等差数列最值的求法
数列：第2讲等差数列
等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m＝a p＋a q(p，q，m，n∈N*)．(3)若{a n}，{b n}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pa n}，{a n＋q}，{a n±b n}也为数列，且公差分别为，，.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n，a n＋m，a n＋2m，…为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a na n＋1.(7){a n}为等差数列，S n为前n项和，则S2n－1＝(2n－1)a n；{b n}为等差数列，S′n为前n项和，则S′2n－1＝(2n－1)b n，a nb n＝S2n－1S′2n－1.(8)等差数列{a n}前m项与后m项的和等于m(a1＋a n)．练习题1等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A．1 B．2 C．3 D．42已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则其前10项的和为() A．100 B．210 C．380 D．4003等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S3＝()A．－1 B．－13 C.13D．14在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.5已知递增的等差数列{}a n满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.6.在等差数列{a n}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a n；(2)已知a6＝10，S5＝5，求S n；7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2411.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35C ．65D ．3513．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2314．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．415．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．616．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n|}的前n项和T n.等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示，即 ＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或 ＝d (n ∈N ＋)．2．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的____________．3．等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝ .①{a n }成等差数列⇔ a n ＝pn ＋q ，其中p ＝ ，q ＝ ，点(n ，a n )是直线 上一群孤立的点．②单调性：d ＞0时，{a n }为 数列；d ＜0时，{a n }为 数列；d ＝0时，{a n }为 ．4．等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝ ＝ .其推导方法是 ．(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧+ 1n n a ，a 时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧+1n n a ，a 时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．5．等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．6．等差数列的性质(1)a m －a n ＝ d ，即d ＝a m －a n m －n . (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋ ；若2m ＝p ＋q ，则有 a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为 数列，且公差分别为 ， ， .(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md .(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d .(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (7){a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；{b n }为等差数列，S ′n 为前n 项和，则S ′2n －1＝(2n －1)b n ，a n b n ＝S 2n －1S ′2n －1. (8)等差数列{a n }前m 项与后m 项的和等于m (a 1＋a n )．【答案】1．差 常数 公差 a n －a n －1 a n ＋1－a n2．等差中项3．a 1＋(n －1)d ①d a 1－d y ＝dx ＋(a 1－d )②单调递增 单调递减 常数列4．(1)n （a 1＋a n ）2 na 1＋n （n －1）d 2倒序相加法 (2)≥0 ≤0 ≤0 ≥06．(1)(m －n ) (2)a n 2(3)等差 pd 1 d 1 d 1±d 21 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.又a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B .2 已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )A ．100B ．210C ．380D ．400解：在等差数列{a n }中，∵a 2＝7，a 4＝15，∴d ＝a 4－a 22＝4，a 1＝a 2－d ＝3，∴S 10＝10×3＋10×92×4＝210.故选B .3 等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 3＝( )A ．－1B ．－13 C.13 D ．14 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解：因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝37，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝74，故填74.5 已知递增的等差数列{}a n 满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解：∵{}a n 是等差数列，a 1＝1，a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝()1＋d 2－4得d 2＝4，又{}a n 是递增数列，∴d ＞0.∴d ＝2，a n ＝2n －1.故填2n －1.6.在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝33，a 45＝153，求a n ；(2)已知a 6＝10，S 5＝5，求S n ；解：(1)解法一：设首项为a 1，公差为d ，依条件得⎩⎨⎧33＝a 1＋14d ，153＝a 1＋44d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝－23，d ＝4.∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.解法二：由d ＝a n －a m n －m ，得d ＝a 45－a 1545－15＝153－3330＝4， 由a n ＝a 15＋(n －15)d ，得a n ＝4n －27.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解得a 1＝－5，d ＝3.∴S n ＝－5n ＋n （n －1）2·3＝32n 2－132n .7.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；7.解：(1)S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝1100.故填1100. 8.设数列{}a n ，{}b n 都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；8.因为数列{}a n ，{}b n 都是等差数列，所以数列{}a n ＋b n 也是等差数列．故由等差中项的性质，得()a 5＋b 5＋()a 1＋b 1＝2()a 3＋b 3，即a 5＋b 5＋7＝2×21，解得a 5＋b 5＝35.故填35.9.若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；9.∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝36，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝124，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，∴4(a 1＋a n )＝160，即a 1＋a n ＝40.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝20n ＝780，解得n ＝39.故填39.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．2410.解：在等差数列中，S 3＝3a 2＝6⇒a 2＝2.∴3d ＝a 5－a 2＝6⇒d ＝2.