等差数列{an}：5,47，37，…，当 n＝
7 或8
时，数列
{an}的前 n 项和 Sn 最大？
由一道题谈求解数列最值问题的方法
学考方略数列最值问题的综合性较强，常与不等式、函数、方程、数列等相结合.此类问题的难度较大，侧重于考查同学们的推理和综合分析能力.本文以一道题为例，谈一谈解答数列最值问题的方法.题目：在等差数列{}a n 中，a 1<0，S 9=S 12，则数列{}a n 的前几项和最小？该题看似简单，其实较为复杂.要求得数列和的最小值，我们需根据等差数列的性质、公式和已知关系式，推理出数列各项之间的规律，明确公差d 的取值范围，以便确定数列中的哪些项为负值、0、正值，那么所有负数项的和必然最小，再根据等差数列的前n 项和公式就能求得数列的和的最小值.有如下三种求解的方法.一、利用数列的单调性求解我们知道数列具有单调性，一般地，若a n >a n +1，则{}a n 是递减数列；若a n <a n +1，则{}a n 是递增数列.对于等差数列而言，若公差大于零则数列是递增数列，公差小于零则数列是等差数列.在解答等差数列问题时，我们可以根据数列的通项公式或者公差来判断数列的单调性，然后根据数列的单调性来求数列和的最值.对于本题，我们可以根据已知关系式和等差数列前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d 来确定公差d 的取值范围，从而判断出数列的单调性，再根据数列的单调性来求数列和的最小值.解：因为S 9=S 12，所以9a 1+9×82d =12a 1+12×112d ,即d =-110a1.由a 1<0知d >0，则数列{}a n 是递增数列，则ìíîïï1-110()n -1≥0，1-110n ≤0，解得10≤n ≤11，所以当n =10或n =11时，S n 的值最小，即数列{}a n 的前10或11项和最小.二、巧用等差中项的性质求解若a 、b 、c 成等差数列，则b 为a 、c 的等差中项.a 、b 、c 成等差数列的充分必要条件是b =a +c 2.在求解等差数列最值问题时，我们可以借助等差中项的性质来建立关系式，从而明确数列中的哪些项为负数，哪些项为正数，求得数列和的最值.解：因为S 9=S 12，根据数列的前n 项求和公式S n =(a 1+a n )2可得9(a 1+a 9)2=12(a 1+a 12)2，化简得a 10+a 11+a 12=3a 11=0，解得a 11=0，所以数列{}a n 前10或11项和最小.此解法主要运用了等差中项的性质，从而求得a 11=0，求得数列和的最小值.该解题思路巧妙，解题过程简捷.运用该方法解题，同学们需灵活运用等差中项的性质.三、借助函数思想求解数列是一种特殊的函数，不过其自变量为自然数.在解答数列最值问题时，我们可巧妙利用函数思想来解题，将等差数列的前n 项和看作关于n 的二次函数式，将等比数列的前n 项和看作关于n 的指数函数式，借助二次函数、指数函数的图象和性质来解题.对于本题，我们可以将等差数列的前n 项和看作关于n 的二次函数式，借助二次函数的单调性来求数列的最值.解：因为S 9=S 12，所以9a 1+9×82d =12a 1+12×112d ，即d =-110a1，因为S n =na 1+n ()n -12d =d 2n 2+æèöøa 1-d 2n ，所以S n =æèöø-120a 1∙n 2+æèöø2110a 1∙n =-a 120æèöøn -2122+44180a1，由二次函数的性质知，函数图象的开口向下，对称轴为n =212=10.5，所以当n =10或n =11时，S n 的值最小，即数列{}a n 的前10或11项和最小.借助函数思想，可将数列问题转化为函数问题，使问题快速得解.虽然数列最值问题较为复杂，但是同学们只要熟练运用数列的通项公式、前n 项和公式，并掌握一些求解数列最值问题的方法，如利用数列的单调性、数列中项的性质以及函数思想，就能顺利破解难题.（作者单位：山东省青岛市即墨区第二中学）50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
高一数学求最值的知识点
高一数学求最值的知识点在高一数学中，求解最值问题是一个重要的内容，它涵盖了函数的极值、二次函数的最值、等差数列的最值等多个知识点。
本文将就这些知识点进行详细阐述，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
要求函数的极值，一般需要找出函数的驻点和端点，并进行比较。
1）驻点：对于函数f(x)，如果f'(x)=0，那么点(x, f(x))就是函数的一个驻点。
通过求导数来得到驻点，并根据二阶导数的符号来判断驻点的类型。
当f''(x)>0时，该驻点为极小值点；当f''(x)<0时，该驻点为极大值点。
2）端点：对于函数f(x)，若定义域存在边界a和b，那么点(a,f(a))和点(b, f(b))就是函数的端点。
通过将端点代入函数，求出函数值，并与驻点的值进行比较，得出函数的最值。
综合考虑驻点和端点的情况，就可以求得函数的最值。
二次函数是高中数学中较为常见的函数类型，其最值的求解方法也有一定规律。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），要求最值，可以通过以下步骤进行：1）求导数f'(x) = 2ax + b。
2）令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)。
将x代入原函数f(x)，求得对应的y值。
通过求解一次函数f'(x) = 0的根，可以得到二次函数的对称轴x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入原函数，就可以求得对称轴上的最值点。
3）比较端点。
若二次函数存在定义域的两个端点，则将这两个端点代入原函数，求得对应的函数值。
将对称轴上的最值点与端点的函数值进行比较，即可确定二次函数的最值。
等差数列是数学中经常遇到的数列类型，求解等差数列的最大值和最小值的方法较为简单。
对于等差数列：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。
高考数学专题14 数列中的最值问题
