第02-2章 角动量和角动量守恒
合集下载
角动量和角动量守恒定律
恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .
L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
角动量和角动量守恒
v mv r F r F
O
r
r A
F
dL 质点的角动量定理 M dt
或
Mdt dL Mdt冲量矩
质点对某固定点所受的合外力矩 等于它对该点角动量的时间变化率
t2
t,质点所受的冲量矩等 于质点角动量的增量。
d dt
v
dS
P
r d
dS v dt dv at dt
v v0 at 1 2 S v0t at 2
2 v 2 v0 2aS
O 匀变速定轴转动
d dt
0 t
1 2 0t t 2 2 2 0 2
5.4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒 5.4.1 对定轴的力矩和角动量 dLz Mz ? Li dt
A’
刚体的平动和定轴转动
A
A”
B’
B”
刚体所有质元都绕一固定直线做圆周运动, 该固定直 线称为刚体定轴, 这种运动称为刚体的定轴转动 刚体的运动 平动+转动
只研究刚体绕定轴转动
5.3.2 刚体定轴转动的角量描述
1. 角位移 θ : 在 t 时间内刚体转动角度 2.角速度 :
z θ
d lim t 0 t dt
质心相对于 c 的位矢=0
v v v ' ri rc ri ' i c i
0
rc
ri '
ri
mi
L rc Mvc [ri 'mi vi ' ]
i
L rc Mvc [ri 'mi vi ' ]
大学物理 角动量 角动量守恒定律课件
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0
t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
第二章 动量、角动量守恒-2
β
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
例：质量为m的质点由A点自由落下，求其运动时 的角动量。 解：
p mv mgt
(1)以A为参考点
o
d
r0
rA
P
A
0 LA rA p rA p sin 0 0
(2)以O为参考点
【小结】几个守恒定律的条件
1. 动量守恒定律： F合 0
（合外力为零或外力远小于内力；质点系）
＝０ 2. 机械能守恒定律： A外＋Ａ 非保内
（合外力作功为零、没有摩擦力；质点系） 3. 角动量守恒定律： ＭO合 0 （对定点的合外力矩为零；质点或质点系）
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
惯性系中某给定参考点
将
对时间求导
某给定 参考点
内 内 外 外
得
质点系的角动量 的时间变化率 称为
外
内 内 外 外
外
质点受外力 矩的矢量和 微分形式
内力矩在求矢 量和时成对相消
质点系的角动量的时间变化率只取决于质点系所受 外力矩的矢量和，而与内力矩无关。
的微分形式
质点系的角动量 的时间变化率
外
质点受外力 矩的矢量和 的积分形式
angular momentum and law of conservation of angular momentum
大量天文观测表明
r m v sin
定义：
运动质点
L v
位矢
v
常量
r
m
m O
对 O 点的 角动量 为
r mv 大小： L r m v sin L 方向： r (mv )
L
r
p
v r
M
F
r
有两种情况：
由于有心力对力心的力矩为零，质点对该力心的角动
量就一定守恒。如行星在太阳引力下绕太阳的运动就 是在有心力作用下的运动，对太阳的角动量守恒。
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
变
质点 对 的角动量
大小
太 阳 系 中 的 行 星
大小会变
变变
变
大小未必会变。靠什么判断？
导致角动量
随时间变化的根本原因是什么？ 与什么有关？
思路： 分析 由 则
两平行矢量的叉乘积为零
得
质点 对参考点 的
角动量的时间变化率
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
是力矩的矢量表达： 即 力矩 大小
方向
注意：Ｌ与参考点O的选取有关。 例：
L
m o r
v
o
d
A
r0
(1) 质点作圆周运动(对圆心)：
P
L0 R mv sin Rmv mR 2 2
(2) 质点作直线运动： 对0点
L0 r mvsin mv d
问题的提出
地 球 上 的 单 摆
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。
的 所受的合外力矩
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率
称为质点的
角动量定理
的微分形式
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
称为 冲量矩
这就是质点的
角动量的增量
角动量定理
的积分形式
角动量的时间变化率
所受的合外力矩
冲量矩 当 即
角动量的增量
0
时，有
0
当质点
所受的合外力对某参考点 的力矩 为 守恒。
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
关于外力矩为零，即 M r F r F sin 0
（1）不受外力作用，即 F 0 .如质点做匀速直线
运动。 （2）外力并不为零，但在任意时刻外力始终指向或 背向固定点。这种力叫有心力，该固定点称为力心。
(2)所有的外力都通过某固定参考点，但质点系所受 的外力的矢量和未必为零，但是每个外力对该点的力 矩皆为零，同样质点系对该点的角动量守恒。 (3)每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。 例如，对重力场中的质点系，作用于各质点的重力对 质心的力矩不为零，但所有重力对质心的力矩的矢量 和却为零，那么质点系对质心的角动量守恒。
质点系所受的 冲量矩 若 则 或
质点系的 角动量增量
恒矢量
当质点系所受外力对某固定参考点的力矩矢量和 为零，则质点系对该点的总角动量守恒。这称为质点 系的角动量守恒定律。
关于外力矩为零即
(1)质点系不受外力，即 Fi 0 （孤立系统），显
i
M i 0，有三种情况：
然质点系对某固定参考点的外力矩为零，质点系对 该点的角动量守恒。
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
以上结果都不对。 （4）
质点系 若
系统的末 态角动量
忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零，角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱，两人等 p
Lo ro psin mgtd ， 方向垂直黑板向里
注意：对不同的参考点有不同的角动量
力矩的定义
(1) 中学：M Fd F r sin
单位： N (2) 大学：
m
M r F
r
d
Ｆ
大小： F r sin M
方向：右手螺旋定则。
小球被绳子拴着，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔， 向下拉绳子，小球的速度怎样变化？动量、角动量 改变吗？
合外力等于绳的拉力，合外力对圆心的力矩为零。
由角动量守恒知rmv不变（角动量方向也恒定），
当r减小时v增大。故拉绳时动量变大，角动量不变。
行星绕太阳运转（椭圆轨道），行星与太阳的连线 在单位时间内扫过的面和相等 －－开普勒行星运动第二定律
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （１）
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
用力上爬者先到； （2） 握绳不动者先到； （3）
可能出现的情况是
（请点击你要选择的项目）
以上结果都不对。 （4）
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
又忽略 轮绳摩擦
终点线
两人同时到达； （１）
一 人 用 力 上 爬