第02-2章 角动量和角动量守恒

垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的 所受的合外力矩
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率
称为质点的
角动量定理
的微分形式
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
称为 冲量矩
这就是质点的
角动量的增量
角动量定理
的积分形式
角动量的时间变化率
所受的合外力矩
冲量矩 当 即
角动量的增量
0
时，有
0
当质点
Lo ro p
Lo ro psin mgtd ， 方向垂直黑板向里
注意：对不同的参考点有不同的角动量
力矩的定义
(1) 中学：M Fd F r sin
单位： N (2) 大学：
m
M r F
r
d
Ｆ
大小： F r sin M
方向：右手螺旋定则。
angular momentum and law of conservation of angular momentum
大量天文观测表明
r m v sin
定义：
运动质点
L v
位矢
v
常量
r
m
m O
对 O 点的 角动量 为
r mv 大小： L r m v sin L 方向： r (mv )
L
r
p
v r
所受的合外力对某参考点 的力矩 为 守恒。
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
关于外力矩为零，即 M r F r F sin 0
（1）不受外力作用，即 F 0 .如质点做匀速直线
运动。 （2）外力并不为零，但在任意时刻外力始终指向或 背向固定点。这种力叫有心力，该固定点称为力心。
【小结】几个守恒定律的条件
1. 动量守恒定律： F合 0
（合外力为零或外力远小于内力；质点系）
＝０ 2. 机械能守恒定律： A外＋Ａ 非保内
（合外力作功为零、没有摩擦力；质点系） 3. 角动量守恒定律： ＭO合 0 （对定点的合外力矩为零；质点或质点系）
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
M
F

r
变
质点 对 的角动量
大小
太 阳 系 中 的 行 星
大小会变
变变
变
大小未必会变。靠什么判断？
导致角动量
随时间变化的根本原因是什么？ 与什么有关？
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
是力矩的矢量表达： 即 力矩 大小
方向
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
以上结果都不对。 （4）
质点系 若
系统的末 态角动量
忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等速上升。
得
若 同高从静态开始往 上爬
惯性系中某给定参考点
将
对时间求导
某给定 参考点
内 内 外 外
得
质点系的角动量 的时间变化率 称为
外
内 内 外 外
外
质点受外力 矩的矢量和 微分形式
内力矩在求矢 量和时成对相消
质点系的角动量的时间变化率只取决于质点系所受 外力矩的矢量和，而与内力矩无关。
的微分形式
质点系的角动量 的时间变化率
外
质点受外力 矩的矢量和 的积分形式
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （１）
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
以上结果都不对。 （4）
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （１）
一 人 用 力 上 爬
注意：Ｌ与参考点O的选取有关。 例：
L
m o r
v
o
d
A
r0

(1) 质点作圆周运动(对圆心)：
P
L0 R mv sin Rmv mR 2 2
(2) 质点作直线运动： 对0点
L0 r mvsin mv d
问题的提出
地 球 上 的 单 摆
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
例：质量为m的质点由A点自由落下，求其运动时 的角动量。 解：
p mv mgt
(1)以A为参考点
o
d
r0

rA
P
A
0 LA rA p rA p sin 0 0
(2)以O为参考点
有两种情况：
由于有心力对力心的力矩为零，质点对该力心的角动
量就一定守恒。如行星在太阳引力下绕太阳的运动就 是在有心力作用下的运动，对太阳的角动量守恒。
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
质点系所受的 冲量矩 若 则 或
质点系的 角动量增量
恒矢量
当质点系所受外力对某固定参考点的力矩矢量和 为零，则质点系对该点的总角动量守恒。这称为质点 系的角动量守恒定律。
关于外力矩为零即
wk.baidu.com1)质点系不受外力，即 Fi 0 （孤立系统），显
i
M i 0，有三种情况：
然质点系对某固定参考点的外力矩为零，质点系对 该点的角动量守恒。
(2)所有的外力都通过某固定参考点，但质点系所受 的外力的矢量和未必为零，但是每个外力对该点的力 矩皆为零，同样质点系对该点的角动量守恒。 (3)每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。 例如，对重力场中的质点系，作用于各质点的重力对 质心的力矩不为零，但所有重力对质心的力矩的矢量 和却为零，那么质点系对质心的角动量守恒。
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
合外力等于绳的拉力，合外力对圆心的力矩为零。
由角动量守恒知rmv不变（角动量方向也恒定），
当r减小时v增大。故拉绳时动量变大，角动量不变。
行星绕太阳运转（椭圆轨道），行星与太阳的连线 在单位时间内扫过的面和相等 －－开普勒行星运动第二定律