第三角动量和角动量守恒

三 质点系角动量定理 质点系角动量守恒定律
9
第 i 个质点
dLi dt
Mi
M ij
ji
力矩的迭加原理
j j
Mij Mij
ji
j
i
系统
i
dLi dt
i
Mi
i
M ij
ji
i
M ij
j
Mij M ji
0
M外
M外
dL dt
L
Li
或
i
M外dt dL
质点系的 角动量定理
t2
若 m1 m2，会出现什么情况？
系统所受的合外力矩为
M 外 （m2 m1)gR 0
系统总角动量 L (m1v1 m2v2 )R
初始时小孩未动， L0 0 。
由角动量定理
M外
dL dt
若 m1 m2 :
dL 0, dt
L 0
有 m1v1 m2v2 0, v1 v2
N
以向纸 O R
由牛顿第二定律，得
T mg ma1
T (m M )g (m
m d2 x1 dt 2
M )a2
(m
M
)
d2 x2 dt 2
整理得
Mg
d2 x1 dt 2
m
d2 x2 dt 2
(m
M
)
x
h
h
TT
mm1
mm+M2
(不爬)
(爬)
mg (m+M)g
Mg
d2 x1 dt 2
m
d2 x2 dt 2
L1 L2
常量
一个系统由两个质点组成，如果只受它们之间 的相互作用，则这个系统的总角动量保持守恒
3
4
例：自由下落质点的角动量
（1） 对 A 点的角动量
任意时刻 t， 有 r
1
gt2
5
o RA
2
p mv mgt
LA
r
p
1 2
mt 3 g
g
0
r r
（2） 对 O 点的角动量
LO
r
p
m1r1 dv1 m2r2 dv2 dr1 v1dt, dr2 v2dt
dr1 v1 0, dr2 v2 0
由于 d(r v) dr v r dv
dv1
1
1
m1
H
r1
m2
r2
dv2
d(m1r1 v1) d(m2r2 v2 ) o
d(r1 m1v1 r2 m2v2 ) 0
内为正
v1 r1r v2
m1
r//
m2
(不爬) m1g m2 g (爬)
轻的升得快；
若 m1 m2 :
dL 0, L 0 dt
则 m1v1 m2v2 0, v1 v2 轻的升得快。
当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高16 的距离？ 若开始时离滑轮的距离均为 h 。
设 m : 较轻人的质量， m+M : 较重人的质量。
L2
M 外dt dL L2 L1
t1
L1
dL
M 外 dt
L
Li
i
质点系角动
M 外 0时
dL 0 dt
L Li 常量
量守恒定律
讨论; 1) 不要求系统孤立, 只要求 M 外 0 2) 矢量式有3个分量式,即 M 外的某个分量=0, 则相应角
动量的分量守恒
3) 系统守恒条件;
r L1
rrm1 1Rrm1vrvr11（m指1(向Rr 纸 r内r// )）
vr1
L1 m1Rv1
同理 L2 m2Rv2 （指向纸外）
系统的角动量守恒： L1 L2 0
N
OR
v1
m1
r1rr//
v2
m2
(不爬) m1g m2 g (爬)
m1Rv1 m2Rv2 0
m1v1 m2v2
Q m1 m2 v1 v2 爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！
(m
M
)
对
t
积分 Mgt
m
dx1
(m
M
)
dx2
dt
dt
再对 t 积分
t
0
l
Mgtdt mdx1 (m M )dx2
0
h
h
解得 l M (h 1 gt2 ) mM 2
x
17
h T
m
mm1
hl T
mm+mM2+M
(不爬)
(爬)
mg (m+M)g
即是较重的人离滑轮的距离。
【解】 设滑轮半径为R， 且 m1= m2
N
OR
把小孩看成质点，
以滑轮中心为“固定点”，
v1
v2
对外“力m：1+mm1g2r+,
轻绳
r
+ r恒
设两小孩分别以 vr1, vr 2速度上升。
m1
m2
(不爬) m1g m2 g (爬)
设角动量以指向纸内为正。
i
i
rc mivi [ri mivc ] [ri ' mivi]
i
i
i
故角动量
L
rc
mvc
i [ri mi vi]
L L轨道 L自旋
二 力矩
由两个质点组成的孤立系统
L1 L2 常量
dL1 dL2 dt dt
定义力矩： M dL
MF
M
r O r0
dt
F
F// f
r1 m1v1 r2 m2v2 常量
r1 m1v1 r2 m2v2 常量
L
2
定义: L r mv r p
----- 质点对参考点O的质 点角动量 或 质点动量矩
r
m O
p
大小： L rp sin mrv sin
方向：垂直 r , p组成的平面
二. 质点角动量守恒定律
Rg
(
R
r)
LO
p rRrp RR Rmgt
mgt
m
mv
3-2 质点系角动量和角动量守恒定律
6
一、质点系角动量
n
L Li (ri mvi )
由 ri i1rc ri ' 得 vi vc vi
L [(rc ri' ) mi vi ]
O
rc
cri '
ri mi
i
rc mivi ri ' mi (vc vi)
M外 0 或 1 F 0, 或 2 r F 0
*质心参考系的角动量定理
dL dt
drc dt
p
rc
dp dt
dLc dt
rc
dp dt
dLc dt
对定点O：
L rc p Lc
rc
cri '
ri mi
O
M外 (ri Fi ) (rc ri ' ) Fi rc Fi (ri ' Fi )
i
i
i
i
由
M外
dL dt
rc
i
Fi
i
(ri ' Fi )
dp rc dt
dLc dt
i
(ri '
Fi )
dLc dt
即
Mc
dLc dt
质心参考系的 角动量定理
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
12
例题. 已知：轻绳，v10 = v20 =0，(忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 问：哪一个小孩先到达滑轮？
F
dL dt
d dt
(r
p)
dr dt
p r
dp dt
v
mv
r
F
r
F
对O点力矩 对轴的力矩
Mf MF M轴
r
f
r
F
r
F
Mf r
F//
r0
f r
fr sin F
M dL
8
dt
对于质点
Mdt dL
t2
L2
Mdt dL L2 L1
质点的 角动量定理
t1
L1
角冲量（冲量矩）