数据的抽样与抽样分布
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抽样与抽样分布
抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。
在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。
一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。
这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。
常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。
这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。
有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。
二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。
统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。
2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。
3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。
这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。
4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。
通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。
为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。
三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。
通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。
通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。
统计学-抽样分布与抽样方法
重复抽样的特点： ①在重复抽样的过程中，被抽取的总体单位总数始终
保持不变，每一次抽样中各总体单位被抽到的机会 都相同，每次抽样结果相互独立。 ②每一总体单位都有被重复抽取的可能。
5.2 抽样调查的方法
一、两种抽样方式（续）：
(2)不重复抽样 ——也称不放回抽样，指被抽到的单位不再放回总
体，每次仅在余下的总体单位中抽取下一个样本的 抽样方法。 特点： ①任一总体单位都不会被重复抽到； ②每次抽样结果都受到以前各次抽取结果的影响，因 此各次抽取结果是不独立的； ③可以一次抽取所需要的样本单位数。 ❖ 在实际应用中通常采用的都是不重复抽样方法。
总体
群1
群2
…… 群k
个体1 个体2 个体3 个体4 个体5 个体6
5.2 抽样调查的方法
3.整群抽样
❖特点：
▪ 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 ▪ 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便
调查的实施 ▪ 当群中的元素差异性大时，整群抽样得到的
结果比较好。在理想状态下，每一群是整个 总体小范围内的代表。如对人口普查资料进 行复查，就采用整群抽样的方式。
5.1 抽样调查的概念、特点和作用
五、全及总体和抽样总体 ❖全及总体，简称总体，是指所要认识对象的全
体，是许多同质性单位的集合。通常用大写字 母N来表示（容量）。 ❖抽样总体，简称样本，是从全及总体中随机抽 取出来，代表全及总体部分单位的集合。通常 用小写字母n来表示（容量） 。
▪ 样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量。分为 大样本(>30)、小样本(<30)。
▪ 样本个数：又称为样本可能数目。是指从一个总体中可以 抽取的样本个数。
5.2 抽样调查的方法
保持不变，每一次抽样中各总体单位被抽到的机会 都相同，每次抽样结果相互独立。 ②每一总体单位都有被重复抽取的可能。
5.2 抽样调查的方法
一、两种抽样方式（续）：
(2)不重复抽样 ——也称不放回抽样，指被抽到的单位不再放回总
体，每次仅在余下的总体单位中抽取下一个样本的 抽样方法。 特点： ①任一总体单位都不会被重复抽到； ②每次抽样结果都受到以前各次抽取结果的影响，因 此各次抽取结果是不独立的； ③可以一次抽取所需要的样本单位数。 ❖ 在实际应用中通常采用的都是不重复抽样方法。
总体
群1
群2
…… 群k
个体1 个体2 个体3 个体4 个体5 个体6