所以a 9＝a 5＋4d ＝16.故选C .11.含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n11.解：∵S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n （a 2＋a 2n ）2，a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B .12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于() A ．－65 B ．－35 C ．65 D ．3512.解：由⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －（6a 1＋15d ）＝27 得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9， 解得a 1＝35.故选D .13．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．2313.解：a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10（a 1＋10）2＝70，解得d ＝23.故选D .14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( ) A.94 B.32 C.53 D ．414.解：设S 2＝x ，则S 4＝4x ，因为S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以S 6－S 4＝5x ，即S 6＝9x ，所以S 6S 4＝9x 4x ＝94.故选A . 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．615.解法一：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.又S m ＋1＝(m ＋1)a 1＋（m ＋1）m 2＝3，①，a m ＋1＝a 1＋m ＝3.将a 1＝3－m 代入①得m 2－5m ＝0，解得m ＝5或0(舍去)．解法二：设S n ＝an 2＋bn ，通过题意建立并解方程组获解．故选C .16．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解：∵S 2＝a 3，∴a 1＋a 2＝a 3，又{a n }为等差数列．∴a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d .∴d ＝a 1＝12.∴a 2＝a 1＋d ＝1.S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝14n (n ＋1)．故填1；14n (n ＋1)． 17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；(2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值．18 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下求数列{|101－b n |}的前n 项和T n . 解：(1)由等差数列的性质得，a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解，又公差大于零，即a 4＞a 3，所以a 3＝9，a 4＝13. 易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ， 所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c. 解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)． 令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．。
等差数列的前n项和的最值及应用
法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
索引
法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
索引
3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.
(文章)等差数列前n项和最值的求法
等差数列前n 项和最值的求法根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n =na 1+2)1(-n n d=2d n 2+（a 1-2d ）n ，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，当a 1＜0，d ＞0时，Sn 有最小值。
下面以最大值为例，探讨求Sn 的最值的一般方法。
方法一：S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，d ＜0，S n 可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n 是S n 取得最大值的n 。
（注：若对称轴为212+n ，则S n 与S n+1同时取得最大值） 方法二：由⎩⎨⎧≥+001n a an ，解出n 的范围，从而确定此范围中的自然数n 。
方法三：设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大例1 等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，如果S 7=S 12，求数列{a n }前n 项和S n 的最大值。
分析：用上述三种方法分别求。
解法一：由S 7=S 12，得d=-91a 1，∴S n =na 1+21n （n-1）d=-181a 1（n-219）2+72361a 1。
故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法二：由S 7=S 12，得d=-91a 1，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=+=≥-=-+=+0)9(910)10(91)1(11111n a nd a a n a d n a a n n 得9≤n ≤10，故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法三：由S 7=S 12，得d=-91a 1＜0，知{a n }是递减的等差数列。
∵S 7=S 12，∴a 8+a 9+…+a 12=0∴5a 10=0，由此必有a 1＞a 2＞…＞a 10=0＞a 11＞…，故S 9=S 10并且最大。
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
等差数列求最值问题
等差数列求最值问题
设有等差数列${a_1}, {a_2}, {a_3}, \cdots , {a_n}$，其中$a_1$ 与
$a_n$ 为首项与项数，$d$为公差。
这个数列的最值可以通过计算该数
列公式来获得。
首先，由首项$a_1$和公差$d$可以求出末项$a_n$。
即有$a_n=a_1+(n-1)d$。
其次，由公式$Sn=n\frac{a_1+a_n}{2}$可以求出该等差数列的和$S_n$。
之后，我们可以求出该等差数列的最大值和最小值。
如果等差数列是单调递增数列，那么最大值为$a_n$，最小值为$a_1$；而如果等差数列是单调递减数列，那么最大值为$a_1$，最小值为
$a_n$。
另外，我们还可以用等差比的方法来求出该等差数列的最值。
即
$\frac{a_2}{a_1}={\frac{a_3}{a_2}}=\cdots ={\frac{a_n}{a_{n-1}}}$，
根据此定义我们可以得出$a_n=a_1\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{n-1}$。
如果等差数列是单调递增数列，那么最大值为$a_n$，最小值为$a_1$；而如果等差数列是单调递减数列，那么最大值为$a_1$，最小值为
$a_n$。
以上就是等差数列求最值的计算方法，可以根据上述不同的方法求取数列最下和最大值，为解决类似问题提供了实用性和便利性。
等差数列公式大全
等差数列公式大全
1、a n =1121)
n
n s s n s n （（注意：（1）此公式对于一切数列均成立
（2）1n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2）
2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d
n a =m a +(n-m)d d=m n a a m
n
(重要)
3、
若{n a }是等差数列，m+n=p+q m a +n a =p a +q a 4、
若a,A,b 成等数列则2A=a+b (A 是a,b 的等差中项){n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q N 且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n
=q p a a q p
=d
5、
6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则
n s =
21n
a a n （已知首项和尾项）=211d n n na （已知首项和公差）=n d a dn 2121
12（二次函数可以求最值问题）
7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,…仍成等差数列。
8、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.
,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（
12k k ）d 9、
n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差①首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1n a ＜0时前n 项和n s 最大。
等差数列典型例题及详细解答