一、选择题1．已知等差数列 的前 项和是 ,若,,则 最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：故则,故在数列 中,当时,,当,所以 时, 达到最大值.2．若等差数列 的前 项和,则的最小值为A．B.8C.6D.7【答案】D3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且,则为 A. 10 B. 15 【答案】CC. 20D. 25【解析】由题意可得：,由可得由等比数列的性质可得： 可得：成等比数列,则的最小值, ,综上,当且仅当时等号成立.综上可得,则的最小值为 20.4.已知数列 的通项公式为最大值为 A．4 【答案】CB．5C．6【解析】,记数列 的前 项和为,则使 D．8成立的 的 ,,,…,所以使成立的 的最大值为 ,故选 C.5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若,,,则 的最大值为A. 3 B. 4 C.D.【答案】B【解析】∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.6. 等比数列 的前 项和（ 为常数）,若恒成立,则实数的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】CC. 5D. 67. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】BC. 7D. 8）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +【解析】∵,∴∴,又,∴,,∴,即,,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值为 6,故选 B．8. 等差数列 的公差为 ,关于 的不等式的解集为 ,则使数列的前 项和 最大的正整数 的值是 A． B． C． D． 【答案】B9. 已知等差数列 的公差,且 , , 成等比数列,若, 为数列 的前 项和,则的最小值为A． 4B．3【答案】A【解析】由已知有公式C． ,所以有D．2,数列 通项,所以,当且仅当,即时等号成立.故选A.10. 已知三个数 ,,成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项,则能使不等式成立的自然数 的最大值为A．9 【答案】CB．8【解析】因为三个数C．7D．5等比数列,所以,倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项,为,公比为 ,数列是以 为首项, 为公比的等比数列,则不等式等价为,整理,得,故选 C．11. 设等差数列 满足:,公差, 若当且仅当是A．B．【答案】A时, 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围C．D.12. 设 数 列首项 ,当 取最大值时,,为的前 项和,若A． 4 【答案】DB．2C． 6D． 3【解析】由题意得,所以当且仅当时取等号,故选 D. 二、填空题 13.将 10 个数 1,2,3,…,9,10 按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的 3 数之和为 , 则 的最大值不小于__________． 【答案】1814.已知 是等比数列,且,【答案】【解析,则 的最大值为__________． 】,即 的最大值为 .15．设等差数列 满足 __________． 【答案】-12 【解析】因为数列,,且是等差数列,且有最小值,则这个最小值为,所以,是一元二次方程,或,的二根,由 ,当,当得 时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时 ,,当 ,当时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时, 故答案为 .16．设等差数列 的前 项和为 ,且又,数列 的前 项和为 ,若最大值是__________. 【答案】2（ 是常数,）,,对恒成立,则正整数 的17.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2（n∈N*）,设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若,则当 Sn 取得最大值时 n 的值等于_____．【答案】【解析】设 的公差为 ,由得,,即,所以,从而可知时,,,,,因为,所以中 最大,故答案为 16.,时,,,,所以,从而 ,故,所以 ,故18.已知等比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则的最大值与最小值之和为__________． 【答案】【解析】由等比数列前 n 项和公式可得,令,当 为奇数时,单调递减,,当 为偶数时,单调递增,,则,即,令,函数单调递减,则：,最大值与最小值之和为. 19.等差数列 满足,则的取值范围是________.【答案】.三、解答题20．已知数列 的各项为正数,其前 项和为 满足,设. （1）求证：数列 是等差数列,并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 的最大值.（3）设数列 的通项公式为,问: 是否存在正整数 t,使得成等差数列？若存在,求出 t 和 m 的值；若不存在,请说明理由.21．已知数列 是首项等于 且公比不为 1 的等比数列, 是它的前 项和,满足．（1）求数列 的通项公式；（2）设且,求数列 的前 项和 的最值．【解析】（1）,,.整理得,解得或（舍去）..（2）.1）当 时,有增的等差数列.由,得 .所以数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为负的递 . 的没有最大值.2）当时,有递减的等差数列.,得 ,,数列 是以为公差的等差数列,此数列是首项为正的. 的没有最小值.。
等差数列的前n项和的最值问题