5.2 抽样调查的方法
3.整群抽样
❖特点：
▪ 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 ▪ 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便
调查的实施 ▪ 当群中的元素差异性大时，整群抽样得到的
结果比较好。在理想状态下，每一群是整个 总体小范围内的代表。如对人口普查资料进 行复查，就采用整群抽样的方式。
5.1 抽样调查的概念、特点和作用
五、全及总体和抽样总体 ❖全及总体，简称总体，是指所要认识对象的全
体，是许多同质性单位的集合。通常用大写字 母N来表示（容量）。 ❖抽样总体，简称样本，是从全及总体中随机抽 取出来，代表全及总体部分单位的集合。通常 用小写字母n来表示（容量） 。
▪ 样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量。分为 大样本(>30)、小样本(<30)。
▪ 样本个数：又称为样本可能数目。是指从一个总体中可以 抽取的样本个数。
5.2 抽样调查的方法
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
抽样检验和抽样分布
占总体单位数N的比例，即：
n n n n 1 2 3 K n
N1 N2 N3
NN K
各类型组应抽取的样本单位数为：
N n
in
n N i N i N
样本比率抽样样本容量：按前面指定的比
例(n/N)从每组的Ni单位中抽取ni个单位 即构成一个抽样总体,其样本容量为:
K
n= n1+ n2+ n3+…+ nk= ni i 1
数μ；
3、样本平均数 x 分布的均方差 x 等于：
当为有限总体无放回抽样时，其样本均值 标准差为：
N
N x
N
N
p
1
p
如果总体为无限总体的或抽取是有放回的
，其样本均值标准差为：
x
N
（二）非正态总体样本平均数 x 的分布及
性质？
1、中心极限定理可以解决上述问题：
一个具有任意函数形式的总体，其样
2、抽样误差：是指由于随机抽样的偶然因 素使样本各单位的结构不足以代表总体 各单位的结构，而引起抽样指标和全及 指标之间的绝对离差。不包含登记性误 差和不遵守随机原则造成的偏差。
影响抽样误差的因素有：总体各单位标 志值的差异程度；样本的单位数；抽样 的方法;抽样调查的组织形式。
第二节 随机抽样设计
样本容量足够大（n=50），据中心极限
定理，x 近似服从正态分布。
（1）
3160
x
800 113.14
x
N
50
x
P x3000 P
x
3000
3160
/ n
113.14
Pz 1.41 0.9207
同理处理（2）和（3）
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
概率与统计中的随机抽样与抽样分布
概率与统计中的随机抽样与抽样分布概率与统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而随机抽样与抽样分布是其中关键的概念。
本文旨在探讨随机抽样和抽样分布在概率与统计中的作用和应用。
1. 随机抽样在概率与统计学中，随机抽样是一种方法，通过从总体中随机选择样本来推断总体的特征。
随机抽样的目的是保证样本具有代表性，从而使得样本能够准确地反映总体的特征。
在实践中，随机抽样通常通过随机数生成器来实现，确保每个个体都有相同的机会被选入样本。
2. 简单随机抽样简单随机抽样是随机抽样的一种基本方法。
在简单随机抽样中，每个个体被选入样本的概率是相等的，且个体的选择是相互独立的。
简单随机抽样可以有效减少个体的偏倚，使样本更具代表性。
3. 抽样分布抽样分布是指在随机抽样过程中，某一统计量的分布情况。
在概率与统计中，我们常常关注样本均值、样本方差等统计量的分布情况，从而推断总体的特征。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似服从正态分布。
这一性质使得我们能够应用正态分布的性质进行统计推断。
4. 抽样分布的应用抽样分布在概率与统计中有广泛的应用。
通过对随机抽样得到的样本统计量进行分析，我们可以进行总体均值的估计、比较不同样本的差异、构建置信区间、进行假设检验等。
这些应用使得我们能够通过分析样本数据，推断总体的特征，做出科学决策。
总结：概率与统计中的随机抽样与抽样分布是统计学中的重要概念。
随机抽样保证样本具有代表性，而抽样分布则帮助我们推断总体的特征。
掌握随机抽样与抽样分布的原理和应用，对于数据分析和统计推断具有重要意义。
在实践中，我们需要注意样本的随机性和样本容量的大小，以保证抽样的准确性和结果的可靠性。
通过深入研究和应用随机抽样和抽样分布的理论，我们能够更好地理解和分析数据，为决策提供科学的依据。
统计学抽样与抽样分布
查费用