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( × )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ )1．(2015·重庆)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案 C解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B 解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( ) A ．2 B ．10(2)已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案 (1)C (2)B解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于( )A ．5B ．7C ．9D ．11(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．3 答案 (1)A (2)C解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5.故选A.(2)∵S n ＝n a 1＋a n2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，探求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A解析 (1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 命题点2 等差数列前n 项和的最值例4 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 引申探究例4中，若条件“a 1＝20”改为a 1＝－20，其他条件不变，求当n 取何值时，S n 取得最小值，并求出最小值．解 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∴a 13＝0.又a 1＝－20，∴a 12<0，a 14>0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最小值， 最小值S 12＝S 13＝13a 1＋a 132＝－130.思维升华 (1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________． 答案 (1)B (2)C (3)110解析 (1)依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，选C. (3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n n －12d ＝20n －n n －12×2＝－n 2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n 项和及其最值典例 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.(3)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 4 B ．S 5 C ．S 6 D ．S 7思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9， 所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 3＋a 82＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝a 11＋a 100×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝a 1＋a 110×1102＝a 11＋a 100×1102＝－110.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，所以S n 的最大值为S 5. 答案 (1)A (2)－110 (3)B温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *； (2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定． [失误与防范]1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.2．(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，所以a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，所以a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11答案 B解析 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 6．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14.7．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ， ∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4， 解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.9．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n 2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.10．等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大解 方法一 由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大． 方法二 由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知a ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大． 方法三 由方法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得≤n ≤，故当n ＝7时，S n 最大． 方法四 由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0， 所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7答案 D解析 由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－8，－7)解析 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117， 所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，所以a 3＜a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， 所以S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小， 最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ， 所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
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等差数列前n 项和最值问题求法
等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。
一、应用二次函数图象求解最值
例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大
分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222
n n n d d S na d n a n -=+
=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *
∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。
二、转化为求二次函数求最值
例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2
)1(3-n n ＝23[(n －496)2－2
4936], ∴ 当n=
496
最小时，n S 最小， 但由于n N *∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.
点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处496
介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。
三、利用关系式00
n n a a ≥⎧⎨<⎩，来求n S 最大值 例2：.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.
分析，依题先求出d ，然后写出数列的通项，构成不等式求解。
解析：设公差为d ，由3S =11S 得：
3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2
d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,
由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0
)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值. 点评：通过数列中数的特性，可由⎩⎨⎧≤≥+0
a 0a 1n n ，从解不等式来确定n S 的最大值。
小结：对等差数列前n 项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n 取何值才符合。