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解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解 方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值 问题
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前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大， 可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小， 可由不等式组 aann100来确定n
等差数列的前n项和Sn的最值问题专题
等差数列的前n项和S n的最值问题1.已知等差数列{a n}：5，427，347，…，当n＝______时，数列{a n}的前n项和S n最大？2．(2018·无锡期末试卷)已知等比数列{a n}满足a2a5＝2a3，且a4，54，2a7成等差数列，则a1a2……a n的最大值为________．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝12，S12>0，S13<0，当n＝________时，S n 取得最大值．4．在等差数列{a n}中，已知a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时，S n取得最大值，则d的取值范围为________．5．在等差数列{a n}中，a11a10<－1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n＝________．6．等差数列{a n}的前n项和S n，S n的最大值为S6，且|a6|<|a7|，则使S n<0的n的最小值是________．7.已知数列{a n}是等比数列，首项a1＝8，令b n＝log2a n，若数列{b n}的前7项的和S7最大，且S7≠S8，求数列{a n}的公比q的取值范围．8．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．1．答案：7或8. 解析：有条件得a n ＝40－5n7，所以数列{a n }单调递减，而a 7>0，a 8＝0，a 9<0，所以，当n ＝7或8时，数列{a n }的前n 项和S n 最大．2．答案：1 024. 解析：由条件解得：a 1＝16，q ＝12.故a n ＝25－n，所以a 1a 2……a n ＝24＋3＋…＋(5－n )，故令a n ＝25－n≥1，解得n ≤5，即有a 1>a 2>a 3>a 4>a 5＝1>a 6>…，所以a 1a 2……a n 的最大值为a 1a 2a 3a 4＝a 1a 2a 3a 4a 5＝24·23·22·21·2＝210＝1 024.(本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的性质．)3．答案：6.解法1由题意得a 6>0，a 7<0，由单调性可知S 6最大；解法2由S n 为n 的二次函数，S 12>0，S 13<0，可得，对称轴为x ＝k (6<k <6.5)，所以S 6最大．4．答案：(－1，－78)．解法1由题意知，{a n }递减即d <0，且a 8>0>a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝7＋7d >0，a 9＝7＋8d <0，解得－1<d <－78.解法2因为S n ＝7n ＋n （n －1）2d 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 7<S 8，S 9<S 8，即⎩⎪⎨⎪⎧49＋21d <56＋28d ，63＋36d <56＋28d ，解得 －1<d <－78.5．答案：19或1. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设d <0，由a 11a 10<－1，可知a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，故S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10>0，S 20＝20（a 1＋a 20）2＝20（a 10＋a 11）2<0，1与19到对称轴的距离相等，∴S 1＝S 19.所以n ＝19或1.6．答案：12.解析：数列{a n }是递减数列且a 6>0，a 7<0，则a 6<－a 7，a 6＋a 7<0，S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)<0，而S 11＝11a 6>0，所以使S n <0的n 的最小值是12.7．答案：[2－12，2－37)．解析：b 1＝3，公差d ＝log 2q <0，S n ＝d2n 2＋(3－d2)n ，因为{b n }的前7项的和S 7最大，且S 7≠S 8，所以132≤－3－d2d <172，所以 －12≤d <－37，即q ∈[2－12，2－37)． 8．答案：当n ＝12或13时，S n 取得最大值为130.解法1因为S 10＝S 15，所以S 15－S 10＝0，即a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，也即5a 13＝0，所以a 13＝0，即a 1>a 2>…>a 12>a 13＝0>a 14>a 15>…，故当n ＝12或13时，S n 取得最大值为13（a 1＋a 13）2＝13（20＋0）2＝130.解法2设公差为d .因为S 10＝S 15，所以10a 1＋10×92d ＝15a 1＋15×142d ，代入a 1＝20，得d ＝－53.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－56n 2＋1256n ＝－56(n 2－25n )，所以当n ＝12或13时，S n取得最大值为12a 1＋12×112×(－53)＝130.。