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的 经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一 定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内 主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选 取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调 查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本 分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。 对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样 本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反 映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也 称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计 算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指 标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为 抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的 样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高 低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本 估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心 值的平均离散程度。
医用数理统计方法课件第四章随机抽样与抽样分布
04
大样本统计推断方法
中心极限定理
总结词
中心极限定理是概率论中的基本定理之一，它表明无论总体分布是什么，只要样本量足够大，样本均值的分布就 会趋近于正态分布。
详细描述
中心极限定理是统计学中非常重要的基础理论，它指出当从一个无限总体中随机抽取的样本量趋于无穷大时，样 本均值的分布将趋近于正态分布，无论总体分布是什么。这个定理是许多大样本统计推断方法的基础，如参数估 计和假设检验。
样本均值的分布性质
总结词
样本均值是统计学中常用的统计量，它表示样本数据的平均水平。样本均值的分布性质 是指在一定条件下，多个样本均值的分布特征。
详细描述
样本均值的分布性质是统计学中的重要概念，它描述了样本均值在不同条件下的变化规 律。在中心极限定理的基础上，我们知道当样本量足够大时，样本均值会趋近于正态分 布。此外，样本均值的方差随着样本量的增加而减小，并且样本均值与总体均值之间的
假设检验
假设检验的定义
假设检验是一种通过检验两个对立假设来推断未知参数的方法， 例如检验某药物是否有效。
假设检验的优缺点
假设检验的优点是能够提供未知参数是否符合某种假设的信息；缺 点是需要设定两个对立假设，可能会引入主观性。
假设检验的常用方法
常用的假设检验方法包括t检验、卡方检验、F检验等。
06
实例三：公共卫生调查中的抽样方法
总结词
在公共卫生调查中，选择合适的抽样方法对 于获取准确的调查结果至关重要。
详细描述
公共卫生调查中常用的抽样方法包括简单随 机抽样、分层抽样、系统抽样和整群抽样等 。根据调查目的和实际情况选择合适的抽样 方法，可以确保调查结果的准确性和可靠性 。此外，公共卫生调查中还需要注意样本量 的大小和抽样的代表性，以确保调查结果能 够反映目标人群的特征和状况。
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纯随机抽样：在抽取样本时，必须保证总体中的每 一个可能元素被抽中的概率是相等的，并且总体中 每一个单位被包括在样本中的可能性也是相等的。 机械抽样：在从总体中抽取样本时，按照时间或空 间的等距间隔进行抽取。 类型抽样：首先将总体按照一定的标志划分成许多 性质相近的类型或组别，然后在每种类型中按随机 原则抽取单位组成样本的抽样方式。 整群抽样：是把总体分为许多群，然后在这些群中 随机地抽取某些“群”作为样本。
抽样的作用
从理论上讲，只要能对所研究的现象进行反 复地、全面地观察，就可以找出其统计规律 性。但是在实际中，全面观察或反复观察要 耗费大量的人、财、物，而且有时是无法做 到的。 因此，我们就可以采用从总体中抽取部分单 位作为样本进行观察，取得某些数据资料后， 再推断总体的特征。我们称这样的统计方法 为抽样推断统计。
因此，当我们要根据样本统计量推断总体参 数时，不必考虑总体的分布形态，只需要运 用正态分布理论，用样本的资料通过推断抽 样分布的平均数，来估计总体平均数。 中心极限定理是统计推断理论中最重要的定 理。 中心极限定理证明，样本容量足够大时，抽 样分布趋于正态分布。在统计学中，被广泛 采用的粗略法则是：样本容量不小于30，就 可以用正态分布作为抽样分布的近似值。
抽样方法
从总体中抽取样本的方法总的来说有两个： 一是随机抽样，其特点是总体中的任何一个 个体单位都有被抽中作为样本的机会，而且 每个样本被抽中的机会均等。 另一种是非随机抽样或称为判断抽样，其特 点是抽样人员根据自己对事物的了解，从总 体中有目的的选择部分单位作为样本。
常用的随机抽样方式
样本容量与抽样平均误差的关系
x
n
抽样平均误差是度量样本平均数在总体平均 数周围分散程度的一个指标。 x 越小，表示样 本平均数在总体平均数周围越集中，用这样 的样本统计量去推断总体参数，其精确度就 越高，反之， x 越大，我们在推断总体参数 时的精确度就越低，所以，要提高推断的精 确度，我们希望 x 越小越好。
x
有限总体校正系数
从无限总体中抽样，可以认为每次取样不会改变 下次抽样的条件。 但是对于有限总体而言，如果采用不放回抽样， 随着抽样工作的进行，总体的成分就会不断发生 变化，即每次抽样后，各单位被抽中的概率就会 发生变化，因此抽样平均误差变为：
当n/N<0.05 时，可以省 略有限总体 修正系数。
N n x N 1 n
有限总体修正系数，由 于n永远大于1，所以系 数永远小于1，因此，有 限总体的抽样平均误差 比无限总体的抽样平均 误差要小。
抽样分布概念
对于一个总体容量为N的总体，无论是有限 总体或无限总体，只要所要求的抽样的样本 容量n小于总体容量，即n<N，那么可能抽取 的样本就不止一个。在一般情况下，从同一 总体中抽取的不同样本，其统计量的值也是 不同的。若我们把从某个总体中抽取样本容 量为n的所有样本的样本统计量作为一组随机 变量的话，则这一组随机变量的概率分布叫 做“抽样分布”。
如果我们增加样本容量，例如n=5 增加到n=20，就会提高每个样本数 据的平均效果，样本平均数的分散 程度会更小，也就是说抽样平均数 的平均标准误差会因为样本容量的 增加而减少，而总体的分布不会因 为样本容量的变化而改变。 n=20 n=5
从正态分布中抽样的样本平均数抽样 分布的性质
从正态总体中抽样，抽样分布也必定是正态分布； 从正态总体中抽样，抽样分布的平均数一定等于 总体平均数；即μ x= μ 从正态总体中抽样，抽样分布的平均标准误差比 总体标准差要小，而且随着样本容量的增加，平 均标准误差越来越小。可以证明平均标准误差σ x 与总体标准差σ 的关系是：
总体分布、样本分布和抽样分布
总体分布
μ S1 S22 σ
X3
平均数的 抽样分布
μx
x
虽然样本平均数与总体平均 数不完全相等，但是它们一 定趋向于总体平均数的附近。
从正态总体中抽样
从一个正态分布的总体中抽取样本为n的样本，样 本平均数在总体平均数以下和以上出现的机会是相 等的。由于样本平均数是由n个数据平均而得，因 此它掩盖了样本中各个具体数据的差异。可以肯定 地说，样本平均数的分散程度会比总体中单个数据 的分散程度要小些。即抽样平均数的平均标准误差 比总体标准差要小些。
从以上我们可以得出，无论所研究的总体分布是正 态分布还是非正态分布，从总体中抽取一定容量的 样本，全部可能样本所构成的抽样分布对于下述两 点始终成立： （1）抽样分布的平均数等于总体平均数； （2）随着样本容量的增加，抽样分布趋于正态分布。
*总体分布与平均数抽样分布之间的这种关系称为 “中心极限定理”。
数据的抽样与抽样分布
第一节 统计抽样与抽样误差 第二节 抽样分布与中心极限定理 第三节 抽样分布其他问题
第一节 统计抽样与抽样误差
无论是总体数据还是样本数据，其统计特征都是可 以用平均数、中位数以及标准差等指标来描述。当 我们对样本数据计算统计特征的指标时，所得到的 结果就叫做“样本统计量”，如果用总体的数据计 算平均数或标准差，由于它们描述的是总体的数字 特征，我们就称这些指标为“总体参数”。 一般来说，参数指的是描述总体分布特征或反映总 体模型的统计指标；统计量是指样本分布的特征指 标。
抽样误差
统计抽样的目的在于根据样本统计量推断总 体参数。 在计算样本统计量时，样本不同，统计量之 间会存在一定的差异，这是随机抽样自身固 有的差异，即不论按什么方法组织抽样，不 同样本的平均数、标准差，必定存在一定的 差异。统计上，某个样本统计量与另一个样 本统计量之间的差异，及某个样本的统计量 与总体参数之间的差异，就称为抽样误差。
x
n
从非正态总体中抽样
现实问题中，有许多现象并不服从正态分布。 从一个非正态总体中抽样，抽样分布是否仍 然满足上述三个基本性质呢？ 经过实证检验，即使从非正态总体中抽样， 随着样本容量的增加，平均数抽样分布也将 趋于正态分布。而且其抽样分布的平均数与 总体平均数也是相等的。
中心极限定理
抽样的作用
从理论上讲，只要能对所研究的现象进行反 复地、全面地观察，就可以找出其统计规律 性。但是在实际中，全面观察或反复观察要 耗费大量的人、财、物，而且有时是无法做 到的。 因此，我们就可以采用从总体中抽取部分单 位作为样本进行观察，取得某些数据资料后， 再推断总体的特征。我们称这样的统计方法 为抽样推断统计。
因此，当我们要根据样本统计量推断总体参 数时，不必考虑总体的分布形态，只需要运 用正态分布理论，用样本的资料通过推断抽 样分布的平均数，来估计总体平均数。 中心极限定理是统计推断理论中最重要的定 理。 中心极限定理证明，样本容量足够大时，抽 样分布趋于正态分布。在统计学中，被广泛 采用的粗略法则是：样本容量不小于30，就 可以用正态分布作为抽样分布的近似值。
抽样方法
从总体中抽取样本的方法总的来说有两个： 一是随机抽样，其特点是总体中的任何一个 个体单位都有被抽中作为样本的机会，而且 每个样本被抽中的机会均等。 另一种是非随机抽样或称为判断抽样，其特 点是抽样人员根据自己对事物的了解，从总 体中有目的的选择部分单位作为样本。
常用的随机抽样方式
样本容量与抽样平均误差的关系
x
n
抽样平均误差是度量样本平均数在总体平均 数周围分散程度的一个指标。 x 越小，表示样 本平均数在总体平均数周围越集中，用这样 的样本统计量去推断总体参数，其精确度就 越高，反之， x 越大，我们在推断总体参数 时的精确度就越低，所以，要提高推断的精 确度，我们希望 x 越小越好。
x
有限总体校正系数
从无限总体中抽样，可以认为每次取样不会改变 下次抽样的条件。 但是对于有限总体而言，如果采用不放回抽样， 随着抽样工作的进行，总体的成分就会不断发生 变化，即每次抽样后，各单位被抽中的概率就会 发生变化，因此抽样平均误差变为：
当n/N<0.05 时，可以省 略有限总体 修正系数。
N n x N 1 n
有限总体修正系数，由 于n永远大于1，所以系 数永远小于1，因此，有 限总体的抽样平均误差 比无限总体的抽样平均 误差要小。
抽样分布概念
对于一个总体容量为N的总体，无论是有限 总体或无限总体，只要所要求的抽样的样本 容量n小于总体容量，即n<N，那么可能抽取 的样本就不止一个。在一般情况下，从同一 总体中抽取的不同样本，其统计量的值也是 不同的。若我们把从某个总体中抽取样本容 量为n的所有样本的样本统计量作为一组随机 变量的话，则这一组随机变量的概率分布叫 做“抽样分布”。
如果我们增加样本容量，例如n=5 增加到n=20，就会提高每个样本数 据的平均效果，样本平均数的分散 程度会更小，也就是说抽样平均数 的平均标准误差会因为样本容量的 增加而减少，而总体的分布不会因 为样本容量的变化而改变。 n=20 n=5
从正态分布中抽样的样本平均数抽样 分布的性质
从正态总体中抽样，抽样分布也必定是正态分布； 从正态总体中抽样，抽样分布的平均数一定等于 总体平均数；即μ x= μ 从正态总体中抽样，抽样分布的平均标准误差比 总体标准差要小，而且随着样本容量的增加，平 均标准误差越来越小。可以证明平均标准误差σ x 与总体标准差σ 的关系是：
总体分布、样本分布和抽样分布
总体分布
μ S1 S22 σ
X3
平均数的 抽样分布
μx
x
虽然样本平均数与总体平均 数不完全相等，但是它们一 定趋向于总体平均数的附近。
从正态总体中抽样
从一个正态分布的总体中抽取样本为n的样本，样 本平均数在总体平均数以下和以上出现的机会是相 等的。由于样本平均数是由n个数据平均而得，因 此它掩盖了样本中各个具体数据的差异。可以肯定 地说，样本平均数的分散程度会比总体中单个数据 的分散程度要小些。即抽样平均数的平均标准误差 比总体标准差要小些。
从以上我们可以得出，无论所研究的总体分布是正 态分布还是非正态分布，从总体中抽取一定容量的 样本，全部可能样本所构成的抽样分布对于下述两 点始终成立： （1）抽样分布的平均数等于总体平均数； （2）随着样本容量的增加，抽样分布趋于正态分布。
*总体分布与平均数抽样分布之间的这种关系称为 “中心极限定理”。
数据的抽样与抽样分布
第一节 统计抽样与抽样误差 第二节 抽样分布与中心极限定理 第三节 抽样分布其他问题
第一节 统计抽样与抽样误差
无论是总体数据还是样本数据，其统计特征都是可 以用平均数、中位数以及标准差等指标来描述。当 我们对样本数据计算统计特征的指标时，所得到的 结果就叫做“样本统计量”，如果用总体的数据计 算平均数或标准差，由于它们描述的是总体的数字 特征，我们就称这些指标为“总体参数”。 一般来说，参数指的是描述总体分布特征或反映总 体模型的统计指标；统计量是指样本分布的特征指 标。
抽样误差
统计抽样的目的在于根据样本统计量推断总 体参数。 在计算样本统计量时，样本不同，统计量之 间会存在一定的差异，这是随机抽样自身固 有的差异，即不论按什么方法组织抽样，不 同样本的平均数、标准差，必定存在一定的 差异。统计上，某个样本统计量与另一个样 本统计量之间的差异，及某个样本的统计量 与总体参数之间的差异，就称为抽样误差。
x
n
从非正态总体中抽样
现实问题中，有许多现象并不服从正态分布。 从一个非正态总体中抽样，抽样分布是否仍 然满足上述三个基本性质呢？ 经过实证检验，即使从非正态总体中抽样， 随着样本容量的增加，平均数抽样分布也将 趋于正态分布。而且其抽样分布的平均数与 总体平均数也是相等的。
中心极限定理